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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．菱形的两条对角线的分别为60 cm 和80 cm，那么边长是
A．60 cm
B．50 cm
C．40 cm
D．80 cm
【答案】B
【解析】如图，
∵菱形的两条对角线的长是60 cm 和80 cm，∴OA=
×80=40 cm，OB=
×60=30 cm，
又∵菱形的对角线AC⊥BD，∴AB=
=50 cm，∴这个菱形的边长是50 cm．故选B．
2．已知四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是
A．AB=CD
B．AB=BC
C．AD=BC
D．AC=BD
【答案】B
3．菱形具有而矩形不具有的性质是
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角线平分且相等
【答案】C
【解析】A．菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；
B．菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；
C．菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；
D．菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．故选C．
4．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等
于
A．3.5
B．4
C．7
D．14
【答案】A
5．如图，四边形ABCD 加上以下条件中的哪个，我们可认为它是菱形
A．AC⊥BD
B．∠1=∠2，∠3=∠4
C．AO=CO，BO=DO
D．AB=BC=CD=DA
【答案】D
【解析】若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD 是菱形．故选D．
6．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD 的面积是
A．12
B．36
C．24
D．60
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC⊥BD，OA=OC=
AC=6，OB=OD=
BD，
∴OB=
=
，∴BD=2
，∴菱形ABCD 的面积=
AC×BD=
×12×2
=12
．故选A．
7．在菱形ABCD 中，AE⊥BC 于点E，AF⊥CD 于点F，且E、F 分别为BC、CD 的中点，则∠EAF 等于
A．60°
B．55°
C．45°
D．30°
【答案】A
【解析】如图，连接AC，
∵AE⊥BC 于点E，AF⊥CD 于点F，且E、F 分别为BC、CD 的中点，∴AB=AC，AD=AC．
又∵在菱形ABCD 中，AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=CD=AD=AC．∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=
∠BAC=30°，∠FAC=
∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°．
故选A．
8．如图，分别以Rt△ABC 的斜边AB，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE，F 为AB 的中点，DE，AB
相交于点G，若∠BAC=30° ，下列结论：①EF⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD=4AG；
④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是
A．②④
B．①③
C．②③④
D．①③④
【答案】D
【解析】∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC．
∵F 为AB 的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；
（含①的只有B 和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）．
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF．
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确．故选D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．如图，已知平行四边形ABCD，AC，BD 相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为
__________．（只写出符合要求的一个即可）
【答案】AB=BC
10．如图，若菱形ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是
__________．
【答案】（-5，4）
【解析】由题知A（3，0），B（-2，0），D 在y 轴上，∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，
由菱形邻边相等可得AD=AB=5，在Rt△AOD 中，由勾股定理得：OD=
=4，
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5，4）．故答案为：（-5，4）．
11．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O，DE⊥BC 于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=__________．
【答案】20°
12．如图，ABCD 是菱形，AC 是对角线，点E 是AB 的中点，过点E 作对角线AC 的垂线，垂足为点M，交AD 边
于点F，连接DM．若∠BAD=120°，AE=2，则DM=__________．
【答案】
【解析】如图，过M 作MN⊥AD 于N，
∵四边形ABCD 是菱形，∴
，
∵EF⊥AC，∴AE=AF=2，∠AFM=30°，∴AM=1，Rt△AMN 中，∠AMN=30°，∴
，
∵AD=AB=2AE=4，∴
，由勾股定理得：
．
故答案为：
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，AC 平分
DAB，作CE 垂直AC 交AB 的延长线于点E，若AB=BE，求
证：四边形ABCD 是菱形．
∴
DAC=
CAB=
ACB，
∴AD∥BC．
∵AD=BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD 是菱形．
14．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 是斜边AB 的中点，DE∥BC，且CE=CD．
（1）求证：∠B=∠DEC；
（2）求证：四边形ADCE 是菱形．
【解析】（1）在△ABC 中，∵∠ACB=90°，点D 是斜边AB 的中点，
∴CD=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠DCB=∠CDE，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∴∠B=∠CED．
（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=∠DEC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴AD∥EC，
∵EC=CD=AD，
∴四边形ADCE 是菱形．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于E，点F 在AD 上，且AF=AB，连接EF．
（1）判断四边形ABEF 的形状并证明；
（2）若AE、BF 相交于点O，且四边形ABEF 的周长为20，BF=6，求AE 的长度及四边形ABEF 的面积．
∴BE=AB，
又∵AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF 是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF 是菱形．
（2）∵四边形ABEF 为菱形，
∴AE⊥BF，BO=
FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB 中，
，
∴AE=2AO=8．
∴四边形ABEF 的面积为：
．
综上所述，AE=8，四边形ABEF 的面积是24．
16．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O，分别过点C、D 作CE∥BD，DE∥AC，CE 和DE 交于点
E．
（1）求证：四边形ODEC 是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=2
时，求EA 的长．
（2）∵Rt△AOD 中，∠ADO=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=
AD=
，
∴AO=
=3，
∴AC=6，
∵四边形ODEC 是矩形，
∴EC=OD=
，∠ACE=90°，
∴AE=
=
．
