文档文本内容
、方法、思想
趋势
对2024 年新高考卷的分析
一、深化基础性
1.【解答】解：在同一坐标系中，作出函数
与
在
，
上的图象如下，
由图象可知，当
，
时，曲线
与
的交点个数为6 个．
故选：
．
2.【解答】解：
的定义域为
，
令
，得
，令
，得
，
因为
，
当
时，
，所以
，则
，
当
时，
，所以
，则
，
故
，即
，
所以
，当且仅当
，
时等号成立．
故选：
．
二、强调综合性
3.【解答】解：函数
，
，
设
，
则
是偶函数，
由曲线
与
在
上恰有一个交点，
得
在
上恰有一个零点，
所以
，
解得
．
故选：
．
4.【解答】解：（1）由
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
当
时，
，
所以
，对
恒成立，
又
，当且仅当
时取“
”，
所以只需
，即
，
所以
的最小值为
．
（2）证明：
，
，
所以
关于点
中心对称．
（3）因为
当且仅当
，
所以
为
的一个解，
所以
（1）
，即
，
先分析
时，
恒成立，
此时
，即为
在
上恒成立，
设
，
，则
在
上恒成立，
设
，
，
则
，
当
时，
，
所以
恒成立，
所以
在
上为增函数，
所以
，即
在
上恒成立，
当
时，
，
所以
恒成立，
故
在
上为增函数，故
，
即
在
上恒成立，
当
，即当
时，
，
所以在
上
为减函数，
所以
，不合题意，舍去，
综上所述，
在
上恒成立时，
，
而
时，由上述过程可得
在
单调递增，
所以
的解为
，
即
的解为
，
综上所述，
，
所以
的取值范围为
，
．
三、情景化应用
5.【解答】解：设
，
，则
，
，
，
故
，
，
，
观察可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则
，即
．
故选：
．
6.【解答】解：
对，因为
在曲线上，所以
到
的距离为
，而
，所以有
，
，那么曲线的方程为
，
对，因为代入
知满足方程；
错，因为
，求导得
，那么有
（2 ）
，
，
于是在
的左侧必存在一小区间
，
可以取无限小的数）上满足
，因此最大值一定大
于1；
对，曲线的方程为
，
可化为
，
即
，
因为
．
故选：
．
四、加强创新性
7.【解答】解：（1）根据题意，可得当
取
时，可以分为
，
，
，
一组公差为
的等差数
列，
当
取
时，可以分为
，
，
，
一组公差为
的等差数列，
当
取
时，可以分为
，
，
，
一组公差为
的等差数列，
所以
可以为
，
，
；
（2）证明：当
时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可以分为
，
，
，
；
，
，
，
；
，
，
，
三组公差为
的等差数列，
所以
时符合题意；
当
时，数列
，
，
，
去掉
和
后，
前三组还按照
时的分法，即
，
，
，
；
，
，
，
；
，
，
，
，
后面的每四个相邻的项分为一组，即
，
，
，
；
；
，
，
，
，
每一组都能构成等差数列，
所以数列
，
，
，
是
——可分数列；
（3）证明：设在给定
的情况下，
的组数为
，
当
变成
时，数列就变成了
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
这里可以分成3 组，前4 个一组即
，
，
，
，中间的一组，后4 个一组即
，
，
，
，此时我们要在这里面删除2 个数，那么会有以下几种情况：
一、两个都在中间
中间有
个数，且为等差数列，删除2 个的话，总数为
种；
二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组
第一组和中间组连起来，会变成
个数的等差数列，这里面总共有
种方法，但是要去掉两个都在中
间的情况，共有
种；
三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组
和上面一样，也是共有
种；
四、一个在第一组，一个在最后一组
此时，将
，
同时删除是肯定可以的，这算一种；
然后，从（2）的结果来看，把
，
同时删除也是可以的，因为
成立之后，当
时，只是相
当于往中间加了4 个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种．
综上，就会有
，
，
可得
，
即有
，
，
，
累加可得
，
即
，
因为
，
，所以
，
如果你是随便删除，总共有
种，
所以
．
客观题解题四种方法
一、特值法
1.【解答】解：由
，得
或
，由
是偶函数，
，得
．故选：
．
2.【解答】解：
，2，
，
可以取
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，故
错误；
，故
错误；
，故
错误；
，故
正确．
故选：
．
3.【解答】解：根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线的方程为
，
因此直线
的倾斜角
的正切值为
，即
，
所以有
，
设
，
，由双曲线定义可知：
，
，
由余弦定理可知：
．
故选：
．
4.【解答】解：
，且
是正整数，
可得
，
由于
，可得
或7，
由
，解得
或
，不符题意，舍去；
，解得
舍去），
故答案为：2．
5.【解答】解：
，
，
三点共线；
；
是
边上的中线；
；
又
；
；
；
由平面向量基本定理得，
；
；
．
故答案为：4．
二、验证法
6.【解答】解：函数为
在
上单调递增，
可知：
，
可得
，
．
故选：
．
7.【解答】解：函数
，
，
所以
为奇函数，排除
，
；
当
，
时，
，排除
．
故选：
．
8.【解答】解：
增大时，
增大，
减小，
是
上的减函数，且
（3），
，解得
，
的取值范围是
．
故选：
．
三、构造法
9.【解答】解：方法一：由
，可得
，
令
，则
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，由于
，
故
．
方法二：取
，
，满足
，
此时
，
，可排除
．
故选：
．
10.【解答】解：构造函数
，
，
则
，
，
当
时，
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
在
处取最小值
（1）
，
，
且
，
，
，
；
，
，
，
；
设
，
则
，
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
，
当
时，
，
当
时，
，
单调递增，
，
，
，
．
故选：
．
11.【解答】解：设
，
，则
，
设
，
，
故
在
单调递增，即
，
即
，故
在
上单调递增，
所以
，可得
，故
，
利用三角函数线可得
时，
，
，即
，
，故
．
综上：
，
故选：
．
12.【解答】解：设
，则
，
所以
在
上单调递增，
又因为
（1）
，所以
（1）
（1）
．
又因为
等价于
，即
（1），
所以
，即所求不等式的解集为
．
故选：
．
13.【解答】解：如图，
由
，
是边长为2 的正三角形，可知三棱锥
为正三棱锥，
则顶点
在底面的射影
为底面三角形的中心，连接
并延长，交
于
，
则
，又
，
，可得
平面
，则
，
，
分别是
，
的中点，
，
又
，即
，
，得
平面
，
则
，
，又三棱锥
是正三棱锥，
正三棱锥
的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为
．
半径为
，则球
的体积为
．
故选：
．
14.【解答】解：
，
，
，
数列
是等差数列，公差为3，首项为1．
，
则
．
故答案为：
．
四、估算法
15.【解答】解：对于
，棱长为1 的正方体内切球的直径为
，选项
正确；
对于
，如图，
正方体内部最大的正四面体
的棱长为
，选项
正确；
对于
，棱长为1 的正方体的体对角线为
，选项
错误；
对于
，（法一）如图，六边形
为正六边形，
，
，
，
，
，
为棱的中点，
高为0.01 米可忽略不计，看作直径为1.2 米的平面圆，
六边形
棱长为
米，
，
所以
米，故六边形
内切圆直径为
米，
而
，选项
正确．
（法二）因为
，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，
过
的中点
作
，设
，
可知
，
则
，即
，解得
，
且
，即
，
故以
为轴可能对称放置底面直径为
的圆柱，
若底面直径为
的圆柱与正方体的上下底面均相切，
设圆柱的底面圆心为
，与正方体的下底面的切点为
，
可知，
，
，
则
，
即
，解得
，
根据对称性可知圆柱的高为
，
所以能够被整体放入正方体内，故选项
正确．
故选：
．
16.【解答】解：头顶至脖子下端的长度为
，
说明头顶到咽喉的长度小于
，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
，
可得咽喉至肚脐的长度小于
，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
，
可得肚脐至足底的长度小于
，
即有该人的身高小于
，
又肚脐至足底的长度大于
，而小于
，
可得头顶至肚脐的长度大于
，
即该人的身高大于
，
故选：
．
17.【解答】解：法一：以
为原点，
所在直线为
轴，建立如图坐标系，
是
的斜边，
以
为直径的圆必定经过
点
设
，
，则
，
，
点
为线段
的中点，
，
，
，
可得
又
点
为线段
的中点，
所以：
故选：
．
法二：在直角三角形
中，点
是斜边
的中点，点
为线段
的中点，
所以
，
则由三角形中线定理可得
．
故选：
．
高考数学四大核心思想
一、函数与方程思想
1.
【解答】解：如图所示，正四棱锥
各顶点都在同一球面上，
连接
与
交于点
，连接
，则球心
在直线
上，
连接
，
设正四棱锥的底面边长为
，高为
，
在
中，
，即
，
球
的体积为
，
球
的半径
，
在
中，
，即
，
，
，
，又
，
，
该正四棱锥体积
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
（4）
，
又
，
，且
，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是
，
，
故选：
．
2.【解答】解：点
，
，
，所以直线
关于
对称的直线的斜率为：
，
所以对称直线方程为：
，即：
，
的圆心
，半径为1，
所以
，得
，解得
，
．
故答案为：
，
．
3.【解答】解：以
为坐标原点，
所在直线为
轴，建立如图所示的直角坐标系，
可得
，
，
，
以
为直径的半圆方程为
，
以
为直径的半圆方程为
，
设
，
，
，
，
，
，可得
，
，
，
即有
，
即为
，
即有
，
，
，可得
，即
，
则
，
，
，
可得
，即
，
时，
的最大值为
，
故答案为：
．
4.【解答】解：设
，
，
为偶函数，即
的图像关于直线
对称，
的图像关于直线
对称，
设
，
，
令
，则
，
单调递增，
在
，
上单调递增，
，
，即
，
，
，
实数
的取值范围为
，
．
故选：
．
5.【解答】解：由于实数
，
满足
，
设
，
则
为奇函数，且在
上单调递增．
由题意可知
，
，
即
，
即
．
函数
单调递增，
，
即
．
故答案为：2．
6.【解答】解：构造函数
，
，则
，
当
时，
，
，
因为
，
，
当
，
，
时，则
，所以
，
，
单调递增，所以
，
当
，
，
时，则
，所以
，
，
，
单调递减，所以
．
当
，
，
时，则
，
此时
，
综上，
．
故选：
．
二、数形结合思想
7.【解答】解：因为向量
，
，且
，所以
，
所以
，
即
，
，
解得
，
，
所以
，
又
，
，
所以
，
，
所以
，
．
故选：
．
8.【解答】解：若函数
恰有4 个零点，
则
有四个根，
即
与
有四个交点，
当
时，
与
图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当
时，
与
轴交于两点
，
图象如图所示，
当
时，函数
的函数值为
，
当
时，函数
的函数值为
，
所以两图象有4 个交点，符合题意，
当
时，
与
轴交于两点
，
在
，
内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需
与
在
，
还有两个交点，即可，
即
在
，
还有两个根，
即
在
，
还有两个根，
函数
，（当且仅当
，即
时，取等号），
所以
，且
，
所以
，
综上所述，
的取值范围为
，
，
．
故选：
．
9.【解答】解：法一：函数
是增函数，
恒成立，
函数的图象如图，
，即切点坐标在
轴上方，
如果
在
轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点
在
轴或下方时，只有一条切线．
如果
在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知
在图象的下方，并且在
轴上方时，有两条切线，可知
．
故选：
．
法二：设过点
的切线横坐标为，
则切线方程为
，可得
，
设
，可得
，
，
，
是增函数，
，
，
是减函数，
因此当且仅当
时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选：
．
10.【解答】解：分别画出
与
的图象，如图所示：
若
有四个解，则
，故
正确；
，
，
，
，
，
由于
在
为增函数，
，
，
，故
错误；
，
，
，
易知
在
为增函数，
，
，
，故
正确；
，
，
，
由于
在
递减，在
，
为增函数，
时，
取最小值是
，且
，
故
的取值范围是
，
，故
正确；
故选：
．
11.【解答】解：由题意可作出函数
的图象，和函数
的图象，
由图象可知：函数
的图象为过原点的直线，当直线介于和
轴之间符合题意，直线为曲线的切线，
且此时函数
在第二象限的部分解析式为
，
求其导数可得
，因为
，故
，故直线的斜率为
，
故只需直线
的斜率
介于
与0 之间即可，即
，
故选：
．
12.【解答】解：如图，
为椭圆
上任意一点，
为圆
上任意一点，
则
，
（当且仅当
、
、
共线时取等号），
，
，
，则
，
的最小值为
．
故答案为：
．
三、转化与化归思想
13.【解答】解：如图，设
，则
，
根据题意可得：
，
，又
，
当
，
，
时，
取得最大值
．
故选：
．
14.【解答】解：方法一：由
可得，
，
令
，则
，
，
，故
错，
对，
，
，
故
对，
错，
方法二：对于
，
，由
可得，
，即
，
，
，故
错，
对，
对于
，
，由
得，
，
，故
对；
，
，
，故
错误．
故选：
．
15.【解答】解：
椭圆的离心率为
，
，解得
．
椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，
找两个特殊点，分别为
，
，
对应的两条切线分别是
，这两条直线的交点为
，
点
在蒙日圆上，
，
椭圆
的蒙日圆方程为
．
故选：
．
16.【解答】解：
，
，对于任意
，
，函数
在区间
上总不为单调函数，
，
，
，
解得
，
实数
的取值范围是
，
．
故选：
17.【解答】解：设
，当
，
时，
，
是增函数，
，
时，
，
，
设
，
对任意的
，
，总存在唯一的
，
，使得
成立，
，
是
的不含极值点的单值区间的子集，
，
，
时，
若
，
是减函数，
若
，
，
，
是增函数，
（1），
若对任意的
，
，总存在唯一的
，
，使得
成立，
，
，
，
，即
则
；
故选：
．
四、分类讨论思想
18.【解答】解：令
，解得
或
，即
及
是
的两个零点，
当
时，由三次函数的性质可知，要使
是
的极大值点，则函数
的大致图象如下图所示，
则
；
当
时，由三次函数的性质可知，要使
是
的极大值点，则函数
的大致图象如下图所示，
则
；
综上，
．
故选：
．
19.【解答】解：若选2 门，则只能各选1 门，有
种，
如选3 门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有
，
综上共有
种不同的方案．
故答案为：64．
20.【解答】解：数列
满足
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，是等比数列，故
正确；
，故
错误；
对于
，
是等比数列，故
正确；
对于
，
，故
正确．
故选：
．
21.【解答】解：当点
在圆外，如下图所示，
设
中点为
，过
作
垂线交直线
为
，连接
，则
，则
，
又
，则此时
轨迹为以
，
为焦点的双曲线；
当点
在圆内（非原点），如下图所示，
此时
，又
，则此时
轨迹为以
，
为焦点的椭圆；
当
在坐标原点，如下图所示，
此时
，
重合，则
，则此时
轨迹为以
为原点，半径为2 的圆；
当
在圆上，如下图所示，
由垂径定理，可知
点与
重合，此时
的轨迹为点
．
故选：
．
