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第 2 章第 04 讲 二次根式（第 1 课时 定义与性质）
1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简.
知识点01 二次根式的相关概念
1.二次根式的定义：我们把形如 （ ） 的式子叫做根式； 叫做被开方数； 叫做二次根号；
根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保
证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）
知识点03 二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则及逆用： ；二次根式的除法法则及逆用： ；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，
即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
题型01 二次根式有意义的条件
【典例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是
．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）若式子 在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是
．
【变式2】（2023春·江苏·八年级期末）使得 有意义的x的取值范围是 ．
题型02 求二次根式的值
【典例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【变式1】（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当 时，二次根式
的值为 ．
【变式2】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）当 时，二次根式 的值为 ．
题型03 求二次根式中的参数
【典例1】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习） 是一个正整数，则 的最小正整数是 ．
【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若 为整数，则x的最小正整数值为
．
【变式2】（2022秋·八年级单元测试） 是整数，则正数 的最小值是
题型04 利用二次根式的性质化简【典例1】（2023春·新疆塔城·八年级校考期末） ； ．
【变式1】（2023春·江苏·八年级期末）计算： ； ．
【变式2】（2023春·河南信阳·八年级校考阶段练习）化简： ．
题型05 二次根式的乘法
【典例1】（2023春·山东东营·八年级统考期末）计算 的结果是 ．
【变式1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）计算 的结果是
【变式2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考期中）计算 ．
题型06 二次根式的除法
【典例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）计算： ．
【变式1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）计算： ．
【变式2】（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）计算 的结果是 ．
题型07 二次根式的乘除混合运算
【典例1】（2023春·吉林·八年级统考期末）计算： ．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）计算： ．
【变式2】（2023春·上海松江·七年级统考期末）计算：
【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）计算： ．
题型08 复合二次根式的化简
【典例1】（2022秋·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：(1)
(2) ．
【变式1】（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成
是一个数的平方，如 ， ，下面我们观察：
；反之 ，∴
．
(1)直接写出答案： = ； = ．
(2)化简： ．
(3)若 ，则a与 的关系是什么？b与 的关系又是什么？
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）像 ， ……这样的根式叫做复合二次根式．有
一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如： ；
再如： ．请用上述方法探索并解
决下列问题：
(1)请你尝试化简：
① ______；
② ______．
(2)若 ，且 ， ， 为正整数，求 的值．一、单选题
1．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）计算 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．5
2．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）若 有意义，则 可以取（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023·全国·八年级假期作业）已知 是正整数，则自然数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图， ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）计算：（1） ；（2） ．
8．（2022秋·八年级单元测试）计算： ．
9．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）当 时，二次根式 的值是 ．
10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）对于 ， 的取值范围是 ．
11．（2022秋·八年级单元测试）若 是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
12．（2023春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）若x，y满足条件： ，化简代数式．
三、解答题
13．（2023春·上海·七年级统考期中）计算：
14．（2023春·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）计算： ．
15．（2022春·八年级课时练习）当x分别取下列值时，求二次根式 的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣ ．
16．（2022秋·八年级单元测试）计算：
(1) ；
(2) ．
17．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）（1） ；
（2） ；
（3）已知 ，求代数式 的值．
18．（2020秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）已知 在数轴上的对应点如图所示，化简：
．19．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足 ．
(1)求x与y的值；
(2)符号 表示一种新的运算，规定 ，求 的值．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数 ，是
且 ，则把 变成 开方，从而使得 化简．
例如：化简
解：∵
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1) ；
(2)
