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专题4.3 等比数列
知识储备
知识点一 等比数列的概念
思考1 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.
①1,2,4,8,16，…；
②1， ， ， ， ，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，…
【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.
思考2 类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点.
(1)文字定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫
做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
(2)递推公式形式的定义 ＝q(n>1).(或 ＝q，n∈N*)
(3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列.
知识点二 等比中项的概念
思考1 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？
【答案】设这个数为G.则 ，G2＝16，G＝±4.这样的数有2个.
思考2 对比等差中项与等比中项的异同，完成表格
知识点三 等比数列的通项公式
对比项 等差中项 等比中项
若a，A，b成等差数列，则 A 若a，G，b成等比数列，则G叫
定义
叫做a与b的等差中项 做a与b的等比中项
定义式 A－a＝b－A
公式
G＝±
A＝
a与b的等比中项有两个，且互为
个数 a与b的等差中项唯一
相反数
只有当 ab ＞ 0 时，a与b才有等比
备注 任意两个数a与b都有等差中项
中项
思考 类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a，公比为q的等比数列的通项公式.
1
【答案】根据等比数列的定义得：＝q， ＝q， ＝q，…， ＝q(n≥2).
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得 · · ·…· ＝qn－1，化简得 ＝qn－1，即a＝aqn－1(n≥2).
n 1
当n＝1时，上面的等式也成立.
∴a＝aqn－1(n∈N*).
n 1
知识点四 等比数列通项公式的推广
思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： a＝a＋(n－1)d＝a ＋(n－m)d.
n 1 m
等比数列也有类似变形吗？
【答案】在等比数列中，由通项公式 a ＝aqn－1，得 ＝ ＝qn－m，所以a ＝a ·qn－m(n，
n 1 n m
m∈N*).
思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为a ＝dn＋a －d，其单调性由公差的正负确定；你
n 1
能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？
【答案】设等比数列{a}的首项为a，公比为q.
n 1
则a －a＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)，差的正负由a，q，q－1的正负共同决定.
n＋1 n 1 1 1 1
当 或 时，{a}是递增数列；
n
当 或 时，{a}是递减数列；
n
q＜0时，{a}是摆动数列，
n
q＝1时，{a}是常数列.
n
知识点五 由等比数列衍生的等比数列
思考1 等比数列{a}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是：
n
(1){3a}是等比数列；
n
(2){3＋a}是等比数列；
n
(3){ }是等比数列；(4){a }是等比数列.
2n
【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
思考2 试把思考1推广到一般的等比数列.
【答案】(1)在等比数列{a}中按序号从小到大取出若干项：ak ，ak ，ak ，…，ak ，…，若k ，
n 1 2 3 n 1
k，k，…，k，…成等差数列，那么ak，ak，ak，…，ak，…是等比数列.
2 3 n 1 2 3 n(2)如果{a}，{b}均为等比数列，那么数列{ }，{a·b}，{ }，{|a|}仍是等比数列.
n n n n n
知识点六 等比数列的性质
思考1 在等比数列{a}中，a＝aa 是否成立？a＝aa 是否成立？a＝a a (n>2)是否成立？
n 1 9 3 7 n－2 n＋2
【答案】∵a＝aq4，a＝aq8，
5 1 9 1
∴aa＝aq8＝(aq4)2＝a，a＝aa 成立.
1 9 1 1 9
同理a＝aa 成立，a＝a ·a 也成立.
3 7 n－2 n＋2
思考2 由思考1你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？
【答案】一般地，在等比数列{a}中，若m＋n＝s＋t，则有a ·a＝a·a(m，n，s，t∈N*).
n m n s t
若m＋n＝2k，则a ·a＝a(m，n，k∈N*).
m n
证明：∵a ＝aqm－1，a＝aqn－1，
m 1 n 1
∴a ·a＝aqm＋n－2，
m n
同理，a·a＝aqs＋t－2，
s t
∵m＋n＝s＋t，∴a ·a＝a·a.
m n s t
若m＋n＝2k，则a ·a＝a.
m n
知识点七 等比数列的前n项和公式的推导
思考1 对于S ＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S ＝2＋4＋8＋…＋262＋
64 64
263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S
64?
【答案】比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S ，即S ＝ ＝264－1≈1.84×1019.
64 64
思考2 类比思考1中求和的方法，如何求等比数列{a}的前n项和S
n n?
【答案】设等比数列{a}的首项是a，公比是q，前n项和为S.
n 1 n
S 写成：S＝a＋aq＋aq2＋…＋aqn－1.①
n n 1 1 1 1
则qS＝aq＋aq2＋…＋aqn－1＋aqn.②
n 1 1 1 1
由①－②得：(1－q)S＝a－aqn.
n 1 1
当q≠1时，S＝ .
n
当q＝1时，由于a＝a＝…＝a，所以S＝na.
1 2 n n 1
思考3 等比数列前n项和公式：
S＝
n
知识点八 等比数列的前n项和公式的应用
思考1 怎样求等比数列前8项的和：(1)若已知前三项 ， ， ，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a＝27，a＝ ，q＝－ .用哪个公式比较合适？
1 9
【答案】(1)用S＝ ；(2)用S＝ .
n n
思考2 一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？
【答案】(1) 一定不要忽略q＝1的情况；
(2) 知道首项a、公比q和项数n，可以用 ；知道首尾两项a、a 和q，可以用 ；
1 1 n
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a，n，q，a，S.知道其中任意三个，可求其余.
1 n n
知识点九 等比数列前n项和公式的函数特征
思考1 若数列{a}的前n项和S＝2n－1，那么数列{a}是不是等比数列？
n n n
若数列{a}的前n项和S＝2n＋1－1呢？
n n
【答案】当S＝2n－1时，a＝
n n
＝ n∈N*，是等比数列；
当S＝2n＋1－1时，
n
a＝ ＝ 不是等比数列.
n
思考2 对于一般的等比数列，前n项和有什么特征？
【答案】当公比q≠1时，等比数列的前 n项和公式是S ＝ ＝ .设A＝
n
，则上式可以写为S＝A(qn－1).
n
当公比q＝1时，因为a≠0，所以S＝na，S 是n的正比例函数.
1 n 1 n
知识点十 错位相减法
思考1 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a}的前n项和S＝a＋a＋…＋a 的？
n n 1 2 n
【答案】在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.
思考2 如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{ab}的前n项和时，上述方法还能不
n n n n
能用？
【答案】 能用.
S＝ab＋ab＋…＋ab，①
n 1 1 2 2 n nqS＝abq＋abq＋…＋abq
n 1 1 2 2 n n
＝ab＋ab＋…＋ab ，②
1 2 2 3 n n＋1
①－②：(1－q)S＝ab＋(a－a)b＋(a－a)b＋…＋(a－a )b－ab ，
n 1 1 2 1 2 3 2 3 n n－1 n n n＋1
＝ab＋d(b＋b＋…＋b)－ab
1 1 2 3 n n n＋1
＝ab＋d －ab ，
1 1 n n＋1
∴S＝
n
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
【答案】A
【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比
数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．在正项等比数列{a }中，a 1，aa>1，
n n n 1 7 8
<0.则下列结论正确的是( )
A．01，a·a>1， <0，∴a>1,01，01的等比数列，若 a ，a 是方程 4x2－8x＋3＝0的两根，则 a ＋a ＝
n 4 5 6 7
________.
【答案】18
【解析】由题意得a＝ ，a＝ ，∴q＝ ＝3.
4 5
∴a＋a＝(a＋a)q2＝ ×32＝18.
6 7 4 5
15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方
形的对角线为边画第 3 个正方形，这样一共画了 10 个正方形，则第 10 个正方形的面积等于
________平方厘米．
【答案】2048
【解析】这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等比数列{a }(1≤n≤10，n∈N*)，
n则第10个正方形的面积S＝a＝ ＝211＝2 048.
16．等比数列{a }中，若a＋a＋…＋a ＝150，且公比q＝2，则数列{a }的前100项和为________．
n 1 3 99 n
【答案】450
【解析】由 ＝q，q＝2，得 ＝2⇒a ＋a ＋…＋a ＝300，则数
2 4 100
列{a }的前100项的和S ＝(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )＝150＋300＝450.
n 100 1 3 99 2 4 100
四、解答题
17．已知等比数列{a }中，a＝ ，公比q＝ .
n 1
(1)S 为数列{a }的前n项和，证明：S ＝ ；
n n n
(2)设b ＝log a＋log a＋…＋log a ，求数列{b }的通项公式．
n 3 1 3 2 3 n n
【解析】(1)证明：因为a ＝ × n－1＝ ，
n
S ＝ ，所以S ＝ .
n n
(2)b ＝log a ＋log a ＋…＋log a ＝－(1＋2＋…＋n)＝－ .所以{b }的通项公式为b ＝－
n 3 1 3 2 3 n n n
.
18．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容
器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的 倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到
A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
【解析】设第n次操作后，A中农药的浓度为a ，B中农药的浓度为b ，则a＝a%，b＝b%.
n n 0 0
b＝ (a＋4b)，a＝ a＋ b＝ (4a＋b)；
1 0 0 1 0 1 0 0
b＝ (a＋4b)，a＝ a＋ b＝ (4a＋b)；…；
2 1 1 2 1 2 1 1
b ＝ (a ＋4b )，a ＝ (4a ＋b )．
n n－1 n－1 n n－1 n－1∴a －b ＝ (a －b )＝…
n n n－1 n－1
＝ (a－b)· n－1.
0 0
∵a－b＝ ，∴a －b ＝ · n.
0 0 n n
依题意知 · n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
19．已知等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ；
（2）由（1）可得， ，即数列 为等比数列，
所以数列 的前n项和 .
20．数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）设数列 满足 ，其前 项和为 ，证明： .【解析】（1）当 时， .
当 时， .
检验，当 时 符合.
所以 .
（2）当 时， ，
而 ，
所以数列 是等比数列，且首项为3，公比为3.
（3）由（1）（2）得 ，
，
所以
①
②
由①-②得，
所以 .
因为 ，
所以 .
21．已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 与 ；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 ，得 ，
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
所以 .
（2）由（1）可得 ，
则 ，，
两式相减得 ，
所以
.
22．已知数列 满足： ， .
（Ⅰ）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求使 成立的最大正整数n的值.
（其中，符号 表示不超过x的最大整数）
【解析】∵ ，显然
∴ ，
是以 为首项，3为公比的等比数列
即 ，所以 .
（2）.
因为n≥2时， ，
.
所以n≥2时， .
又n=1时， ，
所以 ； 时， ，所以 时，
.
由 ，及 ，得 .
所以使 成立的最大正整数n的值为45.
