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高二数学 3 月考
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日
透露，全球最快 高铁列车 CR450 正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐 G302 次高铁从合肥到
北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座 4 张，一等座 10 张，商务座 5 张，则小张的购票方案种数为（ ）
A 19 B. 20 C. 90 D. 200
2. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. 10 C. 19 D. 38
3. 有 3 名男生和 3 名女生去影院观影，他们买了同一排相连的 6 个座位，若 3 名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A. 24 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种
4. 已知 ，则 （ ）
A. 364 B. 365 C. 728 D. 730
5. 已知点 是抛物线 ： 上任意一点，若点 到抛物线 的准线的距离为 ，到直线 ： 的
距离为 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数 的最小值为（ ）
A B. C. D.
7. 函数 的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A.
B.
C. 当 时， 取最大值
D. 当 时， 最小值为 19
10. 已知直线 与圆 交于点 ，点 中点 ，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为 4
C. 定值
D. 存在定点 ，使得 定值
11. 已知抛物线 的焦点为 ，从点 发出的光线经过抛物线上的点 （原点除外）反射，则反射光线平
行于 轴.经过点 且垂直于 轴的直线交抛物线 于 两点，经过点 且垂直于 轴的直线交 轴于点 ；抛物
线
在点 处的切线 与 轴分别交于点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列 通项公式为 ，若 是 与 的等比中项，则 ____.
13. 函数 的图象在点 处的切线方程为____.
14. 已知在数列 中， ， ，设数列 的前 项和为 ，若不等式 对
恒成立，则 的最小值为____.
四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求 最小值；（2）若 ，试讨论 的单调性．
16 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）如果函数 的导数为 ，且 在 上的零点从小到大排列后构成数列 ，求 的前 20 项
和．
17. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证：对 且 ，都有 .
18. 已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴与 轴，且 经过点 ， .
（1）求 的标准方程；
（2）若 是 的右焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 两点，直线 与 交于 ，
两
点.求四边形 面积的取值范围.
19. 定义 1：若数列 满足① ，② ，则称 为“两点数列”；定义 2：对于给定的数
列
，若数列 满足① ，② ，则称 为 的“生成数列”.已知 为“两点数
列”，
为 的“生成数列”.
（1）若 ，求 的前 项和 ；
（2）设 为常数列， 为等比数列，从充分性和必要性上判断 是 的什么条件；
（3）求 的最大值，并写出使得 取到最大值的 的一个通项公式.ACDBB CBD 9ABD 10ACD 11BCD
12 3 13
14
15 （1）
2 详解】
函数 的定义域为 ，
,
当 时，由 解得 或 ，
由 解得 ；
当 时， 恒成立；
当 时，由 解得 或 ，
由 解得 ；
综上可得，
当 时，函数 在 单调递增， 单调递减， 单调递增；
当 时函数 在 单调递增，；
当 时，函数 单调递增， 单调递减， 单调递增.
16 （1）单调递增区间为 .
（2）
1
，
令 ，可得 ，所以函数 的单调递增区间为 .
2
，则 ，
令 ，可得 ，
因为 在 上的零点从小到大排列后构成数列 ，可知 ，
所以 ，公差 ，
所以 ，
所以 的前 20 项和
17 （1）函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
（2）证明：不妨设 ，要证对 ，都有 ，
只需证 ，即需证 .
构造函数 ，
则需证函数 在 上为增函数，
结合 ，因为 ，
所以函数 在 上为增函数成立，
所以当 时，对 且 ，都有 .
18 （1）
（2）
1解：设 的方程为 ，
将点 ， 代入，得 解得
所以 的标准方程为 .
2
解：当直线 的斜率为 0，直线 的斜率不存在时， ， ，
当直线 的斜率不存在，直线 的斜率为 0 时， ， ，
所以四边形 的面积 .
当直线 ， 的斜率存在且不为 0 时，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
由题意得 ， ， .
所以 ，
同理 ，
四边形 的面积 .
令 ，则 ，
所以当 ，即 时， ，
所以 .综上所述，四边形 面积的取值范围 .
19 （1）
（2） 是 充要条件.
（3） 的最大值为 ，
