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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个直角三角形有两条边长分别为6 和8，则它的第三条边长可能是
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
2．Rt△ABC 中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为
A．8
B．4
C．6
D．无法计算
【答案】A
【解析】利用勾股定理，由Rt△ABC 中，BC 为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得
AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．
3．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=4，AB=3，BC=12，则CD 为
A．5
B．13
C．17
D．18
【答案】B
【解析】∵∠BAD=90°，∴△ADB 是直角三角形，∴BD=
=
=5，∵∠DBC=90°，
∴△DBC 是直角三角形，∴CD=
=
=13，故选B．
4．如图的三角形纸片中，AB=8，BC=6，AC=5，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E
处，折痕为BD，则△AED 的周长是
A．7
B．8
C．11
D．14
【答案】A
5．如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为2 和10，则b 的面积为
A．8
B．
C．
D．12
【答案】D
【解析】如图，
∵a、b、c 都为正方形，∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=2，DF2=10，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，在△ABC 和△DFB 中，
，∴△ABC≌△DFB，∴AB=DF，在△ABC 中，
BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=2+10=12，∴b 的面积为12．故选D．
6．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8 m，树的顶端离树根6 m，则这棵树在折断之前的高度是
A．18 m
B．10 m
C．14 m
D．24 m
【答案】A
【解析】∵BC=8 m，AC=6 m，∠C=90º，∴AB=
m，∴树高10+8=18 m．
故选A．
7．如图，盒内长、宽、高分别是6 cm、3 cm、2 cm，盒内可放木棒最长的长度是
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
【答案】B
8．如图，△ABC 的顶点A，B，C 在边长为1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD 的长为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】S△ABC=
×BC×AE=
×BD×AC，∵AE=4，AC=
=5，BC=4，即
×4×4=
×5×BD，解得BD=
．故选C．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．已知在△ABC 中，AB=9，AC=10，BC=17，那么边AB 上的高等于__________．
【答案】8
【解析】如图，作CD⊥AB 交AB 的延长线于D 点，
设CD=x，AD=y，在直角△ADC 中，AC2=x2+y2，在直角△BDC 中，BC2=x2+（y+AB）
2，解方程得y=6，x=8，即
CD=8，∵CD 即AB 边上的高，∴AB 边上的高等于8．故答案为：8．
10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，现分别以A、B 为圆心，大于
AB 长为半径作弧，两弧相交于
点M、N，作直线MN，分别交AB、BC 于点D、E，则CE 的长为__________．
【答案】
11．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N 在边BC 上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，则MN 的
长为__________．
【答案】2
【解析】∵∠BAC=120°，AB=AC，∴△ABM 绕点A 逆时针旋转120°至△APC，如图，连接PN，
∴△ABM≌△ACP，∴∠B=∠ACP=30°，PC=BM=2，∠BAM=∠CAP，∴∠NCP=60°，∴∠CPD=30°．
∵∠MAN=60° ，∴∠BAM+∠NAC=∠NAC+∠CAP=60°=∠MAN ，∵AM=AP ，AN=AN ，
∴△MAN≌△PAN，
∴MN=PN，过点P 作BC 的垂线，垂足为D，∴CD=
PC=1，DN=CN-CD=4-1=3，∴PD=
，
∴PN=
=
=2
，∴MN=PN=2
．故答案为：2
．
12．如图，△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=6，点D 是AC 边的中点，点P 是BC 边上一点，若△BDP 为等腰三
角形，则线段BP 的长度等于__________．
【答案】
或
在△BDC 中，设BH=x，由勾股定理得：
，解得：
．
在△BDH 中，
，
在△PDH 中，设PH=y，则BP=PD=
，由勾股定理得
，解得：
．
③当BP 为底时，则BD=PD=
，而当P 点与C 点重合时，PD=3，且点P 是BC 边上一点，不是延上长
线上的，所以不存在．故答案为：
或
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．已知：四边形ABCD 中，BD、AC 相交于O，且BD 垂直AC，求证：
．
14．如图，在高为3 米，斜坡长为5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2 米，地
毯每平方米30 元，那么这块地毯需花多少元？
【解析】在
中，
米，
故可得地毯长度=AC+BC=7 米，
∵楼梯宽2 米，
∴地毯的面积=14 平方米，
故这块地毯需花14×30=420 元．
答：地毯的长度需要7 米，需要花费420 元．
15．如图，在一棵树（AD）的10 m 高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m 的池塘C 处，而另一只
则爬到树顶D 后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？
16．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320 km 的B 处，以每小时40 km 的速度向北偏东60°的
BF 方向移动，距离台风中心200 km 的范围内是受台风影响的区域．
（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？
【解析】（1）如图，由A 点向BF 作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC 中，∠ABC=30°，AB=320 km，则AC=160 km，
因为160<200，所以A 城要受台风影响．
