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一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；
②角是轴对称图形；
③线段不是轴对称图形；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
A．①②③④ B．①②③
C．②④ D．②③④
2．如图，已知 是 的角平分线， 是 的垂直平分线， ， ，则 的长为（
）
A．6 B．5 C．4 D．
3．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，在 ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN
△
分别交BC，AC于点D，E，若AE=3cm， ABD的周长为13cm，则 ABC的周长为（ ）
△ △
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
5．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（ ）A．50° B．40° C．30° D．25°
6．如图在 ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则 AEF的周长为( )
△ △
A．2 B．4 C．8 D．不能确定
7．如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是
A．PQ为直线l的垂线B． C． D．
8．到三角形三个顶点距离相等的是（ ）
A．两边垂直平分线的交点
B．两角平分线的交点
C．两条高的交点
D．没有这样的点
二、填空题
9．线段垂直平分线上的点______________________相等
10．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=
11．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的
周长是_____．13．已知如图，在 中， ，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则 的周长等于
______．
14．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为
______cm．
15．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作
DM⊥AB于点M，则BM＝_____．
三、解答题
16．如图： ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于
N．求证：B△M=CN．参考答案
1．C
【解析】
试题解析：①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，故①错误；
②角是轴对称图形，故②正确；
③线段是轴对称图形，故③错误；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故④正确.
正确的是②④.
故选C.
2．D
【解析】
【分析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得
CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】
∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是 ABC的角平分线，
∴∠ABD△=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3 ，
故选D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合
图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长
=AD+BC+CD=AC+BC．【详解】
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
【详解】
解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选B．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
5．A
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据等腰三角形的性
质计算即可．
【详解】
∵∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=65°，
∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EA=EB，GA=GC，
∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，
∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC）=∠BAC-（∠B+∠C）=50°，
故选A．【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关
键．
6．C
【解析】
【分析】
直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF，
∵BC＝8，
∴ AEF的周长=BC=8
故△选：C．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的
关键．
7．C
【解析】
【分析】
直接利用线段垂直平分线的性质以及其基本作图，进而分析得出答案．
【详解】
由作图方法可得出PQ是线段AB的垂直平分线，则PQ为直线l的垂线，故选项A正确，不合题意；
CA=CB（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故选项B正确，不合题意；
无法得出PO=QO，故选项C错误，符合题意；
可得PA=PB，PQ⊥AB，则∠APO=∠BPO，故选项D正确，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．A
【解析】
试题分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点距离相等的是两边垂直平分线的交点，故选A．
考点：线段垂直平分线的性质．
9．到线段两端点的距离
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得出即可．
【详解】
解：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
故答案为：到线段两端点的距离．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
10．6.
【解析】
【分析】
直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】
∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，
∴PB=PA=6．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质．熟记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是关键.
11．24
【解析】
【分析】
根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在 ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴△70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.【点睛】
本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
12．12cm
【解析】
试题分析：根据线段中垂线的性质可得：AE=BE，则△ACE的周长
=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=4+8=12cm．
13．8
【解析】
因为AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，所以AD=DB，AE=CE.
△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8.
故答案为8.
14．3
【解析】
试题分析：根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴NB=NA，
△BCN的周长=BC+CN+BN=7cm，
∴BC+AC=7cm，又AC=4cm，
∴BC=3cm，
故答案为3．
考点：线段垂直平分线的性质．
15．3
【解析】
【分析】
连接BD，CD，过点D作DG⊥AC，由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由 ADM≌△ADG，
Rt BDM≌Rt CDG可得AM＝AG，DM＝DG，BM＝CG，即可求BM的长△．
【△详解】 △
如图，连接BD，CD，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G，
∵OD垂直平分BC，∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAM＝∠DAG，且AD＝AD，∠AMD＝∠AGD，
∴△ADM≌△ADG（AAS）
∴AM＝AG，MD＝DG，且BD＝CD，
∴Rt BDM≌Rt CDG（HL）
∴BM△＝CG， △
∵AB＝AM+BM＝AG+BM＝AC+CG+BM＝AC+2BM
∴10＝4+2BM
∴BM＝3，
故答案为3
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是
本题的关键．
16．见解析
【解析】
【分析】
因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的
性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt BMD≌Rt CND，从而有BM=CN．
【详解】 △ △
证明：连接BD，DC，如图：
∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∴DM=DN，在Rt BMD与Rt CDN中，
△ △
∴Rt BMD≌Rt CDN（HL），
∴BM△=CN； △
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，
掌握角平分线的性质以及具体的应用．
