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第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线平分对角
【答案】B
【解析】正方形具有矩形和菱形的所有性质，菱形的对角线具有：（1）对角线互相平分；（2）对角线互相垂
直；（3）每条对角线平分一组对角；而菱形对角线不具有的性质是：对角线相等．故选B．
2．如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为
A．3
B．12
C．18
D．36
【答案】C
3．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD．选两个作
为补充条件，使得四边形ABCD 是正方形，其中错误的选法是
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
【答案】B
【解析】A 选项中，由四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC，可得四边形ABCD 是菱形，结合∠ABC=90°，可
得四边形ABCD 是正方形；
B 选项中，由四边形ABCD 是平行四边形，结合AC=BD 及∠ABC=90°只能证得四边形ABCD 是矩形，不
能证明四边形ABCD 是正方形；
C 选项中，由四边形ABCD 是平行四边形，结合AB=BC 可得四边形ABCD 是菱形，结合AC=BD 即可得到
四边形ABCD 是正方形；
D 选项中，由四边形ABCD 是平行四边形，结合∠ABC=90°可得四边形ABCD 是矩形，再结合AC⊥BD 即
可得到四边形ABCD 是正方形．故选B．
4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD 成为正方形的是
A．BD=AB
B．AC=AD
C．∠ABC=90°
D．OD=AC
【答案】C
5．如图，将一边长为12 的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ 的
长为
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】B
【解析】如图，过点P 作PM⊥BC 于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD，∴△PQM≌△AED，
∴PQ=AE=
．故选B．
6．如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE，BE 与AC 相交于点M，则∠AMD 的度数是
A．75°
B．60°
C．54°
D．67.5°
【答案】B
【解析】如图，连接BD，
由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC=
（180°-∠BCE）
=15°，
∵∠BCM=
∠BCD=45°，∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°-∠BMC=60°，
∵正方形ABCD 是关于AC 对称的，M 在AC 上，∴BM=DM，∴∠AMD=∠AMB=60°，故选B．
7．如图，正方形ABCD 的边长为4
cm，则图中阴影部分的面积为
A．6 cm2
B．8 cm2
C．16 cm2
D．不能确定
【答案】B
【解析】阴影部分的面积=S△ADC=
S 正方形ABCD=
×（4
）
2=16（cm2）．故选C．
8．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，P 是线段AD 上的动点，PE⊥AC 于点E，PF⊥BD 于点F，则PE+PF 的值
为
A．2
B．4
C．4
D．2
【答案】A
9．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 为CD 上一动点，AE 交BD 于F，过F 作FH⊥AE 于H，过H 作GH⊥BD
于G，下列有四个结论：①AF=FH；②∠HAE=45°；③BD=2FG；④△CEH 的周长为定值，其中正确的结论
有
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【解析】（1）如图1，连接FC，延长HF 交AD 于点L，
∵在正方形ABCD 中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴FC=AF，∠ECF=
∠DAF，∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°，∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC，
∴FH=AF；
（2）如图1，∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°；
（3）如图2，连接AC 交BD 于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，
∵HF⊥AE，HG⊥BD，∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=
∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG；
（4）如图3，延长AD 至点M，使AD=DM，过点C 作CI∥HL，则LI=HC，
∴∠IMC=∠ECM=45°，由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM，
又∵MC=CM，∴△MEC≌△CIM，∴CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH 的周长为8，为定值．故①②③④结论都正确．故选D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
10．如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE=AB，则∠BEA 的度数是__________度．
【答案】67.5
11．如图，在正方形ABCD 中，以AB 为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED 的度数为
__________．
【答案】150°
【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=DA，
∵△ABE 是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60°，∴AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，
∴∠ADE=∠BCE=
（180°-30°）=75°，∴∠EDC=∠ECD=15°，∴∠CED=180°-15°-15°=150°．故答案为：
150°．
12．如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC、BD 的交点，过O 点作OE⊥OF，OE、OF 分别交AB、BC 于点
E、点F，AE=3，CF=2，则EF 的长为__________．
【答案】
13．如图所示，将五个边长都为1 cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D 分别是正方形对角线的交
点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是__________cm2．
【答案】
【解析】如图，过点O 作OE⊥GH 于点E，OF⊥HM 于点F，
由已知条件易得∠EOF=∠GOM=90° ，OE=OF ，∠OEG=∠OFM=90° ，∴∠EOG=∠FOM ，
∴△EOG≌△FOM，
∴S 四边形OGHM=S 正方形OEHF=
，∵n 个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分，
∴n 个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为：
．故答案为：
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．如图，等边△AEF 的顶点E，F 在矩形ABCD 的边BC，CD 上，且∠CEF=45°，求证：矩形ABCD 是正方形．
15．如图，在正方形ABCD 纸片上有一点P，PA=1，PD=2，PC=3，现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置
（C 与A 重合，P 与G 重合，D 与D 重合），求∠APD 的度数．
【答案】135°
【解析】如图，连接PG，
16．已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F，G，H 分别是BC，BE，CE 的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．
【解析】（1）如图，连接EF，
∵点F，G，H 分别是BC，BE，CE 的中点，
∴FH∥BE，FH=
BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC．
17．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．
（1）求∠EAF 的度数；
（2）如图2，连接FC 交BD 于M，交AD 于N．求证：BD=AF+2DM．
【解析】（1）如图，过点F 作FM⊥AB 并交AB 的延长线于点M，
∵BC=AB，∴EM=AB，
∴EM-AE=AB-AE，
∴AM=BE，∴FM=AM，
∵FM⊥AB，∴∠MAF=45°，
∴∠EAF=135°．
（2）如图，过点F 作FG∥AB 交BD 于点G．
由（1）可知∠EAF=135°，
∵∠ABD=45°，∴∠EAF+∠ABD=180°，
∴AF∥BG，
∵FG∥AB，
∴四边形ABGF 为平行四边形，AF=BG，FG=AB，
∵AB=CD，∴FG=CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠FGM=∠CDM，
∵∠FMG=∠CMD，
∴△FGM≌△CDM（AAS），
∴GM=DM，∴DG=2DM，
∴BD=BG+DG=AF+2DM．
