专题22导数的概念及其意义、导数的运算（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_06.专项练习_专题22导数的概念及其意义、导数的运算-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题22 导数的概念及其意义、导数的运算 一、单选题 f(13x) f(1) lim 1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知 f(1)1，x0 x 等于（ ） 1 A．1 B．-1 C．3 D．3 【答案】C 【解析】 f(1)1 因为 ， f(13x) f(1) f(13x) f(1) lim 3lim 3f(1)3 所以x0 x x0 3x . 故选C f(x) x1 2．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数 在 处存在导数为2，则 f(1x) f(1) lim  x0 3x （ ）. 2 1 1 A．3 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】 根据导数定义， f(1x) f(1) lim x0 3x 1 f(1x) f(1)  lim 3x0 x 1 2  2 3 3所以选A f xexlnx x1 3．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数 在 处的切线方程是( ) y ex1 y ex1 y 2ex1 y  xe A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ex  求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx x ∴f′（1）＝e， ∵f（1）＝0，∴切点（1，0）． ∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1）， 即y＝e（x﹣1） 故选：A． y  xex1 4．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））曲线 在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）. 2e e A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】 y  xex1 由 ，得 ，故 ，故切线的斜率为 ，故选C. f x h f x 3h lim 0 0 5．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））若f′(x 0 )＝－3，则 h0 h 等于( ) A．－3 B．－6 C．－9 D．－12 【答案】D 【解析】 分析：f x x f x  f x h f x 3h lim 0 0 lim 0 0 由于f′(x 0 )＝ x0 x ＝－3，而 h0 h 的形态与导数的定义形态不 f x h f x 3h f x h f x  f x  f x 3h lim 0 0 lim 0 0 0 0 一样，故需要对 h0 h 转化成 h0 h f x h f x  f x  f x 3h lim 0 0 0 0 利用 h0 h ＝ f x h f x  f x 3h f x  lim 0 0 3lim 0 0 h0 h h0 3h 即可求解. 详解： f x x f x  f x h f x 3h lim 0 0 lim 0 0 f′(x 0 )＝ x0 x ＝－3， h0 h f x h f x  f x  f x 3h lim 0 0 0 0 ＝ h0 h  f x h f x  f x 3h f x  lim 0 0 3 0 0  ＝ h0 h 3h  f x h f x  f x 3h f x  lim 0 0 3lim 0 0 ＝ h0 h h0 3h ＝f′(x)＋3f′(x)＝4f′(x)＝－12. 0 0 0 答案：D y  f x y  fx x1 6．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知 的导函数为 ，且在 处 y x3 f 1 f1 的切线方程为 ，则 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【解析】 f1 f1 1 根据题意，切线斜率即为 ，故 ；  1, f 1 f 1132 又因为点 满足切线方程，即 ； f 1 f1 213 故 . 故选：B. f x f x f x 7．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数 的图象如图所示， 为函数 的导函 数，下列数值排序正确是（ ） 0 f2 f3 f 3 f 2 A． 0 f3 f 3 f 2 f2 B． 0 f3 f2 f 3 f 2 C． 0 f 3 f 2 f2 f3 D．【答案】B 【解析】 f x f x x2 x3 由 图象可知， 在 处的切线斜率大于在 处的切线斜率，且斜率为正， 0 f3 f2 ， f 3 f 2  f 3 f 2 32 ， f 3 f 2 可看作过  2,f 2 和  3, f 3 的割线的斜率，由图象 f3 f 3 f 2 f2 可知 ， 0 f3 f 3 f 2 f2 . 故选：B. f xacosx gx x2 bx3 0,m 8．（2020·湖北省高二期中）若函数 与 图象在交点 处有公切线， 则abm（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】 f 'xasinx,g'x2xb f 0a,g03am3 ， . f xacosx gx x2 bx3 0,m 由于函数 与 图象在交点 处有公切线， f '0 g'0 0b 所以 ，即 . abm3036 所以 . 故选：A 二、多选题 1 9．（2020·江苏省高二期中）直线y xb能作为下列（ ）函数的图像的切线. 21 f(x) A． x B． f(x) x4 f(x)cosx f(x)lnx C． D． 【答案】BCD 【解析】 1 1 1 函数y xb，可得 f(x)  不成立；所以 不正确； 2 x2 2 A 1 f(x) x4， f(x)4x3  可以成立；所以 正确； 2 B 1 f(x)cosx， f(x)sinx 2 ，可以成立；所以 C 正确； 1 1 ， f(x)  可成立．所以 正确； f(x)lnx x 2 D 1 故直线y xb能作为 函数图象的切线， 2 BCD 故选：BCD． 2 y ex  3x 10．（2019·山东省高二期中）设点P是曲线 3 上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，  则角 的取值范围包含下列哪些（ ） 2   5     5  , , 0, 0, ,          A． 3  B．2 6  C． 2 D． 2  6  【答案】CD 【解析】 2 y ex  3x 因为 3 ，故可得yex  3  3；  tan 3 设切线的倾斜角为 ，则 ，   2   0,  ,     故可得  2   3 ， 故选：CD.A(1，2) f xax3 11．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）已知点 在函数 的图象上，则过点A的曲线 C: y  f x 的切线方程是（ ） 6x y40 x4y70 A． B． 4x y70 3x2y10 C． D． 【答案】AD 【解析】 A(1，2) f xax3 a2 因为点 在函数 的图象上，所以 ． Px ,y  f x2x3 fx6x2 k 6x2 设切点 0 0 ，则由 得， ，即 0， y2x3 6x2xx  y 6x2x4x3 所以在点P处的切线方程为： 0 0 0 ，即 0 0． 而点A(1，2)在切线上，∴ 26x 0 2 4x 0 3 ， 即 2x 0 2x 0 1  x 0 2 1  x 0 122x 0 10 ， 1 x  解得x 1或 0 2，∴切线方程为：6x y40和3x2y10． 0 故选：AD． 1 y  x (x0) 12．（2020·江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线 x 上，则点P到直线 3x4y20 的距离可以为（ ） 4 6 7 A．5 B．1 C．5 D．5 【答案】CD 【解析】 1 设直线3x4yC 0与曲线 yx x 相切于点 P 0 x 0 ,y 0  ，1 3 1 5 y 1  y 2  则 xx 0 x 2 4 ，因为x 0解得x 2，即 0 2 2， 0 0 0 5 324 2 2 6 故曲线 1 与直线 的最短距离为d   yx x 3x4y20 min 32 42 5 6 7 , 所以可以为5 5 故选：CD 三、填空题 f(x) x3 4x2 4 (1,1) 13．（2020·江西省石城中学高二月考（文））曲线 在点 处的切线方程为 __________． 5x y60 【答案】 【解析】 f 'x3x2 8x f15 , , y15x1 5x y60 ∴切线方程为 ，即 5x y60 故答案为： P(x ,y ) 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 0 0 及斜率， P(x ,y ) y  f(x) y y  f '(x )(xx ) 其求法为：设 0 0 是曲线 上的一点，则以 P 的切点的切线方程为： 0 0 0 ． y  f(x) P(x , f(x )) y 若曲线 在点 0 0 的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 x x 0． 14．（2020·横峰中学高二开学考试（文））曲线 y ax1ex 在点 0，1 处的切线的斜率为2，则 a  ________．【答案】3 【解析】 yaex ax1ex f0a12 则 所以a3 故答案为-3. y 4asinxcosx (0,1) y  x1 15．（2020·甘肃省高三二模（文））已知曲线 在点 处的切线方程为 ，  tan(a ) 则 6 ______． 2 3 【答案】 【解析】 y 4asinxcosx 曲线 ， y4acosxsinx 则 ， y 4asinxcosx (0,1) y  x1 曲线 在点 处的切线方程为 ， x0 y4a1 所以当 时，满足 ， 1 a  解得 4， 代入并由正切函数的差角公式可得   tan tan   4 6 tan      4 6    1tan tan 4 63 1 3  2 3 3 ， 1 3 2 3 故答案为： . 16．（2020·浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积 分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两 y  xb f(x)lnx 个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线 是函数 的切线，也是函数 g(x)exk b k  的切线，则实数 ____， _____． 【答案】-1 -2 【解析】 1 (lnx) 1 由题意可知 x ，故x1，则函数 f(x)的切点为(1,0)，代入y  xb，得b1；又  exk exk 1 ，故xk，则函数g(x)的切点为(k,k 1)，代入g(x)exk ，得k 2． 故答案为：－1；－2． 四、解答题 17．（2020·江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数： (x2)2 f(x) （1） f(x) x2cosx （2） x1 9 f '(x)1 【答案】（1） f 'x12sinx；（2） x12 【解析】 f xx2cosx f 'x12sinx （1） ，则 ； 2(x2)x1x22 x2 2x8 9 (x2)2 f '(x)  1 （2） f(x) ，则 x12 x12 x12 . x118．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数： y  x2(lnxsinx) （1） ； cosxx y  （2） x2 ； y  xlnx （3） . x2cosxxsinx 2lnx 【答案】（1）2xlnx2xsinxxx2cosx；（2） x3 ；（3） 2 x . 【解析】 1  y 2x(lnxsinx)x2 cosx   （1）  x  2xlnx2xsinxxx2cosx ； (sinx1)x2 (cosxx)2x y  （2） x4 x2cosxxsinx  x3 ； 1 1  1 2lnx y   lnx x    （3） 2 x  x 2 x f x x2 xlnx 19．（2020·阳江市第三中学高二月考）已知函数 fx （Ⅰ）求这个函数的导数 ； x1 （Ⅱ）求这个函数在 处的切线方程. fx2xlnx1 3x y20 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 f x x2 xlnx fx2xlnx1 （Ⅰ）因为 ，所以 ；（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1， k  f1213 所以切线的斜率是 ， f 11 y13x1 3x y20 又 ，所以切线方程为 ，整理得 . f(x) x3bx2 cxd P(0,2) 20．（2020·定远县育才学校高二月考（理））已知函数 的图象过点 ，且 M(1; f(1)) 6x y70 在点 处的切线方程为 . f(1) f�(-1) （I）求 和 的值. f(x) （II）求函数 的解析式. f 11, f16 f x x3 3x2 3x2 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0． 故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6． 得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6． （2）∵f（x）过点P（0，2） ∴d=2 ∵f（x）=x3+bx2+cx+d ∴f′（x）=3x2+2bx+c 由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6 又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1 联立方程 得 故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2 f(x)2 h(x) 21．（2020·江苏省高二期中）设 f 55， f53，g54，g51， g(x) . h5 h5 （1）求 及 ； y h(x)sin （2）求曲线 6 在x5处的切线方程. 7 5 h(5)= h(5)= 【答案】（1） 4， 16 ；（2）5x-16y+11=0 【解析】 f(5)2 7 h(5) = （1）当x=5时， g(5) 4 ， fxgxf x2gx f(x)2   h(x) h(x) 函数 g(x) 的导数 g2x ， h(x) 函数 在x=5处的切线斜率： f5g5  f 52  g5 34152 5 h(5) = = g25 16 16 ；  f(x)2 1 y h(x)sin =  （2） 6 g(x) 2 ， fxgxf x2gx   y 所以 g2x ， f5g5  f 52  g5 5 y  = x=5处的切线斜率： x5 g25 16 ， 1 7 1 9 h(5) =  = y= 2 4 2 4 ，  9 5,   所以切点坐标为 4， 9 5 y = x5 则切线方程为： 4 16 ， 化简得5x-16y+11=0． 故切线方程为：5x-16y+11=0．b f(x)ax y  f x 22．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数 x ，曲线 在点 (2, f(2)) 3x2y40 处的切线方程为 . f(x) （1）求 的解析式； y  f(x) x0 y  x （2）证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形的面积为定值，并 求此定值. 2 f(x) x 【答案】（1） x ；（2）证明见解析，4. 【解析】  2,f 2 3x2y40 f 21 （1）将点 的坐标代入直线 的方程得 ， b b 3 Q f xax fxa x ，则 x2 ，直线3x2y40的斜率为2 ，  b 3 f2a    4 2  于是 b ，解得a1，故 2 ；  f 22a 1  f x x  2 b2 x 2 Px ,y  y  f x f x x （2）设点 0 0 为曲线 上任意一点，由（1）知 x ， 2  fx1 2 f x  x  x2 ，又 0 0 x ， 0  2   2  yx  1  xx  所以，曲线y  f x在点 的切线方程为 0 x x2 0 ， P  0   0   2  4 y 1 x 即 x2 x ，   0 04  4  y  0,  令 x0 ，得 x ，从而得出切线与 y 轴的交点坐标为  x  ， 0 0 y  x  联立  2  4 ，解得 ，  y 1 x   x 0 2  x 0 y  x2x 0 y  x 2x ,2x  从而切线与直线 的交点坐标为 0 0 . 所以，曲线 y  f x 在点P处的切线与直线 x0 、 y  x 所围成的三角形的面积为 1 4 S     2x 4 2 x 0 0 故曲线 y  f x 上任一点处的切线与直线 x0 ， y  x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为4.