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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．
2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC、BD 是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的
是
A．∠BAC=∠ACB
B．∠BAC=∠ACD
C．∠BAC=∠DAC
D．∠BAC=∠ABD
【答案】D
3．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC 的长是
A．2
B．4
C．2
D．4
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OC=OB=OD．∴△OAB 是等腰三角形．∵∠AOB=60°，
∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA．∵AB=2，∴OA=2．∵OA=OC，∴AC=4．故选B．
4．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是（1，2），则CE 的长是
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】∵四边形COED 是矩形，∴CE=OD，∵点D 的坐标是（1，2），∴OD=
，
∴CE=
，故选C．
5．如图，矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，AE⊥BD 于E，若∠OAE=24°，则∠BAE 的度数是
A．24°
B．33°
C．42°
D．43°
【答案】B
6．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】B
【解析】四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=4，∠D=90°，AB∥DC，∴∠FAC=∠DCA，
由折叠的性质得∠FCA=∠DCA，∴∠FCA =∠FAC ，∴AF=CF，设AF=CF =x，D′F=8-x，
在Rt△AD′F 中，根据勾股定理得AD′2+D′F2=AF2，即
，解得
，
∴
．故选B．
7．下列条件中，能判定四边形ABCD 是矩形的是
A．四边形ABCD 中，
B．四边形ABCD 中，
C．四边形ABCD 中，
，
，
D．四边形ABCD 中，
【答案】C
8．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=
，AF 平分∠DAB，过C 点作CE⊥BD 于E，延长AF、EC 交于点H，下列结
论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是
A．②③
B．③④
C．①②④
D．②③④
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，
，AO=OC，OD=OB，AC=BD，
∴AO=OB=OD，∵AB=1，AD=
，由勾股定理得BD=2，∴∠ABD=60°，∴△ABO 是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠BAO=∠AOB=60°，∵AF 平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=45°，∵∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠BFA，∴
，∴②正确；
∵CE⊥BD，∴
，∴∠ECO=30°，∵
，
∴
，∴AC=CH，∴③正确；
∵CF 和AH 不垂直，∴AF≠FH，∴①错误；
∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，∴
，BE=3DE，∴④正确，正确的有②③④，故选
D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD、CE 分别是斜边上的高和中线，AC=CE=10 cm，则
BD=__________．
【答案】15 cm
10．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O，AC=10，P、Q 分别为AO、AD 的中点，则PQ 的长度为
__________．
【答案】2.5
【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO=
BD，∴OD=
BD=5，∵点P、Q 是AO，AD 的
中点，∴PQ 是△AOD 的中位线，∴PQ=
DO=2.5．故答案为：2.5．
11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE 为折痕，若∠ABE=34°，则∠DBC 为__________度．
【答案】56
【解析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°，
又∵∠ABE=34°，∴∠DBC=56°．故答案为：56．
12．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE，把△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点B′
处．当△CEB′为直角三角形时，CB/的长为__________．
【答案】2 或
【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图所示，
连接AC，在Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C 共线，即∠B 沿AE
折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2；
②当点B′落在AD 边上时，如图所示，
此时ABEB′为正方形，∴B'E=AB=3，∴CE=4-3=1，∴Rt△B'CE 中，CB'=
=
．综上所述，B'C
的长为2 或
．故答案为：2 或
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．如图，四边形ABCD 为矩形，PB=PC，求证：PA=PD．
14．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD 交于点O，DE 平分∠ADC 交BC
于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC 的面积．
【解析】（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD 是矩形．
（2）如图，作OF⊥BC 于F．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，
∴OF=
CD=1，
∵DE 平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
在Rt△EDC 中，EC=CD=2，
∴△OEC 的面积=
EC·OF=1．
15．如图，
ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O．E，F 是AC 上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接BE，DF．判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．
（2）结论：四边形EBFD 是矩形．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵BD=EF，
∴四边形EBFD 是矩形．
16．如图，已知
ABCD，延长AB 到E 使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（1）求证：四边形BECD 是矩形；
（2）连接AC，若AD=4，CD=2，求AC 的长．
（2）如图，连接AC，
∵AD=4，CD=2，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BECD 是矩形，
∴AB=BE=CD=2，BC=AD=4，∠AEC=90°，
∴AE=AB+BE=4，
在Rt△BCE 中，CE=
，
∴在Rt△ACE 中，AC=
．
