专题08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考
查
内
容
2012
理10
导数与函数的单调性
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究
函数的单调性，图像识别
理21
导数与函数的最值
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究
函数的的最值，分类整合思想
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
2013
卷1[来
源:学_科_网Z_X_X_K]
理16
导数与函数的最值[来源:学科
网][来源:学科网ZXXK]
函数的对称性及常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求函
数最值[来源:学科网ZXXK]
卷2
理10
文11
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性、
极值、对称性
卷1
文9
导数与函数的极值
三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性
质
卷1
文21
导数与函数的单调性
导数与函数的极值
利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函
数最值，运算求解能力及应用意识
卷2
文21
导数与函数的极值
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数研究函数的极值、研
究函数的切线问题及取值范围问题，分类整合思想
2014
卷2
文11
导数与函数的单调性
已知函数单调性求参数范围
卷2
理8
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
卷2
理21
导数与函数的单调性
本题利用到研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题及
利用函数进行近似计算
2015
卷1
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
卷2
文16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的几何意义求曲线的
切线、直线与二次函数的位置关系
2016
卷1
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷1
文12
导数与函数的单调性
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解函数单调性问题
卷2
理16
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几何意义求曲线的
切线
卷2
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导
数求最值与值域
卷3
理15
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几
何意义求曲线的切线
卷3
理21
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证明不等式、利用导
数求最值与值域
卷3
文16
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算法则及利用导数的几
何意义求曲线的切线
2017
卷2
理11
导数与函数的极值
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数研究函数
的极值．
2018
卷1
理5
文6
导数的几何意义
函数的奇偶性、常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意
义求曲线的切线
卷2
理13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文3
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷2
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理7
文9
导数与函数的单调性
利用导数判断函数的单调性、函数图像识别
卷3
理14
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
2019
卷1
理13
文13
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理6
文7
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷2
文10
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
文20
导数与函数的最值
常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、
利用导数求最值及分类整合思想．
2020
卷1
理6
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
文15
导数的几何意义
利用导数的几何意义求曲线的切线
卷3
理10
导数的几何意义
导数的几何意义的应用，直线与圆的位置关系
文15
导数的几何意义
常见函数的导数、导数的运算及利用导数的几何意义求曲线的切线
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
导数的几何意义
16/32
2021 年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用
导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也
可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．
导数与函数的单调性
7/32
导数与函数的极值
5/32
导数与函数的最值
5/32
十年试题分类*探求规律
考点26 导数的几何意义与常见函数的导数
1．(2020 全国Ⅰ理6)函数
4
3
2
f x
x
x
的图像在点
1,
1
f
处的切线方程为
(
)
A．
2
1
y
x
B．
2
1
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
1
y
x
【答案】B
【思路导引】求得函数
y
f x
的导数
f
x
，计算出
1
f
和
1
f
的值，可得出所求切线的点斜式方
程，化简即可．
【解析】
4
3
2
f x
x
x
，
3
2
4
6
f
x
x
x
，
1
1
f
，
1
2
f
，因此，所求切线的方程
为
1
2
1
y
x
，即
2
1
y
x
，故选B．
2．(2020 全国Ⅲ理10)若直线l 与曲线y
x
和圆
2
2
1
5
x
y
相切，则l 的方程为
(
)
A．
2
1
y
x
B．
1
2
2
y
x
C．
1
1
2
y
x
D．
1
1
2
2
y
x
【答案】D
【思路导引】可以根据圆的切线性质，结合排除法得出正确答案；也可以根据导数的几何意义设出直线l 的
方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案．
【解析】解法一：由与圆相切，故圆心
0,0 到直线的距离为圆半径
5
5
r
，符合条件的只有A，D，将答
案A 的直线方程带入y
x
，得：2
1
0
x
x
，无解；将答案AD 的直线方程带入y
x
，得：
2
1
0
x
x
，有一解
1
x ．故选D．
解法二：设直线l 在曲线y
x
上的切点为
0
0
,
x
x
，则
0
0
x
，
函数y
x
的导数为
1
2
y
x
，则直线l 的斜率
0
1
2
k
x
，
设直线l 的方程为
0
0
0
1
2
y
x
x
x
x
，即
0
0
2
0
x
x y
x
，
由于直线l 与圆
2
2
1
5
x
y
相切，则
0
0
1
1
4
5
x
x
，
两边平方并整理得
2
0
0
5
4
1
0
x
x
，解得
0
1
x ，
0
1
5
x
(舍)，
则直线l 的方程为
2
1
0
x
y
，即
1
1
2
2
y
x
，故选D．
3．(2019 全国Ⅲ理6)已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
在点1
e
a
（，
）处的切线方程为y=2x+b，则
A．
e
1
a
b
，
B．a=e，b=1
C．
1
e
1
a
b
，
D．
1
e
a
，
1
b
【答案】D
【解析】
e
ln
x
y
a
x x
的导数为
'
e
ln
1
x
y
a
x
，又函数
e
ln
x
y
a
x x
在点(1, e)
a
处的切线方程为
2
y
x
b
，可得e
0 1
2
a
，解得
1
e
a
，又切点为(1,1) ，可得1
2
b
，即
1
b ，故选D．
4．(2019 全国Ⅱ文10)曲线y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A．
1
0
x
y
B．2
2
1
0
x
y
C．2
2
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
【答案】C
【解析】由y=2sinx+cosx，得
2cos
sin
y
x
x
，所以
π
2cosπ
sin π=-2
x
y
，所以曲线y=2sinx+cosx
在点(π, 1)
处的切线方程为
1
2(
π)
y
x
，即2
2
1
0
x
y
，故选C．
5．(2018 全国卷Ⅰ理5)设函数
3
2
( )
(
1)
f x
x
a
x
ax
，若
( )
f x 为奇函数，则曲线
( )
y
f x
在点(0,0)
处的切线方程为
A．
2
y
x
B．y
x
C．
2
y
x
D．y
x
【答案】D
【解析】因为函数
3
2
( )
(
1)
f x
x
a
x
ax 为奇函数，所以
(
)
( )
f
x
f x
，所以
3
2
3
2
(
)
(
1)(
)
(
)
[
(
1)
]
x
a
x
a
x
x
a
x
ax ，所以
2
2(
1)
0
a
x
，因为R
x
，所以
1
a
，所
以
3
( )
f x
x
x ，所以
2
( )
3
1
f
x
x
，所以
(0)
1
f
，所以曲线
( )
y
f x 在点(0,0) 处的切线方程为
y
x ．故选D．
6．(2014 全国卷2 理8)．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x，则a= ( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】∵
1
1
y
a
x
，且在点(0,0) 处的切线的斜率为2，∴
0
1
|
2
0 1
x
y
a
，即
3
a ，
故选D．
7．(2016 年四川)设直线1l ，2l 分别是函数
( )
f x =
ln ,0
1,
ln ,
1,
x
x
x x
图象上点
1P ，
2P 处的切线，1l 与2l 垂
直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是
A．(0，1)
B．(0，2)
C．(0，+∞)
D．(1，+∞)
【答案】A
【解析】不妨设
1
1
1
(
,ln
)
P x
x
，
2
2
2
(
,ln
)
P x
x
，由于1
2
l
l
，所以
1
2
1
1
(
)
1
x
x
，
则
1
2
1
x
x
．又切线1l ：
1
1
1
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
，2
2
2
2
1
:
ln
(
)
l
y
x
x
x
x
，
于是
1
(0,ln
1)
A
x
，
1
(0,1
ln
)
B
x
，所以|
| 2
AB
，联立
1
1
1
2
2
2
1
ln
(
)
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
y
x
x
x
x
，
解得
1
1
2
1
P
x
x
x
，所以
1
1
1
2
2
1
2
PAB
P
S
x
x
x
，因为
1
1
x
，所以
1
1
1
2
x
x
，所以
PAB
S
的取值
范围是(0,1) ，故选A．
8．(2016 年山东)若函数
( )
y
f x
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
( )
y
f x
具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是
A．
sin
y
x
B．
ln
y
x
C．
x
y
e
D．
3
y
x
【答案】A
【解析】设函数
( )
y
f x
的图象上两点
1
1
(
,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，则由导数的几何意义可知，点P，Q 处切线
的斜率分别为
1
1
(
)
k
f
x
，
2
2
(
)
k
f
x
若函数具有T 性质，则
1
2
k
k
=
1
(
)
f
x
2
(
)
f
x
= 1．对于A 选项，
( )
cos
f
x
x
，显然
1
2
k
k
=
1
2
cos
cos
x
x = 1 有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，
1
( )
(
0)
f
x
x
x
，显然
1
2
k k
=
1
2
1
1
x
x
=1 无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，
( )
x
f
x
e
>0，
显然
1
2
k
k
=
1
2
x
x
e
e
= 1 无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，
2
( )
3
f
x
x
≥0 ，显然
1
2
k k
=
2
2
1
2
3
3
x
x
=1 无解，故该函数不具有T 性质．故选A．
9．(2020 全国Ⅲ文15)设函数
ex
f x
x
a
，若
e
1
4
f
，则a
．
【答案】1
【思路导引】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值．
【解析】由函数的解析式可得：
2
2
1
x
x
x
e
x
a
e
e
x
a
f
x
x
a
x
a
，
则：
1
2
2
1
1
1
1
1
e
a
ae
f
a
a
，据此可得：
2
4
1
ae
e
a
，整理可得：
2
2
1
0
a
a
，解得：
1
a ，
故答案为：1．
10．(2020 全国Ⅰ文15)曲线
ln
1
y
x
x
的一条切线的斜率为2 ，则该切线的方程为
．
【答案】
2
y
x
【思路导引】设切线的切点坐标为
0
0
(
,
)
x
y
，对函数求导，利用
0|
2
x
y
，求出
0x ，代入曲线方程求出
0y ，
得到切线的点斜式方程，化简即可．
【解析】设切线的切点坐标为
0
0
1
(
,
),
ln
1,
1
x
y
y
x
x
y
x
，
0
0
0
0
1
|
1
2,
1,
2
x x
y
x
y
x
，
∴切点坐标为(1,2) ，所求的切线方程为
2
2(
1)
y
x
，即
2
y
x
，故答案为：
2
y
x
．
11．(2019 全国Ⅰ理13)曲线
2
3(
)ex
y
x
x
在点(0 )
0
，处的切线方程为____________．
【答案】
3
y
x
【解析】因为
2
3
ex
y
x
x
（
）
，所以
2
'
3e
3
1
x
y
x
x
（
），所以当
0
x
时，'
3
y
，所以
2
3
ex
y
x
x
（
）
在点0 0
（，）处的切线斜率
3
k
，又
0
0
y
，所以切线方程为
0
3
0
y
x
，即
3
y
x
．
12．(2018 全国卷3 理14)曲线
1 ex
y
ax
在点
0 1
，处的切线的斜率为2
，则a ________．
【答案】3
【解析】由题知，
xe
a
ax
y
)1
(
，则
(0)
1
2
f
a
，所以
3
a ．
13．(2018 全国卷2 理13)曲线
2ln(
1)
y
x
在点(0, 0) 处的切线方程为__________．
【答案】
2
y
x
【解析】由题知，
1
2
x
y
，
2
2
0
1
k
，
2
y
x
．
14．(2018 全国卷2 文13)曲线
2ln
y
x
在点(1, 0) 处的切线方程为__________．
【答案】
2
2
y
x
【解析】由
2ln
y
f x
x
，得
2
f
x
x
，则曲线
2ln
y
x
在点
1,0 处的切线的斜率为
1
2
k
f
，则
所求切线方程为
0
2
1
y
x
，即
2
2
y
x
．
15．(2017 全国卷1 理14)曲线
2
1
y
x
x
在点(1，2)处的切线方程为______________．
【答案】
1
y
x
【解析】设
( )
y
f x
，则
2
1
( )
2
f
x
x
x
，所以
(1)
2 1
1
f
，所以曲线
2
1
y
x
x
在点(1,2) 处的切
线方程为
2
1 (
1)
y
x
，即
1
y
x
．
16．(2016 年全国Ⅱ理16)若直线y
kx
b
是曲线
ln
2
y
x
的切线，也是曲线
ln(
1)
y
x
的切线，则
b
．
【答案】1
ln 2
【解析】设y
kx
b
与
ln
2
y
x
和
ln(
1)
y
x
的切点分别为
1
1
(
,ln
2)
x
x
和
2
2
(
,ln(
1))
x
x
．
则切线分别为
1
1
1
1
ln
2
(
)
y
x
x
x
x
，
2
2
2
1
ln(
1)
(
)
1
y
x
x
x
x
，
化简得
1
1
1
ln
1
y
x
x
x
，
2
2
2
2
1
ln
1
1
1
x
y
x
x
x
x
，
依题意，
1
2
2
1
2
2
1
1
1
ln
1
ln
1
1
x
x
x
x
x
x
，解得
1
1
2
x
，
从而
1
ln
1
1
ln2
b
x
．
17．(2016 年全国Ⅲ理15) 已知
( )
f x 为偶函数，当
0
x
时，
( )
ln(
)
3
f x
x
x
，则曲线
( )
y
f x
，在点(1, 3)
处的切线方程是___ ______．
【答案】
2
1
y
x
【解析】由题意可得当
0
x
时，
( )
ln
3
f x
x
x
，则
1
( )
3
f
x
x
，
(1)
2
f
，则在点(1, 3)
处的切
线方程为
3
2(
1)
y
x
，即
2
1
y
x
．
18．(2016 年全国III 文)已知
( )
f x 为偶函数，当
0
x ≤
时，
1
( )
x
f x
e
x
，则曲线
( )
y
f x
在点(1，2)
处的切线方程式_______ ______________________．
【答案】
2
y
x
【解析】当
0
x
时，
0
x
，则
1
(
)
x
f
x
e
x
．又
( )
f x 为偶函数，所以
( )
(
)
xe
f x
f
x
x
e
，
所以当
0
x
时，
1
( )
1
x
f
x
e
，则曲线
( )
y
f x
在点(1，2)处的切线的斜率为
(1)
2
f
，所以切线方
程为
2
2(
1)
y
x
，即
2
y
x
．
19．(2015 全国1 文14)已知函数
3
1
f x
ax
x
的图像在点
1,
1
f
的处的切线过点
2,7 ，则
a
．
【答案】1
【解析】∵
2
( )
3
1
f
x
ax
，∴
(1)
3
1
f
a
，即切线斜率
3
1
k
a
，又∵
(1)
2
f
a
，∴切点为(1，
2
a
)，∵切线过(2，7)，∴
2
7
3
1
1
2
a
a
，解得a 1．
20．(2012 全国文13)曲线
(3ln
1)
y
x
x
在点(1，1)处的切线方程为________
【答案】4
3
0
x
y
．
【解析】∵
3ln
4
y
x
，∴切线斜率为4，则切线方程为：4
3
0
x
y
．
21．(2015 卷2 文16)已知曲线
ln
y
x
x
在点
1,1
处的切线与曲线
2
2
1
y
ax
a
x
相切，则
a=
．[来源：Z+xx+k．Com]
【答案】8
【解析】由
1
1
y
x
可得曲线
ln
y
x
x
在点
1,1 处的切线斜率为2，故切线方程为
2
1
y
x
，与
2
2
1
y
ax
a
x
联立得
2
2
0
ax
ax
，显然
0
a
，所以由
2
8
0
8
a
a
a
．
22．(2015 陕西)设曲线
x
y
e
在点(0，1)处的切线与曲线
1 (
0)
y
x
x
上点P 处的切线垂直，则P 的坐标
为
．
【解析】(1,1)
【解析】因为
x
y
e
，所以
x
y
e
，所以曲线
x
y
e
在点
0,1 处的切线的斜率
0
1
0
1
x
k
y
e
，设
的坐标为
0
0
,
x
y
(
0
0
x
)，则
0
0
1
y
x
，因为
1
y
x
，所以
2
1
y
x
，所以曲线
1
y
x
在点P 处的切线的
斜率
0
2
2
0
1
x x
k
y
x
，因为
1
2
1
k
k
，所以
2
0
1
1
x
，即
2
0
1
x
，解得
0
1
x ，因为
0
0
x
，所
以
0
1
x
，所以
0
1
y
，即P 的坐标是
1,1 ，所以答案应填：
1,1 ．
23．(2014 广东)曲线
2
5
x
e
y
在点
)
3,0
(
处的切线方程为
．
【答案】
5
3
y
x
【解析】
5
5
x
y
e
，在点(0,3) 处的切线的斜率为5
，所以切线方程为
3
5(
0)
y
x
，即
5
3
y
x
．
24．(2014江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线
x
b
ax
y
2
(a，b 为常数)过点
)
5
,2
(
P
，且该曲线在点P
处的切线与直线
0
3
2
7
y
x
平行，则
b
a
的值是
．
【答案】－3
【解析】由题意可得5
4
2
b
a
①
又
2
( )
2
b
f
x
ax
x
，过点
)
5
,2
(
P
的切线的斜率
7
4
4
2
b
a
②，由①②解得
1,
2
a
b
，所以
3
a
b
．
25．(2014 安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：
)
(i 直线l 在点
0
0, y
x
P
处与曲线C 相切；
)
(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处
“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线
0
:
y
l
在点
0,0
P
处“切过”曲线C ：
3
y
x
②直线
1
:
x
l
在点
0,1
P
处“切过”曲线C ：
2)1
(
x
y
③直线
x
y
l
:
在点
0,0
P
处“切过”曲线C ：
x
y
sin
④直线
x
y
l
:
在点
0,0
P
处“切过”曲线C ：
x
y
tan
⑤直线
1
:
x
y
l
在点
0,1
P
处“切过”曲线C ：
x
y
ln
．
【答案】①③④
【解析】对于①，
2
0
3
,
|
0
x
y
x
y
，所以:
0
l y
是曲线
3
:
C y
x
在点
(0,0)
P
处的切线，画图可知
曲线
3
:
C y
x
在点
(0,0)
P
附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为
1
2(
1),
|
0
x
y
x
y
，所以
:
1
l x 不是曲线C ：
2)1
(
x
y
在点
0,1
P
处的切线，②错误；对于③，
0
cos ,
|
1
x
y
x y
，在点
0,0
P
处的切线为
x
y
l
:
，画图可知曲线C ：
x
y
sin
在点
0,0
P
附近位于直线l 的两侧，③正确；对
于④，
2
1
cos
y
x
，
0
2
1
|
1
cos 0
x
y
，在点
0,0
P
处的切线为
x
y
l
:
，画图可知曲线C ：
x
y
tan
在
点
0,0
P
附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤
1
y
x
，
1
|
1
x
y
，
在点
0,1
P
处的切线为
1
:
x
y
l
，令( )
1 ln (
0)
h x
x
x x
，可得
1
1
( )
1
x
h x
x
x
，所以
min
( )
(1)
0
h x
h
，故
1
ln
x
x
≥
，
可知曲线C ：
x
y
ln
在点
0,1
P
附近位于直线l 的下侧，⑤错误．
26．(2013 江西)若曲线
1
y
x
(
R
)在点(1,2) 处的切线经过坐标原点，则=
．
【答案】2
【解析】
1
y
x
，则k
，故切线方程y
x
过点(1,2) 解得
2
．
27．(2016 年北京)设函数
( )
a x
f x
xe
bx
，曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处的切线方程为
(
1)
4
y
e
x
，
(I)求a ，b 的值；
(II)求
( )
f x 的单调区间．
【解析】(I)
( )
ea x
f x
x
bx
，∴
( )
e
e
(1
)e
a x
a x
a x
f
x
x
b
x
b
∵曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处的切线方程为
(e
1)
4
y
x
∴
(2)
2(e
1)
4
f
，
(2)
e
1
f
即
2
(2)
2e
2
2(e
1)
4
a
f
b
①
2
(2)
(1
2)e
e
1
a
f
b
②
由①②解得：
2
a
，
e
b
(II)由(I)可知：
2
( )
e
e
x
f x
x
x
，
2
( )
(1
)e
e
x
f
x
x
令
2
( )
(1
)e
x
g x
x
，∴
2
2
2
( )
e
(1
)e
(
2)e
x
x
x
g x
x
x
x
,2
2
2,
( )
g x
0
( )
g x
极小值
∴
( )
g x 的最小值是
2 2
(2)
(1
2)e
1
g
∴
( )
f
x
的最小值为
(2)
(2)
e
e
1
0
f
g
．
即
( )
0
f
x
对
x
R 恒成立．
∴
( )
f x 在
,
上单调递增，无减区间．
28．(2018 天津)已知函数
( )
x
f x
a
，( )
loga
g x
x
，其中
1
a
．
(1)求函数( )
( )
ln
h x
f x
x
a
的单调区间；
(2)若曲线
( )
y
f x
在点
1
1
( ,
(
))
x
f x
处的切线与曲线
( )
y
g x
在点
2
2
(
, (
))
x g x
处的切线平行，证明
1
2
2lnln
(
)
ln
a
x
g x
a
；
(3)证明当
1
ee
a≥
时，存在直线l ，使l 是曲线
( )
y
f x
的切线，也是曲线
( )
y
g x
的切线．
【解析】(1)由已知，( )
ln
x
h x
a
x
a
，有
( )
ln
ln
x
h x
a
a
a
．
令
( )
0
h x
，解得
0
x
．
由
1
a
，可知当x 变化时，
( )
h x
，( )
h x 的变化情况如下表：
x
(
,0)
0
(0,
)
( )
h x
0
+
( )
h x
极小值
所以函数( )
h x 的单调递减区间(
,0)
，单调递增区间为(0,
)
．
(2)证明：由
( )
ln
x
f
x
a
a
，可得曲线
( )
y
f x
在点
1
1
( ,
(
))
x
f x
处的切线斜率为
1 ln
x
a
a ．由
1
( )
ln
g x
x
a
，
可得曲线
( )
y
g x
在点
2
2
(
, (
))
x g x
处的切线斜率为
2
1
ln
x
a
．因为这两条切线平行，故有
1
2
1
ln
ln
x
a
a
x
a
，
即
1
2
2
(ln )
1
x
x a
a
．
两边取以a 为底的对数，得
2
1
log
2log ln
0
a
a
x
x
a
，所以
1
2
2ln ln
(
)
ln
a
x
g x
a
．
(3)证明：曲线
( )
y
f x
在点
1
1
( ,
)
x
x a
处的切线1l ：
1
1
1
ln
(
)
x
x
y
a
a
a
x
x
．
曲线
( )
y
g x
在点
2
2
(
,log
)
a
x
x
处的切线2l ：
2
2
2
1
log
(
)
ln
a
y
x
x
x
x
a
．
要证明当
1
ee
a≥
时，存在直线l ，使l 是曲线
( )
y
f x
的切线，也是曲线
( )
y
g x
的切线，只需证明当
1
ee
a≥
时，存在
1
(
,
)
x ，
2
(0,
)
x
，使得l1 和l2 重合．
即只需证明当
1
ee
a≥
时，方程组
1
1
1
2
1
2
1
ln
ln
1
ln
log
ln
x
x
x
a
a
a
x
a
a
x a
a
x
a
①
②
有解，
由①得
1
2
2
1
(ln )
x
x
a
a
，代入②，得
1
1
1
1
1
2ln ln
ln
0
ln
ln
x
x
a
a
x a
a
x
a
a
．
③
因此，只需证明当
1
ee
a≥
时，关于
1x 的方程③有实数解．
设函数
1
2ln ln
( )
ln
ln
ln
x
x
a
u x
a
xa
a
x
a
a
，
即要证明当
1
ee
a≥
时，函数
( )
y
u x
存在零点．
2
( )
1 (ln )
x
u x
a
xa
，可知
(
,0)
x
时，( )
0
u x
；
(0,
)
x
时，( )
u x
单调递减，又
(0)
1
0
u
，
2
1
(ln )
2
1
(
)
1
0
(ln )
a
u
a
a
，
故存在唯一的
0x ，且
0
0
x
，使得
0
(
)
0
u x
，即
0
2
0
1 (ln )
0
x
a
x a
．
由此可得( )
u x 在
0
(
,
)
x
上单调递增，在
0
(
,
)
x 上单调递减．
( )
u x 在
0
x
x
处取得极大值
0
(
)
u x
．
因为
1
ee
a≥
，故ln(ln )
1
a
≥
，
所以
0
0
0
0
0
1
2ln ln
(
)
ln
ln
ln
x
x
a
u x
a
x a
a
x
a
a
0
2
0
1
2ln ln
2
2ln ln
0
(ln )
ln
ln
a
a
x
x
a
a
a
≥
≥
．
下面证明存在实数t ，使得( )
0
u t
．
由(1)可得
1
ln
x
a
x
a
≥
，
当
1
ln
x
a
时，
有
1
2ln ln
( )
(1
ln )(1
ln )
ln
ln
a
u x
x
a
x
a
x
a
a
≤
2
2
1
2ln ln
(ln )
1
ln
ln
a
a
x
x
a
a
，
所以存在实数t ，使得( )
0
u t
因此，当
1
ee
a≥
时，存在
1
(
,
)
x ，使得
1
(
)
0
u x
．
所以，当
1
ee
a≥
时，存在直线l ，使l 是曲线
( )
y
f x
的切线，也是曲线
( )
y
g x
的切线．
考点27 导数与函数的单调性
1．【2018 全国卷2 理3】函数
2
e
e
x
x
f x
x
的图像大致为(
)
【答案】B
【解析】
0
x
，
2
e
e
x
x
f
x
f x
x
，
f x
为奇函数，舍去A，
1
1
e
e
0
f
，
舍去D；
2
4
3
e
e
e
e
2
2 e
2 e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
，
2
x
，
0
f
x
，所以，舍去
C，故选B．
2．(2018 全国卷3 理7)函数
4
2
2
y
x
x
的图像大致为(
)
【答案】D
【解析】当
0
x
时，
2
y
，可以排除A、B 选项；又因为
3
2
2
4
2
4 (
)(
)
2
2
y
x
x
x x
x
，则
( )
0
f
x
的解集为
2
2
(
,
)
(0,
)
2
2
U
，
( )
f x 单调递增区间为
2
(
,
)
2
，
2
(0,
)
2
；
( )
0
f
x
的解
集为
2
2
(
,0)
(
,
)
2
2
U
，( )
f x 单调递减区间为
2
(
,0)
2
，
2
(
,
)
2
．结合图象，可知D 选项正确．
3．(2016 卷1 理7)．函数
|
|
2
2
x
e
x
y
|在[–2，2]的图像大致为
【答案】D
【解析】由题知该函数是偶函数，当
0
x
时，
xe
x
x
f
2
2
)
(
，所以
xe
x
x
f
4
)
(
，因为
0
4
)1(
,1
)
0
(
e
f
f
，由零点存在性定理知，存在
)1,0
(
0
x
，使得
0
)
(
0
x
f
，当
0
0
x
x
时，
0
)
(
x
f
，当
1
0
x
x
时，
0
)
(
x
f
，所以
)
(x
f
在
]
,0
[
0x
是减函数，在
]1,
[
0x
上是增函数，故选D．
4．(2016 全国1 文12)若函数
1
( )
sin 2
sin
3
f x
x -
x
a
x
在
,
单调递增，则a 的取值范围是
(A)
1,1
(B)
1
1, 3
(C)
1 1
,
3 3
(D)
1
1,
3
【答案】C
【解析】由题知，
)
(x
f
=
x
a
x
cos
2
cos
3
2
1
=
x
a
x
cos
)1
cos
2
(
3
2
1
2
=
0
3
5
cos
cos
3
4
2
x
a
x
对
R
x
恒成立，设
x
t
cos
，即
0
3
5
3
4
)
(
2
at
t
t
f
对
]1,1
[
t
恒成立，∴
0
3
1
)1(
0
3
1
)1
(
a
f
a
f
，
解得
3
1
3
1
a
，故选C．
5．(2014 全国卷2，文11)若函数
f x
kx
Inx
在区间
1,单调递增，则k 的取值范围是(
)
A．
, 2
B．
, 1
C．
2,
D．
1,
【答案】D
【解析】
'
1
( )
f
x
k
x
，由已知得
'( )
0
f
x
在
1,
x
恒成立，故
1
k
x
，因为
1
x
，所以
1
0
1
x
，
故k 的取值范围是
1,，故选D．
6．(2012 全国理10)已知函数
( )
f x =
1
ln(
1)
x
x
，则y =
( )
f x 的图像大致为
【答案】B
【解析1】定义域为(－1，0)∪(0，+∞)，
( )
f
x
=
2
(
1)(ln(
1)
)
x
x
x
x
∴
( )
f x 在(－1，0)是减函数，在(0，+∞)是增函数，结合选项，只有B 符合，故选B．
【解析2】( )
ln(1
)
( )
1
x
g x
x
x
g x
x
( )
0
1
0,
( )
0
0
( )
(0)
0
g x
x
g x
x
g x
g
7．(2014 全国卷2 理21)已知函数
f x =
2
x
x
e
e
x
(Ⅰ)讨论
f x 的单调性；
(Ⅱ)设
2
4
g x
f
x
bf x
，当
0
x
时，
0
g x
，求b 的最大值；
(Ⅲ)已知1.4142
2
1.4143
，估计ln2 的近似值(精确到0．001)
【解析】(Ⅰ)∵
1
'( )
2
0
x
x
f
x
e
e
，当且仅当x =0 时取等号，∴
( )
f x 在R 上单调递增．
(Ⅱ)
2
4
g x
f
x
bf x
=
2
2
4 (
)
(8
4)
x
x
x
x
e
e
b e
e
b
x
，
( )
g x
=
2
2
2
2
4 (
)
(8
4)
x
x
x
x
e
e
b e
e
b
=2(
2)(
2
2)
x
x
x
x
e
e
e
e
b
1
当b ≤2 时，
( )
g x
≥0，当且仅当x =0 时取等号，∴( )
g x 在(
,
)
上单调递增，∴当x ＞0
时，( )
g x ＞
(0)
g
；
2
当b ＞2 时，若x 满足2
2
2
x
x
e
e
b
，即
2
0
ln(
1
2 )
x
b
b
b
时，( )
g x
＜0，此时，( )
g x
在(0，
2
ln(
1
2 )
b
b
b
)是减函数，当
2
0
ln(
1
2 )
x
b
b
b
时，( )
g x ＜
(0)
g
=0，
综上所述，b 的最大值为2．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，(ln 2)
g
= 3
2 2
2(2
1)ln 2
2
b
b
，
当b =2 时，(ln 2)
g
= 3
4 2
6ln 2
2
＞0，解得ln 2 ＞8 2
3
12
＞0．6928．
当b = 3 2
1
4
时，
2
ln(
1
2 )
b
b
b
=ln 2 ，
(ln 2)
g
= 3
2 2
(3 2
2)ln 2
2
＜0，∴ln 2 ＜18
2
28
＜0．6934，∴ln 2 的近似值为0．693．
8．(2014 山东)设函数
1
( )
ln
1
x
f x
a
x
x
，其中a 为常数．
(Ⅰ)若
0
a
，求曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数
( )
f x 的单调性．
【解析】(Ⅰ)由题意知
0
a
时，
1
( )
,
(0,
)
1
x
f x
x
x
，
此时
2
2
( )
(
1)
f
x
x
，可得
1
(1)
2
f
，又
(1)
0
f
，
所以曲线
( )
y
f x
在(1,
(1))
f
处的切线方程为
2
1
0
x
y
．
(Ⅱ)函数
( )
f x 的定义域为(0,
)
，
2
2
2
2
(2
2)
( )
(
1)
(
1)
a
ax
a
x
a
f
x
x
x
x x
，
当
0
a
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 在(0,
)
上单调递增，
当
0
a
时，令
2
( )
(2
2)
g x
ax
a
x
a
，
由于
2
2
(2
2)
4
4(2
1)
a
a
a
，
①当
1
2
a
时，
0
，
2
2
1 (
1)
2
( )
0
(
1)
x
f
x
x x
，函数
( )
f x 在(0,
)
上单调递减，
②当
1
2
a
时，
0, ( )
0
g x
，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x 在(0,
)
上单调递减，
③当
1
0
2
a
时，
0
，
设
1
2
1
2
,
(
)
x x x
x
是函数( )
g x 的两个零点，
则
1
(
1)
2
1
a
a
x
a
，
2
(
1)
2
1
a
a
x
a
，
由
1
1
2
1
a
a
x
a
2
2
1
2
1
0
a
a
a
a
，
所以
1
(0,
)
x
x
时，( )
0,
( )
0
g x
f
x
，函数
( )
f x 单调递减，
1
2
( ,
)
x
x x
时，( )
0,
( )
0
g x
f
x
，函数
( )
f x 单调递增，
2
(
,
)
x
x
时，( )
0,
( )
0
g x
f
x
，函数
( )
f x 单调递减，
综上可知，当
0
a
时，函数
( )
f x 在(0,
)
上单调递增；
当
1
2
a
时，函数
( )
f x 在(0,
)
上单调递减；
当
1
0
2
a
时，
( )
f x
在
(
1)
2
1
(0,
)
a
a
a
，
(
1)
2
1
(
,
)
a
a
a
上单调递减，在
(
1)
2
1
(
1)
2
1
(
,
)
a
a
a
a
a
a
上单调递增．
考点28 导数与函数的极值
1．(2017 全国卷2 理11)若
2
x 是函数
2
1
( )
(
1)e x
f x
x
ax
的极值点，则
( )
f x 的极小值为
A．1
B．
3
2e
C．
3
5e
D．1
【答案】A
【解析】由题可得
1
2
1
2
1
( )
(2
)e
(
1)e
[
(
2)
1]e
x
x
x
f
x
x
a
x
ax
x
a
x
a
，因为
( 2)
0
f
，
所以
1
a ，
2
1
( )
(
1)e x
f x
x
x
，故
2
1
( )
(
2)e x
f
x
x
x
，令
( )
0
f
x
，解得
2
x 或
1
x
，
所以
( )
f x
在(
, 2),(1,
)
上单调递增，在( 2,1)
上单调递减，所以
( )
f x
的极小值为
1 1
( )
(1 1 1)e
1
1
f
，故选A．
2．(2013 全国卷2 理10)已知函数
( )
f x =
3
2
x
ax
bx
c
，下列结论错误的是
A．
0x
R
0
(
)
f x
=0，
B．函数y =
( )
f x 的图像是中心对称图形
C．若
1x 是
( )
f x 的极小值点，则
( )
f x 在区间( ，
1x )单调递减
D．若
1x 是
( )
f x 的极值点，则
1
(
)
f
x
=0，
【答案】C
【解析】对于选项C：取
3
a
，
9
b ，
0
c
，即
3
2
( )
3
9
f x
x
x
x
，则
2
'( )
3
6
9
f
x
x
x
，所
以当
3
x 或
1
x
时，
'( )
0
f
x
，当3
1
x
时，
'( )
0
f
x
，所以
( )
f x 在(
, 3)
和(1,
)
内为增，
( 3,1)
内为减，则
1
x
时为极小值点，但在区间(
,1)
不单调递减，显然错误，故选C．
3．(2013 全国卷1 文9) 函数
( )
f x =(1 cos )sin
x
x
在[
, ]
的图像大致为
【答案】C
【解析】显然
( )
f x 是奇函数，故排除B，当
0
x
时，
( )
f x ＜0，故排除A，
∵
( )
f
x
=
2
2
sin
cos
cos
x
x
x
=
2
2cos
cos
1
x
x
，由
( )
f
x
≥0 解得
1
cos
2
x
，又∵
x
，
∴
3
3
4
4
x
，同理，由
( )
f
x
≤0 解得，
3
4
x
或3
4
x
，
∴
( )
f x 在[－，－3
4
]上是减函数，在[－3
4
，3
4
]上是增函数，在[ 3
4
，]上是减函数，
∴当x = 3
4
时，
( )
f x 取最小值
3
(
)
4
f
=
1
2
2
，最小值点靠近－，故选C ．
4．(2011 福建)若
0
a
，
0
b
，且函数
3
2
( )
4
2
2
f x
x
ax
bx
在
1
x
处有极值，则ab 的最大值等于
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】D
【解析】
2
( )
12
2
2
f
x
x
ax
b
，由
(1)
0
f
，即12
2
2
0
a
b
，得
6
a
b
．由
0
a
，
0
b
，
所以
2
(
)
9
2
a
b
ab
≤
，当且仅当
3
a
b
时取等号．选D．
5．(2011 浙江)设函数
2
, ,
f x
ax
bx
c a b c
R
，若
1
x 为函数
x
f x e 的一个极值点，则下列图
象不可能为
y
f x
的图象是
A
B
C
D
【答案】D
【解析】若
1
x 为函数
( )
x
f x e 的一个极值点，则易知a
c
，∵选项A，B 的函数为
2
( )
(
1)
f x
a x
，
∴[ ( )
]
[
( )
( )]
(
1)(
3)
x
x
x
f x e
f
x
f x e
a x
x
e
，∴
1
x 为函数
( )
x
f x e 的一个极值点满足条件；选项
C 中，对称轴
0
2
b
x
a
，且开口向下，∵
0,
0
a
b
，∴
( 1)
2
0
f
a
b
，也满足条件；选项D
中，对称轴
0
2
b
x
a
，且开口向上，∴
0,
2
a
b
a
，∴
( 1)
2
0
f
a
b
，与题图矛盾，故选D．
6．(2015 重庆)设函数
2
3
( )
(
)
ex
x
ax
f x
a
R
．
(Ⅰ)若
( )
f x 在
0
x
处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)若
( )
f x 在[3,
)
上为减函数，求a 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)对
( )
f x 求导得
2
2
2
(6
)
(3
)
3
(6
)
'( )
,
(
)
x
x
x
x
x
a e
x
ax e
x
a x
a
f
x
e
e
因为
( )
f x 在
0
x
处取得极值，所以
'(0)
0
f
即
0
a
．
当
0
a
时，
( )
f x =
2
2
3
3
6
,
'( )
,
x
x
x
x
x
f
x
e
e
故
3
3
(1)
,
'(1)
,
f
f
e
e
从而
( )
f x 在点(1，
(1)
f
)处的切线方
程为
3
3 (
1),
y
x
e
e
化简得3
0
x
ey
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2
3
(6
)
'( )
x
x
a x
a
f
x
e
．
令
2
( )
3
(6
)
g x
x
a x
a
，
由( )
0
g x
解得
2
1
6
36
6
a
a
x
，
2
2
6
36
6
a
a
x
．
当
1
x
x
时，( )
0
g x
，即
'( )
0
f
x
，故
( )
f x 为减函数；
当
1
2
x
x
x
时，
( )
0
g x
，即
'( )
0
f
x
，故
( )
f x 为增函数；
当
2
x
x
时，( )
0
g x
，即
'( )
0
f
x
，故
( )
f x 为减函数；
由
( )
f x 在
3,上为减函数，知
2
2
6
36
3,
6
a
a
x
解得
9 ,
2
a
故a 的取值范围为
9 ,
2
．
7．(2013 全国卷1 文21)已知函数
( )
f x =
2
(
)
4
xe ax
b
x
x
，曲线
( )
y
f x
在点(0，(0)
f
)处切线方程为
4
4
y
x
(Ⅰ)求a ，b 的值
(Ⅱ)讨论
( )
f x 的单调性，并求
( )
f x 的极大值
【解析】(Ⅰ)
( )
f
x
=
(
)
2
4
xe ax
a
b
x
．
由已知得
(0)
f
=4，
(0)
f
=4，故
4
b
，a
b
=8，从而a =4，
4
b
；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
( )
f x =
2
4
(
1)
4
xe
x
x
x
，
( )
f
x
= 4
(
2)
2
4
xe
x
x
=
1
4(
2)(
)
2
x
x
e
，
令
( )
f
x
=0得，x =
ln 2
或x =-2，
∴当
(
, 2)
( ln 2,
)
x
时，
( )
f
x
＞0，当x ∈(-2，
ln 2
)时，
( )
f
x
＜0，
∴
( )
f x 在(-∞，-2)，(
ln 2
，+∞)单调递增，在(-2，
ln 2
)上单调递减．
当x =-2时，函数
( )
f x 取得极大值，极大值为
2
( 2)
4(1
)
f
e
．
8．(2013 全国卷2 文21)已知函数
2
( )
x
f x
x e
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的极小值和极大值；
(Ⅱ)当曲线
( )
y
f x
的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．
【解析】(Ⅰ)
( )
f
x
=
2
2
x
x
xe
x e
=
(2
)
x
xe
x
当x ＜0 或x ＞2 时，
( )
f
x
＜0，当0＜x ＜2 时，
( )
f
x
＞0，
∴
( )
f x 在(-∞，0)单调递减，在(0，2)单调递增，在(2，+∞)单调递减．
∴当x =0 时，
( )
f x 取极小值0，当x =2 时，
( )
f x 取极大值
2
4e．
(Ⅱ)设切点(
0x ，
0y )，则
0
(
)
f
x
=
0
0
0
(2
)
x
x e
x
由题知
0
(
)
f
x
＜0 得，
0x ＜0 或
0x ＞2，∴l 的方程为
0
0
2
0
0
0
0
(2
)(
)
x
x
y
x e
x e
x
x
x
，
令y =0，解得l 在x 轴上截距x =
0
0
0
2
x
x
x
(
0x ＜0 或
0x ＞2)=
0
0
2
2
3
2
x
x
当
0x ＞2 时，x =
0
0
2
2
3
2
x
x
≥
0
0
2
2
(
2)
3
2
x
x
=5，当且仅当
0
0
2
2
2
x
x
即
0x = 2
2
时，
取等号，
当
0x ＜0 时，设
0
(
)
g x
=
0
0
2
1
2
x
x
，∴
0
(
)
g x
=
2
0
2
1
(
2)
x
=
2
0
0
2
0
4
2
(
2)
x
x
x
＞0，
∴
0
(
)
g x
在(－∞，0)单调递增，∴
0
(
)
g x
＜(0)
g
=0，
综上所述，l 在x 轴上截距取值范围为(－∞，0)∪(5，+∞)．
9．(2018北京)设函数
2
( )
[
(4
1)
4
3]
x
f x
ax
a
x
a
e
．
(1)若曲线
( )
y
f x
在点(1,
(1))
f
处的切线与x 轴平行，求a ；
(2)若
( )
f x 在
2
x
处取得极小值，求a 的取值范围．
【解析】(1)因为
2
( )
[
(4
1)
4
3]
x
f x
ax
a
x
a
e
，
所以
2
( )
[2
(4
1)]
[
(4
1)
4
3]
x
x
f
x
ax
a
e
ax
a
x
a
e
( xR )
=
2
[
(2
1)
2]
x
ax
a
x
e
．
(1)
(1
)
f
a e
．
由题设知
(1)
0
f
，即(1
)
0
a e
，解得
1
a
．
此时
(1)
3
0
f
e
．
所以a 的值为1．
(2)由(1)得
2
( )
[
(2
1)
2]
(
1)(
2)
x
x
f
x
ax
a
x
e
ax
x
e
．
若
1
2
a
，则当
1
(
,2)
x
a
时，
( )
0
f
x
；
当
(2,
)
x
时，
( )
0
f
x
．
所以
( )
0
f x
在
2
x
处取得极小值．
若
1
2
a ≤
，则当
(0,2)
x
时，
2
0
x
，
1
1
1
0
2
ax
x
≤
，
所以
( )
0
f
x
．
所以2 不是
( )
f x 的极小值点．
综上可知，a 的取值范围是1
( ,
)
2 ．
10．(2017 山东)已知函数
2
2cos
f x
x
x
，
cos
sin
2
2
x
g x
e
x
x
x
，其中
2.71828
e
是自然对
数的底数．
(Ⅰ)求曲线
y
f x
在点( ,
( ))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)令( )
( )
( )
h x
g x
af x
(
)
a
R
，讨论( )
h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】(Ⅰ)由题意
2
2
f
又
2
2sin
f
x
x
x
，
所以
2
f
，
因此曲线
y
f x
在点
, f
处的切线方程为
2
2
2
y
x
，
即
2
2
2
y
x
．
(Ⅱ)由题意得
2
( )
(cos
sin
2
2)
(
2cos )
x
h x
e
x
x
x
a x
x
，
因为
cos
sin
2
2
sin
cos
2
2
2sin
x
x
h x
e
x
x
x
e
x
x
a
x
x
2
sin
2
sin
xe
x
x
a x
x
2
sin
xe
a
x
x
，
令
sin
m x
x
x
则
1
cos
0
m x
x
所以
m x 在R 上单调递增．
因为
(0)
0,
m
所以
当
0
x
时，
( )
0,
m x
当
0
x
时，
0
m x
(1)当
0
a
时，
xe
a
0
当
0
x
时，
0
h x
，
h x 单调递减，
当
0
x
时，
0
h x
，
h x 单调递增，
所以当
0
x
时
h x 取得极小值，极小值是
0
2
1
h
a
；
(2)当
0
a
时，
ln
2
sin
x
a
h x
e
e
x
x
由
0
h x
得
1
ln
x
a
，
2=0
x
①当0
1
a
时，ln
0
a
，
当
,ln
x
a
时，
ln
0,
0
x
a
e
e
h x
，
h x 单调递增；
当
ln ,0
x
a
时，
ln
0,
0
x
a
e
e
h x
，
h x 单调递减；
当
0,
x
时，
ln
0,
0
x
a
e
e
h x
，
h x 单调递增．
所以当
ln
x
a
时
h x 取得极大值．
极大值为
2
ln
ln
2ln
sin ln
cos ln
2
h
a
a
a
a
a
a
，
当
0
x
时
h x 取到极小值，极小值是
0
2
1
h
a
；
②当
1
a 时，ln
0
a
，
所以当
,
x时，
0
h x
，函数
h x 在
,
上单调递增，无极值；
③当
1
a 时，ln
0
a
所以
当
,0
x
时，
ln
0
x
a
e
e
，
0,
h x
h x
单调递增；
当
0,ln
x
a
时，
ln
0
x
a
e
e
，
0,
h x
h x
单调递减；
当
ln ,
x
a
时，
ln
0
x
a
e
e
，
0,
h x
h x
单调递增；
所以
当
0
x
时
h x 取得极大值，极大值是
0
2
1
h
a
；
当
ln
x
a
时
h x 取得极小值．
极小值是
2
ln
ln
2ln
sin ln
cos ln
2
h
a
a
a
a
a
a
．
综上所述：
当
0
a
时，
h x 在
,0
上单调递减，在
0,上单调递增，
函数
h x 有极小值，极小值是
0
2
1
h
a
；
当0
1
a
时，函数
h x 在
,ln a
和
0,lna 和
0,上单调递增，在
ln ,0
a
上单调递减，函数
h x 有
极大值，也有极小值，
极大值是
2
ln
ln
2ln
sin ln
cos ln
2
h
a
a
a
a
a
a
极小值是
0
2
1
h
a
；
当
1
a 时，函数
h x 在
,
上单调递增，无极值；
当
1
a 时，函数
h x 在
,0
和
ln ,a 上单调递增，
在
0,lna 上单调递减，函数
h x 有极大值，也有极小值，
极大值是
0
2
1
h
a
；
极小值是
2
ln
ln
2ln
sin ln
cos ln
2
h
a
a
a
a
a
a
．
11．(2014 山东)设函数
)
ln
2
(
2
x
x
k
x
e
x
f
x
(k 为常数，
2.71828
e
是自然对数的底数)．
(Ⅰ)当
0
k
时，求函数
f x 的单调区间；
(Ⅱ)若函数
f x 在
0,2 内存在两个极值点，求k 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)函数
y
f x
的定义域为(0,
)
2
4
2
2
2
1
( )
(
)
x
x
e
x
xe
f
x
k
x
x
x
3
(
2)(
) (
0)
x
x
e
kx
x
x
由
0
k
可得
0
xe
kx
所以当
(0,2)
x
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
y
f x
单调递减，
所以当
(2,
)
x
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
y
f x
单调递增，
所以
( )
f x 的单调递减区间为(0,2) ，
( )
f x 的单调递增区间为(2,
)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
0
k
时，
( )
f x 在(0,2) 内单调递减，
故
( )
f x 在(0,2) 内不存在极值点；
当
0
k
时，设函数
x
g x
e
kx
，
[0,
)
x
，因此
ln
( )
x
x
k
g x
e
k
e
e
．
当0
1
k
时，
(0,2)
x
时
( )
0
x
g x
e
k
，函数
y
g x
单调递增
故
( )
f x 在(0,2) 内不存在两个极值点；
当
1
k
时，
x
(0,ln )
k
ln k
(ln ,
)
k
g
x
0
( )
g x
函数在(0,2) 内存在两个极值点
当且仅当
(0)
0
(ln )
0
(2)
0
0
ln
2
g
g
k
g
k
，解得
2
2
e
e
k
，
综上函数
f x 在
0,2 内存在两个极值点时，k 的取值范围为
2
( ,
)
2
e
e
．
考点29 导数与函数的最值
1．(2011 湖南)设直线x
t
与函数
2
( )
f x
x
，( )
ln
g x
x
的图像分别交于点
,
M N ，则当MN 达到最
小时t 的值为
A．1
B．1
2
C．
5
2
D．
2
2
【答案】D
【解析】由题
2
|
|
ln
MN
x
x
，(
0)
x
不妨令
2
( )
ln
h x
x
x
，则
1
'( )
2
h x
x
x
，令'( )
0
h x
解得
2
2
x
，因
2
(0,
)
2
x
时，'( )
0
h x
，当
2
(
,
)
2
x
时，'( )
0
h x
，所以当
2
2
x
即
2
2
t
时，|
|
MN
达到最小．
2．若函数
( )
f x =
2
2
(1
)(
)
x
x
ax
b
的图像关于直线x =－2对称，则
( )
f x 的最大值是______．
【答案】16
【解析】由
( )
f x 图像关于直线x =－2 对称，则
0=
( 1)
( 3)
f
f
=
2
2
[1 ( 3) ][( 3)
3
]
a
b
，
0=
(1)
( 5)
f
f
=
2
2
[1 ( 5) ][( 5)
5
]
a
b
，解得a =8，b =15，
∴
( )
f x =
2
2
(1
)(
8
15)
x
x
x
，
∴
( )
f
x
=
2
2
2 (
8
15)
(1
)(2
8)
x x
x
x
x
=
3
2
4(
6
7
2)
x
x
x
= 4(
2)(
2
5)(
2
5)
x
x
x
当x ∈(－∞，2
5
)∪(－2，
2
5
)时，
( )
f
x
＞0，
当x ∈( 2
5
，－2)∪( 2
5
，+∞)时，
( )
f
x
＜0，
∴
( )
f x 在(－∞，2
5
)单调递增，在(
2
5
，－2)单调递减，在(－2，2
5
)单调递增，在( 2
5
，
+∞)单调递减，故当x = 2
5
和x = 2
5
时取极大值，
( 2
5)
f
=
( 2
5)
f
=16．
3．(2016 年全国Ⅱ)(I)讨论函数
2
( )
e
2
x
x
f x
x
的单调性，并证明当
0
x
时，(
2)e
2
0
x
x
x
；
(II)证明：当
[0,1)
a
时，函数
2
e
=
(
0)
x
ax
a
g x
x
x
有最小值．设
g x 的最小值为( )
h a ，求函数( )
h a 的
值域．
【解析】(I)证明：
2 e
2
x
x
f x
x
2
2
2
2
4
e
e
2
2
2
x
x
x
x
f
x
x
x
x
∵当x
2
2 ,
，
时，
0
f
x
∴
f x 在
2
2 ,
，
和
上单调递增
∴
0
x
时，
2 e
0 =
1
2
x
x
f
x
∴
2 e
2
0
x
x
x
(Ⅱ)
3
3
(
2)
(
2)
2
( )
( ( )
)
x
x
e
a x
x
g x
f x
a
x
x
，
由(Ⅰ)知，
( )
f x
a
单调递增，对任意的
0
1
a
，，
(0)
1
0
f
a
a
，
(2)
0
f
a
a
.
，因此，存在唯一
(0,2]
ax
，使得
(
)
0
a
f x
a
，即
(
)
0
a
g x
当0
a
x
x
时，
( )
0
f x
a
，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递减；
当
a
x
x
时，
( )
0
f x
a
，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递增．
因此( )
g x 在
a
x
x
处取得最小值，最小值为
2
2
(
1)
(
)(
1)
(
)
2
a
a
a
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
e
a x
e
f x
x
e
g x
x
x
x
．
于是( )
2
a
x
a
e
h a
x
，由
2
(
1)
(
)
0
2
(
2)
x
x
e
x
e
x
x
，得
2
xe
x
单调递增．
所以，由
(0,2]
ax
，得
0
2
2
1
( )
2
0
2
2
2
2
4
a
x
a
e
e
e
e
h a
x
-
，
因为
2
xe
x
单调递增，对任意的
2
1
( ,
]
2
4
e
，存在唯一的
(0,2]
ax
，
(
)
[0,1)
a
a
f x
，使得( )
h a
，所以( )
h a 的值域为
2
1
e
2
4
，
．
综上，当
[0,1)
a
时，( )
g x 有最小值( )
h a ，( )
h a 的值域为
2
1
e
2
4
，
．
4．(2016 年全国Ⅲ) 设函数
( )
cos2
(
1)(cos
1)
f x
x
x
，其中
0
，
记|
( ) |
f x
的最大值为A ．
(Ⅰ)求
( )
f
x
；
(Ⅱ)求A ；
(Ⅲ)证明| ( )|
2
f
x
A
≤
．
【解析】(Ⅰ)
( )
2 sin2
(
1)sin
f
x
a
x
a
x
．
(Ⅱ)当
1
a .
时，|
( ) | |
sin2
(
1)(cos
1) |
f
x
a
x
a
x
2(
1)
a
a
-
3
2
a
(0)
f
因此，
3
2
A
a
．
当0
1
a
时，将
( )
f x 变形为
2
( )
2 cos
(
1)cos
1
f x
a
x
a
x
．
令
2
( )
2
(
1)
1
g t
at
a
t
，则A 是|
( ) |
g t
在[ 1,1]
上的最大值，
( 1)
g
a
，(1)
3
2
g
a
，且当
1
4
a
t
a
时，
( )
g t 取得极小值，
极小值为
2
2
1
(
1)
6
1
(
)
1
4
8
8
a
a
a
a
g
a
a
a
．
令
1
1
1
4
a
a
，解得
1
3
a
(舍去)，
1
5
a
．
(ⅰ)当
1
0
5
a
-
时，
( )
g t 在[ 1,1]
内无极值点，|
( 1) |
g
a
，|
(1) | 2
3
g
a
，|
( 1) | |
(1) |
g
g
，所以
2
3
A
a
．
(ⅱ)当1
1
5
a
时，由( 1)
(1)
2(1
)
0
g
g
a
，知
1
( 1)
(1)
(
)
4
a
g
g
g
a
．
又
1
(1
)(1
7 )
|
(
) |
|
( 1) |
0
4
8
a
a
a
g
g
a
a
，所以
2
1
6
1
|
(
) |
4
8
a
a
a
A
g
a
a
．
综上，
2
1
2
3 ,
0
5
6
1 1
,
1
8
5
3
2,
1
a
a
a
a
A
a
a
a
a
-
.
．
(Ⅲ)由(Ⅰ)得|
( ) | | 2 sin2
(
1)sin
|
2
|
1|
f
x
a
x
a
x
a
a
-
．
当
1
0
5
a
-
时，|
( ) | 1
2
4
2(2
3 )
2
f
x
a
a
a
A
-
-
．
当1
1
5
a
时，
1
3
1
8
8
4
a
A
a
.
，所以|
( ) | 1
2
f
x
a
A
-
．
当
1
a .
时，|
( ) |
3
1
6
4
2
f
x
a
a
A
-
-
，所以|
( ) |
2
f
x
A
-
．
5．(2015 新课标2 文21)已知函数
( )
ln
(1
)
f x
x
a
x
．
(Ⅰ)讨论
( )
f x 的单调性；
(Ⅱ)当
( )
f x 有最大值，且最大值大于2
2
a
时，求a 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)
( )
f x 的定义域为(0,
)
，
1
( )
f
x
a
x
．
若
0
a≤
，则
( )
0
f
x
，所以
( )
f x 在(0,
)
单调递增．
若
0
a
，则当
1
(0,
)
x
a
时，
( )
0
f
x
；当
1
(
,
)
x
a
时，
( )
0
f
x
．所以
( )
f x 在
1
(0,
)
a
单调递增，
在1
(
,
)
a 单调递减．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当
0
a≤
时，
( )
f x 在(0,
)
上无最大值；当
0
a
时，
( )
f x 在
1
x
a
取得最大值，最大值为
1
1
1
( )
ln
(1
)
ln
1
f
a
a
a
a
a
a
．
因此
1
( )
2
2
f
a
a
等价于ln
1
0
a
a
．
令( )
ln
1
g a
a
a
，则( )
g a 在(0,
)
单调递增，(1)
0
g
．
于是，当0
1
a
时，( )
0
g a
；当
1
a
时，
( )
0
g a
．
因此a 的取值范围是(0,1) ．
6．(2017 北京)已知函数
( )
cos
x
f x
e
x
x
．
(Ⅰ)求曲线
( )
y
f x
在点(0,
(0))
f
处的切线方程；
(Ⅱ)求函数
( )
f x 在区间[0,
]
2
上的最大值和最小值．
【解析】(Ⅰ)因为
( )
e cos
x
f x
x
x
，所以
( )
e (cos
sin ) 1,
(0)
0
x
f
x
x
x
f
．
又因为
(0)
1
f
，所以曲线
( )
y
f x
在点(0,
(0))
f
处的切线方程为
1
y ．
(Ⅱ)设( )
e (cos
sin ) 1
x
h x
x
x
，则
( )
e (cos
sin
sin
cos )
2e sin
x
x
h x
x
x
x
x
x
．
当
π
(0,
)
2
x
时，
( )
0
h x
，
所以( )
h x 在区间
π
[0,
]
2
上单调递减．
所以对任意
π
(0,
]
2
x
有( )
(0)
0
h x
h
，即
( )
0
f
x
．
所以函数
( )
f x 在区间
π
[0,
]
2
上单调递减．
因此
( )
f x 在区间
π
[0,
]
2
上的最大值为
(0)
1
f
，最小值为
π
π
( )
2
2
f
．
7．(2012 全国理21)已知函数
( )
f x =
1
2
1
(1)
(0)
2
x
f
e
f
x
x
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的解析式及单调区间；
(Ⅱ)若
( )
f x ≥
2
1
2 x
ax
b
，求(
1)
a
b
的最大值．
【解析】(Ⅰ)由已知得
( )
f
x
=
1
(1)
(0)
x
f
e
f
x
，∴
(1)
f
=
(1)
(0)
1
f
f
，
∴
(0)
f
=1，又∵
(0)
f
=
1
(1)
f
e
，
∴
(1)
f
=e ，
∴
( )
f x =
2
1
2
xe
x
x
，
∴
( )
f
x
=
1
xe
x
，当
(
,0)
x
时，
( )
f
x
＜0；当
(0,
)
x
时，
( )
f
x
＞0，
∴
( )
f x 减区间为(
,0)
，增区间为(0,
)
；
(Ⅱ)【解法1】由已知条件得
(
1)
xe
a
x
b
①
(ⅰ)若
1
0
a
，则对任意常数b ，当
0
x
，且
1
1
b
x
a
时，可得
(
1)
xe
a
x
b
，因此①式不成立．
(ⅱ)若
1
0
a
，则(
1)
0
a
b
，
(ⅲ)若
1
0
a
，设( )
g x =
(
1)
xe
a
x
，则
( )
g x
=
(
1)
xe
a
，
当
(
,ln(
1))
x
a
时，
( )
g x
＜0，当x(ln(
1),
)
a
时，
( )
g x
＞0，
∴( )
g x 在(
,ln(
1))
a
单调递减，在(ln(
1),
)
a
上单调递增，
∴( )
g x 有最小值(ln(
1))
g
a
=
1 (
1)ln(
1)
a
a
a
，
∴
( )
f x ≥
2
1
2 x
ax
b
等价于
1 (
1)ln(
1)
b
a
a
a
②
∴
2
2
(
1)
(
1)
(
1) ln(
1)
a
b
a
a
a
，
设( )
h a =
2
2
(
1)
(
1) ln(
1)
a
a
a
，则
( )
h a
=(
1)(1
2ln(
1))
a
a
，
∴( )
h a 在
1
2
( 1,
1)
e
单调递增，在
1
2
(
1,
)
e
单调递减，
∴( )
h a 在a =
1
2
1
e 处取最大值，
∴( )
h a
1
2
(
1)
h e
= 2
e ，即(
1)
2
e
a
b
．
当
1
2
1
a
e
，
1
2
2
e
b
时，②式成立，故
( )
f x ≥
2
1
2 x
ax
b
，
综合得，(
1)
a
b
的最大值为2
e ．
【解法2】
2
1
( )
( )
(
1)
0
2
x
f x
x
ax
b
h x
e
a
x
b
得
( )
(
1)
x
h x
e
a
①当
1
0
a
时，
( )
0
( )
h x
y
h x
在x
R
上单调递增
x 时，( )
h x 与( )
0
h x
矛盾
②当
1
0
a
时，
( )
0
ln(
1),
( )
0
ln(
1)
h x
x
a
h x
x
a
得：当
ln(
1)
x
a
时，
min
( )
(
1)
(
1)ln(
1)
0
h x
a
a
a
b
2
2
(
1)
(
1)
(
1) ln(
1)(
1
0)
a
b
a
a
a
a
令
2
2
( )
ln (
0)
F x
x
x
x x
；则
( )
(1
2ln )
F x
x
x
( )
0
0
,
( )
0
F x
x
e F x
x
e
当x
e
时，
max
( )
2
e
F x
当
1,
a
e
b
e
时，(
1)
a
b
的最大值为2
e
8．(2019 全国Ⅲ文20)已知函数
3
2
( )
2
2
f x
x
ax
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当0<a<3时，记
( )
f x 在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M
m
的取值范围．
【解析】(1)
2
( )
6
2
2 (3
)
f
x
x
ax
x
x
a
．
令
( )
0
f
x
，得x=0 或
3
a
x
．
若a>0 ，则当
(
,0)
,
3
a
x
时，
( )
0
f
x
；当
0, 3
a
x
时，
( )
0
f
x
．故
( )
f x
在
(
,0),
,
3
a
单调递增，在0, 3
a
单调递减；
若a=0，
( )
f x 在(
,
)
单调递增；
若a<0 ，则当
,
(0,
)
3
a
x
时，
( )
0
f
x
；当
,0
3
a
x
时，
( )
0
f
x
．故
( )
f x
在
,
,(0,
)
3
a
单调递增，在
,0
3
a
单调递减．
(2)当0
3
a
时，由(1)知，( )
f x 在0, 3
a
单调递减，在
,1
3
a
单调递增，所以
( )
f x 在[0，1]的最小值为
3
2
3
27
a
a
f
，最大值为
(0)=2
f
或
(1)=4
f
a
．于是
3
2
27
a
m
，
4
,0
2,
2,2
3.
a
a
M
a
所以
3
3
2
,0
2,
27
,2
3.
27
a
a
a
M
m
a
a
当0
2
a
时，可知
3
2
27
a
a
单调递减，所以M
m
的取值范围是
8 ,2
27
．
当2
3
a
时，
3
27
a
单调递减，所以M
m
的取值范围是8
[
,1)
27
．
综上：M
m
的取值范围是8
[
,2)
27
．
