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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各组数据是勾股数的是
A．5，12，13
B．6，9，12
C．12，15，18
D．12，35，36
【答案】A
2．下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是
A．a=4，b=5，c=6
B．a=1.5，b=2，c=2.5
C．a=2，b=3，c=4
D．a=1，b=
，c=3
【答案】B
【解析】A、42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、1.52+22=2.52，能组成直角三角形，故此选项正确；
C、22+32=42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、12+（
）
2≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误．故选B．
3．下列说法中错误的是
A．若∠C=∠A–∠B，则△ABC 为直角三角形
B．若a∶b∶c=2∶2∶2
，则△ABC 为直角三角形
C．若a=
c，b=
c，则△ABC 为直角三角形
D．若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC 为直角三角形
【答案】D
【解析】A、若∠C=∠A-∠B，则2∠A=180°，所以∠A=90°，则△ABC 为直角三角形，该说法正确；
B、若a∶b∶c=2∶2∶2
，由勾股定理的逆定理可得：a2+b2=c2，则△ABC 为直角三角形，该说法正确；
C、若a=
c，b=
c，由勾股定理的逆定理可得：a2+b2=c2，则△ABC 为直角三角形，该说法正确；
D、若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则三角形中最大角为75°≠90°，则△ABC 不为直角三角形，该说法错误．
故选D．
4．学校的书香苑呈三角形形状，三边分别是9，12，15，那么书香苑的面积是
A．135
B．180
C．108
D．54
【答案】D
5．如图所示的一块地，∠ADC=90°，
，
，
，
，求这块地的面积
为
A．54 m2
B．108 m2
C．216 m2
D．270 m2
【答案】C
【解析】连接AC，
根据勾股定理，由直角△ACD 可以求得斜边AC=15 m，根据AC，BC，AB 的长，求它们的平方，根据勾股
定理的逆定理可以判定△ABC 为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC 与△ACD 的面积之差
S=S△ABC-S△ACD=
AC·BC-
CD·AD=
×15×36-
×9×12=270-54=216 m 2．故选C．
6．如图，△ABC 中，AC=3，BC=5，AD⊥BC 交BC 于点D，AD=
，延长BC 至E 使得CE=BC，将△ABC 沿AC
翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF 的长为
A．6
B．8
C．
D．
【答案】A
7．若一个三角形三边a，b，c 满足（a+b）
2=c2+2ab，则这个三角形是
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
【答案】D
【解析】化简（a+b）
2=c2+2ab，得a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形，故选D．
8．如图，将△ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C 恰好在网格图中的格
点上，那么△ABC 中BC 的高是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由勾股定理得：
，
，
，
，即
，∴△ABC 是直角三角形，设BC 边上的高为h，
则
，∴
．故选A．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．若|a-7|+
+（c-25）
2=0，则以a、b、c 为三边的三角形的形状是__________．
【答案】直角三角形
10．（1）如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，
那么另一个叫做它的__________．
（2）如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这两个定理互为__________．
（3）一个命题__________有逆命题，一个定理__________有逆定理．（填“一定”或“不一定”）
【答案】（1）逆命题；（2）逆定理；（3）一定；不一定
【解析】根据勾股定理的逆定理可得答案为：（1）逆命题；（2）逆定理；（3）一定；不一定．
11．如图，小明散步从A 到B 走了41 米，从B 到C 走了40 米，从C 到A 走了9 米，则∠A+∠B=________．
【答案】90°
【解析】∵AC2+BC2=92+402=1681，而AB2=412=1681，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．故
答案为：90°．
12．如图是单位长度为1 的网格图，A、B、C、D 是4 个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3
条，能够组成__________个直角三角形．
【答案】2
【解析】根据小正方形的边长可分别求
，
，
，
，
，
，根据勾股定理的逆定理，由
知△ADB 是直角三角形，由
知△ABC 是直角三角形，共2 个．故
答案为：2．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD2=AD·BD．求证：△ABC 是直角三角形．
14．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3 cm，BC=12 cm，CD=13 cm，AD=4
cm，东东由此认为这个四边形中∠A 恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说
明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A 是直角？
【解析】东东的判断不正确，可添加DB⊥BC 或DB=5 cm．理由如下：
∵四边形具有不稳定性，
∴∠A 可以是锐角，可以是直角，也可以是钝角，
∴东东的判断不正确；
如果添加DB⊥BC 或DB=5 cm，那么∠A 恰好是直角．
当BD⊥BC 时，∵BC=12 cm，CD=13 cm，
∴
，
在△ABD 中，AB=4 cm，AD=3 cm，BD=5 cm，
∴
，即
，
∴△ABD 是直角三角形，且
，
当DB=5 cm 时，在△ABD 中，AB=4 cm，AD=3 cm，BD=5 cm，
∴
，即
，
∴△ABD 是直角三角形，且
．
15．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是
米/秒，4
分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是
米/秒，如果她
和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200 米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，
那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
16．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30 海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40 海
里/时的速度向另一方向航行，2 小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C，B 两岛相距100 海里，则乙
船航行的方向是南偏东多少度？
【解析】由题意可知，在△ABC 中，AC=30×2=60，AB=40×2=80，BC=100，
∴AC2=3600，AB2=6400，BC2=10000，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠CAB=90°，
又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°，
∴∠DAB=90°-∠CAE=90°-35°=55°，
∴乙船航行的方向为南偏东55°．
