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12.3 角的平分线的性质
12.3 第1 课时 角的平分线的性质
一、选择题
1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
2. 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
3. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D，若CD=3cm，则点D
到AB 的距离DE 是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
4. 如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB 交BC 于D，DE⊥AB 于E，且
AB＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）
A. 4㎝ B. 6㎝ C. 10㎝ D. 不能确定
2
1
D
A
P
O
E
B
第2 题图 第3 题图 第4 题图
5.如图，OP 平分
，
，
，垂足分别为A，B．下列结论中不一
定成立的是（ ）
A.
B.
平分
C.
D.
垂直平分
[来源:学,科,网]
6.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 交AC 于点F．
S△ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）
A．4
B．3
C．6
D．5[来源:学科网]
D
C
A
E
B
F
E
O
D
C
A
B
第5 题图 第6 题图 第7 题图
7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积
分别为50 和39，则△EDF 的面积为（ ）
A、11
B、5.5 C、7
D、3.5
8.已知：如图，△ABC 中，∠C＝90o，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，
OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F 分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，
则点O 到三边AB、AC 和BC 的距离分别等于（ ）
（A）2cm、2cm、2cm． （B）3cm、3cm、3cm．[来源:学+科+网]
（C）4cm、4cm、4cm． （D）2cm、3cm、5cm．
二、填空题
9．如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC⊥OA 于点C，PD⊥OB 于点D，写出图
中一对相等的线段（只需写出一对即可）
.
10．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D 到BC 的距离
为________cm．
11 .如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则
PQ 的最小值为
．
第9 题图 第10 题图 第11 题图
12.如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，AD=3，BC=10，
则△BDC 的面积是
．
第12 题图 第13 题图 第15 题图
13.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，且BD：
CD=3：2，则点D 到线段AB 的距离为
．
14.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=
．
15.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，
则EF 与AD 的关系是
．
[来源:学科网]
16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是
△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为
10，则△ABC 的面积为
．
17.如图，AD∥BC，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P，作
PE⊥AB 于点E．若PE=2，则两平行线AD 与BC 间的距离为
．[来源:学科网ZXXK]
第16 题图 第17 题图 第18 题图
18. 如图，△ABC 的三边AB、BC、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点
O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO =
．
三、解答题
19．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
[来源:学科网ZXXK]
20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC
的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E、F，
试猜想PE、PF 的大小关系，并说明理由．
A
F
C
D
E
B
21.如图，AB∥CD，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于E，F
两点，再分别以E，F 为圆心，大于EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作
射线AP，交CD 于点M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
22. 如图，已知△ABC 中，AB=AC，BE 平分∠ABC 交AC 于E，若∠A=90°，那么BC、B
A、AE 三者之间有何关系？并加以证明．
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
23. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点E，
EF⊥AB 于F，EG⊥AG 交AC 的延长线于G．求证：BF=CG．[
12.3 角的平分线的性质
第1 课时 角的平分线的性质
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.A
二、填空题
9. PC=PD（答案不唯一） 10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 10
15. AD 垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6
三、解答题
19．证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB 与Rt△DFC 中，BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C．
20. 解：PE=PF，
理由是：过点P 作PM OA
⊥
，PN OB
⊥
，垂足是M，N，[来源:Zxxk.Com]
则∠PME= PNF=90°
∠
，
OP
∵
平分∠AOB，
PM=PN
∴
，
A
∵∠
OB= PME= PNF=90°
∠
∠
，
MPN=90°
∴∠
，
EPF=90°
∵∠
，
MPE= FPN
∴∠
∠
，
在△PEM 和△PFN 中
PEM
PFN
∴△
△
≌
，
PE=PF
∴
．
21.（1）解：∵AB CD
∥
，
ACD+ CAB=18
∴∠
∠
0°，
又∵∠ACD=114°，
CAB=66°
∴∠
，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB=
CAB=33°
∠
（2）证明：∵AM 平分∠CAB，
CAM= MAB
∴∠
∠
，
AB CD
∵
∥
，
MAB= CMA
∴∠
∠
，
CAM= CMA
∴∠
∠
，
又∵CN AM
⊥
，
ANC= MNC
∴∠
∠
，
在△ACN 和△MCN 中，
∵
，
ACN
MCN
∴△
△
≌
．
22 . 解：BC、BA、AE 三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：
过E 作ED BC
⊥
交BC 于点D，
BE
∵
平分∠ABC，BA CA
⊥
，
AE=DE
∴
，∠EDC=
A= BDE=90°
∠
∠
，
∵在Rt
BAE
△
和Rt
BDE
△
中
，
Rt
BAE Rt
BDE
∴
△
△
≌
（HL），
BA=BD
∴
，
AB=AC
∵
，∠A=90°
C=45°
∴∠
，
CED=45°= C
∴∠
∠，
DE=CD
∴
，
AE=DE
∵
，
AE=CD=DE
∴
，
BC=BD+DC=BA+AE
∴
．
23. 证明：连接BE、EC，
ED
BC
∵
⊥
，
D 为BC 中点，
BE=EC
∴
，
EF
AB EG
AG
∵
⊥
⊥
，
且AE 平分∠FAG，
FE=EG
∴
，
在Rt
BFE
△
和Rt
CGE
△
中
，
Rt
BFE Rt
CGE
∴
△
△
≌
（HL），
BF=CG
∴
