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第 34 讲 平面向量的概念与线性运算
1、 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2、向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝ b ＋ a ，结合律(a＋b)＋c＝ a ＋ (b ＋ c) ．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当a＝0时，λa＝0；
当λ＝0时，λa＝0．
(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：
①λ(μa)＝ ( λμ )a ；
②(λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
③λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b ．
3、 向量共线定理：
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且
只有一个实数λ，使b＝ λ a ．
1、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB=
（ ）
A．3⃗m−2⃗n B．−2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n
【答案】B
【解析】
因为点D在边AB上，BD=2DA，所以⃑BD=2⃑DA，即⃑CD−⃑CB=2(⃑CA−⃑CD)，
所以⃑CB= 3⃑CD−2⃑CA=3⃑n−2⃑m =−2⃗m+3⃗n．
故选：B．
2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
故选：C
1、在下列命题中，真命题的是 ．（填序号）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
【答案】 ①③⑤
【解析】 由定义知①正确；零向量的方向是任意的，故②不正确；③，⑤显然正确，④不正确．
2、 如图，已知AB＝a，AC＝b，DC＝3BD，AE＝2EC，则DE等于( )
A. b－a
B. a－b
C. a－b
D. b－a
【答案】 D
【解析】 由题意，得DE＝DC＋CE＝BC＋＝（AC－AB）－AC＝－AB＋AC＝－a＋b.
3、已知MP＝4e＋2e，PQ＝2e＋te，若M、P、Q三点共线，则t＝( )
1 2 1 2
A. 1 B. 2 C. 4 D. －1
【答案】A
【解析】 ∵M、P、Q三点共线，则MP与PQ共线，∴MP＝λPQ，即4e＋2e＝λ(2e ＋te)，
1 2 1 2
得解得t＝1. 故选A.
4、已知AB＝a＋5b，BC＝－3a＋6b，CD＝4a－b，则( )
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
【答案】 A
【解析】 由题意得BD＝BC＋CD＝a＋5b＝AB，又BD，AB有公共点B，所以A，B，D三点共线.考向一 平面向量的有关概念
例1、给出下列命题，正确的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
【答案】 B
【解析】 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的
起点和终点；
B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为
平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，
而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
变式1、给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；
⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的命题是 ．（填序号）
【答案】 ①②③⑥
【解析】 若两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，
故①错误；若|a|＝|b|，则a与b大小相等，但a与b的方向不确定，所以a，b不一定相等，故②错误；若
AB＝DC，则A，B，C，D四点有可能在一条直线上，故③错误；④，⑤显然正确；零向量与任一向量平
行，故当b＝0时，a与c不一定平行，故⑥错误．
变式2、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
A F
（1）与 相等的向量有 ；
a
B E
O
（2）与 相等的向量有
；
b
C D与 共线的向量有
（3） ．
答案：（1） ， ， ；（2） ；
（3） ．
方法总结：向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考向二 向量的线性运算
例2、如图，在△ABC中，＝＝，若DE＝λCA＋μCB，则λ＋μ＝ .
【答案】
【解析】 由题意，得DE＝DA＋AE＝CA＋AB＝CA＋（CB－CA）＝CA＋CB.又DE＝λCA＋μCB，所以λ＝
μ＝，λ＋μ＝.
变式1、（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE等于( )
A.AB－AC B.AB＋AC
C.AB－AC D.AB＋AC
【答案】（1）A （2）A
【解析】 1．作出示意图如图所示．
EB＝ED＋DB＝AD＋CB
＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)
＝AB－AC.故选A.
2．因为DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，
所以E是AC的中点，
可得DE＝DA＋DC＝(DC＋CA)＋DC＝DC－AC＝AB－AC，故选A.
变式2、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA＋
OB＋OC＋OD＝ ．（用OM表示）
【答案】 4OM
【解析】 因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，所
以OA＋OB＋OC＋OD＝4OM.
方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平
行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考向三 共线定理的应用
例3、设两个非零向量a与b不共线．
(1) 若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
【解析】 (1) 由题意，得BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共线．
又因为有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2) 因为ka＋b与a＋kb同向，所以存在实数λ(λ＞0)，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a，b是不共线的两个非零向量，
所以解得或
又因为λ＞0，所以k＝1.
变式1、如图，在△ABC中，D是BC上靠近点B的四等分点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别
靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.
(1) 试用a，b表示BC，AD，BE；
(2) 证明：B，E，F三点共线．
【解析】 (1) 由题意，得BC＝AC－AB＝b－a.
AD＝AB＋BD＝AB＋BC ＝AB ＋（AC －AB ）＝a＋(b－a)＝a＋b；
BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.
(2) 因为BE＝－a＋b，BF＝BA＋AF＝－AB＋AD＝－a＋（a＋b）＝－a＋b＝＝BE，
所以BF与BE共线．
又BF与BE有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
变式2、如图，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b
表示OM.【解析】 设OM＝ma＋nb，则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD＝OD－OA＝OB－OA＝－a＋
b.又∵A、M、D三点共线，
∴AM与AD共线．∴存在实数t，使得AM＝tAD，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋b)．
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵CM＝OM－OC＝ma＋nb－a
＝(m－)a＋nb，CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线．
∴存在实数t ，使得CM＝tCB，∴(m－)a＋nb＝t(－a＋b)，∴消去t 得，4m＋n＝1②.由①②得m
1 1 1 1
＝，n＝，∴OM＝a＋b.
方法总结：利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量
⇔
共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1、 已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋2b，AC＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ的值为( )
A. －1
B. －2
C. －2或1
D. －1或2
【答案】 D
【解析】 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一一个实数μ，使得AB＝μAC，即λa＋2b＝μ[a＋(λ－1)b]，
所以解得λ＝－1或λ＝2.
2、.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.AB－AC＝BC
B.AB＋BC＋CA＝0
C.若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形
D.若AC·AB＞0，则△ABC为锐角三角形
【答案】 BC
【解析】 由向量的运算法则知AB－AC＝CB；AB＋BC＋CA＝0，故A错，B对；
∵(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，
∴AB2＝AC2，即AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故C对；
∵AC·AB＞0，
∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．
故选BC.
3、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为
BC边上一点，且 ，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵ ，∴ ，
∴ ，又F为AE的中点，∴ ，B对；
∴ ，C对；
∴ ，D错；
故选：ABC．
4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 如图在梯形 中， ， ，设 ，
，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 .
故选：D.
