3.5 抛物线及其标准方程
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：抛物线的定义................................................................ 2
考点二：抛物线的标准方程.......................................................... 2
考点三：解题技巧与方法............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：抛物线方程简单应用....................................................... 3
题型二：抛物线的定义及辨析....................................................... 5
题型三：抛物线的轨迹问题........................................................ 12
题型四：抛物线标准方程求解......................................................18
题型五：抛物线相关量求解........................................................ 23
题型六：抛物线定义求线段及和差最值..........................................26
题型七：抛物线的实际应用问题...................................................34
模块三：综合巩固....................................................................... 46
3.5 抛物线及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：抛物线的定义
1.定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫
做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．如图所示，抛物线上的点M 到定点F 的距离为|MF|，到定直
线l 的距离为|MH|，则|MF|=|MH|
2.抛物线集合表示：
,
为点
到准线的距离
P
M MF
d d
M
l
．
3.要点辨析：
（1）定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，
这也是利用抛物线定义解题的实质．
考点二：抛物线的标准方程
1.抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
2
2
(
0)
y
px p
,0
2
p
F
2
p
x
2
2
(
0)
y
px p
,0
2
p
F
2
p
x
2
2
(
0)
x
py p
0, 2
p
F
2
p
y
2
2
(
0)
x
py p
0,
2
p
F
2
p
y
2.注意：①“ p ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0；
②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．
3.对标准方程的理解
（1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
（2）焦点的非零坐标是一次项系数的1
4
．
（3）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称．
（4）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p
的值决定开口大小，p 越大，则抛物线开口越大；p 越小，则抛物线开口越小．
（5）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线．
考点三：解题技巧与方法
1.由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得
到参数p ，从而得焦点坐标与准线方程，要注意
0
p
；
（2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，
系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。
2.求抛物线标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标
准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的
方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，
为避免开口方向不确定可分为y
2＝2px(p>0)和y
2＝－2px(p>0)两种情况求解
法二
设成y
2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m 有两个解，则抛物
线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x
2＝my(m≠0)．如果
不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程
模块二：题型分类
题型一：抛物线方程简单应用
1.准线方程为
1
y 的抛物线的标准方程是（
）
A．
2
4
x
y
B．
2
8
y
x
C．
2
4
y
x
D．
2
8
x
y
= -
【答案】A
【解析】由抛物线的准线方程为
1
y ，可知抛物线是焦点在y 轴负半轴上的抛物线，
设其方程为
2
2
(
0)
x
py p
，则其准线方程为
1
2
p
y
，得
2,
p
故该抛物线的标准方程是
2
4
x
y
，故选：A.
2.已知抛物线的焦点是
(0,2)
F
，则抛物线的标准方程是（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
8
x
y
C．
2
8
y
x
D．
2
8
x
y
= -
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点是
(0,2)
F
，则抛物线的标准方程是
2
8
x
y
.故选：B
3.抛物线�= 4�2的焦点坐标是（
）
A．1,0
B．0,1
C．
1
16 , 0
D．0,
1
16
【解题思路】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出．
【解答过程】�= ���得到��=
�
��，则焦点坐标为(�,
�
��)．
故选：D.
4.抛物线
2
8
x
y
= -
的准线方程是（
）
A．
1
32
x
B．=
2
y
C．
1
32
y
D．
2
y
【答案】D
【解析】抛物线
2
8
x
y
的准线方程为：
2
y
.故选：D
5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为
4
y
；
(2)顶点在原点，且过点
3,2
；
(3)顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3
4
12
0
x
y
上；
(4)焦点在x 轴上，且抛物线上一点
3,
A
m 到焦点的距离为5.
【答案】(1)
2
16
x
y
(2)
2
9
2
x
y
或
2
4
3
y
x
(3)
2
16
y
x
(4)
2
8
y
x
【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案.
【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为
4
y
，
可知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且
4,
8
2
p
p
，
故抛物线标准方程为
2
16
x
y
；
（2）由题意顶点在原点，且过点
3,2
，则抛物线焦点可能在y 轴正半轴或x 轴负半轴上，
则设抛物线标准方程为
2
2
(
0)
x
py p
或
2
2
(
0)
y
p x p
，
分别将
3,2
代入，求得
9
2
,
4
3
p
p
，
故抛物线标准方程为
2
9
2
x
y
或
2
4
3
y
x
；
（3）由于直线3
4
12
0
x
y
与x 轴的交点为(4,0) ，
由题意可知抛物线焦点为(4,0) ，则
4,
8
2
p
p
，
故抛物线标准方程为
2
16
y
x
；
（4）由题意抛物线焦点在x 轴上，且抛物线上一点
3,
A
m 到焦点的距离为5，
则设抛物线方程为
2
2
(
0)
y
px p
，焦点为(
,0)
2
p
，准线为
2
p
x
，
故3
(
)
5,
4
2
p
p
，
故抛物线标准方程为
2
8
y
x
.
题型二：抛物线的定义及辨析
1.已知抛物线
2
2
y
x
，则其焦点到准线的距离为（
）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．4
【答案】A
【解析】抛物线方程
2
2
y
x
化为
2
1
2
x
y
，所以焦点到准线的距离
1
4
p
.故选：A
2．（多选）已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为
,
F O 为坐标原点，点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上，若
4
MF
，则
（
）
A．
0
3
x
B．
0
2 3
y
C．
21
OM
D．F 的坐标为
0,1
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点M 的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线
2
:
4
C y
x
，可得
(1,0)
F
，
因为点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上，且
4
MF
，
根据抛物线的定义，可得
0
1
4
MF
x
，解得
0
3
x ，
又因为
2
0
0
4
12
y
x
，所以
0
2 3
y
，即
(3, 2 3)
M
，
则
2
2
0
0
9
12
21
OM
x
y
.
故选：ABC.
3.已知抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点为
,
F 点M 在C 上. 若M 到直线
2
x 的距离为4，则MF （
）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点
2,0 ,
F
准线方程为
2
x ，
点M 在C 上，所以M 到准线
2
x 的距离为MF .
又M 到直线
2
x 的距离为4，故
4
MF
.故选：D.
4.已知抛物线�2 = 2��(�> 0)上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（
）
A．�2 = �
B．�2 = 2�
C．�2 = 4�
D．�2 = 8�
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求解．
【详解】由题意抛物线��= ���(�> �)上任意一点到焦点F 的距离与它到直线�=−�的距离相，因此
−
�
�=−�，�= �，抛物线方程为��= ��．
故选：C．
5．已知抛物线
2
4
x
y
的焦点为F ，点M 在抛物线上，且
3
MF
，则M 点到y 轴的距离为（
）
A．2 3
B．2 2
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求解即可.
【详解】由题意得，
3
2
M
p
MF
y
，抛物线
2
4
x
y
中
2
p
，
所以
2
M
y
，所以所求距离为
4
2 2
M
M
x
y
.
故选：B
6．已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
的顶点为O，经过点
0,2
A x
，且F 为抛物线C 的焦点，若
3
AF
OF
，
则p＝（
）
A．1
2
B．1
C．
2
D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义结合
3
AF
OF
可求得
0x
p
，然后将点A 的坐标代入抛物线方程可求出p 的
值.
【详解】因为点
0,2
A x
在抛物线上，
3
AF
OF
，
所以
0
3
2
2
p
p
x
，所以
0x
p
，
所以
,2
A p
，所以
2
4
2p
，解得
2
p
.
故选：C
7．已知抛物线
2
2
x
py
上一点
0,2
A x
到焦点的距离是该点到x 轴距离的2 倍，则p
．
【答案】4
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线焦点为F ,由于
0,2
A x
在抛物线上，故
0
p
，
根据题意可得
2
4
2
AF
AF
,
由抛物线定义可得
2
4
4
2
p
AF
p
，
故答案为：4
8．已知抛物线E ：
2
8
x
y
的焦点为F ，点P 为E 上一点，Q 为PF 靠近点P 的三等分点，若
10
PF
，则Q
点的纵坐标为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】过点,
P Q 分别作准线的垂线，根据题意得到
1
1
1
4
4
2
4
4
3
QQ
QQ
PP
PF
，求得
1
8
QQ
,进而求得点Q
的纵坐标.
【详解】过点
,
P Q 分别作准线的垂线，垂足分别为
1
1
,
P Q ，如图所示，
设准线=
2
y
与y 轴的交点为
1F ，
因为Q 为PF 靠近点P 的三等分点，可得
1
1
1
4
4
2
4
4
3
QQ
QQ
PP
PF
，
又因为
10
PF
，可得
1
8
QQ
,
又由抛物线的准线方程为
=
2
y
，可得点Q 的纵坐标为8
2
6
，
即点点Q 的纵坐标为6.
故选：C.
9．若抛物线
2
2
y
x
上的两点A，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是
．
【答案】2
【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上点A，B 到焦点的距离转化为到准线的距离，再转化为与x 轴的
距离即可求.
【详解】由抛物线方程
2
2
y
x
可知，
1
2
2
p
，
设点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
由抛物线的定义知点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线的距离，
即
1
1
1
2
2
p
AF
x
x
．
同理
2
2
1
2
2
p
BF
x
x
．
故
1
2
1
5
AF
BF
x
x
，即
1
2
4
x
x
，得
1
2
2
2
x
x
．
故线段AB 的中点的横坐标是2．
故答案为：2.
10.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，准线为�，点�是抛物线�上一点，��⊥�于�.若��=
2, ∠���= 60∘，则抛物线�的方程为（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 = 2�
D．�2 = �
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求得��= �，然后在直角三角形中利用∠���= ��°可求得�= �，从而可得
答案．
【详解】如图，连接��，设准线与�轴交点为�
抛物线�: ��= ���(�> �)的焦点为�
�
�, �，准线�：�=−
�
�
又抛物线的定义可得��= ��，又∠���= ��∘，所以△���为等边三角形，
所以��= ��= �，∠���= ��∘
所以在��△���中，��= ���= ��= �，则�= �，所以抛物线�的方程为��= ��.
故选：C.
11．（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线�2 = 10�的有（
）
A．焦点在y 轴上
B．焦点在x 轴上
C．抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)
【答案】BD
【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线��= ���的焦点坐标为�(
�
�, �)，位于�轴上，所以A 不满足，B 满足；
对于C 中，设�(�, ��)是抛物线��= ���上一点，�为焦点，
则��= �+
�
�= �+
�
�=
�
�≠�，所以C 不满足
对于D 中，由于抛物线��= ���的焦点为�(
�
�, �)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(�, �)，设过该焦点
的直线方程为�= �(�−
�
�)，则�=−�，此时该直线存在，所以D 满足．
故选：BD.
12．（多选）对于抛物线上
1
8 �2 = �，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为0,2
B．开口向上，焦点为0,
1
16
C．焦点到准线的距离为4
D．准线方程为�=−2
【答案】ACD
【分析】化为标准方程后，得出焦参数�，从而可得抛物线的性质，判断各选项．
【详解】由已知抛物线标准方程是��= ��，��= �，�= �，
所以焦点坐标为(�, �)，开口方向向上，A 正确，B 错误；
焦点到准线的距离为�= �，C 正确；
准线方程是�=−�，D 正确．
故选：ACD．
13.若抛物线
2
4
x
y
上的一点A 到焦点的距离为5，则点A 的纵坐标是（）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线
2
4
x
y
的准线方程为
1
y ，
由抛物线的定义可知
1
5
A
y
，解得
4
A
y
．故选：D．
14.已知�为抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点，点�在�上，且点�到直线�=−�的距离为3�，则��=（
）
A．3�
B．2�
C．
7
2 �
D．
5
2 �
【解题思路】利用抛物线的定义即可求解.
【解答过程】因为点�到直线�=−�的距离为��，
所以点�到抛物线�准线�=−
�
�的距离为��−
�
�=
�
��，
由抛物线的定义得，��=
�
��.
故选：D.
15.已知点��, 2 为抛物线�2 = 2���> 0 上一点，且点�到抛物线的焦点�的距离为3，则�=（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．4
【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线��= ����> �,则抛物线焦点为��,
�
�，若���, ��为
抛物线上一点,有��= ��+
�
�,可得��= �+
�
�= �,解得�= �.
【解答过程】因为抛物线为��= ����> �,
则其焦点在�轴正半轴上,焦点坐标为�,
�
�,
由于点��, �为抛物线��= ���, �> �为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3,
所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为��= �+
�
�= �,解得�= �,
故选：C.
16.已知抛物线C：�2 = 4 3�的焦点为F，点P 为抛物线C 上一点，过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足
为M，且∠���=
2π
3 ，则��=（
）
A．2
B．4
C．4 3
D．
4 3
3
【解题思路】根据题意，由抛物线的定义可得△���为等腰三角形，∠���=
π
�，然后代入计算，即可得
到结果.
【解答过程】
由抛物线定义可知��= ��，所以△���为等腰三角形，
记原点为�，因为∠���=
�π
�，所以∠���=
π
�，
则��=
��
�����° = �，所以��=
��
�.
故选：D.
17.已知抛物线�: �2 = 2���> 0 的焦点为�, �为�上一点，�为坐标原点，当∠���=
2π
3 时，��= 6，则�=
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【解题思路】根据已知条件结合抛物线的定义求解即可.
【解答过程】如图，过�作�的准线的垂线，垂足为��，作��⊥���，垂足为�，
由∠���=
�π
�，得∠���=
π
�，
所以��=
�
���= �，
所以���= �−�= �，即�= �．
故选：B．
18.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准线l 上，若
AFB
△
是
边长为2 的等边三角形，则p 的值是（
）.
A．1
B．
3
C．2
D．2 3
【答案】A
【解析】根据题意，易知AF
AB
，由抛物线定义可得AB
l
，
设准线与l 的交点为D ，如下图所示：
因此AB 与DF 平行，又
AFB
△
是边长为2 的等边三角形，
所以
60
ABF
，即
60
BFD
,
可得
cos60
1
DF
BF
，即
1
p .故选：A
题型三：抛物线的轨迹问题
1.到定点�(1,0)的距离比到�轴的距离大1 的动点且动点不在�轴的负半轴的轨迹方程是（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 = 2�
D．�2 = �
【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.
【解答过程】因为动点到定点�(�, �)的距离比到�轴的距离大�，
所以动点到定点�(�, �)的距离等于到�=−�的距离，
所以动点的轨迹是以�(�, �)为焦点，�=−�为准线的抛物线，
所以动点的轨迹方程是��= ��.
故选：B.
2.点P 到直线
3
y 的距离比到点
0, 1
F
的距离大2，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
4
x
y
D．
2
4
x
y
【答案】D
【解析】根据题意，设点
( , )
P x y ，且点P 在
3
y 的下方，
故点P 到直线
1
y 的距离和到点
0, 1
F
的距离相等，
所以点的轨迹为以
0, 1
F
为焦点，以直线
1
y 为准线的抛物线，
所以P 的轨迹方程为
2
4
x
y
，故选：D.
3．写出一个与直线= 1
x 相切，且与圆
2
2
2
1
x
y
外切的圆的方程
.
【答案】
2
2
1
x
y
（答案不唯一，只需满足
2
2
2
2
2
1
8
8
b
b
x
y
b
b
R 即可）
【分析】设所求圆的圆心为
,
P a b ，分析可知点P 的轨迹是以点
2,0 为焦点，直线
2
x 为准线的抛物线，
求出点P 的轨迹方程，即可得出圆P 的方程，即可得解.
【详解】如下图所示：
设所求圆的圆心为
,
P a b ，圆
2
2
2
1
x
y
的圆心为
2,0
C
，半径为1，
设圆P 的半径为r ，则
1
PC
r
，且圆心P 到直线= 1
x 的距离为r ，
所以，点P 到点
2,0
C
的距离等于点P 到直线
2
x 的距离，
所以，点P 的轨迹是以点C 为焦点，直线
2
x 为准线的抛物线，
设点P 的轨迹方程为
2
2
0
y
px p
，则
2
2
p
，可得
4
p
，
所以，圆心P 的轨迹方程为
2
8
y
x
，则
2
8
b
a
，
所以，圆心P 的坐标可表示为
2
,
8
b
b
，则圆P 的半径为
2
1
8
b ，
所以，圆P 的方程为
2
2
2
2
2
1
8
8
b
b
x
y
b
，
故满足条件的一个圆P 的方程为
2
2
1
x
y
.
故答案为：
2
2
1
x
y
（只需满足
2
2
2
2
2
1
8
8
b
b
x
y
b
b
R 即可）.
4.若圆C 与x 轴相切且与圆
2
2
4
x
y
外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（
）
A．
2
4
4
x
y
B．
2
4
4
x
y
C．
2
4
4
x
y
D．
2
4
4
x
y
【答案】C
【解析】设圆心坐标为
,x y ，依题意可得
2
2
2
x
y
y
，化简得
2
4
4
x
y
，
即圆C 的圆心的轨迹方程为
2
4
4
x
y
.故选：C
5.一个动圆与定圆�：�+ 2 2 + �2 = 1 相内切，且与定直线�: �= 3 相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程
是（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 =−4�
D．�2 =−8�
【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M 的几何条件，再根据抛物线的
定义确定动点M 的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．
【解答过程】设动圆M 的半径为r，依题意：��= �−�，
点M 到定直线�= �的距离为�= �−�，
所以动点M 到定点�−�, �的距离等于到定直线�= �的距离，
即M 的轨迹为以F 为焦点，�= �为准线的抛物线，
所以此动圆的圆心M 的轨迹方程是��=−��.
故选：D．
6．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点
1,0
F
的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直
径；②点P 到
1,0
F
的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件.
选择条件：，求曲线C 的方程.
【答案】
2
4
y
x
.
【分析】选①：由已知及抛物线的定义，通过数形结合可知，点P 是以
1,0
F
为焦点，以直线
1
x= 为准
线的抛物线，从而可求其方程．
选②：设动圆的圆心为
,
,
E P x y ，则
1,
2
2
x
y
E
，通过直接法求轨迹方程的方法，列出,x y 满足的关系
式，化简即可得到点P 的轨迹方程．
【详解】选①：
如图，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，交直线= 1
x 于点P，
设动圆的圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，
在梯形OFPH 中，由中位线性质可得
2
1
PH
r
，
所以
2
1 1
2
PP
r
r
，又
2
PF
r
，所以PP
PF
，
由抛物线的定义知，点P 是以
1,0
F
为焦点，
以直线= 1
x 为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为：
2
4
y
x
.
选②：
设动圆的圆心为
,
,
E P x y ，则
1,
2
2
x
y
E
，
由圆E 与y 轴相切可得
2
E
PF
x
，
即
2
2
1
(
1)
2
2
x
x
y
，整理可得
2
4
y
x
.
7．已知直线l 平行于y 轴，且l 与x 轴的交点为(4,0) ，点A 在直线l 上，动点P 的纵坐标与A 的纵坐标相
同，且OA
OP
，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
【答案】
2
4
y
x
，轨迹是开口向左的抛物线．
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可列方程求解.
【详解】由条件可知，直线l 的方程为
4
x
，因此点A 的横坐标为4．
设P 的坐标为( , )
x y ，则点A 的坐标为(4, )
y ．因此
(4, ),
OA
y OP
,x y
因为OA
OP
的充要条件是
0
OA OP
，所以
2
4
0
x
y
，即动点P 的轨迹方程为
2
4
y
x
．
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线．
8.已知点�到点�( −2,0)的距离比点�到直线�= 3 的距离小1.
(1)求点�的轨迹方程；
(2)求线段��中点�的轨迹方程.
【解题思路】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简；
解法2：定义法求抛物线的方程.
（2）轨迹法求点的轨迹方程.
【解答过程】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知
�+ ��+ ��+ �= �−�
当�≥�时，可化为
�+ ��+ ��= �−�，
整理得，��=−��(�−�)（舍去）
当x< 3 时，可化为
�+ ��+ ��= �−�
整理得，��=−��(�≤�)
故点M 的轨迹方程为��=−��
解法2：由题可知，点M 到点F（－2，0）的距离与到直线�= �的距离相等，
所以动点M 的轨迹是以F（－2，0）为焦点，�= �为准线的抛物线，
点M 的轨迹方程为；��=−��
（2）设Q（x，y），�(��, ��)
则��−�= ��
��= ��
，∴��= ��+ �
��= ��
又��
�=−���，故���=−���+ �
即��=−�(�+ �)为所求.
9．平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
:
4
y
x
，F 为的焦点，A ，B 为上的两个不重合的动点，使得线
段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
【答案】
2
4
3
0
3
2
y
x
x
【分析】设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，由三等分点关系可得
1
2
1
2
2
2
,
3
3
x
x
y
y
P
，根据P 的位置特征可设
1y
t
，
2
2
y
t
，从而可得Q 的坐标（用t 表示），故可求点Q 的轨迹方程.
【详解】
解：设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
.不妨设AP
PQ
QB
，则
1
2
1
2
2
2
,
3
3
x
x
y
y
P
.
易知
1,0
F
.由于点P 位于线段OF 上，故
1
2
2
0,1
3
x
x
，
1
2
2
0
3
y
y
.
可设
1y
t
，
2
2
y
t
，则
2
1
4
t
x
，
2
2x
t
.此时有
2
1
2
2
0,1
3
2
x
x
t
，
且由A ，B 不重合知
0
t
，所以
2
0,2
t
.
设
,
Q
Q
Q x
y
，则
2
1
2
2
3
3
4
Q
x
x
x
t
，
1
2
2
3
Q
y
y
y
t
，有
2
4
3
Q
Q
y
x
.
注意到
2
3
3
0,
4
2
Q
x
t
，故点Q 的轨迹方程为
2
4
3
0
3
2
y
x
x
.
10．已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的
轨迹方程．
【答案】
2
1
6
20
2
y
x
x
【分析】设动点Q 的坐标
,x y ，点P 坐标
1
1
,
x
y
，利用
2
AQ
PA
，求出
1
x 、
1y 代入曲线方程可得答案.
【详解】设动点Q 的坐标
,x y ，点P 坐标
1
1
,
x
y
，
1
1
2,
2
,
，
AQ
x
y
PA
x y
，
因为
2
AQ
PA
，所以
1
2
2 2
x
x
，
1
0
2 0
y
y
，
可得
1
6
2
x
x
，
1
2
y
y
，
代入
2
1
1
1
y
x
得
2
6
1
2
2
y
x
，整理得
2
1
6
20
2
y
x
x
，
所以动点Q 的轨迹方程为
2
1
6
20
2
y
x
x
．
11．已知点
,
P x y 到定点
1
0, 2
M
的距离比它到x 轴的距离大1
2 ，则PM
，点P 的轨迹点C 的方
程为
．
【答案】
1
2
y
2
2
x
y
或
0
0
x
y
【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解.
【详解】依题意，得
1
2
PM
y
，即
2
2
1
1
2
2
x
y
y
①，则
2
2
1
1
2
2
x
y
y
，两边平方得
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
4
x
y
x
y
y
，则
2
2
2
1
1
2
2
x
y
x
y
②，两边平方得
2
2
4
2
2
1
1
1
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
，整理得
4
2
2
0
x
y x
，即
2
2
2
0
x
x
y
，可得
2
2
x
y
或
0
x
．当
0
x
时，②转化为
1
1
2
2
y
y
，所以
1
0
2
y
，此时①转化为
1
1
1 ,
2
2
2
y
y
y
y
y
，所以
0
y
，所以点P 的轨迹C 的方程为
2
2
x
y
或
0
0
x
y
．
故答案为:
2
2
x
y
或
0
0
x
y
．
12.已知动点M 的坐标满足方程
2
2
(
1)
1
0
x
y
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
【答案】C
【解析】方程
2
2
(
1)
1
0
x
y
y
变形为
2
2
(
1)
1
x
y
y
，
表示动点
( , )
M x y 到点
(0,1)
F
和直线
1
y 的距离相等，
所以动点M 的轨迹是以
(0,1)
F
为焦点的抛物线，故选：C.
题型四：抛物线标准方程求解
1.已知抛物线C 关于x 轴对称，且焦点在直线3
2
6
0
x
y
上，则抛物线C 的标准方程为（
）
A．
2
4
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
8
y
x
【答案】D
【解析】直线3
2
6
0
x
y
与x 轴的交点为
2,0 ，所以抛物线C 的焦点为
2,0 ，
故
2
2
p
，解得
4
p
，抛物线的标准方程为
2
8
y
x
．故选：D．
2.焦点在直线2
5
10
0
x
y
上的抛物线的标准方程为（
）
A．
2
10
y
x
或
2
4
x
y
B．
2
10
y
x
或
2
4
x
y
C．
2
20
y
x
或
2
8
x
y
D．
2
20
y
x
或
2
8
x
y
= -
【答案】C
【解析】直线2
5
10
0
x
y
与坐标轴的交点为
5,0 以及
0,2 ，
所以抛物线的焦点为
5,0 或
0,2 ，
当焦点为
5,0 ，此时抛物线方程为
2
20
y
x
，
当焦点为
0,2 时，此时抛物线的方程为
2
8
x
y
，故选：C
3．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点
1, 2
M
，求抛物线的标准方程和准线方
程.
【答案】抛物线的标准方程为
2
4
y
x
或
2
1
2
x
y ，准线方程分别为= 1
x 或
1
8
y
【分析】分抛物线焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论，设出标准方程，代入点
1, 2
M
求出未知
系数即可.
【详解】当抛物线的焦点在x 轴上时，设其标准方程为
2
0
y
mx m
，将点
1, 2
M
代入，得
4
m
．
∴抛物线的标准方程为
2
4
y
x
，则准线方程为= 1
x ；
当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为
2
0
x
ny n
．将点
1, 2
M
代入，得
1
2
n
．
∴抛物线的标准方程为
2
1
2
x
y ，则准线方程为
1
8
y
．
4.分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点�2,3 ;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为
5
2.
【答案】(1)��=
�
��或��=
�
��
(2)��= ��或��=−��或��= ��或��=−��
【分析】（1）由题意方程可设为��= ��或��= ��,将��, �代入求解即可;
（2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为
�
�,即�=
�
�,写出抛物线方程即可.
【详解】（1）由题意,方程可设为��= ��或��= ��,
将点��, �的坐标代入,得��= ��或��= ��,
∴�=
�
�或�=
�
�,
∴所求的抛物线方程为��=
�
��或��=
�
��.
（2）由焦点到准线的距离为
�
�,可知�=
�
�,
∴所求抛物线方程为��= ��或��=−��或��= ��或��=−��.
5.已知抛物线�的顶点在原点，焦点�在坐标轴上，点�关于其准线的对称点为6,0 ，则�的方程为（
）
A．�2 =−8�
B．�2 =−4�
C．�2 = 8�
D．�2 = 4�
【解题思路】设抛物线的方程为��=−���(�> �)，设焦点�关于准线�的对称点为�(��, �)，求得��=
��
�，
得到
��
�= �，进而得抛物线的方程.
【解答过程】由题意，设抛物线的方程为��=−���(�> �)，
可得焦点坐标�( −
�
�, �)，准线方程为�: �=
�
�，
设焦点�关于准线�的对称点为�(��, �)，可得��+ ( −
�
�) = �×
�
�，解得��=
��
�，
因为点�关于其准线的对称点为�, �，可得
��
�= �，解得�= �，
所以抛物线的方程为��=−��.
故选：A.
6.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)）的焦点为F，点�(�, 4)在抛物线C 上，且��= 4，则抛物线C 的准线
方程是（
）
A．�=−4
B．�=−2
C．�=−4
D．�=−2
【解题思路】根据题意，结合抛物线的定义，列出方程组，求得�的值，得出抛物线的方程，即可求解.
【解答过程】因为点�(�, �)在抛物线�: ��= ���上，且��= �，
可得�+
�
�= �
���= ��，解得�= �，即抛物线��= ��，
所以抛物线C 的准线方程是�=−�.
故选：D.
7．点
(5,3)
M
到抛物线
2x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
【答案】C
【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数a 的值.
【详解】当
0
a
时，抛物线开口向上，准线方程
4
a
y
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为3
6
4
a
，解得
12
a
，
所以抛物线方程为
2
12
x
y
；
当
0
a
时，抛物线开口向下，准线方程
4
a
y
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为3
6
4
a
，解得
36
a
或
12
a
（舍去），
所以抛物线方程为
2
36
x
y
．
所以抛物线的方程为
2
12
x
y
或
2
36
x
y
．
故选：C
8.抛物线�2 = 2��(�> 0)上纵坐标为2 的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（
）
A．�2 = 12�
B．�2 = 10�
C．�2 = 8�
D．�2 = 6�
【解题思路】根据抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离建立关系可求出�.
【解答过程】∵抛物线��= ���(�> �)上纵坐标为2 的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为�，
又抛物线��= ���(�> �)的准线方程为�: �=−
�
�，
所以可得�+
�
�= �，解得�= �，
所以抛物线方程为��= ���.
故选：A.
9.如图，过抛物线�2 = 2��(�> 0)的焦点F 的直线�交抛物线于两点A、B，交其准线于C，��与准线垂直
且垂足为�，若��= 2 ��, ��= 3，则此抛物线的方程为（
）
A．�2 =
3�
2
B．�2 = 9�
C．�2 =
9�
2
D．�2 = 3�
【解题思路】过点�, �作准线的垂线，设��= �，得到��= �+ ��，结合抛物线的定义，求得�= �，
再由��//��，列出方程求得�的值，即可求解.
【解答过程】如图所示，分别过点�作准线的垂线，垂足为�，
设��= �，则��= ���= ��，
由抛物线的定义得
��= ��= �，
在直角△���中，可得���∠���=
��
��=
�
�，所以∠���= ��∘，
在直角△���中，因为��= �，可得��= �+ ��，
由��= ���，所以�+ ��= �，解得�= �，
因为��//��，所以
�
�=
��
��，解得�=
�
�，所以抛物线方程为��= ��.
故选：C.
10．如图，曲线
1
C 是以原点O为中心，
1F 、
2
F 为焦点的椭圆的一部分，曲线
2
C 是以
2
F 为焦点的抛物线的
一部分，A 是曲线
1
C 和
2
C 的交点且
2
1
AF F
为钝角，若
1
7
2
AF
，
2
5
2
AF
．求曲线
1
C 和
2
C 的方程．
【答案】
2
2
1
3
:
1
3
9
8
2
x
y
C
x
+
=
-
，
2
2
3
:
4
0
2
C
y
x
x
【分析】设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
1
,0
F
c
，
2
,0
F
c
，利用椭圆的定义可求得a 的值，利用平
面内两点间的距离公式、抛物线的定义可求出c 的值，即可得出
2
b 的值，由此可得出曲线
1
C 、
2
C 的方程.
【详解】解：设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
1
,0
F
c
，
2
,0
F
c
，
则
1
2
7
5
2
6
2
2
a
AF
AF
，即
3
a ．
设
,
A x y ，因为
2
1
AF F
为钝角，则x
c
，
则
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
7
2
5
2
AF
x
c
y
AF
x
c
y
，两式相减得
3
2
xc
．
由抛物线的定义可知
2
5
2
AF
x
c
，
所以，
3
2
5
2
xc
x
c
x
c
，解得
3
2
1
x
c
，
因为
2
2
2
2
2
3
1
8
b
a
c
，所以曲线
1
C 的方程为
2
2
3
1
3
9
8
2
x
y
x
+
=
-
，
曲线
2
C 的方程为
2
3
4
0
2
y
x
x
．
题型五：抛物线相关量求解
1.已知抛物线C：
2y
mx
过点
2, 5 ，则抛物线C 的准线方程为（）
A．
5
8
x
B．
5
8
x
C．
3
8
x
D．
3
8
x
【答案】B
【解析】由抛物线C：
2y
mx
过点
2, 5 ，可得
2
( 5)
2
m
，解得
5
2
m
，
即抛物线的方程为
2
5
2
y
x
，可得抛物线C 的准线方程为
5
8
x
.故选：B.
2.已知抛物线�: �= 6�2，则�的准线方程为（
）
A．�=−
3
2
B．�=
3
2
C．�=−
1
24
D．�=
1
24
【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.
【解答过程】抛物线C：�= ���的标准方程为��=
�
��，
所以其准线方程为�=−
�
��.
故选：C.
3.已知抛物线C：�2 = ��过点2,
5 ，则抛物线C 的准线方程为（
）
A．�=
5
8
B．�=−
5
8
C．�=
3
8
D．�=−
3
8
【解题思路】根据题意，求得抛物线的方程��=
�
��，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【解答过程】由抛物线C：��= ��过点�,
�，可得( �)�= �× �，解得�=
�
�，
即抛物线的方程为��=
�
��，可得抛物线�的准线方程为�=−
�
�.
故选：B.
4.已知抛物线�: �2 = ��(�> 0)上的点�(2,
2�)到其准线的距离为4，则�=（
）
A．6
B．
1
8
C．8
D．
1
4
【解题思路】根据焦半径公式得到方程，求出�= �.
【解答过程】因为点�(�,
��)到C 的准线的距离为4，所以
�
�+ �= �，解得�= �．
故选：C.
5.已知抛物线�2 = 2��的焦点在直线�= 2�+ 1 上，则�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】根据标准方程可得焦点坐标，代入直线可得�= �.
【解答过程】易知抛物线��= ���的焦点坐标为�,
�
�，
代入直线方程可得
�
�= �× �+ �，解得�= �.
故选：B.
6．已知点P 在抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若
60
HPF
，点P 的横坐标为1，则p
.
【答案】2
3
【分析】不妨设点P 在第一象限，可得点
1,
2
P
p ，分析可知直线PF 的倾斜角为60，利用直线的斜率
公式可得出关于p 的等式，结合p 的取值范围可求得p 的值.
【详解】如下图所示：
不妨设点P 在第一象限，联立
2
2
1
y
px
x
可得
1
2
x
y
p
，即点
1,
2
P
p
易知PH
y
轴，则
//
PH x轴，则
60
xFP
HPF
，
所以，直线PF 的倾斜角为60，易知点
,0
2
p
F
，
所以，
2
3
1
2
PF
p
k
p
，整理可得
2 2
3 2
p
p
，且有2
0
p
，故0
2
p
，
等式
2 2
3 2
p
p
两边平方可得
2
3
20
12
0
p
p
，即
3
2
6
0
p
p
，
解得
2
3
p
（6 舍去）
故答案为：2
3 .
7.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准线l 上，若△���
是边长为2 的等边三角形，则�的值是（
）.
A．1
B．3
C．2
D．2 3
【解题思路】利用抛物线定义可知��⊥�，再由等边三角形的边长为2 即可求得�= �������∘= �.
【解答过程】根据题意，易知��= ��，由抛物线定义可得��⊥�，
设准线与l 的交点为�，如下图所示：
因此��与��平行，又△���是边长为2 的等边三角形，
所以∠���= ��∘，即∠���= ��∘,
可得��= �������∘= �，即�= �.
故选：A.
8.设抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，准线为�, �是�上一点，�是�与�轴的交点，若��= 4 2, ��=
4，则�=（
）
A．2
B．2
C．2 2
D．4
【解题思路】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可.
【解答过程】如图所示，作��⊥�，
由抛物线定义可知，��= ��= �，
在Rt △���中，��=
���−���= �，
则��−
�
�, �在抛物线�: ��= ���(�> �)上，
所以���−
�
�= ��，即��−��+ ��= �，则�= �.
故选：D.
题型六：抛物线定义求线段及和差最值
1.设抛物线
2
4
y
x
上一点P 到y 轴的距离为
1d ，到直线3
4
12
0
x
y
的距离为
2
d ，则
1
2
d
d
的最小值为
（
）
A．3
B．2
C．16
3
D．5
【答案】B
【解析】抛物线
2
4
y
x
的焦点
( 1,0)
F
，准线:
1
l x ，
过点P 作PB
l
于B ，PA 垂直于直线3
4
12
0
x
y
于点A ，显然|
| |
|
PB
FP
，
点F 到直线3
4
12
0
x
y
的距离
2
2
| 1 3 12 |
3
3
4
d
，
则
1
2
|
| 1 |
| |
|
|
| 1
1
2
d
d
PB
PA
FP
PA
d
，
当且仅当点P 是点F 到直线3
4
12
0
x
y
的垂线段与抛物线的交点时取等号，
所以
1
2
d
d
的最小值为2.故选：B
2．设P 是抛物线
2
8
y
x
上的一个动点，F 为抛物线的焦点，点
3,1
B
，则PB
PF
的最小值为
.
【答案】5
【分析】过B 作准线=
2
x
的垂线垂足为B，交抛物线于P，根据抛物线的定义可得，当P 、B、B 三点
共线时，|
|
|
|
PB
PF
小值．
【详解】抛物线
2
8
y
x
，所以焦点为
2,0
F
，准线方程为=
2
x
，
当
3
x
时
2
8 3
24
y
，所以
2 6
y
，因为
2 6
1
，所以点B 在抛物线内部，
如图，
过B 作准线=
2
x
的垂线垂足为B，交抛物线于P，
由抛物线的定义，可知|
| |
|
P F
P B
，
故|
|
|
| |
|
|
| |
| 3
( 2)
5
PB
PF
P B
P B
BB
．
即当P 、B、B 三点共线时，距离之和最小值为5．
故答案为：5．
3.设抛物线�2 = 2�的焦点是�，点�是抛物线上的动点，且点�4,2 ，则��+ ��的最小值为（
）
A．
7
2
B．4
C．
9
2
D．5
【解题思路】设点�到准线的距离为��，当�, �, �三点共线时，��+ ��取得最小值，即可求解.
【解答过程】解：抛物线��= ��的焦点是�
�
�, �，准线方程为：�=−
�
�，
设点�到准线的距离为��，则��+ ��= ��+ ��，
如图所示：
当�, �, �三点共线时，��+ ��取得最小值��= �+
�
�=
�
�，
故选：C.
4.已知抛物线方程为:�2 = 16�，焦点为�.圆的方程为�−5 2 + �−1 2 = 1，设�为抛物线上的点，�为
圆上的一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即��= ��，从而得到��+
��= ��+ ��，�、�、�三点共线时和最小；再由�在圆上，�����= ��−�得到最小值.
【解答过程】
由抛物线方程为��= ���，得到焦点��, �，准线方程为�=−�，过点�做准线的垂线，垂足为�，
因为点�在抛物线上，所以��= ��，
所以��+ ��= ��+ ��，当�点固定不动时，�、�、�三点共线，即��垂直于准线时和最小，
又因为�在圆上运动，由圆的方程为�−��+ �−��= �得圆心��, �，半径�= �，所以�����=
��−�= �，
故选：C.
5.已知点�2,5 ，且�是抛物线�: �2 = 4�的焦点，�为�上任意一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解题思路】求出抛物线的焦点�，准线�，过�作��⊥�于�，则��= ��，将问题转化为求��+ ��，
由图可知当�, �, �三点共线时最小.
【解答过程】抛物线�: ��= ��的焦点为�(�, �)，准线�为�=−�，
当�= �时，�= �，因为�> �，所以��, �在抛物线内，
过�作��⊥�于�，则��= ��，
所以��+ ��= ��+ ��，
由图可知当�, �, �三点共线时，��+ ��最小，则最小值为�+ �= �.
故选：D.
6.已知
3,2
A
，抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点为
,
F P 是抛物线C 上任意一点，则
PAF
△
周长的最小值为（
）
A．3 2
B．5
2 2
C．5
5
D．3
2 2
【答案】C
【解析】由题意，抛物线的准线
2
x ，过点P 作PH 垂直于准线且交准线于H，则PF
PH
，
由题可知，
PAF
△
的周长为AF
PA
PF
AF
PA
PH
，又
5
AF
，
如图，AF
PA
PH
AF
AH
，当
,
,
A P H 三点共线时，
PAF
△
的周长最小，且最小值为5
5
.故选：C.
7.已知
(
,2),
( ,3)
A m
B n
，C 是抛物线
2
:
4
M
x
y
上的三个点，F 为焦点，
(4,3)
D
，点C 到x 轴的距离为d，
则AF
BF
CD
d
的最小值为（
）
A．10
B．6
2 5
C．11
D．7
2 5
【答案】B
【解析】因为M 的准线方程为
1
y ，
所以由抛物线焦半径公式得
2 1
3,
3 1
4,
1
AF
BF
d
CF
，故
1
d
CF
，
所以
3 4
1
6
6
AF
BF
CD
d
CF
CD
CD
CF
DF
2
2
6
(4
0)
(3 1)
6
2 5
当且仅当C，D，F 三点共线且C 在线段DF 上时，等号成立，
所以AF
BF
CD
d
的最小值为6
2 5
．故选：B
8.已知
(5,2)
A
，点P 是抛物线
2
8
y
x
上的一点，点B 是圆
2
2
: (
2)
1
F
x
y
上的一点，则|
|
|
|
PA
PB
的最
小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】由题意知
(2,0)
F
是抛物线
2
8
y
x
的焦点，
抛物线准线l 方程为：
2
x ，过点P
作PP垂直于准线l ，垂足为P,
即点P 到抛物线线
2
8
y
x
的准线的距离为：PP；
圆
2
2
: (
2)
1
F
x
y
是圆心为
(2,0)
F
，半径
1
r 的圆，
根据抛物线定义有：PF
PP
，
因为点B 是圆
2
2
: (
2)
1
F
x
y
上的一点，
所以
1
PB
PF
，即
1
PB
PP
，
由此有：|
|
|
| |
|
|
| 1
PA
PB
PA
PP¢
+
³
+
- ，
当且仅当A 、P 、P三点共线时，|
|
|
|
PA
PB
取得最小值5
2 1
6
，
所以|
|
|
| |
|
|
| 1 |
|
|
| 1
5 2 1
6
PA
PB
PA
PF
PA
PP¢
+
³
+
- =
+
- ³ + - =
，
所以|
|
|
|
PA
PB
的最小值为6.故选：B.
9．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，点
(3,1)
A
在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，
且
ABF
△
周长的最小值为4
5
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M，交y 轴于
1
M ，结合
ABF
△
的周长为
AB
AF
BF
BA
BM
AF
AH
AF
，结合两点间距离公式计算可得p ．
【详解】如图，过点A 作准线的垂线，垂足为M，交y 轴于
1
M ，抛物线为
2
:
2
(
0)
C y
px p
，准线l
的方程为
2
p
x
B 到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知BF
d
，
所以
ABF
△
的周长为
4
5
AB
AF
BF
BA
BM
AF
AH
AF
，
2
2
2
3
,
3
1
10
3
2
2
4
p
p
p
AH
AF
p
,
2
3
+
10
3 =4+ 5
2
4
p
p
p
,
0
2
p
p
故选：B．
10．在平面直角坐标系xOy 中，M 是以F 为焦点的抛物线
2
2
0
y
px p
上任意一点，N 是线段MF 上
的点，且
3
4
MN
MF
，则直线ON 斜率的最大值为（
）
A．1
B．
2
2
C．1
2
D．
3
3
【答案】D
【分析】根据给定条件，借助向量的坐标运算用点M 的坐标表示点N 的坐标，再利用斜率的坐标表示及
均值不等式求解作答.
【详解】抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点
(
,0)
2
p
F
，设
2
0
0
(
,
)
2
y
M
y
p
，
依题意，由
3
4
MN
MF
，得
2
0
0
1
1
(
,
)
4
8
8 4
y
p
FN
FM
y
p
，则
2
0
0
3
1
(
,
)
8
8
4
y
p
N
y
p
，
因此直线ON 斜率
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
2
2
3
3
1
1
3
4
3
3
3
3
3
3
3
8
8
y
py
y
p
y
p
k
y
p
y
p
y
p
y
p
p
，当且仅当
0
3
y
p
时取等号，
所以直线ON 斜率的最大值为
3
3
.
故选：D
11．已知抛物线
2
2
(
0)
x
py p
在第一象限内的一点
,2
A a
到抛物线焦点F 的距离为3，若P 为抛物线准
线上任意一点，则当
PAF
△
的周长最小时，直线AP 的斜率为
.
【答案】5 2
4
/ 5
2
4
【分析】根据题设可得
2
4
x
y
，则
2 2,2
A
，
0,1
F
，若A 关于准线
1
y 对称点为
(2 2, 4)
A
，由
|
| |
|
PA
PA
、
PAF
△
的周长为3 |
|
|
|
PA
FP
，只需
, ,
F P A共线周长最小，进而求P 坐标，即可得直线斜
率.
【详解】由抛物线
2
2
(
0)
x
py p
在第一象限内的点
,2
A a
到抛物线焦点F 的距离为3，
所以2
3
2
2
p
p
，即
2
4
x
y
，则
2 2,2
A
，
0,1
F
，
若A 关于准线
1
y 对称点为
(2 2, 4)
A
，则|
| |
|
PA
PA
，
而
PAF
△
的周长为|
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
FA
PA
FP
PA
FP
，
要使
PAF
△
的周长最小，即
, ,
F P A共线，此时|
|
|
| |
|
PA
FP
FA
，
若
( , 1)
P t
，则2
5
4 2
5
2 2
t
t
，即
4 2
(
, 1)
5
P
，
所以直线AP 的斜率为
2
( 1)
3
5 2
4
4 2
6 2
2 2
5
5
.
故答案为：5 2
4
12．已知
3,2
A
，若点P 是抛物线
2
8
y
x
上任意一点，点Q 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上任意一点，则PA
PQ
的最小值为
.
【答案】4
【分析】画出图形数形结合，利用抛物线的定义将PA
PQ
转换为
1
PA
PB
，结合三角不等式即可求
得最小值.
【详解】如图所示：
抛物线
2
8
y
x
的焦点
2,0
F
，准线:
2
l x ，
圆
2
2
(
2)
1
x
y
的圆心为
2,0
F
，半径
1
r ，
过点P 作PB 垂直准线l ，垂直为点B ，
由抛物线的定义可知PB
PF
，
则
1
1
1
3
2 1
4
PA
PQ
PA
PF
r
PA
PF
PA
PB
AB
，
当且仅当
, ,
B P A 三点共线时，等号成立,
综上所述：PA
PQ
的最小值为4.
故答案为：4.
13．已知点
,
A B 分别是抛物线
2
:
4
C y
x
和圆
2
2
:
2
4
4
0
E x
y
x
y
上的动点，点A 到直线:
2
l x
的距
离为d ，则AB
d
的最小值为
．
【答案】2 2
【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.
【详解】如图所示：
由圆E 的标准方程为
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
可知圆心
1, 2
E
，半径为
1
r ，
抛物线C 的焦点为
1,0
F
，准线方程为
1
x ，
由抛物线定义可知
1
AF
d
，
圆外一点到圆上点的距离满足AE
r
AB
AE
r
，即
1
1
AE
AB
AE
；
所以
1
1
1
AB
d
AB
AF
AE
AF
2 2
AE
AF
EF
，
当且仅当
,
,
A E F 三点共线时，等号成立；
即AB
d
的最小值为2 2 ．
故答案为：2 2
14．已知A 为抛物线C ：
2
4
y
x
上的一个动点，F 为C 的焦点．
(1)当
2
AF
时，求A 的坐标；
(2)若点B 的坐标为
4,0 ，求AB 的最小值．
【答案】(1)
1,2 或(
)
1, 2
-
(2)2 3
【分析】（1）由抛物线焦半径公式结合
2
AF
，求出A 的横坐标，代入抛物线方程，即可得出点A 的坐
标；
（2）设
1
1
,
A x y
，根据两点之间距离公式及抛物线方程，即可求出AB 的最小值．
【详解】（1）由
2
4
y
x
得，
2
p
，
设
,
A x y ，由
2
AF
得，
1
2
2
p
x
x
，解得
1
x ，
当
1
x 时，
2
y ，所以A 的坐标为
1,2 或(
)
1, 2
-
．
（2）设
1
1
,
A x y
，得
1
0
x
，
2
1
1
4
y
x
，
则
2
2
2
2
1
1
1
1
1
4
4
4
2
12
AB
x
y
x
x
x
，
当
1
2
x
时，AB 取得最小值，且最小值为2 3 ．
题型七：抛物线的实际应用问题
1.已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1 米，跨度为2 米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系
下此拱形的抛物线方程．
【答案】��=−�
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，由拱高是1 米，跨度为2 米，得到点的坐标，代入抛物
线方程求解.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为��=−����> �，
由题意得，抛物线过点−�, −�, (�, −�)，
代入抛物线方程解得�=
�
�，
所以抛物线方程为：��=−�.
2.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶
部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度��= 6m，那么车辆
通过隧道的限制高度为（
）
A．2.25m
B．3.25m
C．3.5m
D．3.75m
【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果.
【解答过程】
取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为�轴，建立直角坐标系，
则��, −�，设抛物线方程为��=−���
�> �，将点�代入抛物线方程，
可得�= �，则抛物线方程为��=−��，行车宽度��= �m，将�= �代入抛物线方程，
可得�=−�. ��m，所以限度为�−�. ��−�. �= �. ��m.
故选：B.
3.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可
近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线C 的一部分，当水距离拱顶4 米时，水面的宽
度是8 米，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（
）
A．1 米
B．2 米
C．4 米
D．8 米
【答案】B
【分析】设抛物线C：��=−����> �，由题意可知点�, −�在抛物线C 上，求得�，即可得解.
【详解】设抛物线C：��=−����> �，
由题意可知点�, −�在抛物线C 上，则−��× −�= ��，解得�= �，
故抛物线C 的焦点到准线的距离是2 米.
故选：B.
4.2024 年3 月20 号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球
背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m 的“金色大伞”，它的曲面与轴
截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点�处.若“金
色大伞”的深度为0.49m，则“金色大伞”的边缘�点到焦点�的距离为（
）
A．2.25m
B．2.74m
C．4.5m
D．4.99m
【解题思路】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得.
【解答过程】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点�(�. ��, �. �)
设抛物线的方程为��= ���(�> �)，则�. ��= ��× �. ��，解得��= �，
抛物线��= ��的焦点�(
�
�, �)，准线方程为�=−
�
�，|��| = �. ��+ �. ��= �. ��，
所以“金色大伞”的边缘�点到焦点�的距离为�. ��m.
故选：B.
5.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 米时，水面宽8 米，一条木船宽4 米，木船露出水面上
的部分高为0.75 米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5 米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
【解题思路】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程;
（2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解；
【解答过程】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为�轴建立直角坐标系.如图所示
设抛物线的方程为��=−����> �，则
点��, −�在抛物线上，代入方程得��=
��
�，
所以抛物线的方程为��=−
��
��.
（2）当水面上涨0.5 米时，木船与拱顶的距离为3.75 米，
设��, −�. ��，代入方程得��= ��，故�= ��，则
��= ��= ��> �，
所以木船能通行；
（3）假设当水面上涨�米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为�. ��−�，
把�=−�. ��−�代入方程，得��=−
��
�× −�. ��−�，
故�=
��
��. ��−�，由��= �，得�= �.
所以当水面上涨3 米时，木船开始不能通行.
6.上世纪90 年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993 年江宁区出资帮助洛南修建了宁
洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6 米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛
物线形的拱桥（图2）跨度��= 30m，拱高��= 5m，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱�1�1
的长度为
m.（精确到0.01m）
【答案】4.59
【分析】先建立直角坐标系，把抛物线方程写出来，再结合���的长度即可把����的长度求出来.
【详解】以�为原点，��, ��方向分别为�, �轴正向，建立如下图所示的直角坐标系：
由题意��= ��m，��= �m，所以���, �，��, �，
又抛物线开口向下，所以设�=−���+ �，将点���, �的坐标代入�=−����+ �，
解得�=
�
��，所以抛物线方程为�=−
�
����+ �，
又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知��有14 个空格，
因此每一个空格的长度为
��
��=
��
�m，所以���=
��
�m，所以设点�
��
�, �，
又因为点�在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得�=−
�
��×
��
�
�
+ �=
���
��≈�. ��.
故答案为：4.59
7.如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货
轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深
度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
【答案】不能，理由见解析.
【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为��=−����> �，
由题意可知：���, −�，把它代入方程中，得���=−��⋅−�⇒�=
��
�，
所以方程为��=−
��
��，而货轮宽16m，
把�= �代入��=−
��
��中，得�=−�. ��，
点�离水面高度为��−�. ��= �. ��，而吃水线上部分中央船体高16m，
所以不能通过桥孔.
8.一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射
聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；
（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.
【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为：��= ����> �，把�. �, �. �代入方程中，得
�. ��= ��⋅
�
�⇒�= �. ��，
所以抛物线的标准方程为��= ��. ���，焦点的坐标为�. ��, �；
（2）设抛物线的方程为��= ����> �，
把�. �, �. �代入方程中，得�. ��= ��⋅
�
�⇒�= �. ��，
所以焦点的坐标为：�. ��, �.
9．如图1 所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的
照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结
构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2 是图1 的轴截面，A，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F
是抛物线的焦点，∠AFB 是馈源的方向角，记为，焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值f
d 称为抛物面
天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，tan
4 5
，
则其焦径比为（
）
A．
10
4
B．
10
8
C．
5
4
D．
5
8
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：
2
2
(
0)
y
px p
，
,0
2
p
F
，
2
A
d
y
，代入抛物线方
程可得x ，根据
4
tan 2
3
，解得p 与d 的关系，即可得出
2
f
p
d
d
．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：
2
2
(
0)
y
px p
，
,0
2
p
F
，
2
A
d
y
，代入抛物线方程可得：
2
2
2
d
px
，解得
2
8
d
x
p
，
由于
2
2tan 2
tan
4 5
1
tan 2
，得
5
tan 2
2
或
2 5
tan 2
5
（舍）
又
2
5
2
tan 2
2
2
8
d
p
d
p
，化为：
2
2
4 5
8
5
0
p
dp
d
，
解得
5
2
p
d
或
5
10
p
d
（舍）
5
2
4
f
p
d
d
.
故选：C.
10．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军
使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，
是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某
炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ 的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100 米，
DE 长为400 米，CD
CE
，
30
CAB
，建立适当的坐标系使得抛物线Γ 的方程为
2
2
0
x
py p
，则
（
）
A．
200
p
B．Γ 的准线方程为
100
y
C．Γ 的焦点坐标为
0, 50
D．弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为50 3
3
【答案】ABD
【分析】根据题意，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB ，结合图像，求出抛物线方程，
准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线AC 的方程，不妨设CE CE 上一点为Q ，判
断出当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大，求解最大值即可.
【详解】如图所示，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB .
此时
0,0
C
，
200, 100
E
，
200, 100
D
，
抛物线Γ 的方程为
2
2
0
x
py p
，即
2
200
2
100
p
，
解得
200
p
，故A 正确；
抛物线Γ 的方程为
2
400
x
y
，准线方程为
100
y
，焦点坐标为
0, 100
，
故B 正确，C 错误；
因为
30
CAB
，
0,0
C
，故
3
tan30
3
AC
k
，
所以直线AC 的方程为
3
3
y
x
即
3
0
x
y
，
不妨设CE 上一点为
0
0
,
Q x
y
，
0
200,0
x
，
当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.
由
2
1
400
y
x
可得
1
200
y
x
，故
0
1
3
200
3
x
，
解得
0
0
200
100
,
,
3
3
Q x
y
，
此时Q 点到直线AC 的距离为
2
2
200
100
3
3
50
3
3
3
3
1
3
，故D 正确.
故选：ABD.
11．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证
发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.
(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离
不变.求探照灯的深度.
【答案】(1)5.625cm
(2)48.4cm
【分析】（1）在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可；
（2）运用代入法进行求解即可.
【详解】（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，
以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x 轴（抛物线开口方向是x 轴的正方向），以1cm 为单位长度，
则可设抛物线的标准方程为
2
2
0
y
px p
.
灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A 的坐标为
40,30 ，
代入抛物线方程得
2
30
2
40
p
，
解得
45
4
p
，则焦点坐标为45 ,0
8
.
故光源应安置在与顶点相距45 cm
5.625cm
8
处；
（2）由（1）可得抛物线方程为
2
45
2
y
x
.
灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为66
33
2
.
故将
33
y
代入抛物线方程求得
2
33
2
48.4
45
x
.
此时，探照灯的深度为48.4cm.
12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，
如图所示.现要求水流最高点B 离地面5m，点B 到管柱OA 所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O
为圆心，以9m 为半径的圆上，求管柱OA 的高度.
【答案】9 m
5
【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为
2
2
0
x
py p
，
把点
5, 5
C
代入方程中，得
5
25
2
5
2
p
p
，
所以抛物线方程为
2
5
x
y
把
4,
A
y
代入方程中，得
16
16
5
5
y
y
，
所以
16
9
5
5
5
OA
，
所以管柱OA 的高度为9 m
5
.
13.如图，�地在�地东偏北45∘方向，相距2 2km 处，�地与东西走向的高铁线（近似看成直线）�相距4km
已知曲线形公路��上任意一点到�地的距离等于到高铁线�的距离，现要在公路旁建造一个变电房�（变电
房与公路之间的距离忽略不计），分别向�地、�地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路��所在曲线的方程；
(2)问变电房�应建在相对�地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最
短长度．
【答案】(1)��= ��
(2)电房�应建在�地正南方向且与�地相距
�
�km 时，所用电线长度最短，最短长度为�km
【分析】（1）根据抛物线的定义，联想到抛物线标准方程推导时的建系办法来处理；
（2）根据抛物线的性质进行求解.
【详解】（1）如图，以经过点�且垂直于�（垂足为�）的直线为�轴，线段��的中点�为原点，
建立直角坐标系���，则�(�, �), �(�, �)
因为曲线形公路��上任意一点到�地的距离等于到高铁线�的距离，
所以��所在的曲线是以�(�, �)为焦点，�为准线的抛物线．
设抛物线方程为��= ���(�> �)，则�= �，
故曲线形公路��所在曲线的方程为��= ��.
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即��+ ��值最小．
如图所示，过�作��⊥�，垂足为�，依题意得��= ��，
所以��+ ��= ��+ ��，故当�, �, �三点共线时，
��+ ��取得最小值，即��+ ��取得最小值，此时��,
�
�，
变电房�应建在�地正南方向且与�地相距
�
�km 时，所用电线长度最短，最短长度为�km
14．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为
2
2
1
100
25
x
y
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物
线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，
36
0, 5
为顶点的抛物线的一部分（从点C 到点B ）.已知观测点A
的坐标
6,0 ，当航天器与点A 距离为4 时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点C 的坐标；
(2)求航天器降落点B 与观测点A 之间的距离.
【答案】(1)
6,4
(2)3
【分析】（1）设出点C ，利用
,
A C 的距离和椭圆方程可求出点C 的坐标；
（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案.
【详解】（1）设
,
C x y ，由题意，
4
AC
，即
2
2
6
4
x
y
，
又
2
2
1
100
25
x
y
，联立解得
6
x
或
10
x
（舍），当
6
x
时，
4
y
，
故C 的坐标为
6,4 .
（2）由题意设抛物线的方程为
2
y
mx
n
，
因为抛物线经过点
6,4
C
，
36
0, 5
，
所以
36
5
n
，
5
4
6
36
3
m
，解得
4
45
m
，即
2
4
36
45
5
y
x
；
令
0
y
可得
9
x
或
9
x （舍），即
9,0
B
；
所以|
| |
|
|
| 3
AB
OB
OA
，
所以航天器降落点B 与观测点A 之间的距离为3.
模块三：综合巩固
1.顶点在原点，焦点是
(0,3)
F
的抛物线的标准方程是（
）
A．
2
21
y
x
B．
2
12
x
y
C．
2
1
12
y
x
D．
2
1
12
x
y
【答案】B
【解析】由题意知抛物线开口向上，
3,
6,
2
p
p
故抛物线的标准方程是：
2
2
12 .
x
py
y
故选：B.
2.抛物线
:
C
2
6
y
x
的准线方程为（
）
A．
2
x
B．
1
24
x
C．=
2
y
D．
1
24
y
【答案】D
【解析】抛物线
:
C
2
6
y
x
的标准方程为
2
1
6
x
y
，所以C 的准线方程为
1
24
y
．故选：D
3．抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，且抛物线C 与椭圆
2
2
1
2
x
y
在第一象限的交点为A，若AF
x
轴，则p （
）
A．2
B．1
C．2 2
3
D．2
3
【答案】C
【分析】根据题设可得
(
,
)
2
p
A
p ，再由点在椭圆上，代入求参数即可.
【详解】由题设
(
,0)
2
p
F
，且A 在第一象限，AF
x
轴，则
(
,
)
2
p
A
p ，
又A 在椭圆上，故
2
2
2
8
1
8
9
p
p
p
，而
0
p
，故p 2 2
3
.
故选：C
4.已知抛物线
2
(
0)
y
mx m
的准线方程为= 1
x ，则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】由题意可知：
1
4
m
，解得
4
m
.故选：C.
5.动圆与定圆A：
2
2
(
2)
1
x
y
外切，且和直线x＝1 相切，则动圆圆心的轨迹是（
）
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线
【答案】B
【解析】定圆A：
2
2
(
2)
1
x
y
的圆心A(－2，0)，半径为1，
设动圆圆心P(x，y)，半径为r，
则由题意得|PA|＝1＋r，且r＝1－x，
∴|PA|＝1＋1－x＝2－x，即
2
2
2
x
y
＝2－x，化简得y2＝－8x，
∴动圆圆心的轨迹是抛物线．故选：B．
6．已知动点P(x，y)满足
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，则动点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合点在线上，得过点与直线垂直的直线.
【详解】因为
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，得
2
2
3
4
7
1
(
1)
5
x
y
x
y
（
）
，
即动点
( , )
P x y 到定点(1,1) 的距离等于与到定直线3
4
7
0
x
y
的距离，
直线3
4
7
0
x
y
过点(1,1) ，则轨迹为过点(1,1) 与直线3
4
7
0
x
y
垂直的直线.
故选：A
7.点
(5,3)
M
到抛物线
2x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
【答案】C
【解析】当
0
a
时，抛物线开口向上，准线方程
4
a
y
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为3
6
4
a
，解得
12
a
，所以抛物线方程为
2
12
x
y
；
当
0
a
时，抛物线开口向下，准线方程
4
a
y
，
点
(5,3)
M
到准线的距离为3
6
4
a
，解得
36
a
或
12
a
（舍去），
所以抛物线方程为
2
36
x
y
．
所以抛物线的方程为
2
12
x
y
或
2
36
x
y
．故选：C
8．已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，
0,2
P
，点Q 在抛物线C 上，且PQ
PF
，则QF （
）
A．4
B．5
C．8
D．9
【答案】B
【分析】根据抛物线方程设点Q 坐标，根据PQ
PF
，列方程，可得点Q ，进而可得QF .
【详解】由题意点
1,0
F
，又因为PQ
PF
，所以
0
PQ PF
，
设
2
0
0
,
4
y
Q
y
，则
2
0
0
,
2
1, 2
0
4
y
y
，
2
0
0
2
2
0
4
y
y
，解得
0
4
y
，所以
0
4
x
，
则
0
1
5
QF
x
，
故选：B.
9.设点
(0,8)
A
，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上的点P 到y 轴的距离为d ，若|
|
PA
d
的最小值为4，则p （
）
A．6
B．10
C．12
D．16
【答案】C
【解析】由抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，可得焦点
(
,0)
2
p
F
，准线为
2
p
x
，
点P 到y 轴的距离为
2
p
PF
，其中
2
P
p
PF
x
，
所以
2
2
p
p
PA
PF
FA
，此时点P 在直线AF 与抛物线的交点，
所以
2
2
2
(0
)
(8
0)
64
2
4
p
p
FA
，
因为
4
2
p
FA
，即
2
64
4
4
2
p
p
，解得
12
p
.故选：C.
10．已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F，准线为l，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B.若
3
AF
，则
AFB
△
的外接圆面积为（
）.
A．27π
8
B．64π
27
C．9π
4
D．25π
16
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求得
1x ，进而得到
1y ，利用勾股定理求得BF ，进而得到sin
BAF
，然后利
用正弦定理中的外接圆直径公式，求得
AFB
△
的外接圆半径为R，然后计算其面积.
【详解】设
1
1
,
A x y ，由抛物线的定义可知
1
1
3
x
AF
AB
，
所以
1
2
x
，代入抛物线的方程中得到
1
1
2
2 2
y
x
，
由几何关系可知
2
2
1
2
2 3
BF
y
，
1
2 2
sin
3
y
BAF
AF
.
设
AFB
△
的外接圆半径为R，由正弦定理可知2
sin
BF
R
BAF
，解得
3 3
2 2
R
，
所以
AFB
△
的外接圆面积为
2
27π
π
8
R
.
故选：A
11．设抛物线
2
4
x
y
上一点P 到x 轴的距离为d ，点Q 为圆
2
2
(
4)
(
2)
1
x
y
任一点，则d
PQ
的最小
值为（
）
A．2 5
1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案.
【详解】因为
2
2 2
x
y
，则抛物线焦点坐标为
0,1 ，准线方程为
1
y ，
则
1
d
PF
，即
1
d
PF
，
所以
1
d
PQ
PF
PQ
，则要使其最小，则需PF
PQ
最小，
因为圆
2
2
(
4)
(
2)
1
x
y
的圆心为
4, 2
，半径
1
r ，
所以
2
2
1
4
2 1
1
3
d
PQ
PF
PQ
r
.
故选：C.
12．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F，准线为l，A，B 为C 上两点，且均在第一象限，过A，B
作l 的垂线，垂足分别为D，E.若
1
AB ，
1
sin
4
DFE
，则
AFB
△
的外接圆面积为（
）.
A．16π
15
B．15π
16
C．14π
15
D．15π
14
【答案】A
【分析】由抛物线的定义及平行线的性质可得
2
AFB
DFE
，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公
式可得
15
sin
8
AFB
，进而由正弦定理可求得结果.
【详解】如图所示，
由抛物线的定义可知AF
AD
，BF
BE
，
所以
BFE
BEF
EFO
，
AFD
ADF
DFO
，
所以
DFE
EFO
DFO
BFE
AFD
BAF
DFE
，故
2
AFB
DFE
，
易知
DFE
为锐角，且由
1
sin
4
DFE
可知
15
cos
4
DFE
，
所以
15
sin
2sin
cos
8
AFB
DFE
DFE
.
设
AFB
△
的外接圆半径为R，由正弦定理可知
2
sin
AB
R
AFB
，
又|
| 1
AB ，所以
4
15
R
，
所以
AFB
△
的外接圆面积为
2
16π
π
15
R
.
故选：A.
13．已知ABC
的顶点在抛物线
2
2
y
x
上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC
的重心，则FA
FB
FC
的
值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】易知焦点坐标
1 ,0
2
F
，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知
3
|
|
|
|
|
|
3
3
2
F
FA
FB
FC
x
.
【详解】抛物线的焦点F 为1 ,0
2
，由重心的性质有
3
3
2
A
B
C
F
x
x
x
x
，
又由抛物线的定义知
1
|
|
2
A
FA
x
，
同理可得
3
3
|
|
|
|
|
|
3
2
2
A
B
C
F
FA
FB
FC
x
x
x
x
，
又因为
1
2
Fx
，
所以|
|
|
|
|
|
3
FA
FB
FC
，
故选：C．
14.（多选）对于抛物线
2
16
x
y
，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为(0,4)
B．开口向上，焦点为(4,0)
C．准线方程为
4
x
D．准线方程为
4
y
【答案】AD
【解析】因为
2
16
x
y
，所以抛物线开口向上，焦点为(0,4) ，其准线方程为
4
y ，
结合选项可得A，D 正确.故选：AD
15．（多选）已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，O为坐标原点，点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上，若
5
MF
，
则（
）
A．F 的坐标为
1,0
B．
0
4
y
C．|
| 4 2
OM
D．
2
OFM
S
!
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线
2
:
4
C x
y
，可得
2
p
，所以
1
2
p ，且焦点在y 轴正半轴上，
则焦点
0,1
F
，所以A 错误；
由抛物线的定义,可得
0
1
5
MF
y
，解得
0
4
y
，所以B 正确；
由
0
4
y
，可得
2
0
16
x
，所以
0
4
x ，则
2
2
0
0
4 2
OM
x
y
，所以C 正确；
由
0
1
2
2
OFM
S
OF
x
△
，所以D 正确．
故选：BCD．
16.以直线
2
1
0
x
y
与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（
）
A．
2x
y
B．
2
2
x
y
C．
2
2
y
x
D．
2
4
y
x
【答案】BD
【解析】直线
2
1
0
x
y
与坐标轴的交点为
1,0 ，
1
0,
2
，
故以
1,0 和
1
0,
2
为焦点的抛物线标准方程分别为
2
4
y
x
和
2
2
x
y
.故选：BD.
17．（多选）已知抛物线C：
2
4
y
x
的焦点为F，准线为l，点
A
l ，线段AF 交抛物线C 于点B，过点B
作l 的垂线，垂足为H，若
3
FA
FB
，则（
）
A．
5
3
BH
B．
4
AF
C．
3
AF
BH
D．
4
AF
BH
【答案】BC
【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解.
【详解】抛物线C：
2
4
y
x
的焦点
(1,0)
F
，准线l 为= 1
x ，
设准线l 与x 轴交于点M ，
∵
3
FA
FB
，由ABH
与△AFM 相似得：|
|
|
|
2
|
|
|
|
3
BH
AB
MF
AF
，
∵|
| 2
MF
，∴
2
4
|
|
2
3
3
BH
，即
3
4
BH
，故A 错误；
由抛物线定义得|
| |
|
BF
BH
，∴|
| 3|
| 3|
| 4
AF
BF
BH
，
即
4
AF
，
3
AF
BH
，故BC 正确，D 错误．
故选：BC．
18．
（多选）在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线
2
:
0
C y
ax a
的焦点，两点
,1
16
a
A
、
,
0
B a b
b
在抛物线C 上，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线C 的方程为
2
4
y
x
B．
4
b
C．以AB 为直径的圆的方程是
2
2
17
3
25
8
2
8
x
x
D．A 、F 、B 三点共线
【答案】ABD
【分析】将点A 的坐标代入抛物线C 的方程，结合
0
a
，求出a 的值，可判断A 选项；将点B 的坐标代
入抛物线C 的方程，结合
0
b
求出b 的值，可判断B 选项；求出以AB 为直径的圆的方程，可判断C 选项；
根据
AF
k
、
BF
k
的关系可判断D 选项.
【详解】对于A，因为
,1
16
a
A
在抛物线C 上，所以
2
1
16
a ，又
0
a
，解得
4
a
，
所以，抛物线C 的方程为
2
4
y
x
，故A 正确；
对于B，因为
,
0
B a b
b
在抛物线C 上，所以
2
2
16
b
a
，
又
0
b
，解得
4
b ，故B 正确；
对于C，
1 ,1
4
A
，
4, 4
B
，则以AB 为直径的圆的圆心为17
3
,
8
2
，
半径
2
2
1
1
1
25
4
4 1
2
2
4
8
r
AB
，
所以，以AB 为直径的圆的方程是
2
2
2
17
3
25
8
2
8
x
y
，
即
2
2
17
3
625
8
2
64
x
y
，故C 错误；
对于D，因为
1 ,1
4
A
、
4, 4
B
、
1,0
F
，
所以
1
0
4
1
3
1
4
AF
k
，
4
0
4
4
1
3
BF
k
，所以
AF
BF
k
k
，
所以A ，F ，B 三点共线，故D 正确.
故选：ABD.
19.已知抛物线C ：
2
2
0
x
py p
，若C 上一点
0,3
M x
到焦点F 的距离为6，则p 的值为
.
【答案】6
【解析】抛物线C ：
2
2
0
x
py p
的焦点为
0, 2
p
F
，准线为
2
p
y
，
过M 作MN
l
于N ，则
3
6
2
p
MN
MF
，解得
6
p =
故答案为：6
20．准线方程为
2
x 的抛物线的标准方程为
.
【答案】
2
8
y
x
【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出p 值，进而求其标准方程
【详解】已知抛物线的准线方程为
2
x ，
得该抛物线开口向右，且
2
2
p
，得
4
p
，
故抛物线的方程为：
2
8
y
x
.
故答案为：
2
8
y
x
21.抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点到直线
1
y
x
的距离为
2 ，则p
.
【答案】2
【解析】由题意可知：抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点
,0
2
p
，
直线
1
y
x
，即
1
0
x
y
，
则焦点
,0
2
p
到直线
1
0
x
y
的距离为
1
2
2
2
p
，解得
2
p
.
故答案为：2.
22．抛物线
2
4
y
x
的焦点为F，点P 在双曲线C：
2
2
1
4
2
x
y
的一条渐近线上，O 为坐标原点，若OF
PF
，
则△PFO 的面积为
.
【答案】
2
3
/ 1
2
3
【分析】由双曲线的标准方程可求其渐近线方程，则P 点坐标可设成只有一个参数m 的形式，再由
OF
PF
可得m 的值，则△PFO 的面积可求.
【详解】抛物线
2
4
y
x
的焦点为F(1，0)，双曲线C：
2
2
1
4
2
x
y
的渐近线方程为
2
0
x
y
，
不妨设P 在渐近
2
0
x
y
上，可设
( 2 ,
)
P
m m ，
0
m
，
由OF
PF
可得
2
2
( 2 -1)
1
m
m
，解得
2 2
3
m
，
则△PFO 的面积为1
1
2 2
2
1
2
2
3
3
P
OF y
，
故答案为：
2
3
.
23．过点
0,4
F
且与直线
4
0
y
相切的动圆圆心的轨迹方程为
．
【答案】
2
16
x
y
【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.
【详解】由题意可得，动圆的圆心到直线
4
y 的距离与到点
0,4
F
的距离相等，所以动圆的圆心是以
点
0,4
F
为焦点，直线
4
y 为准线的抛物线，则其方程为
2
16
x
y
．
故答案为：
2
16
x
y
24.已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，若P 是该抛物线上一点，点
4,3
Q
，则PF
PQ
的最小值
.
【答案】5
【解析】抛物线的准线方程为= 1
x ，
则PF
PQ
的最小值为
4,3
Q
到准线的距离，即为4 1
5
.
故答案为：5.
25．已知直线l 是抛物线
2
:
2
C y
x
的准线，抛物线的顶点为O，焦点为F ，若A 为C 上一点，l 与C 的对
称轴交于点B ，在
ABF
△
中，sin
2sin
AFB
ABF
，则AB 的值为
．
【答案】
2
【分析】在
ABF
△
中，由sin
2sin
AFB
ABF
结合正弦定理可得
2
AB
AF
，在设抛物线上点
2
,
2
t
A
t
，
列式求解即可得
2t ，则AB 可求.
【详解】因为抛物线
2
:
2
C y
x
的准线，焦点为F ，准线l 与C 的对称轴交于点B ，
所以
1 ,0
2
F
，
1 ,0
2
B
，
因为在
ABF
△
中，sin
2sin
AFB
ABF
，
所以由正弦定理可得，
2
AB
AF
,
因为A 为抛物线C 上一点，所以可设为
2
,
2
t
A
t
由此可得
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
t
t
t
t
，
平方化简可得：
4
2
2
1=0
t
t
，即
2
2
1
0
t
，可得
2
1
t ,
2
2
2
1
1 1
2
2
2
A
t
B
t
.
故答案为：
2 .
26．已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q ，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的
轨迹方程
．
【答案】
2
1
6
20
2
y
x
x
【分析】设出动点
( , )
Q x y 和相关点
1
1
,
P x y
，再根据条件
1
6
2
x
x
，
1
2
y
y
，再代入即可得出结果.
【详解】设动点Q 的坐标
,x y ，点P 坐标
1
1
,
x
y
，
1
1
2,
2
,
，
AQ
x
y
PA
x y
，
因为
2
AQ
PA
，所以
1
2
2 2
x
x
，
1
0
2 0
y
y
，
可得
1
6
2
x
x
，
1
2
y
y
，
代入
2
1
1
1
y
x
，得
2
6
1
2
2
y
x
，整理得
2
1
6
20
2
y
x
x
，
所以动点Q 的轨迹方程为
2
1
6
20
2
y
x
x
．
故答案为：
2
1
6
20
2
y
x
x
27．已知抛物线
2
2
y
px
上有
6, 6
P
，A，B 三点，且直线AB 过抛物线的焦点F，抛物线的准线l 与x 轴
交于点C，若
3
4
AF
AB
，则AB
，sin
ACB
．
【答案】
8
4 3
7
/ 4
3
7
【分析】先根据条件求出抛物线的方程，作图，再根据图中的几何关系求解.
【详解】由题意，将点
6, 6
P
代入
2
2
y
px
，得12
36
p
，解得
3
p
，所以抛物线的方程为
2
6
y
x
，
准线l 的方程为
3
2
x
；
如图，过A 作AM
l
于M，过B 作BN
l
于N，过B 作
'
BA
AM
于
'A ，交x 轴于G，连接AC ，BC，
设BF
m
，则由
3
4
AF
AB
，得
3
AF
m
，
4
AB
m
，
'
1
2
2
AA
m
AB
，所以
'
30
ABA
，
显然
'
BGF
AA B
，
'
'
1
,
4
2
GF
BF
m
GF
AA
AB
AA
，
所以
1
3
2
2
2
p
p
CF
BN
GF
m
m
，解得
2
m
，
所以
8
AB
，
1 ,
3
2
B
，
3
CN
，
9 ,3 3
2
A
，
9
3
6
2
2
AM
，
2
2
2
2
2
( 3)
7
BC
CN
BN
，
2
2
2
2
6
(3 3)
3 7
AC
AM
CM
，
在ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
cos
2
AC
BC
AB
ACB
AC
BC
63
7
64
1
7
2 3 7
7
，
所以
4 3
sin
7
ACB
，
故答案为：8，4 3
7
.
28.根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为
3
2
y
；
(2)焦点在x 轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y 轴，经过点(
)
1, 2
-
．
【答案】(1)
2
6
x
y
；(2)
2
12
y
x
或
2
12
y
x
；(3)
2
8
y
x
或
2
8
y
x
；(4)
2
1
2
x
y
【解析】（1）因为抛物线的准线方程为
3
2
y
，则
3
2
2
p
，可得
3
p
，
所以抛物线的方程是
2
6
x
y
．
（2）因为焦点在x 轴上且其到准线的距离为6，可知
6
p =
，
所以抛物线的方程是
2
12
y
x
或
2
12
y
x
．
（3）因为对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于2，可知
2
2
p
，即
4
p
，
所以抛物线的方程是
2
8
y
x
或
2
8
y
x
．
（4）因为对称轴是y 轴，设抛物线方程为
2x
ay
，
因为抛物线经过点(
)
1, 2
-
，可得
21
2
a
，解得
1
2
a
，
所以抛物线的方程是
2
1
2
x
y ．
29．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为
2,0
F
；
(2)准线方程为：
4
y ；
(3)焦点到准线的距离为6.
【答案】(1)
2
8
y
x
(2)
2
16
x
y
(3)
2
12
y
x
或
2
12
y
x
或
2
12
x
y
或
2
12
x
y
【分析】根据焦点或准线，求得p 的值，即可求得抛物线标准方程；不能确定焦点位置时，要注意讨论可
能的情况，从而写出方程.
【详解】（1）因为焦点为
2,0
F
，故抛物线焦准距为
4
p
，
则抛物线标准方程为
2
8
y
x
；
（2）抛物线准线方程为：
4
y ，则
4,
8
2
p
p
，
焦点在y 轴正半轴上，则抛物线标准方程为
2
16
x
y
；
（3）焦点到准线的距离为6，即
6
p =
，
焦点位置不确定，
故抛物线标准方程为
2
12
y
x
或
2
12
y
x
或
2
12
x
y
或
2
12
x
y
.
30.已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
的焦点F 到准线的距离为2．
(1)求C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足
9
PQ
QF
，求点Q 的轨迹方程．
【答案】(1)
2
4
y
x
；(2)
2
2
9
5
25
y
x
【解析】（1）由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p，故
2
p
，
所以C 的方程为
2
4
y
x
；
（2）由（1）知
1,0
F
，设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
则
2
1
2
1
,
PQ
x
x y
y
，
2
2
1
,
QF
x
y
，
因为
9
PQ
QF
，所以
2
1
2
2
1
2
9 1
9
x
x
x
y
y
y
，可得
1
2
1
2
10
9
10
x
x
y
y
，
又点P 在抛物线C 上，所以
2
1
1
4
y
x
，即
2
2
2
10
4 10
9
y
x
，
化简得
2
2
2
2
9
5
25
y
x
，则点Q 的轨迹方程为
2
2
9
5
25
y
x
．
31．已知点A 的坐标为
3,2 ，点F 为抛物线
2
2
y
x
的焦点，若点P 在此抛物线上移动，求PA
PF
的最
小值，并求此时点P 的坐标．
【答案】7
2 ；(2,2)
【分析】根据抛物线的定义，把PA
PF
转化为PA
PM
，利用当
, ,
M P A 三点共线时，PA
PF
取得
最小值，把
2
y
代入抛物线
2
2
y
x
解得x 值，即得P 的坐标.
【详解】根据题意，作图如下，
设点P 在其准线
1
2
x
上的射影为M ，
由抛物线的定义得PF
PM
，
欲使PA
PF
取得最小值，就是使PA
PM
最小，
1
7
3
2
2
PA
PM
AM
，当且仅当
, ,
M P A 三点共线时，等号成立.
所以PA
PF
取得最小值7
2 ，此时
, ,
M P A 三点共线，即点P 的纵坐标
0
2
y
，
设点P 的横坐标为
0x ，
0,2
P x
为抛物线
2
2
y
x
上的点，
0
2
x
，
点P 的坐标为
(2,2)
P
.
