文档内容
专题 03 复数
一、知识聚焦
二、题型聚焦
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司知识点 1：复数的有关概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是．
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．
（1）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．
6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi．
知识点2：复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚
轴．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ=(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所
确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量⃗OZ的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
知识点3：复数的运算
1、复数的运算法则
设 ， (a，b，c，d∈R)，则：
（1）加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
（2）减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
（3）乘法：z·z＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
（4）除法：
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z＋z|2＋|z－z|2＝2(|z|2＋|z|2)； （2）·z＝|z|2＝||2.
1 2 1 2 1 2
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N ，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
＋
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N ，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
＋
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
4、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
−b±√b2−4ac −b±√−(b2−4ac)i
①当∆≥0时，x= ②当∆<0时，x=
2a 2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
知识点4：复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数
的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
2、辅角主值
（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角．
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．
3、复数乘、除法的三角表示：已知z =r (cosθ +isinθ )，z =r (cosθ +isinθ )，
1 1 1 1 2 2 2 2
（1）乘法：z z =r r [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )]，即模数相乘，辅角相加．
1 1 1 2 1 2 1 2
z r (cosθ +isinθ ) r
（2）除法： 1= 1 1 1 = 1[cos(θ −θ )+isin(θ −θ )]，即模数相除，辅角相减．
z r (cosθ +isinθ ) r 1 2 1 2
2 2 2 2 2
题型归纳
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【题型1 复数的相关概念应用】
满分技法
1、判断复数 的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是 的形式；
（2）看属性：看 ， 是否都是实数；
（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点.
2、复数的分类：对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
1．（23-24高一下·湖南常德·月考）复数 的虚部是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】复数 的虚部为 .故选：B.
2．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数 的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】B
【解析】因为 ，所以 的实部与虚部之和为 ．故选：B.
3．（23-24高一下·四川成都·期中）若纯虚数 ，则 .
【答案】1
【解析】由题意可知， ，得 .
4．（23-24高一下·安徽·月考）复数 ，其中 .
（1）若复数z为实数，求a的值；
（2）若复数z为虚数，求a的取值范围；
（3）若复数z为纯虚数，求a的值
【答案】（1） 或 ；（2） 且 ；（3）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）由复数z为实数，得 ，解得 或
（2）由复数z为虚数，得 ，解得 且
（3）由复数z为纯虚数，得 ，解得 .
【题型2 复数相等及应用】
满分技法
求解复数相等问题的步骤：（1）等号两侧都写成复数的代数形式；（2）根据两个复数相等的充要条件列
出方程（组）；（3）解方程(组).
5．（23-24高一下·浙江金华·期中）设 ，若 ，其中 是虚数单位，则
【答案】7
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
6．（23-24高一下·安徽·月考）已知 ，其中 ，i为虚数单位.则实数 ，
.
【答案】1
【解析】由题意 ，得 ，解得 ，
7．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数 ，
，并且 ，则 ．
【答案】
【解析】由题意 ，所以 ，
从而 ，
注意到 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）已知a， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A、B，由 ，解得 ，故A错误，B正确.
对于C， ， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.故选：BC．
【题型3 复数的几何意义及应用】
满分技法
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ=(a,b)是一一对应的．
9．（23-24高一下·四川眉山·月考）设在复平面内，复数 和 对应的点分别为 ，则向量 表
示的复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数的几何意义知， ，故 ，
所以 表示的复数所对应的点 位于第四象限.故选：D
10．（23-24高一下·安徽·月考）复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第―象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，位于第二象限.故选：B.
11．（23-24高一下·山东泰安·期中）当 时，复数 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 ，所以 ，
所以复数 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.
12．（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数 的点位于四象限
时，实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知复平面内表示复数 的点位于四象限，
则 ，即 ，即 ，故选：B.
【题型4 复数的模长相关计算】
满分技法
计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数的模的公式进行计算.两个虚数不能比较大
小，但它们的模可以比较大小．
13．（23-24高一下·福建厦门·月考）复数 ，其中i为虚数单位，则 （ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【解析】因为 ，则 故选：C
14．（23-24高一下·湖北·期中）（多选）已知复数z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设复数 ，由 ，得 ，
所以 解得
所以 ，则 .故选：AC
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司15．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数 和 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】设
因为 ，所以 ，即 ，①
又 ，所以 ，即 ，②
又 ，所以 ，即 ，③
② ③可得 ，④
把①代入④可得 ，
所以 ，故A正确；故选：A.
16．（23-24高一下·陕西西安·月考）若复数 满足 ，且 在复平面内对应的点位于第四象限，写出一
个符合条件的复数 .
【答案】 （不唯一，符合题意即可）
【解析】设 ， ，因为 ，所以 ，
因为 在复平面内对应的点位于第四象限，所以 可以为 .
【题型5 复数四则混合运算】
满分技法
解决复数四则运算问题的思路：
1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类
比多项式加减法中的合并同类项；
2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将 换成 ，并将实部、虚部分别合并. 多
项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有 ，
， .
2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，
即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
17．（23-24高一下·河南濮阳·月考）设复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为复数 在复平面内对应的点为 ，所以 ，
所以 .故选：C.
18．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意， ，则 .故选：A
19．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）设 ， ，则a等于 .
【答案】
【解析】因为 ，
又 ， ，所以 ，解得 .
20．（23-24高一下·河南郑州·期中）计算（1） ；（2） ；（3）
【答案】（1）13；（2） （3）
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） .
【题型6 复数高次幂的周期性应用】
满分技法
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司从而对于任何n∈N ，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
＋
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
这就是说，如果n∈N ，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
＋
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
21．（23-24高一下·江西·月考）已知复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， .故选：D.
22．（23-24高一下·河南·期中） （ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ， ，所以具有周期性，周期为 ，
所以 ，所以 .故选：A
23．（22-23高一下·广东广州·期中）已知i是虚数单位，则 ．
【答案】
【解析】 ，故 .
24．（23-24高一下·山东滨州·月考） ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 .
【题型7 共轭复数及辨析】
满分技法
共轭复数问题的求解技巧：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1、若复数 的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出 ，再进行复数的四则运算．
2、已知关于 和 的方程，而复数 的代数形式位置，求解 .
解决此类问题的常规思路是：设 ，则 ，代入所给等式，利用复数相等的充要
条件，转化为方程（组）求解．
25．（23-24高一下·河南商丘·月考）设 ，则 的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，
则 ，所以 的虚部是 .故选：B
26．（23-24高一下·天津河西·期中）复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以复数 的共轭复数是 .故选：C
27．（2024·福建莆田·三模）（多选）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由 ，得 ，则A错误.
对于B，因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），则B正确.
对于C，设 （ ，且 ），
则 ，所以 ，则C正确.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于D，由 ，得 .
设 （ ，且 ），则 ，
，从而 ，则D正确.故选：BCD
28．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知虚数 满足： 为实数，则 .
【答案】1
【解析】设 ，则 ，
为实数，
于是 ，即 ，故 ．
【题型8 复数范围内的解方程】
满分技法
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
−b±√b2−4ac
** 错误的表达式 **当∆≥0时，x= ** 错误的表达式 **当∆<0时，
2a
−b±√−(b2−4ac)i
x=
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
29．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）在复数范围内，方程 的解集为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 或 ，即 或 ．
30．（23-24高一下·河南安阳·月考）已知p，q为实数， 是关于x的方程 的一个根，则
的值为（ ）
A．14 B．－14 C．38 D．－38
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】由题意 ，即 ，
，解得 ，所以 .故选：C
31．（23-24高一下·天津河西·期中）已知 是关于 的实系数方程 的两个虚根，则
．
【答案】
【解析】因为 ，即 ，
所以 ， ，
则 ， ，
所以 .
32．（23-24高一下·吉林·期中）（多选）设方程 在复数范围内的两根分别为 ，则下列关
于 的说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对A，由实系数一元二次方程求根公式知 ，
则 （与 顺序无关），故A正确；
对B，因为 ，所以 ，故B正确；
对C，由A， ，故C错误；
对D，由韦达定理可得 ，故D正确．故选：ABD
【题型9 与复数模有关的最值问题】
满分技法
1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或
不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，
若z=x+ yi，则|z−(a+bi)|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，
则|z−(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.
33．（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足 时，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】设 ，复数 满足 ，
所以 ，表示 到点 的距离为1，
所以 到原点的距离的最小值为 ，即 的最小值是4.故选：B
34．（23-24高一下·福建·期中）已知复数 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据复数模的几何意义可知， 表示复数 与复数 对应两点间的距离为1，
所以复数 对应的点是以点 为圆心，1为半径的圆，如图，
表示圆上的点到原点的距离，
由图可知， 的最小值为 .
35．（23-24高一下·浙江杭州·期中）复数 满足 ， 是虚数单位，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设复数 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 最大，即 的最大值为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司36．（22-23高一下·广东广州·期中）已知 ，且 ，i为虚数单位，则 的最小值是
.
【答案】
【解析】令 ，则 ，
所以，等价于坐标系中点 到定点 的距离恒为1，
即动点 在以 为圆心，半径为1的圆上，如下图：
又 表示动点 到定点 的距离，而 与 的距离为 ，
所以 ，
在 之间且共线，左侧等号成立； 在 之间且共线，右侧等号成立；
所以 的最小值是 .
【题型10 复数三角形式的应用】
满分技法
1、将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=√a2+b2，
a b π
（2）cosθ= ，sinθ= ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，当a=0，b>0时，arg z=
r r 2
2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个
非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
37．（2023高三·全国·专题练习）复数 的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】依题意，令 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的三角形式是 .故选：D.
38．（23-24高一下·全国·专题练习）设复数 的辐角的主值是 ，则 的辐角的主值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 的辐角的主值为 .故选：D.
39．（23-24高一下·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】 .故选：B
40．（23-24高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示：
（1） ；
（2） ；
（3） .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式 .
过关检测
一、单选题
1．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知复数 ，（ ， 为虚数单位），且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由复数 ，（ ， 为虚数单位），
因为 ，可得 ，则 ，解得 .故选：D.
2．（23-24高一下·浙江·期中）若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 的虚部为 .故选：B
3．（23-24高一下·浙江·月考）已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 .故选：B.
4．（23-24高一下·安徽·月考）若复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
则 .故选：D.
5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数 满足 ，则 最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】 是复平面内复数 对应点的轨迹为以原点 为圆心，2为半径的圆，
是上述圆上的点到复数 对应点 的距离，
而 ，所以 的最小值是 .故选：A
6．（23-24高一下·安徽安庆·月考）已知 都是复数，其共轭复数分别为 ，则下列说法错误的是
（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】对于A，设 ，
则 ，而 ，
故 ，故A正确；
对于B， ，
则 ，
又 ，所以 ，故B正确；
对于C，令 ，则 ，所以 ，
但是 ，故C错误；
对于D， ，又 ，
所以 ，故D正确.故选：C
二、多选题
7．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知复数 ，则（ ）
A．z的虚部为 B．z是纯虚
C．z的模是 D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】CD
【解析】对于A．由虚部定义知z的虚部为 ．故A错误；
对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，z在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，故D正确．故选：CD．
8．（23-24高一下·山西忻州·月考）关于复数z，下面是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】CD
【解析】设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于选项A：例如 ，则 ，符合题意，但 ，故A错误；
对于选项B：例如 ，则 ，符合题意，但 ，故B错误；
对于选项C：若 ，则 ，
可得 ，解得 ，可知 ，故C正确；
对于选项D：若 ，可知 ，
此时 ，故D正确；故选：CD.
9．（23-24高一下·湖南永州·月考）设 是复数，则下列命题中是真命题的有（ ）
A．若 ，则 ; B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ; D．若 ，则 ;
【答案】BC
【解析】对于A，举例 ，满足前提，由于虚数没有大小，所以选项A是错误的；
对于B，若 ，则 和 互为共轭复数，所以 ，故正确；
对于C，由于只有复数0的模才等于0，所以 ，即 ，所以选项C是正确的；
对于D，由于 ，不妨设 ，
此时 ，显然 ，所以选项D是错误的．故选：BC．
三、填空题
10．（23-24高一下·广东江门·期中）计算： .
【答案】
【解析】 .
11．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若 （ ）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数
．
【答案】1
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】由题意可得 解得 ．因为 ，所以 ．
12．（23-24高一下·吉林延边·期中）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应点的集合所构
成的图形面积为
【答案】
【解析】设 ，若 ，则 ，
则点 在以坐标原点为圆心，大圆半径为 ，小圆半径为 的圆环区域内（包括边界），
则复数 在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为 .
四、解答题
13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数 ．
（1）若复数 为纯虚数，求 的值；
（2）若 在复平面上对应的点在第三象限，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意得 ，
因为 为纯虚数，
所以 解得
（2）复数
它在复平面上对应的点在第三象限，
所以 ，解得 或 ,
所以实数 的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司14．（22-23高一下·河北邢台·月考）在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表
示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.
如： ， ； ， .已知复数z是方程 的解.
（1）若 ，且 （a， ，i是虚数单位），求 ；
（2）若 ，复数 ， ，且 ， ，求t的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为z是方程 的根，解得 ，
Im（ ） ， ，
， ，
，解得 ，
；
（2） Im（ ） ，复数 ， ，且Re（ ） ，Im（ ）
，又 ，
，
Re（ ） ，Im（ ）
，解得 .
所以t的取值范围为 .
15．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知复数 ，
（1）求证： ；
（2）化简： ；
（3）若 是方程 的一个根，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析；（2） .（3）2.
【解析】（1）由 ，得 ，所以 .
（2）由（1）知， ，则 ，
所以 .
（3）依题意， ，即 ，
即 ，
而 ，则 ，解得 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
