文档文本内容
六
专题
函数、
数与不等式
导
第十五讲 函数的图像与性质
1.【解答】解：
，
，
，
．
故选：
．
2.【解答】解：根据题意，函数
，其导数
，
易得
，则
在
上递增，
设
，
，其定义域为
，
有
，则
为奇函数，
易得
在
上递增，
若
（3）
，即
（3）
，则有
（3），
而
为奇函数，
则有
，必有
，解可得
，则的取值范围为
．
故选：
．
3.【解答】解：
，
则
，
故
为偶函数，故
错误；
（1）
，故
错误，
正确．
故选：
．
4.【解答】解：令
，则
，可得
，
函数
是定义域为
的单调函数，
因为
，所以
，解得
，
所以
．
对于选项
（2）
，故
正确；
对于选项
：若关于的方程
有2 个不相等的实数根
，
，
则
，
，即
，
因为
，所以
，则
，
所以
，则
，故
选项正确；
对于选项
：函数
的值域为
，
则△
，
即
或
，故
不正确，
对于选项
：由函数
满足对任意的实数
，
，且
，都有
成立，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，
，
，故
选项正确，
故选：
．
5.【解答】解：因为
，
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
且
（1）
，
（3）
，
又因为关于
的方程
至少有两个不同的实数根，
所以
至少有两个不同的实数根，
即
的图象与
至少有两个不同的交点，
所以
，
又因为当
时，
，
令
，可得
；
当
时，
，
令
，解得
，
又因为
，
所以
，
解得
．
故选：
．
6.【解答】解：因为
为偶函数，有且仅有3 个零点，
所以
，解得
，
此时当
时，
，
由
，得
，解得
，
因为
是定义域为
的偶函数，
所以
的解集为
，
，
．
故选：
．
7.【解答】解：令
，
得
或
，
画出
的大致图象，
设
，由图可知，
当
或
时，
有且仅有1 个实根；
当
或
时，
有2 个实根；
当
时，
有3 个实根．
则
恰有4 个不同的零点等价于
或
或
或
，
解得
或
．
故选：
．
8.【解答】解：对于
，根据高斯函数的定义，对任意
，
，
故不存在
，使
成立，可知
项错误；
对于
，
，
，令
，则
，
，
因此
，故
项正确；
对于
，取
，
，
，
，则
，
，因为
，故
项错误；
对于
，
，当
时，
，当
时，
，而
，
因此
，
存在
，使
，故
项正确．
故选：
．
【精选练习】
9.【解答】解：函数为
在
上单调递增，
可知：
，
可得
，
．
故选：
．
10.【解答】解：
，
，可得
，
解得
，即
，
．
故答案为：
．
11.【解答】解：
是定义在
上的偶函数，
，
的周期为2，
又
在
，
上单调递减，
在
，
上单调递减．
又
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：
．
12.【解答】解：
时，
，
而
，所以
不正确；
，所以
不正确；
，
，函数是偶函数，定义域为
，
，所以
不正确；
，而且
，函数是偶函数，定义域为
，所以
正确．
13.【解答】解：分别令函数
，
，
即
，
，它们的根为
分别与
和
交点的横坐标，
作出
和
的大致图象，如图所示：
由图可知，当
有2 个零点时，
无零点或只有1 个零点，
错误；
当
有3 个零点时，
只有1 个零点，
错误；
当
有2 个零点时，
有4 个零点，
错误，
正确．
故选：
．
14.【解答】解：
，
当
时，
，则
，
此时
在
上单调递减，
当
时，
，
则
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
画出函数
和
的图象如下：
令
得，
．
故
，
，
，
令
，则
，且
，
，
，
当
时，结合图象可知，只有1 个解
，
当
时，结合图象可知，只有1 个解
，
当
时，结合图象可知，由3 个解
，
，
，
综上，方程
的实数根的个数为5．
故选：
．
15.【解答】解：当
时，
，
时，
在
上不为增函数，故
不正确；
当
时，
，
时，
在
上为增函数，结合选项
可知，故
不正确；
时
，
，
为偶函数，
不正确；
当
时，
，
，故
正确．
故选：
．
16.【解答】解：因为
，
所以当
时，
，
此时函数
在
上单调递减，且
恒成立；
当
时，
，
此时函数
在
上单调递增，且
；
作出函数的图象，如图所示：
由此可判断
错误；
因为
，
（3）
，
所以
（3），故函数不关于
对称，故
错误；
当
时，
与函数
始终有2 个交点，
所以
，方程
都有两个不等的实根，故
正确；
由图象可得
的图象没有一直位于
的图象之上，
所以不等式
不恒成立，故
错误．
故选：
．
17.【解答】解：作出函数
的图象，如图所示：
将原问题转化为直线
与函数
的图象交点的个数，
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象只有一个交点；
当
时，直线
与函数
的图象没有交点；
当
时，直线
与函数
的图象有三个交点；
所以直线
与函数
的图象不可能有两个交点．
故选：
．
第十六讲 利用导数研究函数的性质
1.【解答】解：设
，
，即
，
，
在
上单调递减，又
（2）
，
不等式
，
即
（2），
，
原不等式的解集为
，
．
故选：
．
2.【解答】解：
，则
，
当
，
，
时，
恒成立，
单调递增，
当
或
时，
不恒成立，
不可能单调递减，
综上，
在
上不可能单调递减，故
错误；
若
在
上单调递增，则
恒成立，
所以
，
，
，故
正确；
因为
，
所以
关于
对称，故
正确；
因为
，
，
所以
关于
，
，
对称，
所以
所有的对称中心在直线
上，故
正确．
故选：
．
3.【解答】
解：
，即为
，
可得
的导数为
，
则
，
由
，可得
，
，
，
则
，当且仅当
，即
时，取得等号．
故答案为：18．
4.【解答】解：（1）由
得
，设公切线与曲线
的切点坐标为
，
，
由已知得
，解得
，
所以公切线方程为
，即
，
由
得
，
由已知得
，解得
．
（2）由已知
，则
，
当
时，
，令
，得
，令
得
，
这时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，令
，得
，令
得
，
这时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，令
得
或
，
，
①当
时，
，这时
在
上单调递减；
②当
时，
，令
，得
，
令
得
或
，
这时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
③当
时，
，令
，得
，
令
得
或
，
这时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
综上，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
5.【解答】解：（1）
函数
，
当
时，
，
，
（1）
，
切点坐标为
，
切线的斜率为
（1）
，
曲线
在点
，
（1）处的切线方程为：
，整理得：
．
（2）
函数
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，此时函数
无极值，
，
令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
函数
的增区间为
，减区间为
，
，
，
令
（a）
，
，
（a）在
上单调递减，
（1）
，
（a）
等价于
，
的取值范围是
．
6.【解答】解：由
，得
，
对于
，当
时，
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
的极大值
，
的极小值
（a）
，所以
有三个零点，故
正确；
对于
，当
时，
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
是极小值点，故
错误；
对于
，任何三次函数不存在对称轴，故
错误；
对于
，当
时，
，关于点
中心对称，故
正确．
故选：
．
7.【解答】解：（1）已知
，函数定义域为
，
可得
，
因为
，且
的图象经过
，
两点，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
则当
时，函数
取得极小值，极小值
（1）
，①
又因为
，
（1）
，
所以
，
，②
联立①②，解得
，
，
，
则
；
（2）不妨设切点为
，
，
易知
，
因为
，
所以
，
则切线方程为
，
因为切线方程经过点
，
所以
，
若曲线
恰有三条过点
的切线，
此时方程
有三个不同实数解，
不妨设
，
可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得极大值，极大值
，
当
时，函数
取得极小值，极小值
（1）
，
此时需满足
，
解得
，
故
的取值范围为
．
【精选练习】
8.【解答】解：（1）若
，则
，
，
，
所以曲线
在点
，
处的切线斜率为
，即
，
解得
，
所以
（1）
，
所以切线的方程为
，即
．
（2）函数
，
，
，
令
，
，则
为开口向上，对称轴为
，△
，
又
，
当
，即
时，
在
上单调递增，
所以
，
所以在
上
，
单调递增，
当
，即
时，
①若△
，即
时，
，
所以在
上
，
单调递增，
②若△
，即
时，
有两个根
，
，
若△
，即
时，
，
所以在
上
，
，
单调递增，
在
，
上
，
，
单调递减，
在
，
上
，
，
单调递增，
综上所述，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
，
上单调递减，在
，
上单调递增．
9.【解答】解：（1）当
时，
，
，
则
，
解
可得
（舍去）或
．
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
故函数
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
，
函数
的极大值为
（1）
，没有极小值．
（2）由题意得
，
，
若
，当
，
时，
，
在区间
，
上单调递增，此时
的最大值为
（1）
；
若
，当
时，
，
单调递增，
，
时，
，
单调递减，
此时
的最大值为
（a）
；
若
，则
，当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
此时
的最大值为
；
若
，则
，当
，
时，
，
在区间
，
上单调递增，
此时
的最大值为
（1）
，
故
．
10.【解答】解：设直线
与曲线
相切于
，
由
，得
，
可得切线的斜率为
，
又
，可得
，
，
由
，得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
（1）
，又当
时，
，
的取值范围为
，
．
故选：
．
11.【解答】解：根据题意，设
，其导数
，
若
，解可得
或
，则
的单调递增区间为
，
，
，
若
，即
在
，
上为增函数，则
，
的最小值为2；
函数
，则其导数
，
若
，
，则
在
，
上为减函数，在
，
上为增函数，
则
（2）
，且在区间
，
上，
，在区间
，
上，
，
若
（2）
，解可得
，
，在区间
，
上，
，在区间
，
上，
，符合题意；
故
．
故答案为：2；3．
12.【解答】解：
，
，
，
，
，
所以
，
所以
，
则
，
令
，
且
，
则
，
当
，
，
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
时，
取得最小值
（2）
，
所以
的最小值为
．
故答案为：
．
13.【解答】解：令
，定义域为
，
则
，
所以函数
是定义域为
的奇函数，对称中心为
，
因为
，定义域为
，所以
，
即函数
的图象可由函数
的图象向上
或向下
平移
个单位得到，
所以函数
的对称中心为
，故
正确；
因为
，定义域为
，所以
，
令
，即
，解得
或
，
令
，解得
或
；
令
，解得
，
所以函数
在
，
上单调递增，
在
上单调递减，
所以函数
的极大值点为
，极小值点为
，
因为
是函数
的极值点，所以
或
，
当
时，
，
所以
函数
的极大值点，
是函数
的极小值点，所以
；
当
时，
，
所以
函数
的极小值点，
是函数
的极大值点，所以
，故
错误；
因为
，即
，
即
，
因为
，所以
，
当
时，有
，
解得
，
所以
，所以
；
当
时，有
，
解得
，
所以
，所以
，故
正确；
由
项分析可得
，
所以
，
当
时，
；
当
时，
，故
错误．
故选：
．
14.【解答】解：（1）函数
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，无极值，
当
时，令
得
，
所以在
上
，
单调递减，
在
上
，
单调递增，
所以当
时，
取到极小值
，无极大值，
综上所述，当
时，
在
上单调递增，无极值，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，极小值为
，无极大值．
（2）
，
，
，
令
得
或0（舍，
所以在
上
，
单调递增，
所以
，即
，
令
，
，则
，
若方程
在
上存在实根，
则方程
在
，
上存在实根，
若
在
上单调，则
在
上有解，即
应该在
上有解，
但是
在
上无解，不合题意，
所以
在
上不单调，
由（1）知
，即
，
，
，
，
所以
在
，
上单调递增，
所以
．
15.【解答】解：（1）由题知：
，
令
，则
，
当
时，
，
在区间
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
综上所述，当
时，
在区间
单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
（2）当
时，
，
由（1）知，
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单调递增；
所以
是函数
的极小值点，不符合题意；
当
时，
，且
，
由（1）知，
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单调递增；
所以，
是函数
的极小值点，不符合题意；
当
时，
，
时，
，
在
单调递增，
所以
无极值点，不符合题意；
当
时，
，且
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
所以
是函数
的极太值点，符合题意．
综上所述，
，即
的取值范围是
，
．
（3）证明：要证
，
只要证
，
只要证
，
，
因为
，所以
，
，
所以只要证：对任意
，有
，
只要证：对任意
，
（※），
因为由（2）知：当
时，若
，则
，
所以
，即
①，
令函数
，则
，
所以
在
上单调递增，
，即
②，
由①
②得：
，
所以（※）成立，所以
成立．
第十七讲 导数与函数零点
1.【解答】解：（1）若
，则
，
，
又
（1）
，
（1）
，
故所求切线方程为
，
即
；
（2）由题
，
当
时，
，
在
上单调递减，又
，
（1）
．
存在一个零点；
当
时，令
得
，此时
单调递减，令
得
，此时
单调递增，
则
的最小值为
．
当
时，
的最小值为0，此时
有一个零点．
当
时，
的最小值大于0，此时
没有零点．
当
时，
的最小值小于0，
，
时，
．此时
有两个零点．
综上，当
或
时，
有一个零点；当
时，
有两个零点；
当
时，
没有零点．
2.【解答】解：（1）
．
若
，
，
在
为增函数；
若
，令
，得
．
当
时，
，
为减函数，
当
时，
，
为增函数．
综上所述，当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增．
（2）当
时，
在
单调递增，不可能有两个零点，不符合题意．
当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
因为
有两个零点，必有
，
因为
，所以
．
令
（a）
，
，10 分
，所以
（a）在
单调递减，而
（1）
，
所以当
时，
（a）
，即
．
又
，
故
在
有1 个零点；
当
时，易知
，故
，
，
取
，有
，
在
有1 个零点．
综上所述，当
有两个零点时，
，即
的取值范围是
．
3.【解答】解：（1）
，令
，可得
，
故
的单调递增区间为
，
；
（2）
，
令
，
则
，
由
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，
故存在
，使
，即
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
由
，则
，
令
，则有
，
，当
时，
恒成立，
故
在
上单调递增，故
，即
，
则
，
即
的最小值为1；
（3）令
，
即有
，
即函数
的零点个数为
的实数根的个数，
由（2）知，
在
上单调递减，在
，
上单调递增，且
，
又当
时，
，当
时，
，
故当
，即
时，
有唯一实数根，
当
，即
时，
有两实数根，
当
，即
时，
无实数根，
即当
时，函数
有一个零点，
当
时，函数
有两个零点，
当
时，函数
无零点．
【精选练习】
4.【解答】解：当
时，显然不符合题意，
故
，由
可得
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
当
且
时，
，当
时，
且
，
因为
（e）
，
其大致图象如图所示，结合函数图象可知，
，
所以
．
故选：
．
5.【解答】解：（1）函数
，
则
，
当
时，由
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）
，
所以
为
的一个根，
故
有两个不同于1 的实根，
令
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，当
时，
，故
单调递增，
当
时，
，故
单调递减，
并且当
时，
；当
时，
，
所以若要满足题意，只需
且
（1）
，
因为
，所以
，
又
（1）
，所以
，即
且
，
所以实数
的取值范围为
．
6.【解答】（1）证明：由题意可得：函数
，且
，
，
若
，则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递增，可得
；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
可得
，
且
，则
，则
；
综上所述：当
时，
；
（2）解：由题意可得：
，
令
，整理可得
，
设
，则
，
且
，可知
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
内单调递减，在
内单调递增，
由题意可知：
有两个零点，则
（1）
，解得
，
若
，令
，则
则
，
可知
在
内有且仅有一个零点；
且当
趋近于
，
趋近于
，可知
内有且仅有一个零点；
即
，符合题意，综上所述：
的取值范围为
．
7.【解答】解：（1）由
，知
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，有
，
从而对
和
有
，对
有
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由于
，故
，
记
，则
．
从而对
有
，对
有
，
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增．
当
时，对
，
，
均有
（1）
，
所以
不可能有两个零点，从而
不可能有两个极值点；
当
时，由
，
（1）
，
，
结合零点存在定理可知
存在两个零点
，
．
再结合
的单调性知
在
，
，
时取正值，
在
时取负值，所以
有极大值点
和极小值点
．
综上，
的取值范围是
．
8.【解答】解：（1）
，
，
（2 分）
又
，所以切线方程为
，
（3 分）
又切线过点
，
得
，所以
，
（4 分）
所以
，
，
当
，
时，
，所以
在
，
上单调递减，
（6 分）
所以
的最小值为
；
（7 分）
（2）判断
在
零点个数，等价于判断方程
根的个数，
等价于判断方程
根的个数，
（8 分）
令
，
，令
，则
，得
，
（10 分）
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减．
（12 分）
，
，
，
（或
所以
时，方程
有2 根，
所以
在
有2 个零点．
（15 分）
9.【解答】解：（1）
，
，
令
，则函数
在
上单调递减，
又
（1）
，
时，
，即
，函数
单调递增；
时，
，即
，函数
单调递减．
时，函数
取得极大值
（1）
，无极小值．
（2）证明：要证明
．
令
，
，则函数
在
上单调递减，
存在唯一
满足
，可得
，
，
函数
在
出取得极大值即最大值，
，等号不成立，
，
．
第十八讲 导数与不等关系
1.【解答】解：
项，令
，则
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增．所以当
时，
，即
，
正确；
项，令
，
，则
，于是
，但
，
错误；
项，令
，则
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递递增，
故
在
时，取得最小值
，
所以
在
上恒成立，
故
在
上恒成立，
正确；
项，构造函数
，则
．在
上恒大于0，
于是
在
上是增函数，
又
，所以
，所以
．即
，
正确．
故选：
．
2.【解答】解：（1）因为
的定义域为
，
可得
，
当
时，令
，可得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故当
时，
取得极小值，也是最小值，且最小值为
，无最大值；
（2）当
时，由
，可得
，
整理得
，即
，
令
，
则
，
由（1）知，当
时，
的最小值为
（1）
，即
恒成立，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
故当
时，
取得最大值
，
即
，
故
的取值范围为
，
．
3.【解答】解：（1）
的定义域为
，
，
记
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减
所以
，即
，
所以
在区间
上单调递减．
（2）证明：先证
，
记
，则
，
记
，则
，
所以
时，
，
递增；
时，
，
递减．
所以
（1）
，所以
，
又
，所以
，故
．
再证
，即证
，
记
，则
，
记
，则
，所以
在
递增，
所以
，所以
，即
，
所以
．
（3）证明：由（2）知
的最大值为0．
因为
，
且
，则
，
之中至少有一个大于1，
不妨设
，则
，由（1）可知
为减函数，所以
，
所以
，
因为
，
记
，则
，
因为
，所以
，所以
，所以
．
【精选练习】
4.【解答】解：设
，
，
由题意可知函数
在直线
下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数，
因为
，
所以
，
由
，得
，
单调递增，
由
，得
，
单调递减，
如图，作出
的大致图象：
因为直线
过定点
，
所以
，即
，
故
．
故选：
．
5.【解答】解：（1）
，
，
令
，得
，
单调递增，令
，得
，
单调递减，
在
处取得极小值
，无极大值．
（2）
对
恒成立，即
对
恒成立．
令
，
，则只需
即可．
则
，
，
在
上单调递增且
．
当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增．
．
故
，
，故
的最大值为
．
6.【解答】解：（1）
，
，
当
，
，
时，
，
当
，
，
时，
，
所以
的单调递增区间为
，
；
单调递减区间为
，
，
，
，
当
时，
取极小值为
．
（2）证明：当
，
时，令
，
，
令
，
，
在
，
上单调递增，
，
，
在
，
上单调递增，
，证毕．
7.【解答】解：（Ⅰ）因为
，
，
所以
，
当
时，
恒成立，
所以
，
当
时，令
，
解得
（舍负），
令
，得
，
令
，得
．
综上所述，当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
（Ⅱ）由
恒成立，得
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
令
，
只需
，
则
，
令
，
易知
在
上单调递减，
又
（1）
，
所以当
时，
，
，
单调递增，
当
时，
，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
即
（1）
，
所以
，
所以
的取值范围为
，
．
（Ⅲ）当
时，
，
，
则
，
令
，
则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
又
，
所以
在
上存在唯一的零点，
设
在
上的零点为
，
可得当
时，
，
当
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
解法一：
，
因为
，所以
，
故
，
又
，所以
，
又
，
所以
在
上有一个零点，
又
，
所以
在
上有一个零点，
当
时，
，
所以
在
上没有零点，
当
时，
令
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
，
而
，
所以
，
所以
在
上没有零点，
综上所述，
在定义域
上有且仅有2 个零点．
解法二：因为
，
，
所以
在
上有一个零点，
又
，
所以
在
上有一个零点，
当
，
时，
，
令
，
，
，
令
，得
，
所以在
上
，
单调递增，
在
上
，
单调递减，
所以
（1）
，
所以
，
时，
，
所以
，
从而
在
，
上恒成立，
故
在
，
上没有零点，
当
时，
，
设
，
则
，
所以
在
上单调递减，
又
，
则
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
故
在
上没有零点，
综上所述，
在定义域
上有且仅有2 个零点．
8.【解答】解：（1）证明：记
，则
，
因为
，所以
，所以
，
则
在
上单调递增，所以
，
所以
；
当
时，
等价于
，记
，
则
，可知
在
上单调递增，
则
，即
；
综上，当
时，
．
（2）由题意，可知
等价于
，
记
，则
的定义域为
，
则
，
则
为定义在
内为偶函数，
所以题设等价于当
时，
，
当
时，
，不合题意；
当
时，因为
，所以
，
①当
时，由（1）可知，
，
则
，所以
，
又因为
，则存在
，使得
，
因此当
，
，即
不成立，不合题意；
②当
时，
，
记
，
由（1）可知
，可得
，
所以
，
因为
，则
，
由（1）可得
，则
，
所以
，所以
在
单调递减，
则
，
恒成立，符合题意，
综上，实数
的取值范围是
，
．
微专题14 必要性探路的应用
1. 【解答】解：（1 ）当
时，
，其定义域为
，求导，得
，
令
，得
舍去），
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）方法1：由条件可知
（1）
，于是
，
解得
，
当
时，
，
构造函数
，
对其求导，得
，
所以函数
在
，
上单调递减，
于是
（1）
，
因此实数
的取值范围是
，
．
方法2：由条件可知
对任意的
，
恒成立，
令
，
，
只需
即可，
对函数
求导，得
，
，
所以函数
在
，
上单调递增，
于是
（1）
，
所以函数
在
，
上单调递增，
所以
（1）
，于是
，
因此实数
的取值范围是
，
．
2.【解答】解：（1）将
代入，对
求导，
可得
，
当
，
，
（1）
，
所以根据点斜式可列出切线方程
，
化简可得
，
所以曲线
在点
，
（1）处的切线方程
；
（2）将
代入，对
求导，可得
，
因为
，所以
，即
的定义域为
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，
则在
，
无极大值，只有极小值为
，
所以当
时，函数
的极小值为0，无极大值；
（3）根据题意知
，
则
，
设
，
则
，
因为当
时，
恒成立，且
，
，
所以
，得
，
故
是原不等式成立的必要条件，
再
证
明
必
要
条
件
也
是
充
分
条
件
，
当
，
时
，
，
所以
在
上单调递增，且
，
所以
在
上单调递增，且
，充分性成立，
故可得
的取值范围为
．
3.【解答】解：（1）由
，可得
，
令
，则
，
因为
，所以
，
，则
．
所以
在
上单调递减．
且
和
在
上连续，
由零点存在定理知存在唯一零点
，使
．
所以
时，
，
在
单调递增；
时，
，
在
单调递减，
所以
在
上只有一个极值点，且为极大值点．
因为
时，
，则
时，
无零点．
又因为
，且
，
因为
在
单调递减，则存在唯一零点
，使
．
所以
在
上只有一个零点，只有一个极大值点．
（2）令
，
，
由
恒成立，得
．
因为
，
图象在定义域上连续不间断，
只需
是
的一个极大值点．
因为
，则
，解得
．
下证：当
时，
恒成立．
因为
．
当
，
时，
在
，
上单调递增，
所以
．
当
，
时，
，
令
，
则
在
，
单调递减，
则
．
，又因为
，
所以当
，
时，
，
综上，当
时，
恒成立．
【精选练习】
4.【解答】解：（1）函数
的导数为
，
可得曲线
在点
，
（1）处的切线的斜率为
，
由
（1）
，可得切线的方程为
，即为
；
（2）由
可得
，
设
，可得
，
设
，
，
在
递增，
当
时，
，
在
递减，即有
（1）
，
此时
递增；
当
时，
，由
，可设
，
若
，可得
在
递减，可得
（1）
，
所以
在
递减，即
（1）
，
当
，且
，
，
，
所以
的最大值为1，
所以
，
即
的取值范围是
，
．
5.【解答】解：（1）
时，
，故
，
当
时，
，
，故
，
在
递增；
（2）
，
，
设
，
，
当
即
时，
，
，
，
，而
，
，
即
恒成立，
当
时，
，
故
在
，
递增，而
，
故
，故
在
，
递增，
即
成立，
当
时，
，
故
在
，
递增，而
，
，
故存在
，
，有
，
当
时，
，
递减，
当
时，
，
递增，
故
时，
取最小值，最小值是
，
而
，不成立，
综上：实数
的取值范围是
，
．
6.【解答】解：（1）当
时，
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）令
，
，
因为
，
所以
，
又
，
所以
在
上不能单调递增，
否则存在
上使得
，
所以当
时，
，
，且
，
令
，
，
又
，
，
①当
，即
时，
存在
满足当
时，
，即
，与
矛盾，
②当
时，
，
令
，
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，即
，
所以
，
所以
，满足题意，
所以实数
的取值范围为
，
．
（3）证明：令
，
则
，
所以
（1）
，即
，
令
，
可得
，
即
，
所以
，
所以
，得证．
7.【解答】解：（1）当
时，
，
，
所以在
，
时，
，
单调递减，
在
时，
，
单调递增，
所以
（1）
，
，
（e）
，
在区间
，
上的值域为
，
．
（2）根据题意得，
在区间
上有唯一根，
即
在区间
上有唯一根，
又因为
，
所以
，即
．
（3）函数
，
，
因为当
时，
恒成立，
所以当
时，
恒成立，
即当
时，
恒成立，
令
，
，
令
，
，
在
上
，
单调递减，
由因为
（2）
，
（3）
，
所以存在
，使得
，
，
在区间
上，
，
，
单调递增，
在区间
，
上，
，
，
单调递减，
，
，
所以
（2）
，
所以
．
微专题15 抽象函数的应用
1.【解答】解：函数
是定义在
上的奇函数，
且对任意两个正数
，
，都有
，
；
设
，
在
上是单调减函数；
又
（2）
，
（1）
，
（3）
，
（1）
（2）
（3），
即
．
故选：
．
2.【解答】解：因为函数
的定义域为
，且
，
用
替换
，得
，
所以
，
所以
是
上的偶函数，
由
，
可得
，
即
，
又因为
，
所以
，
即
，
所以
关于
，
对称，且
，
由
，
可得：
，
又因为
为偶函数，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
的周期为6；
所以
，
在
中，
令
，得
（1）
，
解得
（1）
，
再令
，得
（2）
（1），
所以
（2）
（1）
，
所以
（2）
．
故选：
．
3. 【解答】解：根据题意，因为
为偶函数，所以
的图象关于直线
对称，即有
，变形可得
①．
又由
为奇函数，所以
，变形可得
②．
由①，②得
，
，
故有
，
由
，得
（2）
，又
，可得
（2）
，
（1）
（3）
，
（2）
（4）
，由
（1）
，得
（3）
，
故
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
．
故选：
．
4.【解答】解：由
是偶函数，则
，两边求导得
，
所以
是奇函数，故
．
对于
，由
，得
，
所以
，
代入
，得
，
又因为
是奇函数，
所以
，
，
即
，
所以
是周期函数，且周期为4，
（4）
，故
正确；
对选项
，令
得，
（1）
（1）
，
令
得，
（3）
（1）
，故
（1）
（3）
，故
正确；
对于
：令
，得
，
因为
是周期函数，且周期为4，
（4），
所以
（4）
，
因为
（4）
，所以
，故
错误；
对于
：由
得
，
，
由
选项知
，
令
，得
（1）
（3），故
（1）
（3）
，
因为
是周期函数与奇函数，且周期为4，
所以
（2）
（2），即
（2）
，
因为
（4）
，
所以
（1）
（2）
（3）
（4）
，
所以
，故
错误．
故选：
．
【精选练习】
5.【解答】解：根据题意，
，
对于
，在
中，令
可得：
（1）
（1），变形可得
（1）
，
错
误；
对于
，在
中，令
可得：
（1）
，
又由
（1）
，则
，
错误；
对于
，对于
，在
中，令
可得：
，变形可得
，则
为偶函数，
正确；
对于
，由
的结论，
错误．
故选：
．
6.【解答】解：对于
，因为
是奇函数，所以
，
则有
，
的图象关于点
对称，故
错误；
对于
，
是奇函数，其图象关于原点对称，
向右平移1 个单位后可得
，所以
的图象关于点
对称，故
正确；
对于
，因为
是奇函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
①，
因为
，所以
②，
由①②可得：
，所以
，
所以
，
，
所以8 是函数
的一个周期，所以
是周期函数，故
正确；
对于
，因为
，所以
（1）
（5），
（2）
（6），
（3）
（7），
（4）
（8），
所以
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
，
而
，故
错误．
故选：
．
7.【解答】解：因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
是周期为4 的周期函数，则
正确；
令
，得
，则
，
从而
，故
错误；
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
的图象关于直线
对称，则
正确；
因为
的周期为4，且其图象关于直线
及
对称，
则直线
及
均为
图象的对称轴，
从而
，
，
令
，得
，
即
，
则
，
故
，故
错误．
故选：
．
8.【解答】解：由
可得
，
又
，所以
，
令
，所以
；
因为
的图象关于点
对称，所以
，
又
，所以
，
因为
，所以
，
，
令
，所以
，则
；
因为
，所以
，
又
，所以
，
，则
，4 是
的一个周
期，
因为
（3）
（1），
（4）
（2），所以
（1）
（2）
（3）
（4）
，
因为
周期是4，
所以
（1）
（2）
（3）
．
故答案为：3，0．
9.【解答】解：对于选项
，因为
为偶函数，可得
，
即
，
两边求导得，
，即
（2）
，选项
正确；
对于选项
，因为
为偶函数，
所以
为奇函数，图象关于
对称，
则
的图象关于点
对称，选项
正确；
对于选项
，
为偶函数，
为奇函数，
可得：
，即
，得
，
所以
，即
，
则
，可知
的周期为4，选项
错误；
对于选项
，因为
为奇函数，将
代入，得
（1）
，
得
（1）
，因为
为偶函数，可得：
关于
对称，
由
（1）
且
关于
对称，知
（3）
，又
的周期为4，可得
．
选项
中有等式
，即
，
则有
成立，
所以
（1）
，选项
正确．
故选：
．
10.【解答】解：由
的图象关于点
对称，则
，即
，
所以
，
又
的图象关于直线
对称，则
，又
，
所以
，所以
，
两边同时求导得
，即
，故
正确；
由
，可得
，即
，
所以
，所以函数
的周期为4，
又
（1）
，
（1）
，
（2）
，结合
（1）
，
（1）
，得
，
（2）
，
又函数
的周期为4，所以
（3）
，
（4）
，
所以
（1）
（2）
（3）
（4）
，
则
（1）
（2）
（3）
（4）
，故
正确；
又
，所以
，
结合
得
，即
，所以函数
的周期为4，
所以
，又
，所以
，故
正确；
由
选项知：
，所以
，即
，
再
，所以
，
所以
（1）
，即
（1）
，
又
，所以
，所以
（1），故
错误．
故选：
．
微专题16 导数同构
1.【解答】解：令
，则
，
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
因为
，
所以
，即
，
所以
，
错误，
正确；
令
，则
，
，
当
时，
，
（1）
，
故
在
上不单调，
故
时，
与
大小关系不确定，
，
错误．
故选：
．
2.【解答】解：由条件得
，
，令
，
，则
，由条件
，则
，
令
，
，则
，显然当
时，
，
单调递增．
故由
，
可得
，
．
故答案为：
．
3.【解答】解：令
，
所以
．
令
，定义域为
，
，
令
，易知
在
上单调递增，且
．
所以
，
则函数
有两个零点转化为函数
的图象与直线
有两个交点．
则
，当
时，
；当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，当
时，
；当
时，
，
则
，解得
，即实数
的取值范围是
．
故选：
．
4.【解答】解：（1）若
，则
，则
，
直线
恒过定点
，则直线的斜率为
，
设切点
，由导数几何意义可得
，即
，
令
，观察得
（1）
，
又
，所以
在
上递增，
所以方程
的根仅有
，
所以
；
（2）令
，则
，
令
，则
在
，
上递增，且
，
（a）
，
所以存在唯一
，使得
，
所以当
时，
，故函数
单调递减，
当
，
时，
，故函数
单调递增，
所以
由
对
恒成立，可得
，即
，
令
，则
，所以
在
上递减，
由
（1）
，所以
的解为
，所以
，
令
，
，则
在
上递增，
所以
，
所以
．
另解：
，其中
，等价于
，即
，
即
，
令
，则不等式等价于
，
因为
为增函数，
所以
，
所以
，
令
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
（1）
，
所以
，解得
．
5.【解答】解：因为
，所以
，
由
得
，
即
，
即
，
构造函数
，
可化为
，
因为
，令
，
则
，令
，解得
，
所以
时，
，
在
上单调递减，
所以
时，
，
在
上单调递增，
所以
时，
取得最小值，即
（1）
，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
因为
，
所以
，
，
，
令
，则
，
令
，即
，解得
，
所以
时，
，
在
上单调递增，
时，
，
在
上单调递减，
所以
时，
取得最大值，即
，
所以
，
所以
，
即
的取值范围为
，
．
故选：
．
6.【解答】解：
等价于
，
令函数
，则
，故
是增函数，
等价于
，即
，
令函数
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
．
故实数
的取值范围为
．
故选：
．
7.【解答】解：设
，
，
，
则
，
令
，
，
方法一：
，
令
得，
，
由
的图象和
的图象可知，方程
在
上有且只有一个解，设为
，
当
时，
，
单调递减；
当
，
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
又因为
，所以
，
，
所以
，
所以
的最小值为1；
方法二：设
，
则
，
令
得，
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，当且仅当
时，等号
成立，
即
的最小值为1，
所以
的最小值为1．
故选：
．
8.【解答】解：显然首先
，
，
不等式
，
令
，
，
则
，
所以
在定义域内严格单调递增，
所以若有
成立，则必有
，
即
对于任意的
恒成立，
令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
从而
，所以
的取值范围是
，
即实数
的最大值为
．
故选：
．
9.【解答】解：由题意
恒成立，
所以
恒成立，
令
，则
，所以
单调递增，
从而
，
显然
，也就是说原问题等价于
恒成立，
我们设
，从而
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，
所以实数的取值范围
．
故答案为：
．
10.【解答】解：因为不等式
恒成立，
所以
恒成立，
令
，
所以
在
上单调递增，
当
时，
；当
时，
，
所以
，
令
，函数定义域为
，
可得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，
即
，
解得
，
则
，
所以
，
可得
，
因为
恒成立，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
取得最小值，
此时
，
当
时，
，
此时
；
当
时，
，
此时
，
综上可知
的最小值为
．
故答案为：2；
．
11.【解答】解：设
，则
，
又因为不等式
对任意的实数
恒成立，
所以
对任意的实数恒成立，
即
对任意的实数恒成立，
令
，
，
则有
恒成立，
则
，
当
时，
，
在
上单调递增，不满足题意；
当
时，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
所以
，
所以
，
，
所以
，
令
（a）
，
，
则
（a）
，
所以当
时，
（a）
，
（a）单调递增；当
时，
（a）
，
（a）单调递减；
所以
（a）
（1）
，
所以
，
所以
的最大值为
．
故答案为：
．
12.【解答】解：令
，
令
，则
，
令
，则
．
令
，则
，所以
在
，
上单调递增；
令
，则
，所以
在
，
上单调递减；
又
，
（1）
，
则
有且只有两根，分别为0，1；
因为
与
的图象有且仅有两个不同的交点，
则函数
图象与
轴有且仅有两个不同的交点，
设两个不同的交点的横坐标为
，
，
则方程组
有且只有一组实数根，
令
，则
，
当
时，
，则此时
在
上递增，
又当
趋向于0，
趋向于
，当
趋向于
，
趋向于
，即
，
则
有且只有一组实数根；
当
时，方程组
有且只有一组实数根，
等价于函数
图象与直线
，
图象共有两个交点，
临界情况为两条直线与
图象相切，
当
与
相切，
设对应切点为
，
，因
，
则相应切线方程为
，即
，
所以
，所以
，解得
；
当
与
相切，设对应切点为
，
，
则相应切线
，即
，
所以
，可得
，解得
；
如图
则
，
综上
的取值范围为
．
故答案为：
．
微专题17 双重最值问题
1.【解答】解：因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
且
，
，
因为
可看作由
的图象向左平移
个单位，
令
，
即
，解得
，
结合函数的图象可知，
，
的最大值的
．
故选：
．
2.【解答】解：令
，
，
，其中
，
，
，
所以
，
若
，则
，故
，
令
，
，
，
，
，
因此
，故
，则
，
若
，则
，即
，
，
，
，
，
，
则
，故
，则
，
当且仅当
且
时等号成立，
如取
时可满足等号成立，
综上可知
，
，
的最小值为
．
故答案为：
．
【精选练习】
3.【解答】解：分别作出
，
，
在
，
的图象，
函数
，
，
的图象为右图中的实线部分．
由图象可得
的最低点为
，即为
和
的交点，
由
解得：
．
的最小值为：4
故选：
．
4.【解答】解：由
，
，可得
，
，
，
即有
，
由
，
可得
，解得
．
可得的最大值为
．
故答案为：
．
5.【解答】解：因为
，所以在
，
，
中，负数的个数为1 或3，
又
，所以在
，
，
中，1 个为负数，2 个为正数，不妨设
，则
，
，
．
因为
，所以
，因为
，所以
，则
，
故
，
，
的最大值是
．
故选：
．
6.【解答】解：当
时，则
，
由题意可知，此时
，
，
和
中至少有一个小于等于2，
，
又
当
，
时，
，
的最大值为2，
当
时，则
，
由题意可知，此时
，
，
和
中至少有一个小于2，
，
综上所述，
的最大值为2．
故答案为：2．
微专题18 双变量问题
1.【解答】解：（1）由
，得
，
令
，则
或
，
当
或
时，
；当
时，
，
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
且
有两个正根，
（1），
，
的取值范围为
．
（2）
关于
的方程
有两个正实数根
，
且
．
由（1）知
，
设
，
，
则
，
在
上单调递减，
（1）
，
，又
在
上单调递减，
，
，
要证
，
只需证
，即证
，
且
，
成立．
2.【解答】（1）解：由函数的解析式可得
，
，
，
单调递增，
，
，
单调递减，
则
在
单调递增，在
单调递减．
（2）证明：由
，得
，
即
，
由（1）
在
单调递增，在
单调递减，
所以
（1）
，且
（e）
，
令
，
，
则
，
为
的两根，其中
．
不妨令
，
，则
，
先证
，即证
，即证
，
令
，
则
在
单调递减，
所以
（1）
，
故函数
在
单调递增，
（1）
．
，
，得证．
同理，要证
，
（法一）即证
，
根据（1）中
单调性，
即证
，
令
，
，
则
，令
，
，
，
单调递增，
，
，
，
单调递减，
又
时，
，且
（e）
，
故
，
（1）
（1）
，
恒成立，
得证，
（法二）
，
，
又
，故
，
，
故
，
，
令
，
，
，
在
上，
，
单调递增，
所以
（e）
，
即
，所以
，得证，
则
．
3.【解答】解：
，
所以
，
又
，所以曲线
在点
，
处的切线方程为
．
由
，得
，该方程有一根为
，且
，
所以
，即
有3 个不同的实数根，且这3 个实数根均不为
．
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
又
，当
时，
且
，
当
，
时，
，当
，
时，
，当
时，
的增速远大于
的
增速，
所以
．
故
的大致图象如图所示：
又
，所以当
时，直线
与曲线
有3 个不同的交点，且这3 个交点的横坐标
均不为
，
所以
的取值范围为
．
由
知
，
，所以
，
，
所以
，则
，
要证
，只需证
，
不妨设
，所以
，所以
，则只需证
．
令
，则
，令
，
则当
时，
，
所以
在
上单调递增，所以
（1）
，
所以当
时，
恒成立，
得证．
4.【解答】（Ⅰ）解：由
，可得
．
当
，即
时，函数
单调递增；
当
，即
时，函数
单调递减．
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（Ⅱ）证明：设点
的坐标为
，
，则
，
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
令函数
，即
，
则
．
，
当
时，
；当
，
时，
，
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
对于任意实数
，
，即对任意实数
，都有
；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，
，设方程
的根为
，可得
．
在
上单调递减，又由（Ⅱ）知
，
因此
．
类似地，设曲线
在原点处的切线方程为
，可得
，
对于任意的
，有
，即
．
设方程
的根为
，可得
，
在
上单调递增，且
，
因此
，
由此可得
．
【精选练习】
5.【解答】解：（1）由
，得
，
函数的零点
，
，
，
．
曲线
在
处的切线方程为
，
，
（1）
，
曲线
在
处的切线方程为
；
（2）证明：
，
当
时，
；当
时，
．
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
由（1）知，当
或
时，
；当
时，
．
下面证明：当
时，
．
当
时，
．
易知，
在
，
上单调递增，
而
，
对
恒成立，
当
时，
．
由
得
．记
．
不妨设
，则
，
．
要证
，只要证
，即证
．
又
，
只要证
，即
．
，即证
．
令
，
．
当
时，
，
为单调递减函数；
当
时，
，
为单调递增函数．
，
，
．
6.【解答】解：（1）
，则
，又
，
切线方程为
，即
；
（2）证明：先证明
，
令
，则
，
易知函数
在
上递减，在
，
上递增，
则
，即
，
再证明
，令
，则
，
易知函数
在
上递减，在
上递增，
则
（1）
，即
，
如图，设直线
与直线
，
相交点的横坐标分别为
，
，
由
，得
，当且仅当
时等号成立，
由
，得
，当且仅当
时等号成立，
，即得证．
7.【解答】解：（1）因为已知函数
，
，
所以
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
（1）
，且当
时，
，
所以函数
的图像如下所示：
因为方程
有
，
，
所以
．
故
的取值范围为
．
（2）证明：
记
，
，
，
则
，
，
，
设
，
，
，
则
，
所以
在
，
上为减函数，
因为
，
（1）
，
所以存在
，
，使得
，
所以当
，
时，
；当
，
时，
，
又因为
，
（1）
，
所以
，即对任意的
都有
．
不妨设
，则
，
由（1）知：
，
又因为
，所以
，
所以
．
要证：
，
即证：
，
需证：
，
，
需证：
，
需证：
，
需证：
，
需证：
，
需证：
，
需证：
，
需证：
．
于是构造函数
，
，
所以
，
所以
在
上为增函数，
所以
（1）
，
所以
成立，
所以
成立．
跨章节综合8 导数与三角
1.【解答】解：（1）证明：
；
（2）由（1）可知，
，
即
是方程
的一个根，
令
，则
，
显然
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
所以
，
，即
．
【精选练习】
2.【解答】解：（1）设
，由题知：
，
代入
，
，化简得：
，
因为
，所以实数
的取值范围
．
（2）①当
时，由（1）知
，则
此时
，
由余弦定理有：
及
得
，
故
，
由
得
或
由
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
的极小值为
（1）
．
②
当
时，由（1）知
，又
，
故
，
知
的零点为
故
的最大零点
；
当
时，由（1）知
，
则
，
由余弦定理有
，代入
，
解得
，由
知
，
故
，
，
设
令
解得：
，且
，
则
在
，
，
上单调递增，
，
上单调递减，
因为
（1）
，
故
，且
时，
，
故
在
上有唯一零点
，此时
成立．
时，由（1）知
，则
，
由余弦定理有
，及
，解得
，
由
知
，故
，所以
．
当
时，令
解得：
，且
，
由
知则
在
，
，
上单调递增，
，
上单调递减，
因为
（1）
，且
的图象的对称轴
，
所以
，又因为
，
故
在
上无零点，且
，
故
，
成立；
当
时，
恒成立，
则
在
上单调递增，由
，知
成立，
综上，当
时，
；当
时，
；当
时，
．
跨章节综合9 导数与数列
1.【解答】解：（1）
，
因为
，
，
令
，可得
．
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增．
所以
的最小值为
．
即当
时，
在
上的最小值为0．
（2）证明：当
时，因为
，由（1）知，
，
所以
．
设
，
则
，
两式相减，得
，
所以
，
又当
时，
，此时
．
所以
，即得证．
【精选练习】
2.【解答】（1）解：函数
的定义域为
，且
；
①若
，则
恒成立，所以
在
上单调递增；
②若
，则
时，
，
单调递增；
，
时，
，
单调递减；
综上，当
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递增，在
，
上单调递减．
（2）证明：设
，
，
则
，
因为
，所以
在区间
，
上单调递减；
，
设
，
，则
，所以
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；所以
的最小值为
（1）
．
又
，所以
，所以
恒成立；又因为
，
，所以
．
同理可得：
，由
时等号成立），
又因为
，所以
，所以
恒成立；
又因为
，
，
，所以
．
所以，区间
，
上存在唯一实数
，使得
，
所以对任意
，存在唯一的实数
，
，使得
成立．
（3）证明：当
时，由（1）可得，
在
上单调递减，
所以
时，
（1）
，即
．
令
，
，则
，
即
，所以
，
令
，
，则
，
所以
，即
．
