4.1 数列的概念
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：数列的概念................................................................... 2
考点二：数列的分类................................................................... 2
考点三：数列的通项公式............................................................. 2
考点四：数列的递推公式............................................................. 3
考点五：数列的性质................................................................... 3
考点六：数列的前n 项和Sn .........................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：数列的概念及分类.......................................................... 3
题型二：根据规律求数列中的某项..................................................6
题型三：判断或写出数列中的项.................................................... 7
题型四：利用递推关系求数列的项或通项.........................................9
题型五：数列的单调性的判断及其应用..........................................12
题型六：求数列中的最大(小)项................................................... 15
题型七：数列的周期性问题........................................................ 17
题型八：根据数列的前n 项和Sn 求an ........................................ 19
模块三：综合巩固....................................................................... 21
4.1 数列的概念
模块一：基础知识
考点一：数列的概念
1.数列的概念
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个
位置上的数叫做这个数列的第1 项,常用符号
1a 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项,用
2a 表
示……第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项,用
na 表示.其中第1 项也叫做首项.
数列的一般形式是
1a ,
2a ,…,
na ,…,简记为{
}
na
.
2.数列与函数的关系
由于数列{
}
na
中的每一项
na 与它的序号n 有下面的对应关系：
所以数列{
}
na
是从正整数集N （或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，
对应的函数值是数列的第n 项
na ，记为
( )
na
f n
.
也就是说，当自变量从1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值
(1)
f
，
(2)
f
，…，
( )
f n ，…就是数列{
}
na
.
另一方面，对于函数
( )
y
f x
，如果
( )
f n （n
N
）有意义，那么
(1)
f
，
(2)
f
，…，
( )
f n ，…构成
了一个数列{ ( )}
f n
.
考点二：数列的分类
考点三：数列的通项公式
如果数列{
}
na
的第n 项
n
a 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个
数列的通项公式.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间
的大小关
系
递增数列
1
n
n
a
a
其中n
N
递减数列
1
n
n
a
a
常数列
1
n
n
a
a
考点四：数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公
式.
考点五：数列的性质
1、数列的单调性
若数列{
}
na
满足对一切正整数n ，都有
1
n
n
a
a
（或者
1
n
n
a
a
），则称数列{
}
na
为递增数列（递减数
列）；
①求数列{
}
na
中最大项方法：当
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
时，则
n
a 是数列最大项；
②求数列{
}
na
中最小项方法：当
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
时，则
n
a 是数列最小项；
2、数列的周期性
一般地，若数列{
}
na
满足存在正整数T 使得
n T
n
a
a
对一切正整数n 都成立，则称数列{
}
na
为周期数列，
T 叫做数列{
}
na
的周期.
考点六：数列的前n 项和Sn
1、数列前n 项和的概念
我们把数列{
}
na
从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{
}
na
的前n 项和，记作
n
S ，即
1
2
n
n
S
a
a
a
2、数列前n 项和
n
S 与通项
na 的关系
当
1
n
时，
1
1
S
a
当
2
n
时，
1
1
2
1
n
n
S
a
a
a
①,
1
2
1
n
n
n
S
a
a
a
a
②
用
1
1
2
1
1
2
1
(
)
(
)
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
a
a
a
化简得：
1
n
n
n
a
S
S
所以：
1
1
1
2
n
n
n
a
n
a
S
S
n
模块二：题型分类
题型一：数列的概念及分类
1．下列结论中，正确的是（
）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3,
, }
n
）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】A
【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D 作答.
【解析】对于A，由数列定义知，A 正确；
对于B，数列1,2,3,4,5只有5 项，该数列项数有限，B 错误；
对于C，数列1,1, 1,1, 1,1,
的通项公式可以为
( 1)n
na
，
也可以为
1,
2
1,
N
1,
2
n
n
k
a
k
n
k
，该数列通项公式不唯一，C 错误；
对于D，该数列的通项公式可以为
1,
2
1
2
,
N
3 ,
2
2
n
n
n
k
b
k
n n
k
，D 错误.
故选：A
2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(
)
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－1
2 ，－1
3 ，－1
4 ，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1，
2 ，
3 ，
4 ，…，10
【答案】B
【详解】A，B，C 中的数列都是无穷数列，但是A，C 中的数列是递减数列，故选B.
3.已知
*
1
6
5
N
n
n
a
a
n
，则数列
na
是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
【答案】A
【详解】由题意可知
*
1
11
0
N
n
n
a
a
n
，
即从第二项起数列
na
的每一项比它的前一项大，所以数列
na
是递增数列；
故选：A
4.下列叙述不正确的是（
）
A．1，3，5，7 与7，5，3，1 是相同的数列
B．1，3，1，3，…是常数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为
na
n
D．数列
2
1
n
是递增数列
【答案】ABC
【详解】对于A，数列1，3，5，7 与7，5，3，1 不是相同的数列，故A 错误；
对于B，数列1，3，1，3，…是摆动数列，故B 错误；
对于C，数列0，1，2，3，…的通项公式为
1
na
n
，故C 错误；
对于D，数列
2
1
n
是递增数列，故D 正确．
故选：ABC．
5.（多选）列结论正确的是（
）
A．数列1，2，3 与3，2，1 是两个不同的数列．
B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．
C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．
D．若数列
na
的前n 项和为
n
S ，则对任意
N
n
，都有
1
1
n
n
n
a
S
S
.
【答案】ACD
【详解】由数列的定义可知选项A 正确；一个数列可以是常数列，因此选项B 错误；
根据数列的图象特征可知选项C 正确；由
n
S 的意义可知选项D 正确，故选：ACD
6.下列说法中正确的是（
）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，1
，2
与2
，1
，0，1 是相同的数列
C．数列
1
n
n
的第k 项为
1
1
k
D．数列0，2，4，6，可记为
2n
【答案】C
【详解】对A，数列可为常数数列，A 错误；
对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B 错误；
对C，当n
k
时，
1
1
1
k
k
a
k
k
，C 正确；
对D，数列中的第一项不能用
2
na
n
表示，D 错误.
故选：C
7.已知函数
1
( )
f x
x
x
，设
( )
na
f n
n
N
，则下列说法中错误
．．的是（
）
A．
na
是无穷数列
B．
na
是递增数列
C．
na
不是常数列
D．
na
中有最大项
【答案】D
【详解】对于A ，
na
显然是无穷数列，故A 正确；
对于B，因为
1
1
1
1
1
1
0
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n
n
n n
，即
1
n
n
a
a
，即
na
是递增数列，故B 正确；
对于C，因为
1
2
a
，
2
1
5
2
2
2
a
，
1
2
a
a
，故
na
不是常数列，故C 正确；
对于D，由B 知，
na
是递增数列，当n 趋近于无穷大时，
1
na
n
n 也趋近于无穷大，所以
na
中无最大
项，故D 错误.
故选：D
题型二：根据规律求数列中的某项
1．数列
4 9 16
1,
,
,
,
3 5
7 的第8 项是（
）
A．64
15
B．32
13
C．64
13
D．32
15
【答案】A
【分析】观察，将1 看为1
1，找到分子分母各自的规律即可.
【解析】观察
4 9 16
1,
,
,
,
3 5
7 可看为1 4 9 16
,
,
,
,
1 3 5 7
分母是2
1
n ，分子为
2
n ，故第8 项为64
15 ，
故选：A.
2.根据下列数列的前4 项，写出它的一个通项公式：
(1)0，1，0，1，…；
(2)7，77，777，7777，…；
(3) 1
2 ，1
6 ，1
12 ，1
20 ，…；
(4)
2
2
1
2
，
23
1
3
，
2
4
1
4
，
25
1
5
，…．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【详解】（1）根据所给数列可得，
1 ( 1)
2
n
na
.
（2）根据所给数列可得，
7 (10
1)
9
n
na
（3）根据所给数列可得，
1
(
1)
na
n n
（4）根据所给数列可得，
2
(
1)
( 1)
1
n
n
n
a
n
3.观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式：
(1)2，4，2，4，…；
(2)9，99，999，9999，…：
(3) 1
2 ，
3
4
，7
8 ，
15
16
，…．
【答案】(1)
3
1
n
na
(2)
10
1
n
na
(3)
1 2
1
1
2
n
n
n
n
a
【详解】（1）因为这个数列的前4 项为3 1
，3 1
，3 1
，3 1
，
由此得到它的一个通项公式
3
1
n
na
．
（2）因为这个数列的前4 项为10 1
，
2
10
1
，
3
10
1
，
4
10
1
，
由此得到它的一个通项公式
10
1
n
na
．
（3）因为这个数列的前4 项为
2 2 1
1
2
，
2
3
2
2
1
1
2
，
3
4
3
2
1
1
2
，
4
5
4
2
1
1
2
，
由此得到它的一个通项公式
1 2
1
1
2
n
n
n
n
a
．
4.数列{an}：1，
5
8
，
7
15 ，
9
24
，…，的一个通项公式是（
）
A．
1
2
2
1
( 1)n
n
n
a
n
n
n
N
B．
1
3
2
1
( 1)
3
n
n
n
a
n
n
n
N
C．
1
2
2
1
( 1)
2
n
n
n
a
n
n
n
N
D．
1
2
2
1
( 1)
2
n
n
n
a
n
n
n
N
【答案】D
【详解】观察数列{an}各项，可写成：3
5
7
9
,
,
,
1 3
2
4 3 5
4 6
，选项D 满足，选项A 中，
1
1
2
a
，选项B
中，
1
3
4
a
，选项C 中，
1
1
3
a
，均不符合题意．
故选：D
5.写出下面各数列的一个通项公式：
(1) 2 ，4 ，6，8 ，……
(2)1，
1
2
，1
3 ，
1
4
，……
【答案】(1)
2
na
n
（答案不唯一）
(2)
1
1
n
na
n
（答案不唯一）
【详解】（1）数列的前几项可改写为2 1
，2
2
，2 3
，2 4
，……，则
2
na
n
（答案不唯一）.
（2）数列的前几项可改写为
2
1
1
，
3
1
2
，
4
1
3
，
5
4
1
，……，则
1
1
n
na
n
（答案不唯一）.
题型三：判断或写出数列中的项
1．若
1
1
n
n
a
a
n
，
1
1
a 则
10
a
（
）
A．55
B．56
C．45
D．46
【答案】D
【分析】在数列递推式中依次取
1,2,3,
,
n
n
，得到n 个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答
案.
【解析】由
1
1
n
n
a
a
n
，
得
2
1
1
a
a
，
3
2
2
a
a
，
4
3
3
a
a
，L，
1
1
2
n
n
a
a
n
n
，
累加得，
1
1 2
3
1
na
a
n
2
1
1
1
2
2
n
n
，
当
1
n 时，上式成立，
则
2
1
1
1
2
2
na
n
n
，
所以
10
1
1
100
10 1
46
2
2
a
.
故选：D
2.已知数列
na
的通项公式为
2
1
3
n
n
n
a
，
2
79 3 是否是该数列中的项？若是，是第几项？
【答案】是，15
【详解】解：令
2
1
2
79
3
3
n
n
n
a
，即
2
240
0
n
n
，
解得
15
n
或
16
n
（舍去），
所以
2
79 3 是该数列中的项，且是第15 项.
3.已知无穷数列1 2
，2 3
，3 4
，…，
1
n n
，…．
(1)求这个数列的第10 项和第31 项．
(2) 420 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
(3)证明：60 不是这个数列中的项．
【答案】(1)
10
110
a
，
31
992
a
(2) 420 是这个数列中的第20 项
(3)证明见解析
【详解】（1）因为无穷数列1 2
，2 3
，3 4
，…，
1
n n
，…，
所以该数列的通项公式为
(
1)
na
n n
，
则
10
10 (10 1)
110
a
，
31
31 (31 1)
992
a
.
（2）因为
(
1)
na
n n
，
将420 代入，得(
1)
420
n n
，解得
20
n
或
21
n
（舍去），
所以420 是这个数列中的第20 项.
（3）因为
(
1)
na
n n
，
将60 代入，得(
1)
60
n n
，即
2
60
0
n
n
，解得
1
241
2
2
n
（负值舍去），
又
*
N
n
，故
1
241
2
2
n
也不满足题意，
所以60 不是这个数列中的项.
4.在数列
na
中，
1
2
a
，
17
66
a
，通项公式
na
pn
q
，其中p，q 为常数，
0
p
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)88 是否是数列
na
中的项？
【答案】(1)
4
2
na
n
(2)88 不是数列
na
中的项
【详解】（1）解：因为
1
2
a
，
17
66
a
，通项公式
na
pn
q
，
所以
2
17
66
p
q
p
q
，
解得，
4
2
p
q
，
所以
4
2
na
n
；
（2）令4
2
88
n
，
解得
45
2
n
，
因为
*
N
n
，
所以88 不是数列
na
中的项.
题型四：利用递推关系求数列的项或通项
1.已知数列
na
满足
1
1
1
1,
(
2)
n
n
a
a
a
n n
，则
5a =（
）
A．7
5
B．17
12
C．47
30
D．51
40
【答案】C
【分析】利用累加法以及裂项求和法求得正确答案.
【解析】依题意，
1
1
1 1
1
(
2)
2
2
n
n
a
a
n n
n
n
，
所以
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
5
4
6
1
1
1
1
47
1
1
2
2
5
6
30
.
故选：C.
2．已知数列
na
满足
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，且
1
3
a
，则
2023
a
（
）
A．3
B．1
2
C．-2
D．4
3
【答案】B
【分析】由已知可得数列递推式
1
2
2
n
n
a
a
，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.
【解析】由题意数列
na
满足
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，则
1
2
2
n
n
a
a
，
故由
1
3
a ，得
2
3
4
5
2
2
2
2
,
,
1
1
4
2,
3
4
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
a
a
a
a
，
由此可知数列
na
的周期为4，
故
2023
4 505 3
3
1
2
a
a
a
，
故选：B
3.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引
入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列
na
为“斐波那契数列”且满足：
*
1
2
3,
N
n
n
n
a
a
a
n
n
，则
4
8
a
a
（
）
A．12
B．16
C．24
D．39
【答案】C
【详解】由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知
4
8
3
21
24
a
a
.
故选：C
4.下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个
数是（
）
A．
1
n n
B．
1
2
n n
C．
1
2
n n
D．
1
n n
【答案】C
【详解】
1
1
a
，2
3
1
2
a
，3
6
1
2
3
a
，4
10
1
2
3
4
a
，
2
1
2
a
a
，3
2
3
a
a
，4
3
4
a
a
，
1
n
n
a
a
n
，
等式两边同时累加得
1
2
3
na
a
n
，即
1
1 2
,
2
2
n
n n
a
n
n
，
1
1
a 也符合该式，
所以第n 个图形中小正方形的个数是(
1)
2
n n
．
故选：C
5.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9 个圆环，解开九连环共需要256 步，解下
或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以
将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为
*
9,
N
na
n
n
，已
知
1
2
1,
1
a
a
，按规则有
*
1
2
2
1
3,
N
n
n
n
a
a
a
n
n
，则解下第5 个圆环最少需要移动的次数为（
）
A．4
B．7
C．16
D．31
【答案】C
【详解】由题意得
3
2
1
2
1
4
a
a
a
，
4
3
2
2
1
7
a
a
a
，
5
4
3
2
1 16
a
a
a
，
所以解下第5 个圆环最少需要移动的次数为16 次.
故选：C.
6.如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第
1 条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1 条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2 条“雪花
曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n 条“雪花曲线”有
n
a 条边.
（1）写出
1
2
a
a
，
的值.
（2）求出数列
na
的递推公式.
【答案】（1）
1
2
=
=48
a
a
12，
.（2）
1
4
n
n
a
a
【详解】解：（1）
1
2
=
=48
a
a
12，
.
（2）由“雪花曲线”的作法可知，
第n 条“雪花曲线”的每条边都可得到第
1
n 条“雪花曲线”的四条边.
∴
1
4
n
n
a
a
.∴数列
na
的递推公式为
1
4
n
n
a
a
.
7.数列
na
满足
1
2019
a
，且对
*
n
N ，恒有
3
2n
n
n
a
a
，则
7a （
）
A．2021
B．2023
C．2035
D．2037
【答案】D
【详解】由已知可得，
1
4
1
1
2
202
a
a
，
4
7
4
7
2
203
a
a
.
故选：D.
8.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1 代“勾
股树”，重复图二的作法，得到图三为第2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代
“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（
）
A．2
1
n ；n
B．2
1
n ；
1
n
C．
1
2
1
n
；n
D．
1
2
1
n
；
1
n
【答案】D
【详解】解：第一代“勾股数”中正方形的个数为1
2
3
，面积和为2，
第二代“勾股数”中正方形的个数为
2
1 2
2
7
，面积和为3，
第三代“勾股数”中正方形的个数为
2
3
1
2
2
2
15
，面积和为4，
…
第n 代“勾股数”中正方形的个数为
1
1
2
...
2
2
1
n
n
，面积和为
1
n ，
故选：D
题型五：数列的单调性的判断及其应用
1．已知
*
1
6
5
N
n
n
a
a
n
，则数列
na
是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
【答案】A
【分析】根据递增数列的定义即可判断出答案.
【解析】由题意可知
*
1
11
0
N
n
n
a
a
n
，
即从第二项起数列
na
的每一项比它的前一项大，所以数列
na
是递增数列；
故选：A
2.判断下列数列
na
的单调性：
(1)
7
na
n
；
(2)
7
2n
na
；
(3)
2
lg
1
na
n
；
(4)
2
2
1
1
n
n
a
n
．
【答案】(1)单调递减
(2)单调递增
(3)单调递增
(4)单调递减
【详解】（1）根据函数
7
y
x
单调递减知，
7
na
n
单调递减，
所以数列
na
是单调递减数列.
（2）由
7
2x
y
为增函数知，
7
2n
na
单调递增，
所以数列
na
是单调递增数列.
（3）由
2
lg(
1)
y
x
在(0,
)
上单调递增知，
2
lg
1
na
n
单调递增，
所以数列
na
是单调递增数列.
（4）因为
2
2
1
1
n
n
a
n
，
所以
2
2
2
1
2
2
2
2
1
(2
3)(
1)
(2
1)(
2
2)
1
[
1
2(
1) 1
(
1)
1
(
1)
1]
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
2
2
2
(
1
2
4
1
[
1
)
1]
n
n
n
n
，
当
1
n ，
N
n
时，
2
2
2
1
2
4
1
0
0,[
1
(
)
1]
n
n
n
n
，
所以
2
2
2
]
2
4
1
0
[(
1)
1
1
n
n
n
n
，
即
1
0
n
n
a
a
，所以
1
n
n
a
a
，
所以数列
na
是单调递减数列.
3.已知
na
n
n
，则“0
2
”是“数列
na
是递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条
C．充要条件件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】充分性：
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n n
n n
，
因为
2
f n
n
n
的对称轴为
1
2
n
，所以
f n 在
1,单调递增，
所以
f n 的最小值为
1
2
f
，
因为0
2
，所以
1
2
0
f n
f
，
所以
1
0
n
n
a
a
，即数列
na
是递增数列.
“0
2
”是“数列
na
是递增数列”的充分条件.
必要性：显然，当
0
时，
na
n
为递增数列.
“0
2
”是“数列
na
是递增数列”的不必要条件.
综上，“0
2
”是“数列
na
是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
4.数列
na
的通项公式为
2
na
n
kn
，那么“
1
k ”是“
na
为递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
1
k 时，
2
2
1
1
1
2
1
2
0
n
n
a
a
n
k n
n
kn
n
k
n
，
数列
na
为递增数列，充分性成立；
当数列
na
为递增数列时，
2
2
1
1
1
2
1
0
n
n
a
a
n
k n
n
kn
n
k
，
2
1
k
n
恒成立，又
max
2
1
2 1 1
3
n
，
3
k
，必要性不成立；
“
1
k ”是“
na
为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
5.（多选）下列数列
na
是单调递增数列的有（
）
A．
2
3
1
na
n
n
B．
1
2
n
na
C．
2
na
n
n
D．
ln
1
n
n
a
n
【答案】BD
【详解】因为
*
N
n
选项A：
2
2
1
1
3
1
1
3
1
2
2
0
n
n
a
a
n
n
n
n
n
，所以
2
1
0
a
a
，
2
3
1
na
n
n
不是单调递
增数列；
选项B：
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
n
n
n
n
n
a
a
，所以
1
2
n
na
是单调递增数列；
选项C：
1
2
2
(
2)(
1)
1
1
(
1)
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n n
，所以
2
1
0
a
a
，
2
na
n
n
不是单调递增数列；
选项D：
1
2
1
1
1
1
ln
ln
ln
ln 1
0
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
，所以
ln
1
n
n
a
n
是单调递增数列；
故选：BD
6.已知函数
1
( )
x
f x
x
，设数列
na
的通项公式为
( )
na
f n
，其中
*
N
n
；
(1)求证：0
1
n
a
；
(2)判断
na
是递增数列还是递减数列，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)递增，理由见解析
【详解】（1）由题意可知
1
1
( )
1
n
n
a
f n
n
n
，
又因为
*
N
n
，所以
1
0
1
n
，因此
1
0
1
1
n
，即0
1
n
a
.
（2）因为
1
1
1
1
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
，
又因为
*
N
n
，
1
1
n
n
，所以
1
0
(
1)
n n
，
从而
1
0
n
n
a
a
，即
1
n
n
a
a
，
因此
na
是递增数列.
题型六：求数列中的最大(小)项
1.已知数列
na
的通项公式为
2
8
5
na
n
n
．
(1)写出这个数列的前5 项．
(2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？
【答案】(1)答案见解析；
(2)有最小项，为第四项.
【详解】（1）由题设
2
1
1
8
5
2
a
，
2
2
2
16
5
7
a
，
2
3
3
24
5
10
a
，
2
4
4
32
5
11
a
，
2
5
5
40
5
10
a
.
（2）由
2
2
8
5
(
4)
11
na
n
n
n
，对应二次函数开口向上且对称轴为
4
n
，
所以有最小项，为第四项.
2.已知数列
na
的通项公式为
1
2
15
n
n
a
，其最大项和最小项的值分别为（
）
A．1，
1
7
B．0，
1
7
C．1
7 ，
1
7
D．1，
1
11
【答案】A
【详解】因为n
N ，所以当1
3
n
时，
1
0
2
15
n
n
a
，且单调递减；
当
4
n
时，
1
0
2
15
n
n
a
，且单调递减，且
1
1
1
2 15
13
a
，
所以最小项为
3
1
1
8 15
7
a
，最大项为
4
1
1
16 15
a
.
故选：A.
3.已知数列
na
的通项公式为
*
2
2023
N
n
na
n n
，则当
na 最小时，n （
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【详解】数列
na
中，
2
2023
n
na
n
，则
1
2
2023
n
n
n
a
a
，而
10
11
2
2023
2
，
于是当
10
n
时，
1
0
n
n
a
a
，即
1
n
n
a
a
，当
11
n
时，
1
0
n
n
a
a
，即
1
n
n
a
a
，
因此当
N ,
11
n
n
时，数列
na
单调递减，当
11
n
时，数列
na
单调递增，
所以当且仅当
11
n
时，
na 最小.
故选：C
4.已知数列
na
的通项公式为
3
2
n
n
n
a
，试判断数列
na
的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．
【答案】详见解析
【详解】解：
1
1
1
2
3
4
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
，
当1
3
n
时，
1
0
n
n
a
a
，即
1
2
3
4
a
a
a
a
，
当
4
n
时，
1
0
n
n
a
a
，即
5
4
a
a
，
当
5
n
时，
1
0
n
n
a
a
，即
5
6
7
a
a
a
，
所以
na
在
1
4
N
n
n
时单调递增，在
5
N
n
n
时单调递减；
所以数列
na
的最大项为
5
4
1
16
a
a
，
又
1
2
0
a
a
，当
3
N
n
n
，
3
0
2
n
n
n
a
，
所以数列
na
的最小项为
1
1
a .
5.已知
98
99
n
n
a
n
，求该数列前30 项中的最大项和最小项．
【答案】最大项为
10
10
98
10
99
a
，最小项为
9
9
98
9
99
a
【详解】
98
99
n
n
a
n
，
99
99
98
99
98
1
99
99
n
n
a
n
n
，
而9
99
10
，
99
98
0
，
若要
99
98
1
99
n
最大，则需要
99
n
取最小正数，则当
10
n
时，
na 最大，
若要
99
98
1
99
n
最小，则需要
99
n
取最大负数，则当
9
n
时，
na 最小．
所以该数列前30 项中的最大项为
10
10
98
10
99
a
，最小项为
9
9
98
9
99
a
.
6.已知数列
na
的通项公式为
2
2
15
1
na
n
n
，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，
指出第几项最大；若没有，试说明理由．
【答案】作图见解析，第4 项最大
【详解】
2
2
15
1
na
n
n
,
1
2
3
4
5
6
12,
21,
26,
27,
24,
17,
a
a
a
a
a
a
,
该数列的图象如下图所示：
2
2
15
1
na
n
n
，n
N ，
设
2
2
15
1
y
x
x
，对称轴为
15
3.75
4
x
，且开口向下，
又因为n
N ，再结合图象可知该数列有最大项, 为第四项.
题型七：数列的周期性问题
1.数列
na
满足
1
1
1
1
,
2
n
n
a
a
a
，则
2024
a
.
【答案】1
2 /0.5
【详解】由题设
3
1
2
4
1
1,
2,...
2
2,
,
a
a
a
a
，
所以
na
是周期为3 的数列，则
2024
3 674 2
2
1
2
a
a
a
.
故答案为：
1
2
2.若数列
na
满足，
1
2
a ，
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，则
2023
a
（
）
A．1
2
B．－2
C．3
D．
1
3
【答案】A
【详解】
1
2
a ，则
2
1
2
1
1
2
3
a
，
3
1
1
1
3
1
2
1
3
a
，
4
1
1
2
3
1
1
2
a
，
5
1
3
2
1 3
a
，
所以数列{
}
na
是周期数列，且周期是4，因此
2023
3
1
2
a
a
，
故选：A．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，设
1
1
2
a
，
1
1
n
n
n
a a
a
，则
2024
S
（
）
A．1
2
B．3
2
C．2021
2
D．1012
【答案】C
【详解】易知
0
na
，由
1
1
n
n
n
a a
a
得
1
1
1
n
n
a
a
.
又
1
1
2
a
，
所以
2
1
1
1
1
a
a
，
3
2
1
1
2
a
a
，
4
1
3
1
1
1
2
a
a
a
，
故数列
na
是以3 为最小正周期的周期数列，
所以
2024
1
2
3
1
2
3
1
2021
674
674
1
2
2
2
S
a
a
a
a
a
.
故选：C.
4.数列
na
满足
1
2
1
4
2
n
n
n
a
a
a
，且
1
1
a ，则数列
na
的前2024 项的和
2024
S
（
）
A．
253
6
B．
253
8
C．
1771
6
D．1771
8
【答案】C
【详解】因为
1
2
1
4
2
n
n
n
a
a
a
，且
1
1
a ，
令
1
n ，可得
1
2
1
2
1
1
4
2
6
a
a
a
；令
2
n
，可得
2
3
2
2
1
1
4
2
4
a
a
a
；
令
3
n
，可得
3
4
3
2
1
3
4
2
2
a
a
a
；令
4
n
，可得
4
5
4
2
1
1
4
2
a
a
a
；
可知数列
na
是以4 为周期的周期数列，
则
2
3
4
1
1
1
3
7
1
6
4
2
12
a
a
a
a
，且2024
4 506
，
所以
2024
7
1771
506
12
6
S
.
故选：C.
5.数列
na
满足
1
1
2
,0
2
1
2
1,
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，若
1
2
5
a
，则
2023
a
等于（
）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【答案】C
【详解】由
1
1
2
,0
2
1
2
1,
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，
因为
1
2
5
a
，所以
2
1
4
2
5
a
a
，
3
2
3
2
1
5
a
a
，
4
3
1
2
1
5
a
a
，
5
4
2
2
5
a
a
，
6
5
4
2
5
a
a
，L
所以数列具有周期性，周期为4，
所以
2023
505 4 3
3
3
5
a
a
a
．
故选：C.
6.已知数列
na
中，
1
2
2
1
1,
3,
n
n
n
a
a
a
a
a
，则
2022
a
．
【答案】2
【详解】因为
2
1
n
n
n
a
a
a
，则
3
2
1
n
n
n
a
a
a
，
两式相加得
3
n
n
a
a
，则
6
3
n
n
n
a
a
a
，
所以数列
na
的周期为6，
所以
2022
336 6 6
6
3
2
1
2
a
a
a
a
a
a
.
故答案为：2
.
题型八：根据数列的前n 项和Sn求an
1.若数列
na
的前n 项和为
2
2
3
1
n
S
n
n
，则
na
.
【答案】
2,
1
,
N
4
5,
2
n
n
n
n
【详解】数列
na
的前n 项和为
2
2
3
1
n
S
n
n
，
当
2
n
时，
1
2
2
2
3
1 [ 2(
1)
3(
1) 1]
4
5
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
而
2
1
1
2 1
3 1 1
2
a
S
，不满足上式，
所以
2,
1
,
N
4
5,
2
n
n
a
n
n
n
.
故答案为：
2,
1
,
N
4
5,
2
n
n
n
n
2.已知数列
na
的前n 项和
3
2
n
n
S
（n为正整数），则此数列的通项公式
na
.
【答案】
1
1,
1
2 3
,
2,
n
n
n
n
N
【详解】因为数列
na
的前n 项和
3
2
n
n
S
（n为正整数），
当
1
n 时，
1
1
3
2
1
a
S
，
当
2
n
时，
1
1
1
3
2
3
2
2 3
n
n
n
n
n
n
a
S
S
，
1
1
a 不满足
1
2 3n
na
.
所以，
1
1,
1
2 3
,
2,
n
n
n
a
n
n
N .
故答案为：
1
1,
1
2 3
,
2,
n
n
n
n
N .
3.已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，且满足
2
*
2
2(
,
1)
n
S
n
n
n
n
N
，则数列
na
的通项公式
na
.
【答案】
5,
1
2
1,
2
n
n
a
n
n
【详解】当
1
n 时，
1
1
1 2
2
5
a
S
，
当
2
n
时，
2
2
1
2
2
(
2
1
2
2
2)
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
n
，
显然2 1 1
3
5
，故
5,
1
2
1,
2
n
n
a
n
n
.
故答案为：
5,
1
2
1,
2
n
n
a
n
n
4.已知数列
nb
满足
1
2
3n
n
b
b
b
n
L
，则数列
nb
的通项公式为
.
【答案】
1
4,
1
2 3
1,
2
n
n
n
b
n
【详解】当
1
n 时，
1
4
b
；
当
2
n
时，
1
1
2
1
3
1
n
n
b
b
b
n
L
，
因为
1
2
3n
n
b
b
b
n
L
，所以两式相减可得
1
1
3
3
1
2 3
1
n
n
n
nb
n
n
；
显然
1
4
b
不满足上式，
综上可得
1
4,
1
2 3
1,
2
n
n
n
b
n
.
故答案为：
1
4,
1
2 3
1,
2
n
n
n
b
n
5.已知数列
na
的前n 项和
2
14
2
n
S
n
n
，则数列
na
的通项公式为
.
【答案】
11,
1
2
15,
2
n
n
a
n
n
【详解】当
1
n 时，
1
1 14
2
11
S
，即
1
11
a
，
当
2
n
时，
2
2
1
14
2 [(
1)
14(
1)
2]
2
15
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
对于
2
15
na
n
，当
1
n 时，
1
13
a
，与
1
11
a
不符，
所以
11,
1
2
15,
2
n
n
a
n
n
.
故答案为：
11,
1
2
15,
2
n
n
a
n
n
.
6.已知数列
na
的前n 项和
2
*
3
2
n
S
n
n
n
N
，则数列
na
的通项公式为
．
【答案】
6,
1
2
2,
2
n
n
a
n
n
【详解】
2
3
2
n
S
n
n
，取
1
n 得到
1
1
6
a
S
，
当
2
n
时，
2
1
1
3
1
2
n
S
n
n
，
2
2
1
(
3
2
1
3
1
2
2
2
n
n
n
a
S
n
n
n
n
n
S
）
，
当
1
n 时，不满足
1
6
a
所以
6,
1
2
2,
2
n
n
a
n
n
.
故答案为：
6,
1
2
2,
2
n
n
a
n
n
.
模块三：综合巩固
1．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（
）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
【答案】A
【分析】作差法判断出an＋1>an，进而可以得出结论.
【解析】an＋1－an＝3n
＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．
故选：A.
2．若数列
na
的通项公式为
4
5
na
n
，则关于此数列的图像叙述不正确的是（
）
A．此数列不能用图像表示
B．此数列的图像仅在第一象限
C．此数列的图像为直线
4
5
y
x
D．此数列的图像为直线
4
5
y
x
上满足
*
N
x
的一系列孤立的点
【答案】D
【分析】数列
na
的通项公式为
4
5
na
n
，因为
*
N
x
，所以数列
na
就是直角坐标系的上的一个个点.
【解析】数列
na
的通项公式为
4
5
na
n
，它的图像就是直线
4
5
y
x
上满足
*
N
x
的一系列孤立的点.
故选:D．
3.数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（
）
A．
1
3
4
n
na
n
B．
1
3
1
n
na
n
C．
1
1
3
4
n
na
n
D．
1
1
3
1
n
na
n
【答案】B
【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是
1
n
，
数值4，7，10，13，…满足3
1
n ，所以通项公式可以是
1
3
1
n
na
n
．
故选：B．
4.已知数列
na
满足
1
1
1
n
n
a
a
，若
1
2
a
，则
2023
a
（
）
A．2
B．1
C．1
2
D．2
【答案】A
【详解】因为
1
1
1
n
n
a
a
，
1
2
a
，
所以
2
3
4
1
2
3
1
1
1
1
=
1,
=
,
=2
1
1
2
1
a
a
a
a
a
a
；
所以
na
的周期为3，所以
2023
1
2
a
a
.
故选：A.
5.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
2,
5
5
4,
5
n
n n
S
n
n
，则
6a （
）
A．1
B．5
C．7
D．9
【答案】A
【详解】因为
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2,
5
5
4,
5
n
n n
S
n
n
，
则
2
6
6
5
5 6
4
5
1
a
S
S
.
故选：A.
6.设数列
na
满足
1
2
3
2
1
n
a
a
n
a
n
，则
4a （
）
A．7
B．1
5
C．1
7
D．1
8
【答案】C
【详解】令
4
n
，可得
1
2
4
3
3
5
7
4
a
a
a
a
，
令
3
n
，可得
1
2
3
3
5
3
a
a
a
，
两式相减可得
4
7
1
a ，所以
4
1
7
a
.
故选：C.
7.在数列2
7 ，3
11，4
15 ，5
19 ，…，
1
4
3
n
n
，…中，10
39 是它的（
）
A．第8 项
B．第9 项
C．第10 项
D．第11 项
【答案】B
【详解】由题意可得，数列的通项公式为
1
4
3
n
n
a
n
，令
1
10
4
3
39
n
n
，解得
9
n
.
故选：B
8．(多选)下列说法正确的是（
）
A．数列4，7，3，4 的首项是4
B．数列
na
中，若
1
3
a
，则从第2 项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…是无穷数列
D．a，-3，-1，1，b，5，7，9，11 能构成数列
【答案】AC
【分析】根据数列的定义对选项一一判断即可得出答案.
【解析】根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4 的第1 项就是首项，即4，故A 正确.
同一个数在一个数列中可以重复出现，故B 错误.
由无穷数列的概念可知C 正确.
当a，b 都代表数时，能构成数列；当a，b 中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定
的顺序排列的一列数，故D 错误.
故选：AC.
9.已知数列{
}
na
满足
2n
na
kn
，若{
}
na
为递增数列，则k 的取值范围是（
）
A．( 2,
)
B．(2,
)
C．(
, 2)
D．(
,2)
【答案】A
【详解】若{
}
na
为递增数列，则
1
0
n
n
a
a
，
则有
1
1
2
(
1)
(2
)
2
2
2
0
n
n
n
n
n
k n
kn
k
k
，对于
N
n
恒成立．
2n
k
，对于
N
n
恒成立，
2
k
．
故选：A．
10.（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（
）
A．
3
1
2
n
na
B．
1
3
1
2
n
na
C．
3
cos π
2
n
n
a
D．
2
1
3
sin
π
2
2
n
n
a
【答案】ACD
【详解】对于A，当n 为奇数时，
3 1
1
2
na
，当n 为偶数时，
3 1
2
2
na
，故A 中通项公式正确；
对于B，当n 为奇数时，
3 1
2
2
na
，当n 为偶数时
3 1
1
2
na
，故B 中通项公式不正确；
对于C，当n 为奇数时，
3 1
1
2
na
，当n 为偶数时，
3 1
2
2
na
，故C 中通项公式正确；
对于D，当n 为奇数时，
3 1
1
2
na
，当n 为偶数时，
3 1
2
2
na
，故D 中通项公式正确.
故选：ACD
11.已知数列
na
满足：
6
(3
)
3,
7
,
7
n
n
a n
n
a
a
n
（
N
n
），且数列
na
是递增数列，则实数a 的可能取值
是（
）
A．2
B．9
4
C．11
4
D．3
【答案】BC
【详解】因为
6
(3
)
3,
7
( )
,
7
n
n
a n
n
a
f n
a
n
，
*
N
n
，
na
是递增数列，
所以必有
8 6
3
0
1
(3
) 7
3
a
a
a
a
，
即：
3
1
2
9
a
a
a
a
或
，
解得：2
3
a
.
故选：BC.
12．已知数列
na
满足
2
6
n
n
a
n
，n 为正整数，则该数列的最大值是（
）
A．
1
2
B．1
5
C．1
6
D．5
31
【答案】B
【分析】求出数列
na
的前5 项，再由对勾函数的性质可得
1
6
na
n
n
，
*
N
n
的单调性，从而即可得最大
值.
【解析】解：由
2
6
n
n
a
n
，得
1
1
7
a
，
2
1
5
a
，
3
1
5
a
，
4
2
11
a
，
5
5
31
a
．
又
1
6
na
n
n
，
*
N
n
，
又因为
1
6
y
x
x
在
0, 6 上单调递增，在
6,上单调递减，
所以
na
的最大值为
2
3
1
5
a
a
．
故选：B．
13．已知数列
na
的通项公式是
3
4
2
n
n
a
n
，则
na
（
）
A．不是单调数列
B．是递减数列
C．是递增数列
D．是常数列
【答案】C
【分析】由
1
n
n
a
a
与0 比较即可得出答案.
【解析】因为
1
n
n
a
a
3
3
3
6
0
4
6
4
2
4
6
4
2
n
n
n
n
n
n
，
所以
na
是递增数列.
故选：C.
14．给出下列数列：①2010～2017 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，
147，163，180；②无穷多个
3 构成数列
3 ，
3 ，
3 ，
3 ，…；③－2 的1 次幂，2 次幂，3 次幂，
4 次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是
，无穷数列是
，递增数列是
，常数列是
，摆动数列
是
．
【答案】
①
②③
①
②
③
【分析】根据数列的概念确定正确结论.
【解析】①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．
故答案为：①；②③；①；②；③
15.数列
na
中，
2
11
na
n
n n
N
，则此数列最大项的值是
.
【答案】30
【详解】因为
2
2
11
121
11
2
4
na
n
n
n
n
N
，
故当
5
n
或6时，
na 取得最大值30 .
故答案为：30.
16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生
原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的
世界数学史上第一道数列题，其前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11 项是
【答案】60
【详解】观察此数列可知，当n 为偶数时，
2
2
n
n
a
，当n 为奇数时，
2
1
2
n
n
a
，所以
11
121 1
60
2
a
.
故答案为：60
17．根据下列条件，写出数列
na
的前5 项：
（1）
2
1
na
n
；
（2）
1
2
(
)
1
1
n
na
n
；
（3）
1
1
2
a
，
1
4
1(
2)
n
n
a
a
n
；
（4）
1
1
4
a
，
1
1
1
(
2)
n
n
a
n
a
.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析
【分析】（1）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出．
（2）利用通项公式分别取n＝1，2，3，4，5，即可得出．
（3）分别取n＝2，3，4，5，即可得出．
（4）分别取n＝2，3，4，5，即可得出．
【解析】（1）由
2
1
na
n
可得a1＝1，
2
1
4
a
，
3
1
9
a
，
a4
1
16
，a5
1
25
．
（2）由an＝（﹣1）n+1（n2+1）可得：a1＝2，a2＝﹣5，
a3＝10，a4＝﹣17，a5＝26．
（3）
1
1
2
a
，an＝4an﹣1+1（n≥2）；
n＝2 时，
2
1
4
1
3
a
a
；
n＝3 时，
3
2
4
1
13
a
a
；
n＝4 时，
4
3
4
1
53
a
a
；
n＝5 时，
5
4
4
1
213
a
a
；
（4）a1
1
4
，an＝1
1
1
na
（n≥2）．
n＝2 时，a2＝1
1
1
a
5；
n＝3 时，a3＝1
2
1
4
5
a
；
n＝4 时，a4＝1
3
1
1
4
a
；
n＝5 时，a5＝1
4
1
a
5．
18．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）（
），4 ，9，（
），25 ，（
），49 ；
（2）1，
2
1
3 ，（
），
2
1
7 ，
2
1
9 ，（
），
2
1
13 ；
（3）1，
2 ，（
），2 ，5 ，（
），
7 ；
（4）1
2 ，1
6 ，（
），1
20 ，1
30 ，（
）.
【答案】详见解析
【分析】本题可依次观察每个数列中的数之间的关系，根据数之间的关系即可得出结果.
【解析】（1）中依次填写1、16 、36，通项公式为
2
na
n
；
（2）中依次填写
2
1
5 、
2
1
11 ，通项公式为
(
)
2
1
2
1
na
n
=
-
；
（3）中依次填写
3 、
6 ，通项公式为
na
n
；
（4）中依次填写1
12 、1
42 ，通项公式为
1
1
na
n n
.
19．已知数列
na
的第1 项是1，第2 项是2，以后各项由
1
2
2
n
n
n
a
a
a
n
给出.
（1）写出这个数列的前5 项；
（2）利用数列
na
，通过公式
1
n
n
n
a
b
a
构造一个新的数列
nb
，试写出数列
nb
的前5 项.
【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b1 2，b2
3
2
，b3
5
3
，b4
8
5
，b5
13
8
．
【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5 项．
（2）依据（1）中给的an 的前5 项，通过公式bn
1
n
n
a
a
求解出数列{bn}的前5 项．
【解析】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，
得a3＝a2+a1＝2+1＝3，
a4＝a3+a2＝2+3＝5，
a5＝a4+a3＝3+5＝8；
（2）依题意有：b1
2
1
2
1
a
a
2，
b2
3
2
3
2
a
a
，
b3
4
3
5
3
a
a
，
b4
5
4
8
5
a
a
，
b5
6
5
4
5
5
5
8
13
8
8
a
a
a
a
a
．
20．（1）已知数列{an}满足：
1
1
1,
2
1
n
n
n
n
a
a
a
n
N
a
，求{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
【答案】（1）an=
1
2
1
n ；（2）an=
6
3
1
n .
【分析】（1）对an+1= 2
1
n
n
n
a
a 两边“取倒数”，得到
1
1
1
2n
n
n
a
a
，再利用累加法求解；
（2）由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得到
1
3
1
3
2
n
n
a
n
a
n
，然后利用累乘法求解.
【解析】（1）对an+1= 2
1
n
n
n
a
a 两边“取倒数”，得
1
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
，即
1
1
na
=2n+
1
na ，
∴
1
1
1
2n
n
n
a
a
.
∴n≥2 时，
1
2
2
1
1
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
,
2
,...,
2 ,
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
，
将以上各式累加得，
1
1
2
2
1
2 1 2
1
1
2
2
...
2
2
2
2
1 2
n
n
n
n
na
a
，
所以
1
2
1
n
na
，
所以
1
2
1
n
n
a
，当n=1 也满足，
所以
1
2
1
n
n
a
.
（2）因an≠0，由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得
1
3
1
3
2
n
n
a
n
a
n
，
∴n≥2 时，
1
3
2
1
2
2
1
3
4
3
7
5
2
,
,
,
3
1
3
4
8
5
n
n
n
n
a
a
a
a
n
n
a
n
a
n
a
a
，
逐项累乘，得
1
2
3
1
na
a
n
，
∴
6
3
1
na
n
，当n=1 也满足，
∴
6
3
1
na
n
.
