6.3 平面向量的数乘运算与共线定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量数乘的定义............................................................. 2
考点二：向量数乘的几何意义....................................................... 2
考点三：向量数乘的运算律.......................................................... 2
考点四：向量的线性运算............................................................. 2
考点五：向量共线定理................................................................ 2
考点六：三点共线向量表示的两个结论............................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：向量数乘运算的定义....................................................... 3
题型二：向量的线性运算............................................................. 5
考点三：向量数乘的几何意义应用..................................................6
考点四：用已知向量表示未知向量..................................................8
考点五：向量共线定理及应用......................................................11
模块三：综合巩固....................................................................... 16
6.3 平面向量的数乘运算与共线定理
模块一：基础知识
考点一：向量数乘的定义
实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
当λ>0 时，与a 的方向相同；
当λ<0 时，与a 的方向相反.
特别地，当λ＝0 时，λa＝0.，当λ＝－1 时，(－1)a＝－a.
考点二：向量数乘的几何意义
对于
a
：①从代数角度看，是实数，a
是向量，它们的积仍然是向量．a
的条件是
0
a
或
0
．②
从几何的角度看，对于长度来说，当
1
时，意味着表示向量a
的有向线段在原方向(
0)
或相反方向
(
0)
上伸长了倍；当0
1
时，意味着表示向量a
的有向线段在原方向(0
1)
或反方向
( 1
0)
上缩短了倍．
考点三：向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b 为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
考点四：向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量a
,b
,以及任意实数,
1
,
2
,恒有
1
2
1
2
(
)
a
b
a
b
.
考点五：向量共线定理
（1）内容：向量b
与非零向量a
共线，则存在唯一一个实数，b
a
.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意
0
a
．特别地，若
0
a
b
，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量b
与a
的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两
个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
考点六：三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点
,
A B C
,
共线的充要条件是存在唯一实数t ，使得AC
t AB
.
结论2：设O 是平面内的任意一点，点A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数使得
(1
)
OC
OA
OB
.
模块二：题型分类
题型一：向量数乘运算的定义
1．已知平面内的两个非零向量a
，b
满足
3
a
b
r
r ，则a
与b
（
）
A．相等
B．方向相同
C．垂直
D．方向相反
【答案】D
【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可.
【详解】因为两个非零向量a
，b
满足
3
a
b
r
r ，
所以,a b
为共线反向向量，且模不相等，
所以ABC 错误，D 正确.
故选：D
2.已知a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a 的方向与a 的方向相同；
(2)|－2a|＝3
2|3a|；
(3) 1
|a|a 是单位向量；
(4)a＋b 与－a－b 是一对相反向量．
【解析】
(1)真命题．∵2>0，
∴2a 的方向与a 的方向相同．
(2)假命题．|－2a|＝|－2||a|＝2|a|＝2
3|3a|.
(3)真命题．|
1
|a|a|＝|
1
|a|||a|＝1
|a|
|a|＝1.
(4)真命题．∵a＋b 与－a－b 是一对相反向量，且－(a＋b)＝－a－b，
∴a＋b 与－a－b 是一对相反向量．
3.已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有(
)
①当λ＞0 时，λa 与a 的方向一定相同；
②当λ＜0 时，λa 与a 的方向一定相反；
③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0；
④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【解析】由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定，易知①②③④正确．
4．已知
0
a
，则下列结论一定正确的是（
）
A．
0
B．
0
a
C．
0
且
0
a
D．以上说法都不对
【答案】D
【分析】根据向量的数量积分
0
a
、
0
a
、
0
、
0
四种情况讨论即可得答案.
【详解】解：因为
0
a
，
所以当
0
a
时，则有
0
，
当
0
时，则有
0
a
，
当
0
时，则有
0
a
或
0
a
，
当
0
a
时，则有
0
或
0
.
故选：D.
5．下列说法中正确的是（
）
A．a
与a
的方向不是相同就是相反
B．若,a b
共线，则b
a
C．若
2
b
a
＝
，则
2
b
a
D．若
2
b
a
，则
2
b
a
＝
【答案】D
【分析】根据向量共线的性质，即可结合选项逐一判断.
【详解】对于A,当
0
时，
0
a
，由于零向量的方向是任意的，故A 错误，
对于B，当
0,
0
a
b
时，此时,a b
共线，但不能得到b
a
，故B 错误，
对于C，
2
b
a
＝
，,a b
的方向不确定，故不能得到
2
b
a
，C 错误，
对于D，若
2
b
a
，则
2
b
a
＝
，故D 正确，
故选：D
题型二：向量的线性运算
1．化简
6
4
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
c
为（
）
A．6
2
8
a
b
c
B．6
14
a
b
C．2
14
a
b
D．6
2
a
b
【答案】D
【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【详解】根据向量的四则运算可知，
6
4
2
2
2
6
6
6
4
8
4
4
2
6
2
a
b
c
a
b
c
a
c
a
b
c
a
b
c
a
c
a
b
.
故选：D
2．下列计算正确的个数是（
）
①
3
2
6
a
a
＝-
；②
2
2
3
a b
b a
a
+
-
-
=
；③
2
2
0
a
b
b
a
-
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】对于①
3
2
6
a
a
＝-
；故①正确，
对于②
2
2
3
a b
b a
a
＋
-
-
=
；故②正确，
对于③
2
2
0
a
b
b
a
-
，故③错误，
故选：C
3．设, ,
i j k
是两两不共线的向量，且向量
2
4
a
i
j
k
，
3
2
b
i
j
k
，则2
3
a
b
（
）
A．11
2
5
i
j
k
B．11
2
5
i
j
k
C．11
10
11
i
j
k
D．11
10
11
i
j
k
【答案】C
【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.
【详解】因为
2
4
a
i
j
k
，
3
2
b
i
j
k
，
所以
2
3
2
2
4
3 3
2
11
10
11
a
b
i
j
k
i
j
k
i
j
k
.
故选：C
考点三：向量数乘的几何意义应用
1．已知点C 在线段AB 上，且
2
AC
CB
，若向量AC
AB
，则（
）
A．2
B．1
2
C．3
2
D．2
3
【答案】D
【分析】根据题意可知
2
3
AC
AB
，结合向量的线性表示即可求得.
【详解】如图，由
2
AC
CB
，可得
2
3
AC
AB
，所以
2
3
AC
AB
，即
2
3
，
故选：D.
2．（多选）如图，设
,
P Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式正确的是（
）
A．
1
3
AP
AB
B．
2
3
AQ
AB
C．
2
3
BP
AB
D．AQ
BP
【答案】AB
【分析】由图和平面向量线性运算逐一判断选项即可.
【详解】由图可得
,
P Q 两点把线段AB 三等分，
故
1
2
,
3
3
AP
AB AQ
AB
，A，B 正确；
2
,
3
BP
AB AQ
BP
，故C，D，错误，
故选：AB.
3．（多选）如图，点
,
C D 是线段AB 的三等分点，则下列结论正确的有（
）
A．AC
DB
B．AB
AC
C．
3
2
AB
CD
D．
2
AD
CD
【答案】AD
【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同.
【详解】由题知，点
,
C D 是线段AB 的三等分点，
所以AC
CD
DB
，
3
AB
AC
，
3
AB
CD
，
2
AD
CD
对于A：AC
DB
且方向相同，所以AC
DB
，A 选项正确；
对于B：AB
AC
，所以AB
AC
，B 选项错误；
对于C：
3
AB
CD
，所以
3
2
AB
CD
，C 选项错误；
对于D：
2
AD
CD
且方向相同，所以
2
AD
CD
，D 选项正确；
故选：AD.
4.（多选）向量
2 ,
6
a
e b
e
，则下列说法正确的是（
）
A．
/ /
a
b
B．向量,a b
方向相反
C．|
| 3|
|
a
b
D．
3a
b
【答案】ABD
【分析】根据向量的数乘运算，即可得到答案；
【详解】因为
2 ,
6
a
e b
e
，
所以
3a
b
，故D 正确；
由向量共线定理知，A 正确；
－3<0，a与b
方向相反，故B 正确；
由上可知|
| 3|
|
b
a
，故C 错误．
故选：ABD
5．在梯形ABCD 中，
4
AB
DC
，AC
AB
xAD
yCD
，则x
y
（
）
A．5
B．6
C．－5
D．－6
【答案】B
【分析】根据向量的线性表示即可求解.
【详解】因为
4
AB
DC
，
所以
4
5
AC
AB
AD
DC
DC
AD
CD
.
所以
1
5
6
x
y
.
故选：B
6．在ABC
中，点D 为边BC 的中点，若AB
AC
AD
，则实数的值为
.
【答案】2
【分析】利用向量的加减运算化简即可求解.
【详解】因为
1
2
AD
AB
BD
AB
BC
，BC
AC
AB
，
所以
1
1
2
2
AD
AB
AC
AB
AB
AC
，所以
2
AB
AC
AD
，即
2
.
故答案为：2
7．设四边形ABCD中，
1
2
DC
AB
且AD
BC
，则这个四边形是
．
【答案】等腰梯形
【分析】根据相等向量定义，结合AD
BC
可得结果.
【详解】
1
2
DC
AB
，
//
DC AB
且
1
2
DC
AB
，∴四边形ABCD为梯形.
又AD
BC
，四边形ABCD为等腰梯形.
故答案为：等腰梯形.
考点四：用已知向量表示未知向量
1．已知四边形ABCD为平行四边形，AC 与BD 相交于O，设
,
AB
a AD
b
，则OB
等于（
）
A．1
1
2
2
a
b
B．1
1
2
2
a
b
C．
1
1
2
2
a
b
D．
1
1
2
2
a
b
【答案】B
【分析】根据向量的运算法则可得结果.
【详解】
2
1
1
2
1
2
2
1
a
OB
DB
B
AD
b
A
,
故选：B.
2．在ABC
中，
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，则DE
（
）
A．
1
3
2
2
a
b
B．1
3
2
2
a
b
C．
1
3
2
2
a
b
D．1
3
2
2
a
b
【答案】A
【分析】先结合图形表示出
3
2
CE
CB
，
1
2
CD
CA
；再根据向量的减法运算即可解答.
【详解】
因为
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，
所以
3
2
CE
CB
，
1
2
CD
CA
.
所以
3
1
3
1
2
2
2
2
DE
CE
CD
CB
CA
b
a
.
故选：A
3．在梯形ABCD中，E 是CD 中点，
2
BC
AD
，设BE
BA
BC
，则
（
）
A．5
3
B．5
2
C．2
D．5
4
【答案】D
【分析】根据图形进行向量的线性运算即可.
【详解】
1
1
1
1
1
3
(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
BE
BD
BC
BA
AD
BC
BA
BC
BC
BA
BC
，
1
3
5
2
4
4
，
故选：D.
4．如图，在四边形ABCD 中，
2
,
2
DC
AB BE
EC
，设DC
a
，DA
b
，则DE
等于（
）
A．5
1
6
2
a
b
B．2
1
3
2
a
b
C．5
1
6
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为
2
,
2
DC
AB BE
EC
，
所以
1
1
1
3
3
3
DE
DC
CE
DC
CB
DC
DB
DC
DC
DA
AB
DC
2
1
1
2
1
1
5
1
3
3
3
3
3
6
6
3
DC
DA
AB
DC
DA
DC
a
b
.
故选：C
5.如图所示，向量
,
,
OA
a OB
b OC
c
，
,
,
A B C 在一条直线上，且
4
AC
CB
uuur
uur 则（
）
A．
1
3
2
2
c
a
b
B．
1
4
3
3
c
a
b
C．
2
c
a
b
D．
3
1
2
2
c
a
b
r
r
r
【答案】B
【分析】由
4
AC
CB
uuur
uur 得
4(
)
OC
OA
OB
OC
，即可得答案．
【详解】由
4
AC
CB
uuur
uur 得
4(
)
3
4
OC
OA
OB
OC
OC
OA
OB
．
即3
4
c
a
b
，则
1
4
3
3
c
a
b
．
故选：B．
6.四边形ABCD中，
/ /
AB
CD ，
90 ,
2
2
3
,
2
A
AB
AD
DC
BC
EC
AE
AF
，
，则下列表示正确的
是（
）
A．
1
1
2
6
AF
AB
AD
B．
2
1
3
3
AF
AB
AD
C．
1
1
3
3
AF
AB
AD
D．
2
2
3
3
AF
AB
AD
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】
因为
/ /
AB
CD ，
90 ,
2
2
3
,
2
A
AB
AD
DC
BC
EC
AE
AF
，
，
所以
1
1
1
2
1
2
1
1
1
=
=
+
+
=
+
2
2
2
3
2
3
2
3
3
AF
AE
AB BE
AB
BC
AB
AB
AD
AB
AB
AD
故选：C
考点五：向量共线定理及应用
1．判断下列各小题中的向量a
，b
是否共线：
(1)
3
a
e
，
3
2
b
e
；
(2)
1
2
2
2
a
e
e
，
1
2
b
e
e
（其中两个非零向量
1e
和
2e
不共线）；
(3)
2
3
a
e
，
5
3
2
b
a
e
.
【答案】(1)共线；
(2)共线；
(3)共线.
【分析】用向量共线定理判断.
【详解】（1）
3
a
e
，
3
2
b
e
，所以
2
a
b
，
所以a
，b
共线.
（2）
1
2
2
2
a
e
e
，
1
2
b
e
e
,
所以
2
b
a
，所以a
，b
共线.
（3）因为
2
3
a
e
，
5
3
2
b
a
e
，
所以
5
1
2
2
2
b
e
e
e
，
所以
4
3
a
b
.
所以a
，b
共线.
2．设
1e
，
2e
是两个不共线向量，若向量
1
2
3
5
a
e
e
与向量
1
2
3
b
me
e
共线，则m 的值等于（
）
A．
5
3
B．
9
5
C．
3
5
-
D．
5
9
【答案】B
【分析】由平面向量的共线定理可得a
b
，从而求出结果.
【详解】
a
b
∥，
存在实数，使得a
b
，
即
1
2
1
2
3
5
(
3
)
e
e
me
e
，
又
1e
，
2e
是不共线向量，
3
5
3
m
，
解得
9
5
m
.
故选：B.
3．设
1e
，
2e
是两个不共线的向量，若向量
1
2(
R)
m
k
e
e k
与向量
2
1
2
n
e
e
共线，则（
）
A．
0
k
B．
1
k
C．
2
k
D．
1
2
k
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理得存在实数，使m
n
，代入条件列式计算即可.
【详解】若向量
1
2(
R)
m
k
e
e k
与向量
2
1
2
n
e
e
共线，
则存在实数，使m
n
，
2
1
1
1
2
2
2
2
e
e
ke
e
e
e
，
1
2
k
，
解得
1
2
k
.
故选：D.
4．设
1e
，
2e
是两个不共线的向量，已知
1
2
2
AB
e
ke
，
1
2
3
CB
e
e
，
1
2
2
CD
e
e
，若三点A，B，D 共
线，则k 的值为（
）
A．－8
B．8
C．6
D．－6
【答案】A
【分析】先求出DB
，然后利用存在实数使AB
DB
，列方程求k 的值.
【详解】由已知得
1
2
1
2
1
2
3
2
4
D
CB
CD
e
e
e
e
e
B
e
，
三点A，B，D 共线
存在实数使AB
DB
1
2
1
2
1
2
2
4
4
e
ke
e
e
e
e
，
2
4
k
，解得
2
8
k
.
故选：A.
5．(多选)下列命题正确的的有（
）
A．( 5)(6 )
30
a
a
B．7(
)
6
7
13
a
b
b
a
b
C．若
,
3(
)
a
m
n b
m
n
，则,a b
共线
D．(
5 )
(
5 )
2
a
b
a
b
a
，则,a b
共线
【答案】ABC
【分析】根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D.
【详解】解：对于A，( 5)(6 )
( 5 6)
30
a
a
a
，故正确；
对于B，7(
)
6
7
7
6
7
13
a
b
b
a
b
b
a
b
，故正确；
对于C，因为
,
3(
)
a
m
n b
m
n
，所以
3
b
a
，所以,a b
共线，故正确；
对于D，因为(
5 )
(
5 )
2
a
b
a
b
a
恒成立，所以,a b
不一定共线，故错误.
故选：ABC.
6.（多选）已知4
3
AB
AD
AC
，则下列结论正确的是（
）
A．A，B，C，D 四点共线
B．C，B，D 三点共线
C．|
| |
|
AC
DB
D．|
| 3|
|
BC
DB
【答案】BD
【分析】由4
3
AB
AD
AC
可得3DB
BC
，从而可对ABD 进行判断，再对4
3
AB
AD
AC
变形化简可
对C 进行判断
【详解】因为4
3
AB
AD
AC
，所以3
3
AB
AD
AC
AB
，
所以3DB
BC
，
因为
,
DB BC
有公共端点B ，所以C，B，D 三点共线，且|
| 3|
|
BC
DB
，所以BD 正确，A 错误，
由4
3
AB
AD
AC
，得
3
3
3
AC
AB
AD
AB
DB
AB
，所以|
| |
|
AC
DB
，所以C 错误，
故选：BD
7．设a与b
是两个不共线向量，且向量a
b
与
2
b
a
共线，则
.
【答案】
1
2
【分析】利用向量共线的条件，列方程求的值.
【详解】依题意知向量a
b
与2a
b
共线，设
2
a
b
k
a
b
，
则有
1 2
0
k a
k
b
，所以
1 2
0
0
k
k
，解得
1
2
k
，
1
2
.
故答案为：
1
2
8．已知a，b
是两个不共线的向量，向量6b
ta
，
3
a
b
共线，则实数t 的值为
.
【答案】2
【分析】根据向量共线定理即可求解.
【详解】向量6b
ta
，
3
a
b
共线，所以存在实数，使得
6
3
6
3
b
ta
a
b
t a
b
=
，
由于a，b
是两个不共线的向量，所以
0
t
且6
3
0
，所以
2,
2
t
，
故答案为：2
9．已知向量a
，b
，c
中任意两个都不共线，并且a
b
与c
共线，b
c
与a
共线，那么a
b
c
r
r
r 等于（
）
A．a
B．b
C．c
D．0
【答案】D
【分析】根据向量共线定理即可得到相关方程组，解出即可.
【详解】∵a
b
与c
共线，∴存在实数
1，使得
1
a
b
c
.①
又∵b
c
与a
共线，
∴存在实数
2
，使得
2
b
c
a
.②
由①得，
1
b
c
a
.
∴
1
1
2
1
b
c
c
a
c
c
a
a
，
∴
1
2
1
0
1
即
1
2
1
1
.
∴
0
a
b
c
c
c
故选：D.
10．已知向量,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，则（
）
A．A，B，C 三点共线
B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线
D．B，C，D 三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，
易得
,
,
AB BC CD
互不共线，所以A，B，C 三点不共线，B，C，D 三点不共线，故AD 错误；
又
6
6
AC
AB
BC
a
b
，易得
,
AC CD
不共线，则A，C，D 三点不共线，故B 错误；
而
2
6
2
3
2
BD
BC
CD
a
A
b
a
B
b
，所以A，B，D 三点共线，故C 正确.
故选：C.
11．已知向量,a b
不共线，
3
m
a
b
，
2
n
a
xb
，m
n
∥
，则实数x
．
【答案】6
【分析】根据平面向量共线向量定理，得出m
n
，再由对应向量系数相等，即可求出.
【详解】因为m
n
∥
，所以
R ，m
n
，则
1
2
3
x
，解得
6
x ．
故答案为：6
12．已知平面向量a，b
，则“
/ /
a
b
”是“存在
R
，使得a
b
”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当
0
a
，
0
b
时，满足
/ /
a
b
，但不存在，使得a
b
；
当a
b
时，可得
/ /
a
b
；
所以“
/ /
a
b
”是“存在R ，使得a
b
”的必要不充分条件.
故选：A
13．已知不共线的向量,a b
，且
2
AB
a
b
，
5
6
BC
a
b
，
7
2
CD
a
b
，则一定共线的三点是（
）
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.
【详解】对A，
3
6
AD
AB
BC
CD
a
b
uuur
uuur
uuur
uuur
r
r,
所以
3
AD
AB
，则
,
,
A B D 三点共线，A 正确；
对B，
4
8
AC
AB
BC
a
b
,
则不存在任何
R
，使得AC
AB
，所以
,
,
A B C 不共线,B 错误；
对C，
2
4
BD
BC
CD
a
b
uuur
uuur
uuur
r
r ,
则不存在任何
R
，使得BD
BC
uuur
uuur
，所以
,
,
B C D 不共线，C 错误；
对D，
4
8
AC
AB
BC
a
b
,
则不存在任何
R
t
，使得CD
t AC
，所以
,
,
A C D 不共线，D 错误；
故选:A.
模块三：综合巩固
1.下列计算正确的个数是（
）
①
3
2
6
a
a
＝-
；②
2
2
3
a b
b a
a
+
-
-
=
；③
2
2
0
a
b
b
a
-
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】对于①
3
2
6
a
a
＝-
；故①正确，
对于②
2
2
3
a b
b a
a
＋
-
-
=
；故②正确，
对于③
2
2
0
a
b
b
a
-
，故③错误，
故选：C
2.已知m ，n 是实数，a
，b
是向量，则下列命题中正确的为（
）
①
m a
b
ma
mb
；②
m
n a
ma
na
；
③若ma
mb
，则a
b
；④若ma
na
，则m
n
．
A．①④
B．①②
C．①③
D．③④
【答案】B
【分析】①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.
【详解】对于①：根据数乘向量的法则可得：
(
)
m a
b
ma
mb
，故①正确；
对于②：根据数乘向量的法则可得：(
)
m
n a
ma
na
，故②正确；
对于③：由ma
mb
可得
(
)
0
m a
b
，当m＝0 时也成立，所以不能推出a
b
，故③错误；
对于④：由ma
na
可得(
)
0
m
n a
，当
0
a
，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故④错误；
故选：B
3．（多选）若,
a b
都是非零向量，且a
b
，则（
）
A．,
a b
方向相同
B．,a b
方向相反
C．a
b
D．
0
a
b
【答案】AC
【分析】根据相等向量的概念判断各选项即可.
【详解】由相等向量的概念可知，由,
a b
都是非零向量，且a
b
，
则,a b
方向相同，长度相等，故AC 正确，B 错误；
而
2
0
a
b
a
，故D 错误.
故选：AC.
4．若
3
2
2
4
0
x
x
a
x
a
b
a
，则x
.
【答案】4
3
b
a
【分析】由向量数乘运算律可得答案.
【详解】将题设等式展开并化简得：
3
4
0
x
a
b
，则
4
3
x
b
a
.
故答案为：4
3
b
a
5．已知
3
4
AB
BC
，若记AC
BA
，则
．
【答案】1
3
【分析】由向量的线性运算，求解的值.
【详解】
3
3
4
4
AB
BC
BA
AC
，
∴
4
4
3
3
BA
AC
AB
BA
，
则有
4
1
3
3
AC
BA
BA
BA
，∴
1
3
.故答案为：1
3
6．在ABC
中，
,
AB
c AC
b
，若点D 满足
1
2
BD
DC
，则AD
（
）
A．1
1
2
2
b
c
B．2
1
3
3
b
c
C．4
1
3
3
b
c
D．1
2
3
3
b
c
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】已知
1
1
,
,
2
3
AD
AB
BD BD
DC
BC BC
AC
AB
，
则
1
2
1
1
2
3
3
3
3
3
AD
AB
AC
AB
AB
AC
b
c
.
故选：D.
7．如图所示的ABC
中，点D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE
（
）
A．
1
1
3
6
AB
AC
B．
1
1
6
3
AB
AC
C．
5
1
6
3
AB
AC
D．
5
1
6
3
AB
AC
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
1
1
3
2
DE
DB
BE
CB
AB
1
1
1
1
3
2
6
3
AB
AC
AB
AB
AC
.
故选：B
8．在ABC
中，
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，则DE
（
）
A．
1
3
2
2
a
b
B．1
3
2
2
a
b
C．
1
3
2
2
a
b
D．1
3
2
2
a
b
【答案】A
【分析】先结合图形表示出
3
2
CE
CB
，
1
2
CD
CA
；再根据向量的减法运算即可解答.
【详解】
因为
2
,
2
,
,
AC
DC CB
BE CA
a CB
b
，
所以
3
2
CE
CB
，
1
2
CD
CA
.
所以
3
1
3
1
2
2
2
2
DE
CE
CD
CB
CA
b
a
.
故选：A
9．在ABC
中，已知
,
,
AB
a AC
b M
为AB 的中点，N 为CM 的中点，则BN
为（
）
A．1
3
2
4
a
b
B．1
3
2
4
b
a
C．3
1
2
2
a
b
D．3
1
2
2
b
a
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
1
1
1
2
2
2
BN
BM
BC
BM
BC
1
1
1
1
3
1
3
2
2
2
2
4
2
4
AB
AC
AB
AC
AB
b
a
.
故选：B
10．如图，在四边形ABCD 中，
2
,
2
DC
AB BE
EC
，设DC
a
，DA
b
，则DE
等于（
）
A．5
1
6
2
a
b
B．2
1
3
2
a
b
C．5
1
6
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为
2
,
2
DC
AB BE
EC
，
所以
1
1
1
3
3
3
DE
DC
CE
DC
CB
DC
DB
DC
DC
DA
AB
DC
2
1
1
2
1
1
5
1
3
3
3
3
3
6
6
3
DC
DA
AB
DC
DA
DC
a
b
.
故选：C
11．（多选）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃
采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该
图形中，下列说法正确的是（
）
A．
2 3
1
3
GH
BD
B．
3
2
BE
BD
CF
C．
3
1
3
2
GB
BD
CF
D．
3
3
3
1
6
4
IC
BD
CF
【答案】ACD
【分析】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案.
【详解】A 选项，由题知
1
3
BC
BD
，故
2 3
2
1
3
GH
GA
AE
EH
BC
BD
BD
，而GH
BD
∥
，
故A 正确；
B 选项，由题知
2
CF
DE
，
1
2
BE
BD
DE
BD
CF
，故B 错误；
C 选项，
3
1
3
2
GB
GA
AB
BD
CF
，故C 正确；
D 选项，因为IC
IB
BC
，
1
1
2
4
BC
BD
CF
，
3
3
3
3
IB
BF
BC
CF
3
1
3
3
3
3
2
4
6
4
BD
CF
BD
CF
，
故
3
3
3
1
6
4
IC
BD
CF
，故D 正确.
故选：ACD．
12.已知向量,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，则（
）
A．A，B，C 三点共线
B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线
D．B，C，D 三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为,a b
不共线，
3
AB
a
b
，
5
3
BC
a
b
，
3
3
CD
a
b
，
易得
,
,
AB BC CD
互不共线，所以A，B，C 三点不共线，B，C，D 三点不共线，故AD 错误；
又
6
6
AC
AB
BC
a
b
，易得
,
AC CD
不共线，则A，C，D 三点不共线，故B 错误；
而
2
6
2
3
2
BD
BC
CD
a
A
b
a
B
b
，所以A，B，D 三点共线，故C 正确.
故选：C.
13.已知
1e
，2e
是平面内两个不共线的向量，
1
2
4
2
A
e
B
e
，
1
2
B
e
e
C
，
1
2
1
CD
e
e
，且A，C，
D 三点共线，则（
）
A．1
2
B．2
C．4
D．1
4
【答案】D
【分析】根据已知求出
1
2
3
2
AC
e
e
.根据已知可得
,
AC CD
共线，进而得出AC
CD
，代入向量整
理得出方程组
3
0
2
0
，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，
1
2
3
2
AC
AB
BC
e
e
，
1
2
1
CD
e
e
.
因为A，C，D 三点共线，所以
,
AC CD
共线，
则
R
，使得AC
CD
，
即
1
2
1
2
1
3
2
e
e
e
e
，
整理可得
1
2
3
0
2
e
e
.
因为
1e
，
2e
不共线，
所以有
3
0
2
0
，解得
1
4
3
.
故选：D.
注意：利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，
需注意的是，在证明三点共线时，不仅要证明b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b 有公共点．
14.(1)已知e1，e2 是两个不共线的向量，若AB
―→＝2e1－8e2，CB
―→＝e1＋3e2，CD
―→＝2e1－e2，求证：A，B，
D 三点共线．
(2)已知A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP
―→＝x OA
―→＋y OB
―→，求证：x＋y＝1.
[证明]
(1)∵CB
―→＝e1＋3e2，CD
―→＝2e1－e2，
∴BD
―→＝CD
―→－CB
―→＝e1－4e2.
又AB
―→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴AB
―→＝2 BD
―→，∴AB
―→∥BD
―→.
∵AB 与BD 有交点B，∴A，B，D 三点共线．
(2)由于A，B，P 三点共线，所以向量AB
―→，AP
―→在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实
数λ使
AP
―→＝λ AB
―→，
即OP
―→－OA
―→＝λ( OB
―→－OA
―→)，
所以OP
―→＝(1－λ) OA
―→＋λ OB
―→，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
15.设e1，e2 是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
【答案】－
�
�
【解析】因为向量a 与b 共线，所以存在唯一实数μ，使b＝μa 成立．
即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，
又因为e1 与e2 不共线．
所以��−�= �，
�+ �= �，
解得λ＝－
�
�.
16.已知P，A，B，C 是平面内四点，且PA
―→＋PB
―→＋PC
―→＝AC
―→，则下列向量一定共线的是(
)
A. PC
―→与PB
―→
B. PA
―→与PB
―→
C. PA
―→与PC
―→
D. PC
―→与AB
―→
【答案】B
【解析】因为PA
―→＋PB
―→＋PC
―→＝AC
―→，所以PA
―→＋PB
―→＋PC
―→＋CA
―→＝0，即－2 PA
―→＝PB
―→，所以
PA
―→与PB
―→共线．故选B.
17．在平行四边形ABCD中，M 是AB 的中点，N 在对角线BD 上，且
2
3
DN
DB
，求证：
,
,
M N C 共线
【答案】证明见解析
【分析】证明向量MN
和MC
有倍数关系即可.
【详解】证明：设
,
,
AB
a AD
b
则
1
1
1
1 (
)
2
3
2
3
MN
MB
BN
AB
BD
AB
AD
AB
1
1
1
1
=
,
6
3
6
3
AB
AD
a
b
1
1
,
2
2
MC
MB
BC
AB
AD
a
b
所以
1
,
3
MN
MC
故
,
,
M N C 共线.
18．判断三点是否共线.
(1)已知两个非零向量
1e
和
2e
不共线，
1
2
2
3
AB
e
e
，
1
2
6
23
BC
e
e
，
1
2
4
8
CD
e
e
.求证：A，B，D 三
点共线.
(2)已知任意两个非零向量a
，b
，求作OA
a
b
，
2
OB
a
b
，
3
OC
a
b
.试判断A，B，C 三点之间的
位置关系，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)A，B，C 三点共线，理由见解析
【分析】根据向量共线定理判断.
【详解】（1）
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
6
23
4
8
12
18
6
AD
AB
BC
CD
e
e
e
e
e
e
e
e
AB
，
所以
//
AD AB
，
又因为
,
AD AB
有公共起点A ，故A，B，D 三点共线.
（2）
,
2
AB
OB
OA
b AC
OC
OA
b
，
所以
//
AB AC
uuur uuur ，
又因为
,
AB AC
有公共起点A ，故A，B，C 三点共线.
19.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点.
（1）若点O 满足2
0
OA
OB
OC
，求证：AO
OD
；
（2）已知E 为AC 边中点，O 在线段DE 上，且满足
2
3
0
OA
OB
OC
，△BOC 的面积为2，求△ABC 的
面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）面积为12.
【分析】（1）根据D 为BC 的中点，从而根据向量加法的平行四边形法则得到
2
OB
OC
OD
，从而得到
2
2
0
OA
OD
，这便可得出AO
OD
；
（2）同上
2
OA
OC
OE
，从而得到
2
OE
DO
，进一步便可得到AB=6DO，从而有S△ABC=6S△BOC，这
样便可得出△ABC 的面积.
【详解】（1）∵D 为BC 边中点；
∴
2
OB
OC
OD
；
∴由2
0
OA
OB
OC
得，2
2
0
OA
OD
；
∴AO
OD
；
（2）如图，
根据条件：
2
3
2
OA
OB
OC
OA
OC
OB
OC
2
4
OE
OD
0
；
∴
2
OE
DO
，∴DE=3DO；
又AB=2DE，∴AB=6DO，
所以
1
4
4 3
12
6
6
2
12
2
ABC
CDE
CDO
BOC
BOC
S
S
S
S
S
△
△
△
△
△
，
即△ABC 的面积为12.
20.如图，已知点G 是ABC
的重心，若PQ过ABC
的重心G ，且AB a
= ，AC
b
，AP
ma
，AQ
nb
（
0
m
0
n
），试求
2
m
n
的最小值．
【答案】
2 2
1
3
【分析】根据重心的几何性质和三点共线的向量表示，依据线段长的比例进行运算即可.
【详解】∵G 是ABC
的重心，∴AD 是BC 边上的中线，
2
AG
GD
，
∴
1
1
2
2
AD
AB
AC
a
b
，
∴
2
2
1
1
3
3
2
3
AG
AD
a
b
a
b
，
又∵AP
ma
，AQ
nb
（
0
m
，
0
n
），∴
1
a
AP
m
，
1
b
AQ
n
，
∴
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
AG
a
b
AP
AQ
AP
AQ
m
n
m
n
，
又∵P ，Q ，G 三点共线，
∴1
1
3
1
3m
n
.
又∵
0
m
，
0
n
，∴由基本不等式，有
1
1
2
2
2 2
2
2
1
1
2
1
3
3
3
3
3
3
3
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
，
当且仅当2
3
3
n
m
m
n
，即
1
2
3
m
，
2
2
6
n
时，等号成立，
∴
2
m
n
的最小值为
2 2
1
3
.
