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专题5.1 导数的概念及其意义
知识储备
1．导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x
0
＝x 处的导数，记作f′(x)或y′ 即f′x＝ .
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称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
2．导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，f(x))处的切线的斜率．相应
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地，切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′ ( x )( x － x ) ．
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能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两厂污水的排放量W与时间 的关系如图所示，则治污效果
较好的是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定
【答案】B
【解析】在 处，虽然有 ，但 ，
所以在相同时间 内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．故选：B.
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 和 在区间 上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 在a到b之间的平均变化率大于 在a到b之间的平均变化率
B． 在a到b之间的平均变化率小于 在a到b之间的平均变化率
C．对于任意 ，函数 在 处的瞬时变化率总大于函数 在 处的瞬时
变化率
D．存在 ，使得函数 在 处的瞬时变化率小于函数 在 处的瞬时变
化率
【答案】D
【解析】∵ 在a到b之间的平均变化率是 ，
在a到b之间的平均变化率是 ，
又 ， ，
∴ ，
∴A、B错误；
易知函数 在 处的瞬时变化率是函数 在 处的导数，
即函数 在该点处的切线的斜率，
同理可得：函数 在 处的瞬时变化率是函数 在该点处的导数，即函数 在该点处的切线的斜率，由题中图象可知：
时，函数 在 处切线的斜率有可能大于 在 处切线的斜率，也有可
能小于 在 处切线的斜率，故C错误，D正确．故选：D．
3．（2020·全国高二课时练习）函数 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示， 是函数 的图象在 （即点A）处切线的斜率 ， 是函数
的图象在 （即点B）处切线的斜率 ， 是割线 的
斜率．由图象知, ，即 ．故选:B．
4．（2020·全国高二课时练习）函数 在 处的导数 的几何意义是（ ）
A．在点 处与 的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点 的切线的斜率
C．点 与点 的连线的斜率
D．函数 的图象在点 处的切线的斜率
【答案】D
【解析】 的几何意义是函数 的图象在点 处的切线的斜率．故选：D.
5．（2020·全国高二课时练习）某物体的运动方程为 （位移单位：m，时间单位：s），若
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 是物体从开始到 这段时间内的平均速度
B． 是物体从 到 这段时间内的速度
C． 是物体在 这一时刻的瞬时速度D． 是物体从 到 这段时间内的平均速度
【答案】C
【解析】 是物体在 这一时刻的瞬时速度.故选：C.
6．（2020·全国高二课时练习）一质点的运动方程是 ，则在时间 内相应的平均
速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 .故选：D．
7．（2020·全国高二课时练习）已知某质点的运动方程为 ，其中s的单位是m，t的单位
是s，则该质点在 末的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以该质点在 末的瞬时速度为 .故选：C.
8．（2020·全国高二课时练习）某质点的运动规律为 ，则在时间 内，质点的位
移增量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】位移增量 .故选：A.二、多选题
9．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数 的定义域为R，其导函数 的图象如图
所示，则对于任意 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题中图象可知，导函数 的图象在x轴下方，即 ，且其绝对值越来越小，
因此过函数 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，
由此可得 的大致图象 如图所示．
A选项表示 与 异号，即 图象的割线斜率 为负，故A正确；B选项表示 与 同号，即 图象的割线斜率 为正，故B
不正确； 表示 对应的函数值，即图中点B的纵坐标， 表示当
和 时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有
，故C不正确，D正确．故选:AD．
10．（2020·全国高二课时练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则函数 在 处无切线
B．函数 的切线与函数的图象可以有两个公共点
C．曲线 在 处的切线方程为 ，则当 时，
D．若函数 的导数 ，且 ，则 的图象在 处的切线方程为
【答案】BD
【解析】若 ，则函数 在 处的切线斜率为0，故选项 错误；
函数 的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数 ，在 处的切
线为 ，与函数的图象还有一个公共点 ，故选项 正确；
因为曲线 在 处的切线方程为 ，所以又 ，故选项 错误；
因为函数 的导数 ，所以 ，又 ，所以切点坐标为
，斜率为 ，所以切线方程为 ，化简得 ，故选项 正确．故选：
BD．
11．（2020·无锡市第一中学高三月考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加
强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，
用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、
乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为（ ）
A．在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
B．在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
C．在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
D．甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
【答案】ABC
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反
数最大，即在 的污水治理能力最强．D错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力
比乙企业强；B正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C正确；
故选：ABC.
12．（2020·长沙市·湖南师大附中高二期末）若直线 与曲线 满足下列两个条件：①直线 在点
处与曲线 相切；②曲线 在点 附近位于直线 的两侧，则称直线 在点 处“切过”
曲线 .则下列结论正确的是（ ）
A．直线 在点 处“切过”曲线
B．直线 在点 处“切过”曲线
C．直线 在点 处“切过”曲线
D．直线 在点 处“切过”曲线
【答案】ACD
【解析】A项,因为 ,当 时, ,
所以 是曲线 在点 处的切线.
当 时, ；当 时, ,
所以曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确；B项, ,当 时, ,在 处的切线为 .
令 ,则 ,
当 时, ；当 时, ,
所以 .故 ,
即当 时,曲线 全部位于直线 的下侧（除切点外）,结论错误；
C项, ,当 时, ,在 处的切线为 ,
由正弦函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确；
D项, ,当 时, ,在 处的切线为 ,
由正切函数图像可知,曲线 在点 附近位于直线 的两侧,结论正确.故选：ACD.
三、填空题
13．（2020·全国高二课时练习）设函数 为可导函数，且满足 ，
则曲线 在点 处切线的倾斜角为_________．
【答案】120°
【解析】∵
，
∴ ，即 ．
曲线在点 处切线的斜率 ，
所以倾斜角为120°．故答案为：120°.
14．（2020·北京高三期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管
中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度 与时间 的关系为 ，甲、乙两人
服用该药物后，血管中药物浓度随时间 变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在 , 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】①在 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②
甲、乙两人在 时刻的切线的斜率不相等，即两人的 不相同，所以甲、乙两人血管中药物
浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是 ，故③正确；④在 时间段，甲的平均变化率是 ，在 时
间段，甲的平均变化率是 ，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④
15．（2020·全国高三月考）若曲线 在点 处的切线也是曲
线 的切线，则 ______.
【答案】
【解析】由已知得 ，所以 ， ，所以切线方程为
.由 得 ，令 ，解得
.代入切线 ，求得切点为 ， .
将切点坐标代入曲线 ，求得 .故答案为：
四、双空题
16．（2020·全国高二课时练习）过曲线 上两点 和 作曲线的割线，
当 时，割线的斜率为________；当 时，割线的斜率为________.
【答案】2.1 2.001
【解析】∵ ，∴ ，∴割线斜率为 ，当 时，割线 的斜率为 .
当 时，割线 的斜率为 .故答案为：2.1；2.001．
