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12.3 第2 课时 角的平分线的判定
一、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD 与BC 相交于点P，若PA=PB，则∠1
与∠2 的大小是（ ）
A．∠1=∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．无法确定
第2 题图 第3 题图 第4 题图
[来源:学科网]
3. 如图，在Rt△ABC 的斜边BC 上截取CD=CA，过点D 作DE⊥BC，交AB 于E，则下列
结论一定正确的是（ ）
A．AE=BE
B．DB=DE
C．AE=BD
D．∠BCE=∠ACE
4. 如图，△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；
∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A．110°[来源:学&科&网]
B．120°
C．130°
D．140°
5．如图，,△ABC 的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ）
①PA=PC ②BP 平分∠ABC ③P 到AB，BC 的距离相等 ④BP 平分∠APC．
[来源:Z。xx。k.Com]
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
第5 题图 第6 题图 第7 题图
6．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求
M
F
E
D
C
B
A
它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1 处 B、2 处 C、3 处 D、4 处
7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，M 为AD 上任意一点，
则下列结论错误的是（ ）
（A）DE＝DF． （B）ME＝MF． （C）AE＝AF． （D）BD＝DC．
8. 如图，△ABC，AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、
F，有下列四个结论：
①DA平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD 上的点到B、C 两点的距离相等；
④到AE，AF 距离相等的点到DE、DF 的距离也相等．
其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第8 题图 第10 题图 第11 题图
二、填空题
9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的
．
10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于C，QD⊥OB 于D，若QC=QD，则∠AOQ=
°．
11.如图，AB∥CD，点P 到AB、BC、CD 距离都相等，则∠P= °．
12.如图，已知PA⊥ON 于A，PB⊥OM 于B，且PA=PB，∠MON=50°，
∠OPC=30°，则∠PCA=
°．
第12 题图 第13 题图
13.如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 相交于
点P，若点P 到AC 的距离为4，则点P 到AB 的距离为
.
14.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB 于D，且EC=ED，
∠EBC= °
15.如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，
∠ADB=∠C．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为
第14 题图 第15 题图 第16 题图
16.如图，点M 在∠ABC 内，ME⊥AB 于E 点，MF⊥BC 于F 点，且ME=MF，
∠ABC=70°，则∠BME=
°．
三、解答题
17. 如图，
表示两条相交的公路，现要在
的内部建一个物流中心．
设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处
点的距离
为1 000 米．
（1）若要以
的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处
点的
图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置
．
18． 如图，P 是∠BAC 内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：
（1）PE=PF；
（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．
[来源:学科网]
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
19. PB，PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于P．
求证：P 在∠A 的平分线上（如图）．
20．已知：如图，
，
是
的中点，
平分
．
（1）若连接
，则
是否平分
？请你证明你的结论．[来源:学科网]
（2）线段
与
有怎样的位置关系？请说明理由．
21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA、OB 之间，移动角尺
使角尺两边相同的刻度与M、N 重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP 就是
∠AOB 的平分线．
（Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA、OB 上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P 介
于射线OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N 重合，即PM=PN，过角
尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线．
2
1
3
4
D
C
M
B
A
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案
是否可行？请说明理由．
[来源:学&科&网第2 课时 角的平分线的判定
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.D
二、填空题
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16.
55
三、解答题
17.解:（1）1 000 米=100 000 厘米，
100 000÷50 000=2（厘米）；
(2)
18. 证明：（1）如图，连接AP 并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP 和Rt△AEP 中
2
1
3
4
Ｄ
Ｃ
Ｍ
Ｂ
Ａ
Ｅ
[来源:学科网ZXXK]
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP 是∠BAC 的角平分线，
故点P 在∠BAC 的角平分线上．
19.证明：过P 点作PE，PH，PG 分别垂直AB，BC，AC．
∵PB，PC 分别是△ABC 的外角平分线，
∴PE=PH，PH=PG，
∴PE=PG．
∴P 点在∠A 的平分线上．
20．（1）
平分
．
证明：过点
作
，垂足为
．
，
，
，[来源:学科网ZXXK]
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
又
，
．
，
，
平分
（到角的两边距离相等的点在这个角
的平分线上）．
（2）
，理由如下：
，
（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）
又
，
（角平分线定义）
，
，
．即
．
21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN 不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP 就是∠AOB 的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM 和△OPN 中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP 就是∠AOB 的平分线．
（2）当∠AOB 是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP 为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB 不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB 必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB 的点P
的位置．
