专题16数列的概念（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_06.专项练习_专题16数列的概念-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题16 数列的概念 一、单选题 3 5 3 ,1, , , 1．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）数列4 4 2 的第6项是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 1 3 5 3 7 ,1, , , ,2 易得该数列为后项与前项的差都为4 ,故前6项是4 4 2 4 .故第6项为2. 故选：B 2.（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）在数列{a}中，S＝2n2－3n(n∈N*)，则a 等于( ) n n 4 A．11 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【解析】 n1 a S 1 当 时， 1 1 ， a S S 2n2 3n2n12 3n1 当n2时， n n n1   4n5， n1 a 4n5 当 时，上式也满足，故 n . a 44511 所以 4 . 故选：A 3．（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知数列 1, 3, 5,  , 2n1, ，则 11 是这个数列的（ ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】B 【解析】 1, 3, 5, , 2n1, 数列  a  2n1 通项公式为 n ， 11 2n1 当 ， 解得n6， 故选：B. a a 1 a 3a 2 a 4．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期中）在数列{ n}中，若 1 ， n1 n ，则 3= A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】 a 1 a 3a 2 a 3a 25 a 3a 217 因为 1 ， n1 n ，所以 2 1 ，所以 3 2 .选B. 1 1 1 1   5．（2020·江苏省高二期中）若数列的前4项分别是 2 、3、 4 、5，则此数列一个通项公式为（ ） 1n 1n 1n1 1n1 A． B． C． D． n1 n n1 n 【答案】A 【解析】 11 12 13 14 设所求数列为a n ，可得出 a 1  11 ， a 2  21 ， a 3  31 ， a 4  41 ， 1n a  因此，该数列的一个通项公式为 n n1 . 故选：A. n 6．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知数列 a n  的通项公式是 a n  3n1，那么这个数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】A 【解析】n1 n 3n1n1n3n4 1 n a a     0 a   n 3n1 ， n1 n 3n4 3n1 3n13n4 3n13n4 ， a a a  n1 n，因此，数列 n 是递增数列. 故选：A. 1 1 a  a 1 (n1) 7．（2020·湖北省高一期中）在数列{a n }中， 1 4， n a n1 ，则a 2019 的值为（ ） 4 1  A．5 B． 4 C．5 D．以上都不对 【答案】A 【解析】 1 1 4 1 1 a 1 5,a 1  ,a 1  a 依题意 2 a 3 a 5 4 a 4 1，故数列是周期为3的周期数列，故 1 2 3 4 a a  2019 3 5，故选A. 8．（2020·武邑宏达学校高三月考（文））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之 数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程 中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大 衍数列中奇数项的通项公式为（ ） n2 n n2 1 n12 n2 A． 2 B． 2 C． 2 D． 2 【答案】B 【解析】 a 0 a 4 a 12 a 24 a 40 由题意 1 ，排除D， 3 ，排除A，C．同时B也满足 5 ， 7 ， 9 ， 故选：B． 9．（2020·陕西省高新一中高一月考）已知数列 满足 ， ，则 的值为（ ）A．2 B．-3 C． D． 【答案】D 【解析】 由题得 ， 所以数列的周期为4， 所以 . 故选：D 10．（2018·民勤县第一中学高二期中（文））下列叙述正确的是（ ） 1 3 5 7 7 5 3 1 A．数列 ， ， ， 与 ， ， ， 是相同的数列 n B．数列0，1，2， 3 ，…可以表示为 C．数列0，1，0，1，…是常数列 2n1 D．数列 是递增数列 【答案】D 【解析】 1 3 5 7 7 5 3 1 对于A，数列 ， ， ， 与 ， ， ， 不是相同的数列，故A错误； n1 对于B，数列0，1，2， 3 ，…可以表示为 ，故B错误； 对于C，数列0，1，0，1，…是摆动数列，故C错误； 2n1 对于D，数列 是递增数列，故D正确. 故选：D. 1 3 5 7 9  11．（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列 ， ， ， ， ， ，的一个通项公式为 （ ） a 2n1 a (1)n(12n) A． n B． na (1)n(2n1) a (1)n1(2n1) C． n D． n 【答案】C 【解析】 1 3 5 7 9  ∵数列{a}各项值为 ， ， ， ， ， ， n ∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴|a|＝2n﹣1 n 又∵数列的奇数项为负，偶数项为正， ∴a＝（﹣1）n（2n﹣1）． n 故选：C． a  n S n2 6n k 12．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））已知数列 n 的前 项和 n ，第 项满足 5a 8 k ，则 k  （ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】 n1 a S 5 当 时， 1 1 ； S n12 6n1n2 8n7 当n2时 n1 ， a S S 2n7 n1 n n n1 ， 也符合. a  a 2n7 所以 n 的通项公式，为 n ， a 2k7 所以 k ， 52k78 6k 7.5 k k 7 由 解得 ，由于 为正整数，所以 . 故选：C 二、填空题1 2 3 4 5 a  13．（2020·河北省涿鹿中学高一月考）数列2 ,3 ,4 ,5 ，6,…的一个通项公式为 _______． n n 【答案】n1 【解析】 1 2 3 4 5 数列2 ,3 ,4 ,5 6,…， 观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1， n a  由此得出该数列的一个通项公式为 n n1． n 故答案为：n1． 2,n1  a  1 14．（2019·贵州省凯里一中高一期末）若数列 满足 n 1 ,n1，则 _____. a   a a   n n1 3 【答案】1 【解析】 1 1 1 a 2,a 1  ,a 1 1 1 2 a 2 3 a . 1 2 故答案为：1 1 n1 3 0, ,..., ,... 15．（2019·浙江省高一期中）在数列 4 2n 中，第3项是______；7 是它的第______项. 1 【答案】3 7 【解析】 n1 31 1 1   令n3，则 2n 23 3，所以第3项是3；n1 3 3  令 2n 7 ，解得n7，所以7 是它的第7项. 1 故答案为：3；7. 1 a  16．（2020·贵港市覃塘高级中学高一月考）已知数列{a }中,a 2, n1 a 1（nN）,则S  n 1 n 2020 ___________ 685 【答案】 6 【解析】 1 a  已知数列{a }中,a 2, n1 a 1（nN）, n 1 n 1 1 1 a    所以 2 a 1 21 3 , 1 1 1 3 a    3 a 1 1 2 2  1 3 1 1 a   2 4 a 1 3 3  1 , 2 {a } 3 所以数列 n 是周期为 的数列, S a a a 673a 2020 1 2 3 1  1 3 685  2  6732    3 2 6 . 685 故答案为: 6 三、解答题a  a a 2a a 341，a 1365 17．（2019·全国高一课时练习）已知数列 n 满足 n2 n1 n，且 10 12 ，求 a ，a 11 13. a 683,a 2731 【答案】 11 13 【解析】  a n2 a n1 2a n , 当 n10 时， a 12 a 11 2a 10，即 1365a 11 2341 ，解得 a 11 683 ， n11 a a 2a a 13652683 a 2731 当 时， 13 12 11，即 13 ，解得 13 a 683,a 2731 综上： 11 13 a  S 2na (nN*) 18．（2019·贵阳清镇北大培文学校高一月考）已知数列 n 满足 n n . a , a , a , a , a （1）计算 1 2 3 4 5； a  （2）并猜想 n 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 3 7 15 31 a  a  a  a  【答案】（1） a 1 . 2 2， 3 4， 4 8 ， 5 16 . 1 2n 1 a  , （2） n 2n1 nN*，详见解析 【解析】 n＝1 a S 2a a 1 （1）当 时， 1 1 1， 1 . 3 a  当n2时， a a S 22a ， 2 2 ， 1 2 2 2 7 a  当n3时， a a a S 23a ， 3 4 ， 1 2 3 3 3 15 a  当n4时， a a a a S 24a ， 4 8 ， 1 2 3 4 4 431 a  当n5时， a a a a a 25a ， 5 16. 1 2 3 4 5 5 211 a 1 （2）  1 211 ， 3 22 1 a   2 2 221 ， 7 23 1 a   3 4 231 ， 15 24 1 a   4 8 241 ， 31 25 1 a   5 16 251 ， 2n 1 a  , 由此猜想 n 2n1 nN*. a  a 2n2 9n3 19．（2019·全国高一课时练习）在数列 n 中， n . （1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项. a 107 a 13 【答案】（1）是， 10 ；（2） 2 【解析】 a 107,2n2 9n3107,2n2 9n1100 （1）令 n ， 11 n 解得n10或 2 （舍去）.所以 a 107 10 2  9 105 a 2n2 9n32 n  （2） n   4   8 ， nN* a 13 由于 ，所以最大项为 220．数列{a}满足a= 1 ,a +2aa - a =0. n 1 n+1 n n+1 n （1）写出数列的前5项； （2）由（1）写出数列{a}的一个通项公式； n 1 （3）实数99是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 1 a  【答案】(1)见解析（2） n 2n1（3）50 【解析】 1 1 1 1 a  a  a  a  （1）由已知可得 a 1 ， 2 3， 3 5， 4 7， 5 9 . 1 （2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为 1 a  n 2n1. 1 1 1  （3）令99 2n1，解得n50，故99是这个数列的第50项. a  n S 32nn2 1 21.（2019·全国高二）已知数列 n 的前 项和 n ， a  （1）求数列 n 的通项公式； a  （2）求数列 n 的前多少项和最大． 32,n1 a  【答案】(1) n 332n,n2 (2) 前16项的和最大 【解析】 n1 a S 321132 n2 （1）当 时， 1 1 ；当 时， a S S   32nn2 1  32n1n12 1 n n n1   332n；32,n1 a  所以： n 332n,n2； S 32nn2 1  n2 32n  1n162 257 （2）因为 n ； 所以前16项的和最大． n a n1 10  nN* 22．数列a 的通项 n  11   ，试问该数列a 有没有最大项？若有，求出最大项； n n 若没有，说明理由. 1010 a a  【答案】最大项为 9 10 119 【解析】 a a n n1  设 a 是该数列的最大项，则  a a n n n1  10 n 10 n1  n1   n2    11 11 ∴ n n1  10 10 n1 n       11 11 解得9n10 nN* ∵ ， n9或n10 ∴ ， 1010 a a  ∴最大项为 9 10 119 点睛：求数列最大项或最小项的方法 a a a a  n1 n(n2)  n1 n(n2) （1）可以利用不等式组 a a 找到数列的最大项；利用不等式 a a 找到数列的   n n1 n n1 最小项． （2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．