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第十三章 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知线段AB 和点C，D，且CA=CB，DA=DB，那么直线CD 是线段AB 的
A．垂线
B．平行线
C．垂直平分线
D．过中点的直线
【答案】C
2．点P 是△ABC 中边AB 的垂直平分线上的点，则一定有
A．PA=PB
B．PA=PC
C．PB=PC
D．点P 到∠ACB 的两边的距离相等
【答案】A
【解析】∵点P 在AB 的垂直平分线上，∴PA=PB，故选A．
3．下列说法错误的是
A．E，D 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE
B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线
C．若PA=PB，则点P 在线段AB 的垂直平分线上
D．若PA=PB，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线
【答案】D
【解析】A、∵E 是线段AB 的垂直平分线上的点，∴AE=BE．同理AD=BD．故A 正确；
B、若AD=BD，∴D 在AB 的垂直平分线上．同理E 在AB 的垂直平分线上．∴直线DE 是线段AB 的垂直平
分线．故B 正确；
C、若PA=PB，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，故C 正确；
D、若PA=PB，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．但过点P 的直线有无数条，不能确定过点P 的直线是线
段AB 的垂直平分线．故D 错误．故选D．
4．关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．
其中，正确的说法有
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
5．如图，AC=AD，BC=BD，那么下列判断正确的是
A．CD 垂直平分AB
B．AB 垂直平分CD
C．CD 平分∠ACB
D．∠ACB=∠ADB=90°
【答案】B
【解析】∵AC=AD，∴点A 在线段CD 的垂直平分线上，
∵BC=BD，∴点B 在线段CD 的垂直平分线上，
∴AB 垂直平分CD．故选B．学科*网
6．下面给出两个结论：①如图①，若PA=PB，QA=QB，则PQ 垂直平分AB．②如图②，若点P 到OA，OB 的垂
线段PC，PD 相等，则OP 平分∠AOB，其中
A．只有①正确
B．只有②正确
C．①②都正确
D．①②都不正确
【答案】C
7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的中垂线交斜边AB 于D，图中相等的线段有
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
【答案】D
【解析】∵BC 的中垂线交斜边AB 于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，
又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠ACD，∴AD=CD，∴AD=BD，
共4 组．故选D．学科*网
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
8．如图，已知AD 是线段BC 的垂直平分线，则AB=__________．
【答案】AC
【解析】∵AD 是线段BC 的垂直平分线，∴AB=AC，故答案为：AC．
9．如图，AD⊥BC 于D，BD=CD，则AB=AC，理由__________．
【答案】线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄，当汽
车行驶到哪个位置时，与村庄M，N 的距离相等．
【解析】（1）连接MN；
（2）作线段MN 的垂直平分线l，
交直线AB 于C 点，则C 点即为所求．学科*网
11．如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
【解析】是．理由：∵AB=AC，BM=CM，
∴点A、M 都在线段BC 的垂直平分线上．
根据“两点确定一条直线”知，直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
12．如图，AB=AC，DB=DC，E 是AD 延长线上一点，求证：BE=CE．
13．如图，已知AE=CE，BD⊥AC．求证：AB+CD=AD+BC．
【解析】∵AE=CE，BD⊥AC，
∴BD 是线段AC 的垂直平分线，
∴AB=BC，AD=CD，
∴AB+CD=AD+BC．学科*网
14．（1）在△ABC 中画出AB 边的垂直平分线与BC 边的垂直平分线．
（2）设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O 在AB 的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等？
（3）由点O 在BC 的垂直平分线上，又可以得到什么结论？
（4）由（2）与（3）的结论，在线段的相等关系方面，你有什么新的发现？请先用等式表示，再用文字加以
叙述．
