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专题一 《复数》讲义
知识梳理 . 复数
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋
bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋d⇔i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3．复数的运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
题型一 . 复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a R）为纯虚数，则z＝（ ）
∈16 20
A． i B．6i C． i D．20
3 3
【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a R）为纯虚数，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，∈
2 20
得a=− ，此时z= i，
3 3
故选：C．
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（ ）
1 1 i i
A． B．− C． D．−
10 10 10 10
i i(1−3i) 3+i 3 i
【解答】解：由z（1+3i）＝i，得z= = = = + ，
1+3i (1+3i)(1−3i) 10 10 10
1
∴z的虚部为 ．
10
故选：A．
2i
3．已知复数z= （i虚数单位），则z⋅z=（ ）
1+i
1
A．√2 B．2 C．1 D．
2
|2i| |2|
【解答】解：由题意知|z|= = =√2，
|1+i| √2
利用性质z⋅z=|z|2，得z⋅z=2，
故选：B．
a−i
4．若 =b+2i，其中a，b R，i是虚数单位，则a+b的值（ ）
i
∈
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
a−i
【解答】解：∵ =−ai﹣1＝b+2i，其中a、b R，i是虚数单位，
i
∈
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故选：A．
i−1
5．设复数z满足z= ，则|z|＝（ ）
1+i
A．1 B．√2 C．√3 D．2i−1 −(1−i) 2
【解答】解：z= = =i，
1+i 2
故|z|＝1，
故选：A．
1+z
6．设复数z满足 =i，则|z|＝（ ）
1−z
A．1 B．√2 C．√3 D．2
1+z
【解答】解：∵复数z满足 =i，
1−z
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
i−1
∴z= =i，
i+1
∴|z|＝1，
故选：A．
7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z|=√2 D．z+z=2i
2i 2i(1+i) −2+2i
【解答】解：因为z（1﹣i）＝2i，所以z= = = =−1+i，
1−i (1−i)(1+i) 2
则|z|=√2；由于z的虚部是1，则A，B错，z+z=−2，则D错．
故选：C．
8．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（ ）
A．−√3 B．±√3 C．±√3i D．√3i
【解答】解：复数Z的实部为1，
设Z＝1+bi．
|Z|＝2，
可得 2，
√1+b2=
解得b=±√3．
复数Z的虚部是±√3．
故选：B．
题型二 . 复数的几何意义(1−i) 2
1．已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
1+i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由(1−i) 2 −2i(1−i) ，
= =−1−i
1+i (1+i)(1−i)
(1−i) 2
则复数 在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
1+i
故选：C．
2．设i是虚数单位，z的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•z在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵z＝1+2i，
∴z+i•z=1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．
∴复数z+i•z在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．
故选：A．
3．设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（ ）
A．0∈ B．﹣1 C．1 D．√2
【解答】解：∵复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实
轴上，
∴a+1＝0，即a＝﹣1．
故选：B．
4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第 一 象限．
【解答】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，
∴z=3+4i，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限．
故答案为：一．
5．在复平面内，O是坐标原点，向量 → 对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为
OA
点B，则向量 → 对应的复数的模为 ．
√5
OB
【解答】解：∵向量 → 对应的复数是﹣2+i，∴A（﹣2，1），
OA又点A关于实轴的对称点为点B，∴B（﹣2，﹣1）．
∴向量 → 对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i|=√5 ．
OB
故答案为：√5．
1
6．已知i为虚数单位，且复数z满足z−2i= ，则复数z在复平面内的点到原点的距离
1−i
为（ ）
13 √26 √10 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
1 1 1+i 1 5
【解答】解：由z−2i= ，得z＝2i+ =2i+ = + i，
1−i 1−i (1−i)(1+i) 2 2
1 5 √1 25 √26
∴复数z在复平面内的点的坐标为（ ， ），到原点的距离为 + = ．
2 2 4 4 2
故选：B．
题型三 . 复数的指数幂运算
2i
1．若复数z = （i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（
1+i7
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵z 2i 2i 2i(1+i) 1+i，
= = = =−
1+i7 1−i (1−i)(1+i)
∴z=−1﹣i，
∴复数z在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；
∴它对应的点在第三象限，
故选：C．
a+i2016
2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则 的值为（ ）
1+i
A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i
【解答】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，
a+i2016 1+1 2(1−i) 1﹣i．
= = =
1+i 1+i (1+i)(1−i)
故选：D．3．已知复数z
(1+i) 3
（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
=
(1−i) 2
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解答】解：z
(1+i) 3 (1+i)⋅2i
1﹣i，
= = =−
(1−i) 2 −2i
则z的虚部为﹣1，
故选：A．
4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解答】解：∵i4＝1，
∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，
则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，
∴z的虚部为﹣1．
故选：A．
1+i
5．设i是虚数单位，则复数z＝（ ）2013＝（ ）
1−i
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解答】解：∵1+i (1+i) 2 2i ，
= = =i
1−i (1+i)(1−i) 2
1+i
∴z＝（ ）2013＝i2013＝（i2）1006•i＝i．
1−i
故选：D．
z+2
6．已知复数z＝﹣1+i，则 =（ ）
z2+z
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解答】解：∵z＝﹣1+i，
∴ z+2 −1+i+2 1+i (1+i)(−1+i) ．
= = = =−1
z2+z (−1+i) 2−1+i −1−i (−1−i)(−1+i)
故选：A．
7．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（ ）
A．0 B．1 C．√2 D．2【解答】解：∵Z＝1+i，
∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，
∴|Z2﹣Z| ．
=√(−1) 2+12=√2
故选：C．
1−i
8．当z=− 时，z100+z50+1的值等于 ﹣ i ．
√2
1−i √2 √2
【解答】解：∵z=− = − i
√2 2 2
1 √2 √2 √2
∴z2= −2× × i+（ i）2＝﹣i，可得z4＝﹣1
2 2 2 2
根据复数乘方的含义，可得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12•z2＝﹣i
∴z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i
故答案为：﹣i
题型四 . 待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z+z=−4+2i，则z＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】解：设z＝a+bi（a，b R），
则3z+z=3（a+bi）+a﹣bi＝4a+∈2bi＝﹣4+2i，
{4a=−4
∴ ，即a＝﹣1，b＝1．
2b=2
∴z＝﹣1+i．
故选：D．
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（ ）
A．25 B．5 C．√5 D．2+i
【解答】解：法一、设z＝a+bi（a，b R），
由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2ab∈i＝3+4i，
∴{a2−b2=3，解得{a=2或{a=−2．
2ab=4 b=1 b=−1
∴ ．
|z|=√a2+b2=√5
故选：C．法二、由z2＝3+4i，得 ，
|z2|=|z|2=√32+42=5
则|z|=√5．
故选：C．
3．设复数z满足|z |＝1，|z |＝2，z +z ＝﹣1+√3i，则|z ﹣z |＝ √6 ．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：设z ＝a+bi，z ＝c+di，（a，b，c，d为实数），
1 2
因为复数z满足 ，
|z |=1，|z |=2，z +z =−1+√3i
1 2 1 2
所以{a+c=−1且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
b+d=√3
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，
即2ac+2bd＝﹣1，
则|z ﹣z | ．
1 2=√(a−c) 2+(b−d) 2=√a2+b2+c2+d2−2(ac+bd)=√5+1=√6
故答案为：√6．
4．已知z C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（ ）
A．2√∈2−1 B．2√2+1 C．√2 D．2√2
【解答】解：∵|z|＝1且z C，作图如图：
∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单∈ 位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，
∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝2√2−1．
故选：A．
5．设复数z ，z 满足|z ﹣1|＝1，|z +3i|＝2，则|z ﹣z |的最大值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3+2√3 B．2√10 C．3+√10 D．6【解答】解：因为|z ﹣1|＝1，|z +3i|＝2，
1 2
所以z ，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z 对应的点在以B（0，
1 2
﹣3）为圆心，以2为半径的圆上，
则|z ﹣z |的几何意义是两圆上点的距离，
1 2
则则|z ﹣z |的最大值为AB+1+2＝3 3 ．
1 2 +√12+(−3) 2= +√10
故选：C．
6．已知复数z＝x+yi（x，y R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是 4√2 ．
【解答】解：∵复数z＝∈x+yi（x，y R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，
∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|， ∈
∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，
∴ ，
√x2+(y−4) 2=√(x+2) 2+ y2
化为x+2y＝3．
则2x+4y≥2 2 4 ，
√2x ⋅4y= √2x+2y= √2
因此2x+4y的最小值是4√2．
故答案为：4√2．
