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第 01 讲 数列的概念与简单表示法
一、单选题
1．已知数列 满足 ， 为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出数列 的前5项，再由对勾函数的性质可得 ， 的单调性，
从而即可得最大值.
【详解】解：由 ，得 ， ， ， ， ．
又 ， ，又因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ．故选：B．
2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，
99，999，9999，…的通项公式求解即可.
【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是 ，则数列0.9，0.99，
0.999，0.9999，…的一个通项公式是 ，则数列0.3，0.33，
0.333，0.3333，…的一个通项公式是 ．故选：C．
3．设数列 满足 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3【答案】D
【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： ， ，
， ，
据此可得数列 是周期为4的周期数列，则 .故选：D
4．记数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 列方程组求值即可.
【详解】因为 ，解得 .
又因为 ，解得 .故选：A.
5．在数列 中， ， ， ， ，则
（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，可得 ，则数列 是以6为周期的周期数列，再求出
，即可得解.
【详解】解：由 ，得 ，两式相除可得 ，
所以数列 是以6为周期的周期数列，
又 ，
所以 ．
故选：A．
6．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则“数列 递增”是“数列 递
增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】从“数列 递增”和“数列 递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立
即可.
【详解】因为 ，且数列 递增，所以 ，因此 ，所以数列
递增，所以“数列 递增”是“数列 递增”的充分条件；
若数列 递增，则 ，所以 ，又 ，所以 对 成
立，即 ，则 ，但是 的符号不确定，所以数列 不一定递增，
所以“数列 递增”是“数列 递增”的不必要条件；
因此“数列 递增”是“数列 递增”的充分不必要条件.故选：A
二、填空题
7．已知在数列 中， ， ，则 __________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义，探讨数列 相邻两项的关系，构造
常数列求解作答.
【详解】因为 ，当 时， ，
则 ，即有 ，当 时， ，得 ， 满足上式，
， ，因此数列 是常数列，即 ，所以 .
故答案为：
8．给出下列命题：
①已知数列 ， ，则 是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列 ，…的一个通项公式是 ；
③已知数列 ， ，且 ，则 ；
④已知 ，则数列 为递增数列．
其中正确命题的个数为______．
【答案】4
【分析】令 ，以及数列 的单调性，可判定①正确；结合归纳法，可判定
②正确；
由 ，求得 ，求得 ，可判定③正确；由 ，可判定④正确．【详解】对于①中，令 ，解得 ，且数列 为递减数列，
所以最大项为第1项，所以①正确；
对于②中，数列 ， ， ， ，…的一个通项公式为 ，
所以 原数列的一个通项公式为 ，所以②正确；
对于③中，由 且 ，即 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以③正确；
对于④中，由 ，可得 ，即 ，所以数列为递增数列，所以
④正确．故答案为： .
9．在数列 中， （n∈N*），且 ，则数列 的通项公式
________.
【答案】
【分析】由 ，得 ，再利用累乘法即可得出答案.
【详解】解：由 ，得 ，
则 ，
，
，
，
累乘得 ，
所以 .故答案为： .
三、解答题
10．记关于 的不等式 的整数解的个数为 ，数列 的前 项
和为 ，满足 .(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对任意 ，都有 成立，试求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可确定 ，由 及 可求得 ；
（2）由（1）求得 ，单调性转化为 恒成立，然后按 的奇偶性分类讨论得参
数范围．
（1）
由不等式 可得： ，
，
，
当 时， ，
当 时， ，
因为 适合上式，
；
（2）
由（1）可得： ，
，
，
，
当 为奇数时， ，
由于 随着 的增大而增大，当 时， 的最小值为 ，
，当 为偶数时， ，
由于 随着 的增大而减小，当 时， 的最大值为 ，
，
综上可知： ．
11．已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an．
(1)Sn＝3n－1；
(2)Sn＝n2＋3n＋1．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用 求通项公式.
（1）
n＝1时，a＝S＝2．
1 1
n≥2时， ．
当n＝1时，an＝1符合上式．
∴ ．
（2）
n＝1时，a＝S＝5．
1 1
n≥2时，an＝Sn－Sn ＝2n＋2．
－1
当n＝1时a＝5不符合上式．
1
∴ .
一、单选题
1．已知数列{ }满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先由 判断出 是递增数列且 ，再由
结合累加法求得 ；再由
结合累加法求得 ，即可求解.
【详解】由 ，得 ， ，所以
，又 ，
所以数列 是递增数列且 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， .当 ，得 ，由 得 ，
则 ，
同上由累加法得 ，
所以 ，所以 ，则 .故选：C.
2．已知 表示不超过 的整数，如 .已知 ，则
（ ）
A．321 B．322 C．323 D．以上都不对
【答案】A
【分析】记 ，则由其所对应的特征根方程知数列 满足
，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解【详解】记 ，
则由其所对应的特征根方程知数列 满足 且 ，
依次可得 ，
而 ，所以 ，所以 ，
所以 .故选：A
3．已知数列 的各项都是正数， ．记 ，数列 的前
n项和为 ，给出下列四个命题：
①若数列 各项单调递增，则首项
②若数列 各项单调递减，则首项
③若数列 各项单调递增，当 时，
④若数列 各项单调递增，当 时， ，
则以下说法正确的个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】将 化为 ，根据数列的单调性列式，解不等式得到
的范围，从而得 的范围，再根据 可得 的范围，由此可判断①②；
由 ，得 ，利用裂项求和法求出 ，再根据单调性及首项 ，
可得 的范围，由此可判断③④.
【详解】对于①，由题意，正数数列 是单调递增数列，且 ，
∴ ，解得 ，∴ ．
∴ ．∵ ，∴ ．则①成立，
对于②，由题意，正数数列 是单调递减数列，且 ，
∴ ，解得 ，∴ ．
∴ ．故②成立.又由 ，可得： ．
∴ ．∵ ，
∴
．
对于③，当 时，因为 ，所以 ，∴ ，则
，故③不成立；
对于④，当 时，因为 ，∴ ，即 ，
∴ ．则 ，故④成立.故选：B
4．已知数列 满足 ， ，给出下列三个结论：①不存在a，使
得数列 单调递减；②对任意的a，不等式 对所有的 恒成立；③当
时，存在常数C，使得 对所有的 都成立．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】由 即可判断①；由 即可判断②；由
结合累加法求得 即可判断
③.
【详解】由 ， 可得 ，则 ，
，则 ，都有数列 单调递增，故①正确；由 可得 ，又数列 单调递增，
则 ，
则 ，即 ，②正确；
由 可得 ，则 ， ，
， ，将以上等式相加得
，
又 ， 单调递增，则 ，又由 可得
，
又 ，则 ，即 ，则 ，设
，
，易得 ，当 时，
，
则 ， ，故不存在常数C，使得 对所有的 都
成立，故③错误.故选：A.
5．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据递推式易得 ，以及 ，根据累加法得出
，进而 ，类似可得 ，进而可得结论.
【详解】显然 ，由 ，故 与 同号，由 得 ，故 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
由 ，
所以 ，
故 ，
累加得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
另一方面，由 ，所以
，累加得 ，
故 ，即 ，
所以 ；综合得 ．故选：B.
6．正整数数列 满足 ，已知 ， 的前6项和的最大值为
，把 的所有可能取值按从小到大排列成一个新数列 ， 所有项和为 ，则
（ ）
A．61 B．62 C．64 D．65
【答案】B【分析】根据分段数列和 ,倒过来依次分析 的前5项,即可求出 和 ,从而求出答
案.
【详解】正整数数列 满足 ,且 ,
所以 或1,
再依次分析 ,
则可得 的前6项分别为:
128,64,32,16,8,4;
或21,64,32,16,8,4;
或20,10,5,16,8,4;
或3,10,5,16,8,4;
或16,8,4,2,1,4;
或2,1,4,2,1,4;
因此 ,
,
,故选：B
7．数列 满足 ， ，且其前 项和为 .若 ，则正整数
（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【分析】根据递推公式，构造新数列 为等比数列，求出数列 通项，再并项
求和，将 用 表示，再结合通项公式，即可求解.
【详解】由 得 ，
∴ 为等比数列，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
① 为奇数时， ， ；
② 为偶数时， ， ，
∵ ， 只能为奇数，∴ 为偶数时，无解，
综上所述， .故选：B.
二、填空题8．某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源.这个
特别密码与如图数表有关.数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行
数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推，每年的特别密码是
由该年年份及数表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字
构成的五位数.如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数
的个位数字.按此规则，2022年的特别密码是___________.
【答案】20228
【分析】由数表归纳可得每一行的数都构成等差数列，且第 行的公差是 ，记第 行第
个数为 ；化简可得 ，构造数列 ，可判断该数列为
等差数列，化简可求得 ，从而第2022行的第一个数，再归纳找到个位数的规律，即
可求得．
【详解】解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第 行的公差是 ，
记第 行第 个数为 ，
则 ，
则 ， ，
故数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列，
故 ，
故 ，
故第2022行的第一个数为 ，
的个位数是2， 的个位数是4， 的个位数是8， 的个位数是6， 的个位数是
2， ，
的个位数以4为周期循环，而 ，故 的个位数是6，
又3×6=18，
故第2022行的第一个数的个位数为 ，
故2022年的特别密码是20228.故答案为：20228．
9．斐波那契数列 满足： ．该数列与如图所示的美丽曲线有
深刻联系，设 ，给出以下三个命题：① ；
② ；
③ ．
其中真命题的是________________（填上所有正确答案）
【答案】①②③
【分析】根据斐波那契数列的特点及所给条件进行分析计算确定正误.
【详解】 ， ，所以
，即 ，故①正确；
相加可得： 即 ，故②正确；
因为 ，所以
又 ，可得 ，故③正确.
故答案为：①②③.
三、解答题
10．已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .求数列 的通项公式；
【答案】
【分析】利用已知 求 的方法可以直接得出结果.
【详解】 ①；
当 时，代入①得 .
当 时， ②；
①-②得 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，公差为1，
所以 .
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变
形得到 ，累加可求出 ，得出 ，再利用
，累加可求出 ，
再次放缩可得出 ．
【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，∴ ， ， ，…，
，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．故选：B．
2．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，
成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比
值，用到数列 ： ， ， ，…，依此类推，
其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即
可求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.故选：D.
3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前
n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩
可得 ，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得
，然后利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，
从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，
，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：所以 ，即 ．
故选：A．
4．（2021·全国·高考真题（理））等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，
乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有
成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛
盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
二、填空题
5．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足
．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利
用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，
③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
三、解答题
6．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任
意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为
等比数列，即可得出结论；
（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意
恒成立，分类讨论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
