文档内容
思想 01 实施分类讨论策略以精准解析数学问题
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................7
题型一：由情境的规则引起的分类讨论 7
题型二：由定义引起的分类讨论 8
题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论 10
题型四：由变量的范围引起的分类讨论 12
题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论 13高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，
得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，
又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）
逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是
否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为1等．（2）由数学运算规则引起的分类讨
论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．
（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同
区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的
象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需
要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024年天津高考数学真题）设 ，函数 .若 恰有一个零点，则
的取值范围为 ．
3．（2024年北京高考数学真题）设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
4．（2023年北京高考数学真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．其中所有正确结论的序号是 ．
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
6．（2024年天津高考数学真题）已知 为公比大于0的等比数列，其前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设数列 满足 ，其中 ．
（ⅰ）求证：当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．题型一：由情境的规则引起的分类讨论
【典例1-1】甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 ，乙的卡
片上分别标有数字 ，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，
数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为 .
【典例1-2】已知实数 的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是 ．
【变式1-1】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题
和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中
的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．
(1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
(2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取
题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
【变式1-2】将连续正整数1，2， ， 从小到大排列构成一个数 ， 为这个数的位数
如当 时，此数为123456789101112，共有15个数字， ，现从这个数中随机取一个数字，
为恰好取到0的概率.
(1)求
(2)当 时，求 的表达式.(3)令 为这个数中数字0的个数， 为这个数中数字9的个数， ，
，求当 时 的最大值.
1．某班学生分A， ， ， 四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三
组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战
胜或者负于对手的概率均为 ，出现平局的概率为 ，每场比赛相互独立.
(1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率；
(2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.
2．甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，
则本回合甲赢的概率为 ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为 ，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，
第1回合由甲发球.
(1)求第4个回合甲发球的概率；
(2)设前4个回合中，甲发球的次数为 ，求 的分布列及期望.题型二：由定义引起的分类讨论
【典例2-1】设数列 和 的项数均为 ，则将数列 和 的距离定义为
．
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设 为满足递推关系 的所有数列 的集合， 和 为 中的两个元素，且项数均
为 ，若 ， ， 和 的距离小于4032，求 的最大值；
（3）记 是所有7项数列 的集合， ．且T中任何两个元素的距离大于或等于
3．证明：T中的元素个数小于或等于16．
【典例2-2】对于无穷数列 ，给出如下三个性质：① ；②对于任意正整数 ，都有 ；
③对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时
满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为“s数列”，则 为“t数列”
B．若 ，则 为“t数列”
C．若 ，则 为“s数列”
D．若等比数列 为“t数列”则 为“s数列”
【变式2-1】设数列 ， …，即当时， 记 为数列 前 项和.对于 ，定义集合 是
的整数倍， ，且 .则集合 中元素的个数为 ；集合 中元素的个数为 .
【变式2-2】若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
(2)设 ，定义 ，且记 ，求数列 的前n项和 ．
1．已知 ，定义 .
（1）如果 ，则 .
（2）如果 ，则 的取值范围是 .
2．数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧
密相连.记数列2， ， ，2， ， ，2， ，-1，…为 ，三角形式可以表达为
，其中 ， ， .（1）记数列 的前n项和为 ，求 ， ， 及 ；
（2）求数列 的三角形式通项公式.
题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【典例3-1】已知圆D： 与x轴相交于A、B两点，且圆C： ，点
．若圆C与圆D相外切，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面
内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．
(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；
(2)为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．
【变式3-1】（多选题）已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线交于 ， （点 在点 的上方）两点，且 ，则 的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】在平面直角坐标系内， ， ，若 的面积不超过3，则满足
条件的整点M个数为 ．
1．（多选题）已知曲线C： ，则（ ）
A．曲线C在第一象限为椭圆的一部分 B．曲线C在第二象限为双曲线的一部分
C．直线 与曲线C有两个交点 D．直线 与曲线C有三个交点
2．已知曲线 的左右焦点为 ，P是曲线E上一动点
(1)求 的周长；
(2)过 的直线与曲线E交于AB两点，且 ，求直线AB的方程；
(3)若存在过点 的两条直线 和 与曲线E都只有一个公共点，且 ，求h的值．
题型四：由变量的范围引起的分类讨论
【典例4-1】若 是 的三条边，且 ，记 ，则当 时，的取值范围是 .
注: 表示数集 中最大的数， 表示数集 中最小的数.
【典例4-2】已知函数 .
(1)若 ，求 在区间 上的最大值；
(2)求 在区间 上的最小值 .
【变式4-1】已知函数 ，其中 .若 在区间[1，4]上的最小值为8，则a的
值为 .
【变式4-2】已知函数 ，其中 ．
(1)若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值；
(2)是否存在实数 ，使得 在 （ 为自然对数的底数）上的最大值是 ？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由．
1．已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)设函数 ，若 是 的极大值点，求 的值.2．已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 的最小值为1，求 ．
题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【典例5-1】已知长方体 中 ， ， ，用过该长方体体对角线 的平面
去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】在正方体 中，平面 经过点B、D，平面 经过点A、 ，当平面 分别
截正方体所得截面面积最大时，平面 所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（多选题）如图，两条异面直线a，b所成的角为 ，在直线a，b上分别取点A，O和点
C，B，使 ， .已知 ， ， ，则线段OC的长为（ ）A．6 B．8 C． D．
【变式5-2】（多选题）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为 .现准备将该木块锯开，则下列关
于截面的说法中正确的是（ ）
A．过棱 的截面中，截面面积的最小值为
B．若过棱 的截面与棱 （不含端点）交于点 ，则
C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个
1．设四面体 中，有2条棱长为 ，其余4条棱长为1．则实数 的取值范围为 ．
2．（多选题）四棱锥的四个侧面都是腰长为 ，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
