文档文本内容
§6.1 数列的概念与简单表示法
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
项．
(2)数列的通项公式
如果数列{a}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个
n
数列的通项公式．
若已知数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这
个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{a}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序
n
号n，对应的函数值是数列的第n项a，记为a＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照
n n
从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{a}．
n
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
项与项间 递增数列 a n＋1 >a n
其中
的大小 递减数列 a <a
n＋1 n
n∈N*
关系 常数列 a ＝a
n＋1 n4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？
提示 体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的通项公式是唯一的．( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )
(4)如果数列{a}的前n项和为S，则对任意n∈N*，都有a ＝S －S.( √ )
n n n＋1 n＋1 n
题组二 教材改编
2．数列，，，，，…的通项公式是a＝________.
n
答案 a＝，n∈N*
n
3．已知数列a＝2，a＝1－(n≥2)．则a ＝________.
1 n 2 022
答案 －1
解析 a ＝2，a ＝1－＝，a ＝1－2＝－1，a ＝1＋1＝2，所以数列{a}满足a ＝a ，所以
1 2 3 4 n n n＋3
a ＝a＝－1.
2 022 3
4．已知数列{a}的通项公式为a ＝n2－λn＋1，若{a}是递增数列，则实数λ的取值范围是
n n n
________．
答案 (－∞，3)
解析 由题意得a >a，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1.
n＋1 n
化简得，λ<2n＋1，n∈N*，∴λ<3.
题组三 易错自纠
5．已知数列{a}的前n项和为S＝－2n2＋1，则{a}的通项公式为a＝________.
n n n n
答案
解析 当n＝1时，a ＝S ＝－1.当n≥2时，a ＝S －S ＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋
1 1 n n n－1
2，a＝－1不适合上式，所以a＝
1 n
6．若a＝－n2＋9n＋10，则当数列{a}的前n项和S 最大时，n的值为________．
n n n
答案 9或10
解析 要使S 最大，只需要数列中正数的项相加即可，
n即需a>0，－n2＋9n＋10>0，得－1<n<10，
n
又n∈N*，所以1≤n<10.
又a ＝0，所以n＝9或10.
10
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
1．已知数列{a}的前n项和S＝n2＋2n，则a＝________.
n n n
答案 2n＋1
解析 当n＝1时，a ＝S ＝3.当n≥2时，a ＝S －S ＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.
1 1 n n n－1
由于a＝3适合上式，∴a＝2n＋1.
1 n
2．已知数列{a}中，S 是其前n项和，且S＝2a＋1，则数列的通项公式a＝________.
n n n n n
答案 －2n－1
解析 当n＝1时，a＝S＝2a＋1，∴a＝－1.
1 1 1 1
当n≥2时，S＝2a＋1，①
n n
S ＝2a ＋1.②
n－1 n－1
①－②，S－S ＝2a－2a ，即a＝2a－2a ，
n n－1 n n－1 n n n－1
即a＝2a (n≥2)，∴{a}是首项a＝－1，q＝2的等比数列．
n n－1 n 1
∴a＝a·qn－1＝－2n－1.
n 1
3．设数列{a}满足a＋3a＋…＋(2n－1)a＝2n，则a＝________.
n 1 2 n n
答案
解析 当n＝1时，a＝21＝2.
1
∵a＋3a＋…＋(2n－1)a＝2n，①
1 2 n
∴a＋3a＋…＋(2n－3)a ＝2n－1(n≥2)，②
1 2 n－1
由①－②得，(2n－1)·a＝2n－2n－1＝2n－1，
n
∴a＝(n≥2)．
n
显然n＝1时不满足上式，∴a＝
n
4．设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则下列结论正确的是_______．
n n 1 n＋1 n n＋1
①a＝
n
②a＝
n
③S＝－
n
④数列是等差数列
答案 ②③④
解析 ∵a ＝S·S ＝S －S，两边同除以S ·S，得－＝－1.∴是以－1为首项，d＝－1
n＋1 n n＋1 n＋1 n n＋1 n
的等差数列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴S＝－.
n
当n≥2时，a＝S－S ＝－＋＝，
n n n－1
又a＝－1不适合上式，∴a＝
1 n
思维升华 (1)已知S 求a 的常用方法是利用a＝转化为关于a 的关系式，再求通项公式．
n n n n
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
题型二 由数列的递推关系式求通项公式
命题点1 累加法
例1 在数列{a}中，a＝2，a ＝a＋ln，则a 等于( )
n 1 n＋1 n n
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 因为a －a＝ln＝ln(n＋1)－ln n，
n＋1 n
所以a－a＝ln 2－ln 1，
2 1
a－a＝ln 3－ln 2，
3 2
a－a＝ln 4－ln 3，
4 3
……
a－a ＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
n n－1
把以上各式分别相加得a－a＝ln n－ln 1，
n 1
则a＝2＋ln n(n≥2)，且a＝2也适合，
n 1
因此a＝2＋ln n(n∈N*)．
n
命题点2 累乘法
例2 已知数列{a}的前n项和为S，其首项a＝1，且满足3S＝(n＋2)a，则a＝______.
n n 1 n n n
答案
解析 ∵3S＝(n＋2)a，①
n n
3S ＝(n＋1)a (n≥2)，②
n－1 n－1
由①－②得，3a＝(n＋2)a－(n＋1)a ，
n n n－1
即＝，
∴a＝···…··a＝×××…××1＝.
n 1
当n＝1时，满足a＝，∴a＝.
n n
本例2中，若{a}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·a·a －n·a＝0，且a>0，a ＝1，则
n n n＋1 n 1
a＝____________.
n答案 n·2n－1
解析 由2(n＋1)·a＋(n＋2)·a·a －n·a＝0得
n n＋1
n(2a＋a·a －a)＋2a(a＋a )＝0，
n n＋1 n n n＋1
∴n(a＋a )(2a－a )＋2a(a＋a )＝0，
n n＋1 n n＋1 n n n＋1
(a＋a )[(2a－a )·n＋2a]＝0，
n n＋1 n n＋1 n
又a>0，∴2n·a＋2a－n·a ＝0，
n n n n＋1
∴＝，
又a＝1，∴当n≥2时，a＝··…···a
1 n 1
＝×××…×××1
＝2n－1·n.
又n＝1时，a＝1适合上式，∴a＝n·2n－1.
1 n
思维升华 (1)根据形如a ＝a＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常
n＋1 n
用累加法求出a－a 与n的关系式，进而得到a 的通项公式．
n 1 n
(2)根据形如a ＝a·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求
n＋1 n
出与n的关系式，进而得到a 的通项公式．
n
跟踪训练1 (1)在数列{a}中，a＝3，a ＝a＋，则通项公式a＝________.
n 1 n＋1 n n
答案 4－
解析 ∵a －a＝＝－，
n＋1 n
∴当n≥2时，a－a ＝－，
n n－1
a －a ＝－，
n－1 n－2
……
a－a＝1－，
2 1
∴以上各式相加得，a－a＝1－，
n 1
∴a＝4－，a＝3适合上式，∴a＝4－.
n 1 n
(2)已知a＝2，a ＝2na，则数列{a}的通项公式a＝________.
1 n＋1 n n n
答案
解析 ∵＝2n，∴当n≥2时，＝2n－1，＝2n－2，
……
＝22，＝2，
∴a＝··…···a
n 1
＝2n－1·2n－2·…·22·2·2
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2
，又a＝2满足上式，
1
∴a＝ .
n
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例3 已知数列{a}的通项公式为a ＝，若数列{a}为递减数列，则实数k的取值范围为(
n n n
)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 D
解析 (单调性)因为a －a ＝－＝，由数列{a}为递减数列知，对任意n∈N*，a －a ＝
n＋1 n n n＋1 n
<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
思维升华 解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)用作商比较法，根据(a>0或a<0)与1的大小关系进行判断．
n n
(3)函数法．
命题点2 数列的周期性
例4 (2021·广元联考)已知数列{a}，若a ＝a ＋a (n∈N*)，则称数列{a}为“凸数列”．
n n＋1 n n＋2 n
已知数列{b}为“凸数列”，且b＝1，b＝－2，则{b}的前2 022项的和为( )
n 1 2 n
A．0 B．1 C．－5 D．－1
答案 A
解析 ∵b ＝b －b，b＝1，b＝－2，
n＋2 n＋1 n 1 2
∴b＝b－b＝－2－1＝－3，
3 2 1
b＝b－b＝－1，
4 3 2
b＝b－b＝－1－(－3)＝2，
5 4 3
b＝b－b＝2－(－1)＝3，
6 5 4
b＝b－b＝3－2＝1.
7 6 5
∴{b}是周期为6的周期数列，
n
且S＝1－2－3－1＋2＋3＝0.
6
∴S ＝S ＝0.
2 022 337×6
思维升华 解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者
前n项的和．命题点3 数列的最值
例5 已知数列{a}满足a＝28，＝2，则的最小值为( )
n 1
A. B．4－1 C. D.
答案 C
解析 由a －a＝2n，可得a＝n2－n＋28，
n＋1 n n
∴＝n＋－1，
设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
又n∈N*，且＝<＝，故选C.
思维升华 求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：若有a －a ＝f(n＋1)－f(n)>0，则a >a ，则数列{a}是递增数列，所以数列
n＋1 n n＋1 n n
{a}的最小项为a ；若有a －a ＝f(n＋1)－f(n)<0，则a <a ，则数列{a}是递减数列，所
n 1 n＋1 n n＋1 n n
以数列{a}的最大项为a.
n 1
跟踪训练2 (1)已知数列{a}的通项公式是a＝，那么这个数列是( )
n n
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
答案 A
解析 a －a＝－＝>0，∴a >a，∴选A.
n＋1 n n＋1 n
(2)已知数列{a}满足a ＝a －a，n∈N*，a＝1，a＝2，则a 等于( )
n n＋2 n＋1 n 1 2 2 021
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 由题意，数列{a}满足a ＝a －a，
n n＋2 n＋1 n
且a＝1，a＝2，
1 2
当n＝1时，可得a＝a－a＝2－1＝1；
3 2 1
当n＝2时，可得a＝a－a＝1－2＝－1；
4 3 2
当n＝3时，可得a＝a－a＝－1－1＝－2；
5 4 3
当n＝4时，可得a＝a－a＝－2－(－1)＝－1；
6 5 4
当n＝5时，可得a＝a－a＝－1－(－2)＝1；
7 6 5
当n＝6时，可得a＝a－a＝1－(－1)＝2；
8 7 6
……
可得数列{a}是以6为周期的周期数列，
n
所以a ＝a ＝a＝－2.
2 021 336×6＋5 5
故选A.
(3)在数列{a}中，a＝(n＋1)n，则数列{a}的最大项是第________项．
n n n答案 6或7
解析 ＝＝×≥1.
得n≤6，即当n≤6时，a ≥a，
n＋1 n
当n>6时，a <a，∴a 或a 最大．
n＋1 n 6 7
课时精练
1．数列，3，，，3，…，则9是这个数列的第( )
A．12项 B．13项 C．14项 D．15项
答案 C
解析 数列，3，，，3，…，可化为，，，，，…，
则数列的通项公式为a＝，
n
当a＝＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.
n
2．若数列{a}满足a＝1，a －a－1＝2n，则a 等于( )
n 1 n＋1 n n
A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1
C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2
答案 A
解析 ∵a －a＝2n＋1，
n＋1 n
∴a－a＝21＋1，a－a＝22＋1，a－a＝23＋1，…，a－a ＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相
2 1 3 2 4 3 n n－1
加得，
a－a＝21＋…＋2n－1＋(n－1)
n 1
＝＋n－1＝2n＋n－3，
∴a＝2n＋n－2，选A.
n
3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有aa a ＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数
n n＋1 n＋2
列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a}是等积数列，且a＝1，a＝2，公积为8，则a＋
n 1 2 1
a＋…＋a 等于( )
2 2 021
A．4 711 B．4 712
C．4 714 D．4 715
答案 C
解析 由题意可知aa a ＝8，
n n＋1 n＋2
则对任意的n∈N*，a≠0，
n
则aaa＝8，∴a＝＝4，
1 2 3 3
由aa a ＝8，得a a a ＝8，
n n＋1 n＋2 n＋1 n＋2 n＋3∴aa a ＝a a a ，
n n＋1 n＋2 n＋1 n＋2 n＋3
∴a ＝a，
n＋3 n
∵2 021＝3×673＋2，
因此a＋a＋…＋a ＝673(a＋a＋a)＋a＋a
1 2 2 021 1 2 3 1 2
＝673×7＋1＋2＝4 714.
故选C.
4．已知数列{a}的通项公式为a ＝n2－11n＋，a 是数列{a}的最小项，则实数a的取值范
n n 5 n
围是( )
A．[－40，－25] B．[－40,0]
C．[－25,25] D．[－25,0]
答案 B
解析 由已知条件得a 是数列{a}的最小项，
5 n
所以
即解得
故选B.
5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )
A．数列的第k项为1＋
B．已知数列{a}的通项公式为a＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
n n
C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a＝2n－1
n
D．数列{a}的通项公式为a＝，n∈N*，则数列{a}是递增数列
n n n
答案 ABD
解析 对于A，数列的第k项为1＋，A正确；
对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；
对于C，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b}，则其通项公
n
式为b ＝2n(n∈N*)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a ＝b ＋1＝2n＋1(n∈N*)，
n n n
C错误；
对于D，a＝＝1－，则a －a＝－＝>0，因此数列{a}是递增数列，D正确．故选ABD.
n n＋1 n n
6．(多选)若数列{a}满足：对任意正整数n，{a －a}为递减数列，则称数列{a}为“差递
n n＋1 n n
减数列”．给出下列数列{a}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
n
A．a＝3n B．a＝n2＋1
n n
C．a＝ D．a＝ln
n n
答案 CD
解析 对于A，若a ＝3n，则a －a ＝3(n＋1)－3n＝3，所以{a －a}不为递减数列，故
n n＋1 n n＋1 n
A错误；
对于B，若a ＝n2＋1，则a －a ＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{a －a}为递增数列，故B
n n＋1 n n＋1 n错误；
对于C，若a＝，则a －a＝－＝，所以{a －a}为递减数列，故C正确；
n n＋1 n n＋1 n
对于D，若a ＝ln，则a －a ＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所
n n＋1 n
以{a －a}为递减数列，故D正确．
n＋1 n
故选CD.
7．若数列{a}的前n项和S＝3n2－2n＋1，则数列{a}的通项公式a＝________.
n n n n
答案
解析 当n＝1时，a＝S＝3×12－2×1＋1＝2；
1 1
当n≥2时，
a＝S－S ＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
n n n－1
故数列{a}的通项公式为a＝
n n
8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a}的前n项和为S ，且∀n∈N*，a >a ，S≥S.请写
n n n＋1 n n 6
出一个满足条件的数列{a}的通项公式a＝________.
n n
答案 n－6(n∈N*)(答案不唯一)
解析 ∀n∈N*，a >a，则数列{a}是递增的，
n＋1 n n
∀n∈N*，S≥S，即S 最小，
n 6 6
只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，
所以，满足条件的数列{a}的一个通项公式a＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．
n n
9．已知在数列{a}中，aaa·…·a＝n2(n∈N*)，则a＝________.
n 1 2 3 n 9
答案
解析 ∵aa·…·a＝82＝64，①
1 2 8
a·a·…·a＝92＝81，②
1 2 9
②÷①得a＝.
9
10．已知数列的通项为a＝(n∈N*)，则数列{a}的最小项是第________项．
n n
答案 5
解析 因为a ＝，数列{a}的最小项必为a<0，即<0,3n－16<0，从而n<，又因为n∈N*，
n n n
且数列{a}的前5项递减，所以n＝5时，a 的值最小．
n n
11．已知数列{a}的前n项和为S，求数列{a}的通项公式．
n n n
(1)S＝2n－1，n∈N*；
n
(2)S＝2n2＋n＋3，n∈N*.
n
解 (1)∵S＝2n－1(n∈N*)，
n
∴当n＝1时，a＝S＝2－1＝1；
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
n n n－1
经检验，当n＝1时，符合上式，∴a＝2n－1(n∈N*)．
n
(2)∵S＝2n2＋n＋3(n∈N*)，
n
∴当n＝1时，a＝S＝2×12＋1＋3＝6；
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
n n n－1
经检验，当n＝1时，不符合上式，
∴a＝
n
12．在数列{a}中，a＝－2n2＋9n＋3.
n n
(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
(2)求数列中的最大项．
解 (1)令a＝－107，－2n2＋9n＋3＝－107,2n2－9n－110＝0，
n
解得n＝10或n＝－(舍去)．所以a ＝－107.
10
(2)a＝－2n2＋9n＋3＝－22＋，
n
由于n∈N*，所以最大项为a＝13.
2
13．在各项均为正数的数列{a}中，对任意m，n∈N*，都有a ＝a ·a.若a ＝64，则a 等
n m＋n m n 6 9
于( )
A．256 B．510 C．512 D．1 024
答案 C
解析 在各项均为正数的数列{a}中，对任意m，n∈N*，都有a ＝a ·a.所以a ＝a·a ＝
n m＋n m n 6 3 3
64，a＝8.所以a＝a·a＝64×8＝512.故选C.
3 9 6 3
14．已知数列{a}的前n项和为S ，且满足4(n＋1)·(S ＋1)＝(n＋2)2a ，则数列{a}的通项公
n n n n n
式为( )
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
答案 D
解析 在4(n＋1)·(S＋1)＝(n＋2)2a 中，
n n
令n＝1，得8(a＋1)＝9a，所以a＝8，
1 1 1
因为4(n＋1)·(S＋1)＝(n＋2)2a，①
n n
所以4n·(S ＋1)＝(n＋1)2a (n≥2)，②
n－1 n－1
①－②得，4a＝a－a ，
n n n－1
即a＝a ，a＝a ，
n n－1 n n－1
所以a＝××…××a
n 1
＝××…××8
＝(n＋1)3(n≥2)，
又a＝8也满足此式，所以数列{a}的通项公式为(n＋1)3.
1 n故选D.
15．设数列{a}的前n项和为S，满足S＝(－1)na＋，则S＋S＋S 等于( )
n n n n 1 3 5
A．0 B. C. D.
答案 D
解析 数列{a}的前n项和为S，满足S＝(－1)na＋，
n n n n
当n为偶数时，S＝S－S ＋，
n n n－1
即有S ＝，所以S＋S＋S＝＋＋＝.
n－1 1 3 5
故选D.
16．(2020·鹰潭模拟)S 是数列{a}的前n项和，且a－S＝n－n2.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝ －5a，求数列{b}中最小的项．
n n n
解 (1)对任意的n∈N*，由a－S＝n－n2，得a －S ＝(n＋1)－(n＋1)2，
n n n＋1 n＋1
两式相减得a＝n，因此数列{a}的通项公式为a＝n.
n n n
(2)由(1)得b＝2n－5n，
n
则b －b＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.
n＋1 n
当n≤2时，b －b<0，
n＋1 n
即b <b，∴b>b>b；
n＋1 n 1 2 3
当n≥3时，b －b>0，
n＋1 n
即b >b，∴b<b<b<…，
n＋1 n 3 4 5
所以数列{b}的最小项为b＝23－5×3＝－7.
n 3
