文档内容
宁夏回族自治区银川一中 2024-2025 学年高三上学期第四次月考
数学试卷
命题教师：李雪娜
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 复数 的虚部为（ ）
A. B. 3 C. D. 3i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的定义及四则运算计算即可.
【详解】化简 ，得其虚部为3.
故选：B
2. 若一个圆锥底面半径为1，高为 ，则该圆锥表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆锥的表面积公式计算即可.
【详解】由题意可知圆锥的母线长 ，底面圆周长为 ，底面圆面积为 ，
所以圆锥侧面积为 ，故该圆锥表面积为 .
故选：A.
第1页/共23页
学科网（北京）股份有限公司3. 已知向量 ， （ ），若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的运算规则以及向量垂直时的数量积表示即可.
【详解】因为 ， ，所以 ， ；
因为 ， ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ， ；
故选：B.
4. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 由 题 意 可 知 ， 根 据 二 倍 角 公 式 及 同 角 的 三 角 函 数 关 系 可 得
，即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 .
故 .
第2页/共23页
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
5. 已知 为等差数列 的前n项和，公差为d.若 ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 无最大值
【答案】B
【解析】
【分析】对于A：根据 可得 ，结合通项公式分析判断；对于B：根据等差数列性质可
得 ，即可分析判断；对于CD：根据 分析数列 的符号性，即可判断.
【详解】对于选项A：因为数列 为等差数列，
则 ，即 ，
可得 ，则 ，故A错误；
对于选项B：因为 ，则 ，
所以 ，故B正确；
对于选项D：因为 ，且 ，可知 ，
当 时， ；当 时， ；
可知当且仅当 时， 取到最大值，故D错误，
对于选项C：因为 ，
所以 ，故C错误；
故选：B.
第3页/共23页
学科网（北京）股份有限公司6. 如图所示，正方体 的棱长为1，点 分别为 的中点，则下列说法
正确的是（ ）
A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与平面 平行
C. 三棱锥 的体积为 D. 直线BC与平面 所成的角为
【答案】B
【解析】
【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可.
【详解】A选项： 为正方体，所以 ，直线 与直线 不垂直，所以直线
与直线 不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则 ，
对于B，设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 在平面 外，所以直线 与平面 平行，所以B正确，
第4页/共23页
学科网（北京）股份有限公司对于C， ，所以三棱锥 的体积为
，所以C错误，
对于D， ，直线BC与平面 所成的角为 ，
，所以D错误，
故选：B.
7. 已知函数 （ 为常数），若 在 上的最大值为 ，最小值为 ，
且 ，则 （ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将函数解析式化为 ，令 ，则
，设 ， ，可判断 是奇函数，根据奇函
第5页/共23页
学科网（北京）股份有限公司数性质及 ，求得答案.
【详解】因为 ， ，
令 ，
则 ，
设 ， ，则 ，
所以 是奇函数，最大值为 ，最小值为 ，
则 ，由 ，解得 .
故选：D.
8. 设 ， ．若动直线 与 交于点A，C，动直
线 与 交于点B，D，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线
的距离为d，根据几何关系表示出 ，利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】 ，
圆心 ，半径 ，
过定点 ，
过定点 ，且 ⊥ ，
第6页/共23页
学科网（北京）股份有限公司为
如图，设 和BD中点分别 F、G，则四边形 为矩形，
设 ， ，则 ，
则 ＝
，当且仅当 即 时取等号.
故选：B.
二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.
【详解】对于A，由 ，得存在过直线 的平面与平面 相交，令交线为 ，则 ，
而 ， ，则 ， ，因此 ，A正确；
对于B，由 ， ， ，得 是平行直线或异面直线，B错误；
对于C，由 ，得存在过直线 的平面与平面 相交，令交线为 ，则 ，
由 ，得 ，又 ，则 ，因此 ，C正确；
第7页/共23页
学科网（北京）股份有限公司对于D， ， ， ，当 都平行于 的交线时， ，D错误.
故选：AC
10. 已知直线 ： ，圆 ： ，以下正确的是（ ）
A. 与圆 不一定存在公共点
B. 圆心 到 的最大距离为
C. 当 与圆 相交时，
D. 当 时，圆 上有三个点到 的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心 到直线 的距离判断；对于B，由于直线恒过定点
，所以当时 ，圆心 到直线 的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位
置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断.
【详解】对于A，圆心 到直线 的距离为 ，
当 ，即 ，解得 或 ，此时直线 与圆相离，没有公共点，故A正确；
对于B，因 为直线 ，即 ，所以直线 过定点 ，
当时 ，圆心 到直线 的距离最大，最大值为 ，故B正确；
对于C，当直线 与圆相交时，则 ，解得 ，故C错误；
第8页/共23页
学科网（北京）股份有限公司对于D，当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆上有三个点到直线 的距离为 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 设 与其导函数 的定义域均为 ，若 的图象关于
对称， 在 上单调递减，且 ，则（ ）
A. 为偶函数 B. 的图象关于原点对称
C. D. 的极小值为-3
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为 的图象关于 对称，所以 ，
即 ，则 为偶函数，故A正确；
由 得， ，两边取导数得， ，
即 ，所以 ，则 是奇函数，
所以 图象关于原点对称，故B正确；
由上可知， ，又由 得 ，
所以 ，则 ，
所以有 ，即函数 是一个周期函数且周期为8；
又由 ，令 得， ，
第9页/共23页
学科网（北京）股份有限公司则 ，故C错误；
由 在 上单调递减，又 的图象关于点 对称可知，
在 上单调递减，所以 在 上单调递减，
又 的图象关于 对称，所以 在 上单调递增，
由周期性可知， 在 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值，即 ，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：函数 的对称性与周期性：
（1）若 ，则函数 关于 中心对称；
（2）若 ，则函数 关于 对称；
（3）若 ，则函数 的周期为2a；
（4）若 ，则函数 的周期为2a.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知 ， 若直线 与直线 相互垂直，则a=____.
【答案】0或2
【解析】
【分析】根据两直线垂直得到方程，求出 或2.
【详解】两直线垂直，故 ，解得 或2.
故答案为： 或2
13. 如图所示，在棱长为6的正方体 中，点 分别是棱 ， 的中点，过 ，
第10页/共23页
学科网（北京）股份有限公司， 三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
如图，延长 相交于 ，连接 ，交 于 ，延长 相交于 ，
连接 交 于 ，可得截面五边形 ， 是边长为 的正方体，
且 分别是棱 的中点， ，
截面的周长为 .
故答案为： .
14. 已知 是函数 的两个零点，且 ，若将
函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 在 恰有2个极值点
第11页/共23页
学科网（北京）股份有限公司则实数 取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点的最小距离可得 ，再利用平移规则和函数奇偶性可求得 ，根据函数
在 内恰有2个极值点可限定出 ，即可解得实数 的取值范围.
【详解】由 ，即 ，
可得 或 ，
根据正弦函数图象性质可知 ，解得 ，
则 ；
将函数 的图象向左平移 个单位可得 ，
又 为偶函数，
则 ，又 ，可得 ，因此 ；
当 时，可知 ，
若函数 在 内恰有 个极值点，可知 ，
第12页/共23页
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得 ，再由平移
后的函数为偶函数求得 ，得出函数 的解析式后问题便迎刃而解.
四、解答题（共5小题，满分77分.）
15. 记 是公差不为0的等差数列 的前 项和， ，且 成等比数列.
（1）求 和 ；
（2）若 ，求数列 的前20项和 .
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质可求出 ，再根据等差数列的通项公式和前
项和公式即可求解；
（2）结合题意，由（1）的结论可得 ，利用裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
设已知数列的公差为 ，则 ，
第13页/共23页
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，即 ，
所以 或 ，显然 不为0，所以 ，
所以 ， .
【小问2详解】
由（1）知 ，又 ，
，
，
所以 .
16. 已知函数 .
（1）求 的图象在点 处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；
（2）设函数 ，若 在定义域内单调递减，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积；
第14页/共23页
学科网（北京）股份有限公司（2）分析可知 ，参变分离可得 ，构建 ，利用导数求其最值
即可.
【小问1详解】
由题意得 ，
则 .
又因为 ，所以 的图象在点 处的切线为 ，
与两个坐标轴的交点分别为 和 ，
所求的封闭图形的面积为 .
【小问2详解】
的定义域为(0,+∞)，因为 在定义域内单调递减，所以 ，
即 ，
所以 .
设 ，则 .
当 时，ℎ ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当 时，ℎ ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
所以 ，
第15页/共23页
学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围是 .
17. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
， 为棱 的中点， 是线段 上一动点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）证明出 平面 ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面角的正弦求出点 的坐标，再利用
空间向量求夹角的余弦作答.
【小问1详解】
因为 ， ，则 ，又 平面 ， 平面 ，则 ，
而 ， 平面 ，因此 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
第16页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
因为 底面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
设 ， ，其中 ，
显然平面 的一个法向量为 ，
依题意， ，解得 ，
于是 为 的中点，即 ，设平面 的法向量为 ， ，
，
则 ，取 ，得 ，
而平面 的一个法向量为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 在 中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 ．
（1）求角B；
（2）若 ，求 面积的最大值；
第17页/共23页
学科网（北京）股份有限公司（3）求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可；
（3）利用正弦定理边角互化将原式转化为 ，然后令
，将原式化为： ，最后结合二次函数性质求解值域.
【小问1详解】
因为 ，
根据正弦定理得： ，
且 ，
可得 ，
即 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，整理可得 ，
第18页/共23页
学科网（北京）股份有限公司且B∈(0,π)，则 ，
可得 ，解得 .
【小问2详解】
由余弦定理得： ，即 ，
可得 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积为： ，
故 面积 最大值为 .
的
【小问3详解】
根据正弦定理得：
，
令 ，则 ，
第19页/共23页
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
将原式化为： ，
因为 ，则 ，可得 ，
根据二次函数的图像性质得到，
当 时，原式取得最小值， ；
当 时，原式取得最大值， ；
故 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：对于（3）：对于已知角的范围问题，解题关键是利用正弦定理边化角，再利用三
角恒等变换化简整理，进而根据三角函数有界性分析求解.
19. 已知二阶行列式 ，三阶行列式 ，其中 分
别为 的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．
（1）计算 ．
（2）设函数 ．
①若 的极值点恰为等差数列 的前两项，且 的公差大于0，求 ；
第20页/共23页
学科网（北京）股份有限公司②若 且 ，函数 ，证明： ．
【答案】（1）18 （2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设定义，即可求解；
（2）根据题设定义，得到 ，（i）先利用极值点的定义，求得 ，
进而有 ，即可求解；（ii）构造函数 ，利用导数与函数单调性间
的关系得到 ，再构造函数 ，利用二次函数的性质得到 的单调
性，从而得到 ，即可求解.
【小问1详解】
原式
．
【小问2详解】
．
（i） ．
当 或 时， ；当 时， ．
第21页/共23页
学科网（北京）股份有限公司所以 在 和 上是增函数，在 上是减函数，
所以 的极大值点为 ，极小值点为1．
因为 的极值点恰为等差数列 的前两项，且 的公差大于0，
所以 ，
则公差 ，所以 ，
所以 ．
（ii）因为 ，
所以 在 上无零点，在 上存在唯一零点 ，且 ．
令 ，
则 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以 ，
而 ，所以 ．
令 ，则 ．
因为 在 上单调递诚，
所以当 时， ，即 单调递减，
第22页/共23页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 单调递增，
所以 ，
而 ，所以 ．
综上， ．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，
实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义
的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
