文档内容
2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题
1．
A． B． C． D．
2．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
3．已知三点 ，若 和 是相反向量，则D点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ，若满足条件的 有两个，则
b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，向量 ，则下列可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留
空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形 （图2）中，测得
，凹四边形 的面积为 ，则 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知非零向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则向量 夹角为锐角
B．若 ，则
C．若 ，则 与 的夹角是
D．若 ，则
10．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．在斜三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ，则（ ）
A． 为锐角三角形 B．若 ，则C． 的最小值为 D．
三、填空题
12．在 中，三边长分别为4，6，8，则 为 三角形．（选填“锐角”、“直
角”、“钝角”）
13．使得 成立的 的一个值为 ．
14．蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时
确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若 ，
则 ；若 ，则 ．
四、解答题
15．已知向量 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求实数m的值．
16．已知锐角 满足 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．17．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求A；
(2)若 的平分线交 于点D，求 ．
18．已知函数 ．
(1)若 为锐角， ，求 的值．
(2)在 中，若 是 的中点，且 ，求 的面积；
(3)若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
19．某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接
圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三
角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角 中， ，其外接圆O的半径为
，且三条圆弧沿 三边翻折后交于点H.
(1)求 ；
(2)若点T为劣弧 上一动点，求 的最小值；
(3)若 ，求 的值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B C D C A BCD AC
题号 11
答案 BCD
1．C
利用两角和差正弦公式化简求得结果.
【详解】 .
故选： .
2．C
【详解】在 中，∵ ， ，
∴由三角形内角和定理可知： .
在 中，由正弦定理 可知： .
故选：C.
3．A
【详解】设 ，∵ ，
∴ ， .
∵ 和 是相反向量，
∴ ，即 ，解得 .
故选：A.
4．B
由正弦定理可得 ，再由三角形有两解可得角 的范围，从而得到结果.
【详解】由正弦定理可得 ，则 ，
因为 ，且满足条件的 有两个，所以 ，且 （当 时，三角形只有一解），
此时 ，则 .
故选：B
5．C
根据题意，由投影向量的定义可得 ，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量 在向量 上的投影向量为 ，即 ，
所以 ，又 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 .
故选：C
6．D
由已知等式得 ，化简得到 ，代入即可求解.
【详解】因为 ，
即 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
7．C
利用坐标进行向量线性运算，并结合两角差的正弦、余弦公式计算，从而判断出答案.
【详解】对于A，
，因为 ，所以 ，
，则 ，则 ，
故A错误；
对于B，因为 ，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 不成立，故B错误；
对于C，因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则有可能 ，
所以 可能成立，故C正确；
对于D，
，
因为 ，所以 ，
所以 ， 则 ，
所以 ，
， ，
则 ，所以 ，故D错误.
故选：C.
8．A
在图2中连接 ，在 和 中，分别利用余弦定理可得 ，利用三角形的面积公式可得 ，两式平方相加，由两角差的余弦
公式，即可求出 的余弦值.
【详解】如图，连接 ，
因为 ，
在 中，由余弦定理得 ，
则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
则 ，
所以 ，
即 ，①
因为 ，
，
所以 ，②
则①式和②式分别平方并相加得：
，
则 ，所以 ，
即 的余弦值为 .
故选：A.
9．BCD
对于A，因为 时，向量的夹角为锐角或零度角，即可判断；对于B，由 与 表示同向的单位向量，即可判断；对于C，利用向量的线性运算知识结合图形，即可判断；对于D，由 ，设 ，
代入等式两边利用运算法则运算，即可判断.
【详解】向量 是非零向量，
对于A，因为 ，即 ，
所以向量 夹角为锐角或零度角，故A错误；
对于B，因为 ，所以 与 方向相同，
又 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量，
所以 ，故B正确；
对于C，设 ， ，由向量线性运算知：
， ，如下图所示：
因为 ，
所以 与 均为等边三角形， ，
又四边形 为菱形，所以 ，
即 与 的夹角为 ，故C正确；
对于D，因为 ，设 ，
则 ， ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
10．AC
将原式平方即可判断A，由 即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角
公式化简即可判断C，由 与 的值代入计算，即可判断D.
【详解】由 可得 ，则 ，故A正确；
且 ，则 ，
所以 ，
且 ，则 ，故B错误；
，故C正确；
因为 ，
由 ， 可得 ，故D错误；
故选：AC
11．BCD
由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得 ，结合基本不
等式代入计算，即可判断C，由条件可得 ，然后换元，结合二
次函数的值域，即可判断D.
【详解】对于A，由 可得 ，则 或 ，即 或 ，
因为三角形 为斜三角形，若 ，则 ， ，
不符合斜三角形，所以 ，即 为钝角， 为钝角三角形，故A错误；
对于B，由正弦定理可得 ，则 ，
所以 ，故B正确；
对于C，由 ， 可得 ，
且 ，则 ，
则
，
当且仅当 时，即 时，等号成立，故C正确；
对于D，由C可知 ， ，
则 ，
令 ，
由 可得 ，则 ，
所以 ，故 ，
且 ，所以 ，
当 时，取得最大值 ，
当 或 时，最小值为 ，
所以 ，故D正确；
故选：BCD
12．钝角
设边长为8的边对应的角为 ，利用余弦定理可判断.
【详解】设边长为8的边对应的角为 ，
由余弦定理可得 ，
所以 为钝角，因此，三角形为钝角三角形，
故答案为：钝角.
13． （答案不唯一，满足 即可）
根据题中条件将式子变形为 ，分子、分母同时除以 将弦化切，然后利用
及两角和的正切公式、诱导公式即可求解.
【详解】∵ ，
∴
，
∴ .
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）.
14．
结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将 分别用 表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】观察图形可知， 三点共线，且 ，
因为 ，
且 ，
则 ，
所以 ，即 ；
由正六边形的性质可得
，
所以
.
故答案为： ；
15．(1)
(2)
（1）由向量垂直的坐标运算可得 的值，然后代入计算，即可得到结果；
（2）先表示出 的坐标，再由向量平行的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由 可得 ，即 ，解得 ，所以 ，
则 ，
所以 .（2）因为 ，
由 可得 ，解得 .
16．(1)
(2)
（1）由题意求出 ，利用两角差的正弦公式即可求得 ；
（2）由（1）解出 ，由 均为锐角以及 的取值情况，解出 的取值范围，
即可求得 的值.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
则 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
因为 ， ， ，所以 ，
由（1）知 ，所以 ，
则 ，所以 .17．(1)
(2)
（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果；
（2）先由余弦定理可得 的值，再由等面积法结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
即 ，
，
即 ，且 ，
则 ， ，则 .
（2）由 可得 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，则 ，
且 为角 的角平分线，
，即 ，
化简可得 ，解得 .
18．(1)
(2)
(3)
（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到 ，再由 代入计算，即
可得到结果；（2）由中线可得 ，从而可得 ，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计
算，即可得到结果；
（3）将不等式化简，然后换元可得 在 上恒成立，分离参数结合基本不等式代入计算，
即可得到结果.
【详解】（1） ，
由 可得 ，
且 为锐角，则 ，即 ，则 ，
即 ，
所以
.
（2）因为 ，且 ，则 ，
则 ，解得 ，
由 为三角形的中线，则 ，
即 ，
即 ，化简可得 ①，
由余弦定理可得 ，化简可得 ②，
① ②可得 ，即 ，
则 .
（3） ，
由 可得 ，则 ，
由不等式 在 上恒成立，
可得 在 上恒成立，
且
，
令 ，则 ，
则不等式 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 ，即 ，
则实数m的取值范围是 .19．(1)
(2)
(3)
（1）在锐角 中，由正弦定理求出 ，利用同角三角函数的平方关系求出 .利用三
角形垂心性质可得 ，结合三角形诱导公式即可求解；
（2）设点M为 的边 所对的外接圆的劣弧，点D为边 的中点.
由题意及对称性可知 .故要使 取得最小值，只需 最小.分析可知当
三点共线 最小，即可求解.
（3）由向量减法运算可知 ，由圆的性质可知 ， ，
从而 .由（1）可求 ，可求解 .在锐角 中，
由二倍角公式、三角形内角和定理、诱导公式及正弦定理可解 .由点H是 的垂心可得
， ， .
在 中，由正弦定理可求得 ，同理可求 ， ，本题即可求解.
【详解】（1）在锐角 中，∵ ，其外接圆O的半径为 ，
∴由正弦定理可得： ，解得 .
.
由题可知 ， .
（2）设点M为 的边 所对的外接圆的劣弧，点D为边 的中点.
由题意及对称性可知 .故要使 取得最小值，只需 最小.
在圆 上，由三角形三边关系可知 ，当且仅当 三点共线时取等号，此时
.
∴ ，
即 的最小值为 .
（3）由（1）可知： ， .
， .
又 ，
∴由圆的性质可知
.
又 ，
∴ ，解得 .
∴在锐角 中， ， ，
，
.
∴由正弦定理可得： ，∴ ， .
在 中，由点H是 的垂心可得 ， ， .
在 中，由正弦定理可得 ，
.
同理可得 ，
，
