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13.1.3 线段垂直平分线的有关作图
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段
的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线。则对应作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】作图-垂线；作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：作一条线段垂直平分线的方法：1.分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的
二分之一长度为半径画弧线,得到两个交点(两交点交于线段的两侧).2.连接这两个交点即可.
故答案为：C
【分析】利用尺规作图法，由作一个角等于已知角，作角的角平分线，线段的垂直平分线， 过直线
外一点P作已知直线的垂线 的方法即可一一判断得出答案.
2．下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A.由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B.由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C.由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D.由此作图可知PA=PC，符合题意.
故答案为：D。【分析】根据尺规作图及角平分线、线段的中垂线的性质即可一一判断得出答案。
3．已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
4．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC．则下列四种不同方
法的作图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC．
故答案为：D．
【分析】根据题中已知条件，可知应该作线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可证得结
论。
5．如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧
△
相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相
等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交
AB于点F，则AF的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=60°，
连接CD，BE，DE，由题意可得BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
又∵BE=DE，
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BF=DF，CE⊥AB，
在Rt BCF中，∠ABC=60°，
△
∴BF= ，
∴AF=AB-BF=8-2=6
故答案为B.
【分析】理解题中的作图方式是解题的关键：由“以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D”
可得CB=CD；由“再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作
射线CE交AB于点F”可得BE=DE，则可得CE是线段BD的垂直平分线，则有AF=AB-BF=AB-
.7．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，相交于两点
M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=35°，
∵CD=BC，
∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，
∴∠C=40°，
故选A．
【分析】首先根据作图过程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂线的性质得到∠A=∠ABD，然后利
用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得∠C的度数．
二、填空题：
8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】105°
【知识点】三角形的外角性质；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，
故答案为：105°．
【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质
解题即可．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于 AC
的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是
．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7，
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，
故答案为：10．
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分AC，从而利用线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再结
合平行四边形对边线段即可解答。10．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为 °．
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
【答案】105
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：直线MN如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=∠A=50°，
∵∠CDA=∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB=∠DBC=25°，∠DCA=180°﹣∠CDA﹣∠A=80°，
∴∠ACB=∠CDB+∠ACD=25°+80°=105°．
故答案为105．【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD即
可．
11．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为
半径画弧交于M△，N两点，连结MN分别交 AB，AC于点E，D，若 AD=8，则AB的长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：BD=AD=8，
∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∴BC=BDsin∠BDC=4 ，
∴AB=2BC= .
故答案为： .
【分析】由作图可知MN为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质求出BD长和∠BDC=60°，然后
利用三角函数求出BC，再利用含30°角的直角三角形的性质求AB长即可.
12．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，
两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度
数为 ．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线
段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD．
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°．
∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°．
故答案为：105°
【分析】由基本作图可知直线MN垂直平分线段BC，再根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，结
合等腰三角形等边对等角，利用三角形外角性质和内角和即可解答。
13．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，
N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案为17．
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据
△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长．
三、解答题：
14．已知点M在直线l上，A、B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图：
①过点M作直线l的垂线；②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A、B两点的距离相等．
（注意：要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹并给出结论）
【答案】解：如图所示【知识点】作图-垂线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）以M为圆心，任意长为半径画弧，再以两弧与直线交点分别画弧，作出垂线
即可；（2）再作出AB的垂直平分线，两线交点即是P点
【分析】此题考查了尺规作图，通过圆的一些性质和线段垂直平分线性质进行作图。
15．已知∠AOB，点M、N，在∠AOB的内部求作一点P．使点P到∠AOB的两边距离相等，且
PM=PN（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：如图所示：P点即为所求．【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】使P到点M、N的距离相等，即画MN的垂直平分线，且到∠AOB的两边的距离相
等，即画它的角平分线，两线的交点就是点P的位置．
16．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=33°，则∠CAD= °．
【答案】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）24
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）∵AD=BD，∠B=33°，∴∠BAD=∠B=33°．∵∠C=90°，∴∠CAB=90°﹣
33°=57°，∴∠CAD=∠CAB﹣∠BAD=57°﹣33°=24°．故答案为：24．
【分析】（1）点D在线段AB的垂直平分线上，故作线段AB的垂直平分线，其与BC的交点即为
D；（2）根据等边对等角可知∠BAD，又在直角三角形中求得∠CAB，即可求得∠CAD.
17．作图题：要求保留作图痕迹，不写作法（1）作线段AC的垂直平分线，分别交AC、BC于E、F.在直线EF上找一点P，使得点P到射线
AB，AC的距离相等.
（2）若AB＝6，BC＝8，连接AF，求△ABF的周长.
【答案】（1）解：作图如下，根据作 的角平分线与 的交点为点P，
（2）解：连接 ，如下图：
根据垂直平分线的性质得：
，
，
，
.【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点P应该是∠BAC的角平分线
与EF的垂直平分线的交点，据此即可做出图形；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，则BC=BF+AF=8，据此不难求出△ABF的周长.
能力提升篇
一、单选题：
1．下面三个基本作图的作图痕迹．关于三条弧①，②，③，有以下三种说法，
⑴弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑵弧②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧；
⑶弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）弧①是以点O为圆心，以任意长为半径所作的弧，符合题意．
（2）②是以点A为圆心，以任意长为半径所作的弧，不符合题意，应该是②是以点A为圆心，大于
AB长为半径所作的弧．
（3）弧③是以点O为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧，不符合题意，应该是弧③是以点E为圆心，以大于 DE的长为半径所作的弧，
故答案为：C．
【分析】根据所作的图判断求解即可。
2．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心， 以大于 的长为
半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 ，连接 ．若
， ，则 的长为
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：利用作图可知，DM垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵DC=AC-AD
∴BD=CD=6-2=4.
故答案为：C.
【分析】利用作图可知，DM垂直平分BC，利用垂直平分线的性质，可证得BD=CD；然后根据
DC=AC-AD，代入计算可求出BD的长.
3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（ ）A．68° B．56° C．28° D．34°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，取E、F点，
∵BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB=68°，
由作图可知，AF平分∠CAD，EF是AC的垂直平分线，
∴∠EAF= ∠DAC=34°，∠AEF=90°，
∴∠α=180°-∠AEF-∠EAF=180°-90°-34°=56°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠DAC的度数，然后由作图过程可知AF平分∠CAD，EF是AC的垂直
平分线，从而得出∠EAF和∠AEF的度数，最后利用三角形内角和定理即可求得结果.
二、填空题：
4．如图，在Rt ABC中，∠B=90°，按如下步骤作图：
△①分别以点B、C为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AC于点D，
③连接BD，
若AC=8，则BD的长为
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是线段BC的垂直平分线，
则AB∥MN，
∵MN垂直平分线BC，
∴D是AC的中点，
∴BD是直角三角形ABC斜边上的中线，
故BD= AC=4．
故答案为：4．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质以及其作法得出MN是线段BC的垂直平分线，进而得出D
为AC中点，即可得出答案．
5．如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，
两弧相交于点M和N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣55°﹣30°=95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=95°﹣30°=65°．
故答案为：65°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，
进而可得出结论．
6．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为
半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 ，连接 .若
， ，则 的长为 .
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴CD=AC-AD=6-2=4，
由作图知MN是BC垂直平分线，
∴BD=CD=4.故答案为：4.
【分析】利用CD=AC-AD先求出CD的长，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，从而求出结论.
7．如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以 为圆心，
为半径画弧①；步骤2：以 为圆心， 为半径画弧②；步骤3：连接 ，交 延长线
于点 ；下列结论：① 垂直平分线段 ；② 平分 ；③ ；
④ .其中一定正确的有 （只填序号）
【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】连接CD，BD
由作图可知：CA=CD，BA=BD，
∴直线BC垂直平分线段AD，
∴AH=DH，
∴S = •BC•AH，
ABC
△
故①③④正确，
故答案为：①③④.【分析】连接CD，BD,根据作图可得直线BC垂直平分线段AD，可得AH=DH，利用三角形的面积公
式可得S = •BC•AH，据此判断即可.
ABC
△
三、解答题：
8．如图：△ABC中，AC＞AB．
（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．(尺
规作图，保留作图痕迹，不需要写作法)
（2）在(1)的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．
【答案】（1）解：作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接
AP，AQ .
（2）解：∵AB边的垂直平分线交BC于点P，AC边的垂直平分线交BC于点Q，
∴AP=BP，AQ=CQ；
∵△APQ的周长为AP+PQ+QA=BP+PQ+CQ=BC=14.
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图分别作出线段AB和线段AC的垂直平分线，连接AP，AQ即可。
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AP=BP，AQ=CQ，再证明△APQ
的周长为AP+PQ+QA=BC，代入即可求解。
9．如图，在 中， 平分 ．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），作 的垂真平分线 ，与 相交于点
，与 相交于点 ；
（2）在（1）条件下，连接 ， ， 和 有何数量关系？并证明你的结
论．
【答案】（1）线段BC的中垂线EG如图所示；
（2）结论：∠BAC+∠BGC=180°．
理由：在AB上截取AD=AC，连接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵
∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG=∠ACG，DG=CG，
∵G在BC的垂直平分线上，
∴BG=CG，∴BG=DG，
∴∠ABG=∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG=180°，
∴∠ABG+∠ACG=180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC=360°，
∴∠BAC+∠BGC=180°．
【知识点】多边形内角与外角；三角形全等的判定（SAS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段BC的垂直平分线即可；（2）在AB上截取AD=AC，连接DG．首先证
明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG=180°，利用四边形内角和定理即可解决问题．
