专题16数列的概念（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_06.专项练习_专题16数列的概念-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题16 数列的概念
一、单选题
3 5 3
,1, , ,
1．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）数列4 4 2 的第6项是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
1 3 5 3 7
,1, , , ,2
易得该数列为后项与前项的差都为4 ,故前6项是4 4 2 4 .故第6项为2.
故选：B
2.（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）在数列{a}中，S＝2n2－3n(n∈N*)，则a 等于( )
n n 4
A．11 B．15
C．17 D．20
【答案】A
【解析】
n1
a S 1
当 时， 1 1 ，
a S S 2n2 3n2n12 3n1
当n2时， n n n1   4n5，
n1
a 4n5
当 时，上式也满足，故 n .
a 44511
所以 4 .
故选：A
3．（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知数列 1, 3, 5,  , 2n1, ，则 11 是这个数列的（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】B
【解析】
1, 3, 5, , 2n1,
数列  a  2n1
通项公式为 n ，
11 2n1
当 ，
解得n6，
故选：B.
a a 1 a 3a 2 a
4．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期中）在数列{ n}中，若 1 ， n1 n ，则 3=
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解析】
a 1 a 3a 2 a 3a 25 a 3a 217
因为 1 ， n1 n ，所以 2 1 ，所以 3 2 .选B.
1 1 1 1
 
5．（2020·江苏省高二期中）若数列的前4项分别是 2 、3、 4 、5，则此数列一个通项公式为（
）
1n 1n 1n1 1n1
A． B． C． D．
n1 n n1 n
【答案】A
【解析】
11 12 13 14
设所求数列为a n ，可得出 a 1  11 ， a 2  21 ， a 3  31 ， a 4  41 ，
1n
a 
因此，该数列的一个通项公式为 n n1 .
故选：A.
n
6．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知数列
a
n

的通项公式是
a
n

3n1，那么这个数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
【答案】A
【解析】n1 n
3n1n1n3n4
1
n
a a     0
a 
 n 3n1 ， n1 n 3n4 3n1 3n13n4 3n13n4 ，
a a
a 
n1 n，因此，数列 n 是递增数列.
故选：A.
1 1
a  a 1 (n1)
7．（2020·湖北省高一期中）在数列{a
n
}中， 1 4， n a
n1
，则a
2019
的值为（ ）
4 1

A．5 B． 4 C．5 D．以上都不对
【答案】A
【解析】
1 1 4 1 1
a 1 5,a 1  ,a 1  a
依题意 2 a 3 a 5 4 a 4 1，故数列是周期为3的周期数列，故
1 2 3
4
a a 
2019 3 5，故选A.
8．（2020·武邑宏达学校高三月考（文））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之
数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程
中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大
衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
n2 n n2 1 n12 n2
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
【答案】B
【解析】
a 0 a 4 a 12 a 24 a 40
由题意 1 ，排除D， 3 ，排除A，C．同时B也满足 5 ， 7 ， 9 ，
故选：B．
9．（2020·陕西省高新一中高一月考）已知数列 满足 ， ，则 的值为（ ）A．2 B．-3 C． D．
【答案】D
【解析】
由题得 ，
所以数列的周期为4，
所以 .
故选：D
10．（2018·民勤县第一中学高二期中（文））下列叙述正确的是（ ）
1 3 5 7 7 5 3 1
A．数列 ， ， ， 与 ， ， ， 是相同的数列
n
B．数列0，1，2， 3 ，…可以表示为
C．数列0，1，0，1，…是常数列
2n1
D．数列 是递增数列
【答案】D
【解析】
1 3 5 7 7 5 3 1
对于A，数列 ， ， ， 与 ， ， ， 不是相同的数列，故A错误；
n1
对于B，数列0，1，2， 3 ，…可以表示为 ，故B错误；
对于C，数列0，1，0，1，…是摆动数列，故C错误；
2n1
对于D，数列 是递增数列，故D正确.
故选：D.
1 3 5 7 9

11．（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列 ， ， ， ， ， ，的一个通项公式为
（ ）
a 2n1 a (1)n(12n)
A． n B． na (1)n(2n1) a (1)n1(2n1)
C． n D． n
【答案】C
【解析】
1 3 5 7 9

∵数列{a}各项值为 ， ， ， ， ， ，
n
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴|a|＝2n﹣1
n
又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，
∴a＝（﹣1）n（2n﹣1）．
n
故选：C．
a 
n S n2 6n k
12．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））已知数列 n 的前 项和 n ，第 项满足
5a 8
k ，则 k  （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】
n1 a S 5
当 时， 1 1 ；
S n12 6n1n2 8n7
当n2时 n1 ，
a S S 2n7
n1
n n n1 ， 也符合.
a 
a 2n7
所以 n 的通项公式，为 n ，
a 2k7
所以 k ，
52k78 6k 7.5 k k 7
由 解得 ，由于 为正整数，所以 .
故选：C
二、填空题1 2 3 4 5
a 
13．（2020·河北省涿鹿中学高一月考）数列2 ,3 ,4 ,5 ，6,…的一个通项公式为 _______．
n
n
【答案】n1
【解析】
1 2 3 4 5
数列2 ,3 ,4 ,5 6,…，
观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1，
n
a 
由此得出该数列的一个通项公式为 n n1．
n
故答案为：n1．
2,n1

a  1
14．（2019·贵州省凯里一中高一期末）若数列 满足 n 1 ,n1，则 _____.
a   a a 

n n1 3
【答案】1
【解析】
1 1 1
a 2,a 1  ,a 1 1
1 2 a 2 3 a .
1 2
故答案为：1
1 n1 3
0, ,..., ,...
15．（2019·浙江省高一期中）在数列 4 2n 中，第3项是______；7 是它的第______项.
1
【答案】3 7
【解析】
n1 31 1 1
 
令n3，则 2n 23 3，所以第3项是3；n1 3 3

令 2n 7 ，解得n7，所以7 是它的第7项.
1
故答案为：3；7.
1
a 
16．（2020·贵港市覃塘高级中学高一月考）已知数列{a }中,a 2, n1 a 1（nN）,则S 
n 1 n 2020
___________
685
【答案】 6
【解析】
1
a 
已知数列{a }中,a 2, n1 a 1（nN）,
n 1 n
1 1 1
a   
所以 2 a 1 21 3 ,
1
1 1 3
a   
3 a 1 1 2
2  1
3
1 1
a   2
4 a 1 3
3  1 ,
2
{a }
3
所以数列 n 是周期为 的数列,
S a a a 673a
2020 1 2 3 1
 1 3 685
 2  6732
 
 3 2 6 .
685
故答案为: 6
三、解答题a  a a 2a a 341，a 1365
17．（2019·全国高一课时练习）已知数列 n 满足 n2 n1 n，且 10 12 ，求
a ，a
11 13.
a 683,a 2731
【答案】 11 13
【解析】

a
n2
a
n1
2a
n
,
当 n10 时，
a
12
a
11
2a
10，即
1365a
11
2341
，解得
a
11
683
，
n11 a a 2a a 13652683 a 2731
当 时， 13 12 11，即 13 ，解得 13
a 683,a 2731
综上： 11 13
a 
S 2na (nN*)
18．（2019·贵阳清镇北大培文学校高一月考）已知数列 n 满足 n n .
a , a , a , a , a
（1）计算 1 2 3 4 5；
a 
（2）并猜想 n 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.
3 7 15 31
a  a  a  a 
【答案】（1） a 1 . 2 2， 3 4， 4 8 ， 5 16 .
1
2n 1
a  ,
（2） n 2n1 nN*，详见解析
【解析】
n＝1 a S 2a a 1
（1）当 时， 1 1 1， 1 .
3
a 
当n2时， a a S 22a ， 2 2 ，
1 2 2 2
7
a 
当n3时， a a a S 23a ， 3 4 ，
1 2 3 3 3
15
a 
当n4时， a a a a S 24a ， 4 8 ，
1 2 3 4 4 431
a 
当n5时， a a a a a 25a ， 5 16.
1 2 3 4 5 5
211
a 1
（2）  1 211 ，
3 22 1
a  
2 2 221 ，
7 23 1
a  
3 4 231 ，
15 24 1
a  
4 8 241 ，
31 25 1
a  
5 16 251 ，
2n 1
a  ,
由此猜想 n 2n1 nN*.
a  a 2n2 9n3
19．（2019·全国高一课时练习）在数列 n 中， n .
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
a 107 a 13
【答案】（1）是， 10 ；（2） 2
【解析】
a 107,2n2 9n3107,2n2 9n1100
（1）令 n ，
11
n
解得n10或 2 （舍去）.所以 a 107
10
2
 9 105
a 2n2 9n32 n 
（2） n   4   8 ，
nN* a 13
由于 ，所以最大项为 220．数列{a}满足a= 1 ,a +2aa - a =0.
n 1 n+1 n n+1 n
（1）写出数列的前5项；
（2）由（1）写出数列{a}的一个通项公式；
n
1
（3）实数99是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？
1
a 
【答案】(1)见解析（2） n 2n1（3）50
【解析】
1 1 1 1
a  a  a  a 
（1）由已知可得 a 1 ， 2 3， 3 5， 4 7， 5 9 .
1
（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为
1
a 
n 2n1.
1 1 1

（3）令99 2n1，解得n50，故99是这个数列的第50项.
a  n S 32nn2 1
21.（2019·全国高二）已知数列 n 的前 项和 n ，
a 
（1）求数列 n 的通项公式；
a 
（2）求数列 n 的前多少项和最大．
32,n1
a 
【答案】(1) n 332n,n2 (2) 前16项的和最大
【解析】
n1 a S 321132 n2
（1）当 时， 1 1 ；当 时，
a S S   32nn2 1  32n1n12 1
n n n1   332n；32,n1
a 
所以： n 332n,n2；
S 32nn2 1  n2 32n  1n162 257
（2）因为 n ；
所以前16项的和最大．
n
a n1
10
 nN*
22．数列a 的通项 n  11   ，试问该数列a 有没有最大项？若有，求出最大项；
n n
若没有，说明理由.
1010
a a 
【答案】最大项为 9 10 119
【解析】
a a
n n1

设 a 是该数列的最大项，则  a a
n n n1
 10 n 10 n1

n1
 
n2
 
 11 11
∴
n n1
 10 10
n1 n
    
 11 11
解得9n10
nN*
∵ ，
n9或n10
∴ ，
1010
a a 
∴最大项为 9 10 119
点睛：求数列最大项或最小项的方法
a a a a

n1 n(n2)

n1 n(n2)
（1）可以利用不等式组 a a 找到数列的最大项；利用不等式 a a 找到数列的
 
n n1 n n1
最小项．
（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．