3.4双曲线的简单几何性质（原卷版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_圆锥曲线PDF矢量版_原卷版+解析版

3.4 双曲线的简单几何性质
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：双曲线的几何性质.......................................................... 2
考点二：等轴双曲线与共轭双曲线..................................................3
考点三：直线与双曲线的位置关系..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：双曲线的几何性质.......................................................... 4
题型二：由双曲线几何性质求标准方程............................................6
题型三：求双曲线离心率的值....................................................... 8
题型四：双曲线离心率范围问题...................................................10
题型五：双曲线渐进线相关问题...................................................12
题型六：直线与双曲线的位置关系................................................13
题型七：直线与双曲线的交点及弦长.............................................15
题型八：双曲线的“中点弦”问题................................................17
题型九：双曲线的实际应用........................................................ 19
题型十：双曲线的综合问题........................................................ 22
模块三：综合巩固....................................................................... 25
3.4 双曲线的简单几何性质
模块一：基础知识
考点一：双曲线的几何性质
1.双曲线的几何性质
标准方程
x
2
a
2－y
2
b
2＝1(a>0，b>0)
y
2
a
2－x
2
b
2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±b
a
x
y＝±a
b
x
离心率
e＝c
a
，e∈(1，＋∞)
a，b，c 的关系
c
2＝a
2＋b
2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
通径
垂直焦点所在轴并经过焦点与双曲线的弦长：
2.双曲线离心率理解
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比
，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为
=
，所以e 越大，
越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=
.
3.双曲线离心率的求法
(1)直接求出a, c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c 的齐次方程(或不等式)，借助于
消去b，转化为含有e 的方程(或不等式)
求解.
(3)离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2+b2
a2
=
a2
a2 +
b2
a2 =
1 +
b2
a2【
b
a一般与渐近线相关】
4.双曲线渐近线求法
根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”
改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
考点二：等轴双曲线与共轭双曲线
1.等轴双曲线的性质
在双曲线中，若

a
b ，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
（1）离心率：等轴双曲线的离心率为：
2

e
；
（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：

y
x ；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和
135°．
2.共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




与
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
a
b
b 



是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）一对共轭双曲线有相同的渐进线；
（2）一对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线x
a

及y
b

的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心
为坐标原点，半径为c（半焦距）；
（4）由于
1
c
e
a

，
2
c
e
b

，则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
a
b
e
e
c
c




，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的
倒数的平方和等于常数1．
考点三：直线与双曲线的位置关系
1．直线与双曲线的位置关系
(1)研究直线与双曲线的位置关系：
一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组
的解的个数进行判断.
①代入②得
.
当
=0，即
时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当
0，即
时，
=
.
>0
直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
=0
直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
<0
直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.
(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：
①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件
；
②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件
> 0
�1 + �2 < 0
�1�2 > 0
；
③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件
Δ > 0
�1�2 < 0.
2.双曲线与弦长问题
（1）弦长公式：若直线:l y
kx
m


与双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b

（
0
a 
，
0
b 
）交于


1
1
,
A x y
，

2
2
,
B x
y
两点，
则
2
1
2
1
A
k
B
x
x



或
1
2
2
1
1
AB
y
y
k



（
0
k 
）．
（2）注意：
①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
③双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论
焦点在x 轴上还是在y 轴上，双曲线的通径总等于
.
3．中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的
这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转化为能用韦达定理直接代换的
.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
4．双曲线的第二定义
平面内，当动点M 到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=
(e>1)
时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心
率.
模块二：题型分类
题型一：双曲线的几何性质
1．已知双曲线
2
2
:
1
9
7
y
x
C

，则下列选项中不正确的是（
）
A．C 的焦点坐标为

4,0

B．C 的顶点坐标为

0, 3

C．C 的离心率为4
3
D．C 的虚轴长为2 7
2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图：
(1)
2
2
1
4
9
x
y

；
(2)
2
2
1
9
4
y
x

．
3.若双曲线
2
2
2
1
1
x
y
m



的实轴长为4 ，则正数m （
）
A．
3
B．2
C．9
4
D．7
2
4.双曲线
�2
9 −
�2
3 = 1 的渐近线方程是（
）
A．�=±
3
3 �
B．�=±
1
3 �
C．�=±
3�
D．�=± 3�
5.若双曲线
2
2
1
mx
y

的虚轴长与实轴长相等，则m 的值为（
）
A．4
B．4

C．1

D．1
6．双曲线
2
2
1
x
y
m

的实轴长是虚轴长的3 倍，则m 的值为（
）
A．9
B．－9
C．1
9
D．
1
9

7.已知双曲线
�2
�2 −
�2
4 = 1 �> 0 的两条渐近线的夹角为
π
3，则a 为（
）
A．
2 3
3
B．2
C．
2 3
3 或2 3
D．2 3
8．已知F 为双曲线C：
2
2
1
3
y
x 
的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（
）
A．
3
B．3
C．2
D．1
9.已知双曲线
2
2
1
9
16
x
y

与
2
2
1
16
9
y
x

，下列说法正确的是（
）
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
10．设双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b


(
0
a 
，
0
b 
)的虚半轴长为1，半焦距为
3 ，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x

B．
2
y
x

C．
1
2
y
x

D．
2
2
y
x

11.曲线
2
2
1
10
6
x
y
m
m




（
6
m 
）与曲线
2
2
1
5
9
x
y
n
n




（5
9
n


）的（
）
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．顶点相同
12.已知双曲线C：�2 −
�2
�2 = 1 �> 0 ，直线�=−�与双曲线C 的两条渐近线交于A，B 两点，O 为坐标原
点，若△���为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（
）
A．2
B．3
C．2
D．4
13.求双曲线�2 −2�2 = 1 的焦点坐标和渐近线方程.
题型二：由双曲线几何性质求标准方程
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为
5
4；
(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点−5,3 ；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±
3
2x.
2．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
y
x
C a
b

的一条渐近线斜率为2
，实轴长为4，则C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y 

B．
2
2
1
4
16
y
x


C．
2
2
1
4
y
x


D．
2
2
1
16
4
y
x


3.过点

4,
3

且与双曲线
2
2
1
4
3
x
y

有相同渐近线的双曲线方程是（
）
A．
2
2
1
12
9
y
x


B．
2
2
1
12
9
x
y


C．
2
2
1
9
12
y
x


D．
2
2
1
9
12
x
y


4．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
4
9
x
y


B．
2
2
1
9
4
x
y


C．
2
2
1
16
9
x
y


D．
2
2
1
9
16
x
y


5.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的离心率为5
3 ，且双曲线C 上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线C
的方程为（
）
A．
2
2
1
3
4
x
y


B．
2
2
1
9
16
x
y


C．
2
2
1
16
9
x
y


D．
2
2
1
34
9
x
y


6．已知双曲线C 过点

1,2 ，且与双曲线
2
2
1
2
y
x 
有共同的渐近线，则双曲线C 的方程为
.
7．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过

7, 6 2
A 

、

2 7,3
B
两点．
(2)过点

2,2
P 
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y

有相同焦点双曲线方程.
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与椭圆
2
2
1
25
16
y
x

有公共焦点，且过点

2, 10

；
(2)焦点在y 轴上，焦距为8，渐近线斜率为
1
3

；
(3)离心率
2
e 
，且经过点


5,3
P 
；
(4)经过点

4,3 ，且一条渐近线的方程为
1
2
y
x

．
9．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
①顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，
5
4
e 
；
②渐近线方程是
2
y
x

，虚轴长为4.
10.若双曲线�1与双曲线�2:
�2
7 −�2 = 1 有相同的焦距，且�1过点3,1 ，则双曲线�1的标准方程为（
）
A．
�2
6 −
�2
2 = 1
B．
�2
9−73 −
�2
73−1 = 1
C．
�2
6 −
�2
2 = 1 或
�2
9−73 −
�2
73−1 = 1
D．
�2
6 −
�2
2 = 1 或�2 −
�2
3 = 1
11.双曲线
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0，�> 0)的左、右焦点分别为�1、�2. �是双曲线右支上一点，且直线��2的斜率
为2．△��1�2是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（
）13723366289
A．
�2
8 −
�2
2 = 1
B．
�2
8 −
�2
4 = 1
C．
�2
2 −
�2
8 = 1
D．
�2
4 −
�2
8 = 1
题型三：求双曲线离心率的值
1.若双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的右焦点为�2,0 ，且点�2,0 到双曲线�的一条渐近线的距离为1，
则双曲线�的离心率为（
）
A．2
B．3
C．
2 3
3
D．2 3
2.已知双曲线


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的一条渐近线的倾斜角为π
3 ，则此双曲线的离心率e为（
）
A．2
B．2 3
3
C．2 或2 3
3
D．
3 或2
3.若双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的一条渐近线被圆�+ 2 2 + �2 = 4 所截得的弦长为2 3，则�的离
心率为（
）
A．3
B．
2 3
3
C．2
D．
3 2
2
4.如图，已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b




的右焦点为F ，过原点的直线l 与E 交于
,
A B 两点，A 在第
一象限，延长AF 交E 于多一点C ，若BF
AC

且
4
AC
AF

，则E 的离心率为（
）
A．
10
2
B．10
3
C．17
2
D．
17
3
5.双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点M 是双曲线左支上一点，
1
2
90
F MF


，直
线
2
MF 交双曲线的另一支于点N ，
2
2
MN
NF

，则双曲线的离心率（
）
A．3
B．9
C．5
D．2
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的右焦点为F ，过F 作双曲线的一
条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 与另一渐近线交于点N ，若M 是FN 的中点，则双曲线的离心率
为（
）
A．
2
B．2
C．
3
D．3
7．已知坐标平面xOy 中，点
2
F 为双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
C
y
a
a 


的右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，
2
MF 与
双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为
2
MF 的中点，点I 为
2
OMF
△
的外心，若O、I 、D 三点共线，则
双曲线C 的离心率为（
）
A．
2
B．3
C．5
D．5
8．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 作一条直线与双曲线右支交于
,
A B 两
点，坐标原点为O，若
2
2
1
|
|
,|
| 5
OA
a
b
BF
a



，则该双曲线的离心率为
.
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)，如图，过�的右焦点�作直线与�的两条渐近线分别交于点�, �，
与�轴交于点�，若��⊥��，且
��
��=
3
2，则�的离心率为（
）
A．2
B．3
C．2
D．2 3
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
1F 斜率为4
3 的直线与C 的右支交于点
P ，若线段
1
PF 与y 轴的交点恰为
1
PF 的中点，则C 的离心率为（
）
A．1
3
B．2 3
3
C．2
D．3
11．设
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的左､右焦点，过点
1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .
若
2
3
MF
b

，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
3
B．
3
3
C．3
D．5
12．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




，直线y
a

与双曲线C 交于M，N 两点，直线y
b
与双曲线C
交于P，Q 两点，若|
|
2 |
|
MN
PQ

，则双曲线C 的离心率等于
．
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过双曲线C 上一点P 向y 轴作垂线，垂
足为Q ，若
1
2
PQ
F F

且
1
PF 与
2
QF 垂直，则双曲线C 的离心率为
.
题型四：双曲线离心率范围问题
1.双曲线C ：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的左、右焦点为
1F ,
2
F ，若点P 在双曲线右支上,且
1
2
7
PF
PF

，则双
曲线C 离心率的值不可能是（
）
A．6
5
B．5
4
C．4
3
D．3
2
2．已知斜率为2
2 的直线l 过双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b

（
0,
0
a
b


）的右焦点，若直线l 与双曲线的左、右两
支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是
．若直线l 与双曲线的一支相交，则双曲线的离心
率e 的取值范围是
．
3.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的左右焦点分别为�1, �2，过�2的直线与双曲线的右支交于�, �两
点，若△���1的周长为10�，则双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
6
2 , + ∞
B．
10
2 , + ∞
C．1,
6
2
D．1,
10
2
4.已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b

（
0
a 
，
0
b 
）的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，M 为双曲线右支上的一点，若M
在以
1
2
F F 为直径的圆上，且
2
1
π 5π
,
3 12
F
MF






，则该双曲线离心率的取值范围为（
）
A．

1, 2
B．

2,
C．

1, 3
1

D．

2, 3
1

5.设双曲线
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b




的离心率为e ，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于
2
2
，则e的取值范围是
（
）
A．
6 ,
2










B．
6
1, 2








C．
6 , 3
2








D．
6
0, 2








6．双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b

（
2
a 
，
0
b 
）的焦距为


2
0
c c 
，已知点


,0
A a
，

0,
B
b ，点

2,0 到直线AB 的
距离为
1d ，点

2,0

到直线AB 的距离为
2
d ，且
1
2
4
5
d
d
c


，则双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
2 ,
2
2






B．
5 , 5
2






C．
10 , 10
2






D．
3,2 3




7．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 为C 右支上一点，
1
PF 与C 的左
支交于点Q .若
2
|
|
|
|
PQ
PF

，则C 的离心率的取值范围是（
）
A．(1,3]
B．(2,3]
C．( 5,3]
D．(2, 7]
8.已知点
1F ，
2
F 分别是双曲线


2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b



的左右焦点，O为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且
满足
1
2
2
F F
OP

，
2
1
tan
4
PF F


，则双曲线C 的离心率的取值范围是（
）
A．1,17
9






B．17 ,
9





C．
17 ,
3







D．
17
1,
3






9.已知双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的上、下焦点分别为�1，�2，P 是C 上支上的一点（不在y 轴上），
��2与x 轴交于点A，△���1的内切圆在边��1上的切点为B，若��> 2�，则C 的离心率的取值范围是
（
）
A．(1,
5
2 )
B．(
5
2 , + ∞)
C．(1,
3
2 )
D．(
3
2 , + ∞)
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的右焦点为

2 6,0
F
，点A 坐标为

0,1 ，点P 为双曲线左支上的
动点，且APF

的周长不小于18，则双曲线C 的离心率的取值范围为
.
11．设点F 为双曲线
2
2
:
1
1
3
x
y
C m
m




的左焦点，经过原点O 且斜率
3
k 
的直线与双曲线C 交于A､B
两点，AF 的中点为P，BF 的中点为Q.若OP
OQ

，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是
.
12．曲线

2
:
1
0
x
D
y
m
m




且
1
m 
过定点,
P Q ，点
,
P Q 在椭圆


2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b




上，设椭圆C 的
左右焦点为
1
2
,
F F ，若
1
2
8
PF
QF

，则该椭圆的离心率取值范围是
．
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




，点B 的坐标为(0, )
b ，若C 上的任意一点P 都满足PB
b

，则C
的离心率取值范围是
．
题型五：双曲线渐进线相关问题
1.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的离心率为6，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．�=±
5�
B．�=±
6�
C．�=±
5
5 �
D．�=±
6
6 �
2.已知双曲线��2 −�2 = 1 的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．�=± 2�
B．�=±
1
2 �
C．�=±
2�
D．�=±
2
2 �
3.已知双曲线�:
�2
3�+2 −
�2
�= 1(�> 0)的实轴长等于虚轴长的2 倍，则�的渐近线方程为（
）
A．�=±
1
2 �
B．�=±
2
2 �
C．�=± 2�
D．�=±
2�
4.双曲线
2
2
1
3
6
x
y
m
m

的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x

B．
2
2
y
x

C．
2
y
x

D．
1
2
y
x

5.已知双曲线
2
2
1 :
1(
0)
4
x
y
C
m
m



与双曲线
2
2
2 :
1(
0)
2
y
x
C
m
m



有共同的渐近线，则m （
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．4
6．已知
1
2
,
F F 分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b

的左、右焦点，点M 在E 上，
1
2
2
1
:
:
2: 3: 4
F F
F M F M 
，则双曲
线E 的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x

B．
1
2
y
x

C．
3
y
x

D．
3
3
y
x

7．过原点的直线l 与双曲线E：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




交于A，B 两点（点A 在第一象限），AC
x

交x
轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D，且
1
AB
AD
k
k

，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x

B．
1
2
y
x

C．
2
y
x

D．
2
2
y
x

8.已知双曲线�：
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0，�> 0)的左、右焦点分别�1，�2．�是�上一点(在第一象限)，直线��2
与轴�交于点�，若��1 ⊥��1，且3 ��2 = 2 �2�，则�的渐近线方程为（
）
A．�=±
2 5
5 �
B．�=±
5
2 �
C．�=±
5
5 �
D．�=±
5�
9.已知
1
2
,
F F 为双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b




的左、右焦点，过
2
F 的直线l 与双曲线的渐近线交于A、B
两点，满足A，B 均在y 轴右侧，且
1
ABF

为正三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（
）
A．
2 3
3
x
y

B．
2 3
3
y
x

C．
2
y
x

D．
2
x
y

10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




虚轴的一个顶点为D，
1
2
,
F F 分别是C 的左，右焦点，直线
2
x
a

与
C 交于A，B 两点．若
ABD
△
的重心在以
1
2
F F 为直径的圆上，则C 的渐近线方程为（
）
A．
7
8
y
x

B．
8
7
y
x

C．
2 14
7
y
x

D．
14
4
y
x

11．设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在
第一象限分别交于
,
A B 两点，O为坐标原点，若


1
2
OA
OF
OB





，则双曲线C 的渐近线方程
为
.
12．（多选）已知椭圆


2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b




与双曲线
2
2
2 :
1
4
y
C
x 
有公共的焦点，
2
C 的一条渐近线与
以
1
C 的长轴为直径的圆相交于
,
A B 两点，若
1
C 恰好将线段AB 三等分，则（
）
A．
2
11
2
a 
B．
2
8
a 
C．
2
1
2
b 
D．
2
3
b 
13．已知F1，F2 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的左、右焦点，P 为双曲线C 上的动点，
1
2
10
F F 
，
1
2
8
PF
PF


，点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离分别为
1d ，
2
d ，则
1
2
d d

＝
．
题型六：直线与双曲线的位置关系
1．讨论直线y
x
b


与双曲线
2
2
1
x
y

的公共点的个数．
2.直线3
4
0
x
y


与双曲线
2
2
1
9
16
y
x

的交点个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.已知直线�: �= 2�−8，双曲线�:
�2
4 −�2 = 1，则（
）
A．直线�与双曲线�有且只有一个公共点
B．直线�与双曲线�的左支有两个公共点
C．直线�与双曲线�的右支有两个公共点
D．直线�与双曲线�的左右两支各有一个公共点
4.双曲线
2
2
1
9
4
x
y

与直线


2
3
y
x
m m


R 的公共点的个数为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1 或2
5.过点


1,2
P 
的直线l 与双曲线
2
2
1
4
x
y

的公共点只有1 个，则满足条件的直线l 有（
）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
6．直线
1
y
kx

与双曲线
2
2
1
x
y

有且只有一个公共点，则实数k 
．
7.过双曲线�：�2 −
�2
3 = 1 左焦点为�和点�0,2 3 直线�与双曲线�的交点个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．若直线l 与单位圆（圆心在原点）和曲线
2
2
1
4
8
x
y

均相切，则直线l 的一个方程可以是
9.若直线�: �+ ��−�−2 = 0 与曲线
�2
4 −�2 = 1 有且只有一个交点，则满足条件的直线�有（
）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
10．已知双曲线
2
2
4
x
y


，直线


:
1
l y
k x


，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k 的范
围
．
11.如果直线l 经过双曲线
2
2
9
4
36
x
y


的中心，且与该双曲线不相交，则l 的斜率的取值范围是（
）
A．
3 3
,
2 2







B．
3
3
,
,
2
2















C．
3
0, 2






D．
3 ,0
2







题型七：直线与双曲线的交点及弦长
1.过双曲线
�2
3 −
�2
6 = 1 的右焦点�2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B 两点，则��的值为（
）
A．
4
5
3
B．
8
5
3
C．
16
5
3
D．
32
5
3
2．已知双曲线C ：
2
2
1
3
x
y

，若直线l 的倾斜角为60°，且与双曲线C 的右支交于M，N 两点，与x 轴
交于点P，若
3
2
MN 
，则点P 的坐标为
.
3．双曲线
2
2
2
2
1(
0
0)
y
x
a
b
a
b




，
的一条渐近线方程为
3
3
y
x

，过焦点且垂直于y 轴的弦长为6．
(1)求双曲线方程；
(2)过双曲线的下焦点作倾角为45的直线交曲线于M 、N ，求MN 的长．
4．已知双曲线C 离心率为
3 ，且过

3,0 点，过双曲线C 的右焦点
2
F 且倾斜角为π
3 的直线l 交双曲线于
,
A B 两点，O为坐标原点，
1F 为左焦点.
(1)写出直线l 的方程；
(2)求双曲线的标准方程；
(3)求AOB

的面积.
5．已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b




，焦点到渐近线的距离为
3 ，且离心率为
7
2
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)直线:
3
l y
kx

与双曲线交于
,
M N 两点，若
16 3
MN 
，求k 的值．
6．已知双曲线C 经过点

2,
2
P

，且其两条渐近线相互垂直．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点


0,2
Q
的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E
F
、
，若OEF

的面积为2 2 （O为坐标原点），求
直线l 的方程．
7．已知圆


2
2
:
3
16
M
x
y



，圆


2
2
:
3
4
N
x
y


，圆P 与圆M，圆N 都外切，圆P 的圆心的轨迹记为
Q．
(1)求Q 的方程；
(2)若直线:
3
4
l y
x


与Q 交于A，B 两点，求AB ．
8．已知双曲线


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的焦距为6，且虚轴长是实轴长的
2 倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为π
4 的直线l 与双曲线交于A，B 两点，求AB .
9.过双曲线
2
2
4
x
y


的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B 两点，则弦长AB 
．
10.已知双曲线
2
2
:
1
3
x
C
y

，直线:l y
x
m


被C 所截得的弦长为4 6 ，则m 
．
11.已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y

的右焦点为F，过F 的直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，若AB
4

，则这样
的直线l 有（
）
A．0 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
12.已知�是双曲线�: �2 −
�2
3 = 1 的左焦点，过点�的直线与�交于�, �两点（点�, �在�的同一支上），且
��= 2 ��，则��=（
）
A．6
B．8
C．
13
2
D．
27
4
13.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的左焦点为�1，圆�: �2 + �2 = �2.若过�1的直线分别交�的左、右
两支于A，B 两点，且圆�与�1�相切，�的离心率为3, �1到�的渐近线的距离为2 2，则|��| =（
）
A．
32
7
B．
30
7
C．
20
7
D．
16
7
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点




1
2
1
2
5,0 ,
5,0 ,
4
F
F
MF
MF



，动点M 的轨迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)若直线
3
:
4
l y
x
t

交C 于
,
A B 两点，且
2 11
AB 
，求直线l 的方程．
题型八：双曲线的“中点弦”问题
【部分小题可参照双曲线中点弦斜率二级公式快速求解】
1.直线l 与双曲线�2 −
�2
9 = 1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为点�−1, −4 ，则直线l 的斜率为（
）
A．−
4
9
B．
4
9
C．−
9
4
D．
9
4
2.直线�与双曲线�2 −
�2
4 = 1 交于�、�两点，线段��的中点为�(3,2)，则直线�的斜率为(
)
A．3
B．6
C．8
D．12
3.设A，B 为双曲线
2
2
1
8
16
x
y

上的两点，若线段AB 的中点为


1,2
M
，则直线AB 的方程是（
）
A．
3
0
x
y



B．2
3
0
x
y



C．
1
0
x
y


D．
2
3
0
x
y



4．过点


2,1
P
的直线l 与双曲线
2
2
1
3
y
x 
相交于
,
A B 两点，若P 是线段AB 的中点，则直线l 的方程是（
）
A．6
11
0
x
y



B．6
13
0
x
y



C．2
3
1
0
x
y


D．3
2
4
0
x
y



5.已知双曲线
2
2
: 2
2
C
x
y


，过点
(1,2)
P
的直线l 与双曲线C 交于M､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则
弦长|MN|等于（
）
A．4 2
3
B．3 3
4
C．4 3
D．4 2
6.直线
1
y
x

被双曲线
2
2
2
1
x
y

所截得的弦的中点坐标是
.
7．不与x 轴重合的直线l 过点N（
N
x ,0）（xN≠0），双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b

＝（a＞0，b＞0）上存在两点A、B
关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为
M
x ．若
4
N
M
x
x

，则C 的离心率为
．
8．已知




2,0 ,
2,0
A
B

，直线
,
AM BM 相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点


2,3
N
能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P，Q，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m
的方程；若不能，说明理由．
9．已知双曲线
2
2
:
1
2
y
C x 
，过点

0,1
A
作直线l 交双曲线于
1P ，
2P ，若线段
1
2
PP 的中点在直线
1
2
x 
上，
求直线l 的斜率．
10．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为

7,0
F
，直线
1
y
x

与其相交于M 、N 两点，线段
MN 中点的横坐标为
2
3

，求此双曲线的方程．
题型九：双曲线的实际应用
1.江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10 米，水面宽��= 20 5米，若
水面上升5 米，则水面宽为（
）
A．10 2米
B．15 2米
C．12 3米
D．30 米
2．如图，B 地在A 地的正东方向4km处，C 地在B 地的北偏东30方向2km处，河流的沿岸PQ （曲线）
上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B、C 两地转运
货物．经测算，从M 到B、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km、2a 万元/km，那么修建这两条公路
的总费用最低是（
）
A．(2 7
2)a

万元
B．5a 万元
C．(2 7
1)a

万元
D．(2 3
3)a

万元
3.圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用
了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都
经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的左、右焦点分别为�1，�2，
当入射光线�2�和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），cos∠�1�2�=
7−1
4 ，则该双曲线的离心率
为（
）
A．2
B．2
C．
7
2
D．7
4．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，
基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似
为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小
直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为
．
5．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：
1F ，
2
F 是双曲线的左
､右焦点，从
2
F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过
1F ；当P
异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分
1
2
FPF

.若双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y

，则下列结论正确
的是（
）
A．射线n 所在直线的斜率为k ，则
4 4
,
3 3
k







B．当m
n

时，
1
2
32
PF
PF


C．当n 过点


7,5
Q
时，光线由
2
F 到P 再到Q 所经过的路程为13
D．若点T 坐标为

1,0 ，直线PT 与C 相切，则
2
12
PF 
6.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，
正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报
中心的（）处.（假定当时声音传播的速度为340m/s3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离680 10m
B．东偏南45°方向，距离680 10m
C．西偏北45°方向，距离680 5m
D．东偏南45°方向，距离680 5m
7.单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的
材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成
是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面
图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 22 m，楼顶直径为50 6 m，最细处
距楼底300 m，则该地标建筑的高为（
）
A．350 m
B．375 m
C．400 m
D．450 m
8．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P
为双曲线（
1F ，
2
F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分
1
2
FPF

．已知双曲线C：
2
2
1
4
2
x
y

，O 为坐标原
点，l 是点
10
3,
2
P







处的切线，过左焦点
1F 作l 的垂线，垂足为M，则OM 
．
9．如图，某绿色蔬菜种植基地在A 处，现要把此处生产的蔬菜沿道路
1
AA 或
2
AA 运送到农贸市场
1
2
3
4
A A A A
中去，已知
1
10km
AA 
，
2
15km
AA 
，
1
2
60
A AA


，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧
的点沿道路
1
AA 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路
2
AA 运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什
么曲线，并求出该曲线的方程.
10．如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），
可以加强对流，自然通风.已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为
55m.试选择适当的坐标系求此双曲线的方程.
附：
2
660
600
481
5







11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地．A 在B 的正东，相距6 千米；C 在B 的北偏西30°，相距4 千米．P
为敌炮兵阵地．某时刻A 发现P 地某种信号，4 秒后B 、C 两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度
为1 千米/秒）．若从A 地炮击P 地，求准确炮击的方位角．
题型十：双曲线的综合问题
1．已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b

经过点

3, 2 ，其中一条渐近线为
3
3
y
x

.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)一条过双曲线C 的右焦点F 且纵截距为2
的直线l ，交双曲线C 于P ，Q 两点，求OP OQ


的值.
2.已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b




的一条渐近线为y
x

，且双曲线C 的虚轴长为2 2 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)记O为坐标原点，过点


0,2
Q
的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点M 、N ，若OMN

的面积为2 2 ，
求直线l 的方程．
3.已知双曲线
1
C 过点( 4,3 2)

且与双曲线
2
2
2 :
1
2
3
x
y
C

有共同的渐近线，1F ，
2
F 分别是
1
C 的左、右焦点．
(1)求
1
C 的标准方程；
(2)设点P 是
1
C 上第一象限内的点，求
1
2
PF PF


的取值范围．
4.已知两定点




1
2
2,0 ,
2,0
F
F

，满足条件
2
1
2
PF
PF




的点P 的轨迹是曲线E ，直线
1
y
kx

与曲线
E 交于
,
A B 两个不同的点．
(1)求曲线E 的方程；
(2)求实数k 的取值范围；
5．已知圆
2
2
1 : (
3)
9
C
x
y



，
2
2
2 : (
3)
1
C
x
y


，动圆M 与圆
1
C ，
2
C 均外切，记圆心M 的轨迹为曲线
C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)直线l 过点
2
C ，且与曲线C 交于
,
A B 两点，满足
2
2
3
AC
C B



，求直线l 的方程．
6.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




经过点

2,0
A 
，离心率为5 ，直线l 过点


3,0
D
且与双曲线C 交于
两点
,
P Q （异于点A ）.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值，并求出该定值.
7．已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
a
a



的左、右焦点分别为
1F ，
2
F .过
2
F 的直线l 交C 的右支于M，N 两点，
当l 垂直于x 轴时，M，N 到C 的一条渐近线的距离之和为2 2 .
(1)求C 的方程；
(2)证明：
1
1
2
2
MF
NF
MF
NF

为定值.
8．已知双曲线C :
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




（
）的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，双曲线C 的右顶点A 在圆
O :
2
2
  
1
x
y

上，且
1
2
3
AF
AF



.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O 为
坐标原点）的面积．
9．已知双曲线C：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的离心率为
2 ，过点


1,0
E
的直线l 与C 左右两支分别交于M，
N 两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积（O 为坐标原点）；
(2)若A，B 为双曲线的左右顶点，且AB
4

，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
10．已知双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b




的两条渐近线分别为1 :
2
x
l
y 
，2 :
2
x
l
y 
.
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)O为坐标原点，过双曲线上一点

2 2,1
P
作直线l 分别交直线1l ，2l 于A ，B 两点（A ，B 分别在第一、
第四象限），且
2
PB
AP


，求AOB

的面积.
模块三：综合巩固
1．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4 ，其两条渐近线方程为2
0
x
y


，该双曲线的焦点为（
）
A．

2 3,0

B．

4 3,0

C．

2 5,0

D．

4 5,0

2.双曲线
2
2
2
:
1
y
C x
b

的焦距为4，则C 的渐近线方程为（
）
A．
15
y
x

B．
3
y
x

C．
15
15
y
x

D．
3
3
y
x

3．已知双曲线
2
2
:
1
16
9
x
y
C

的左焦点为F ，过原点O的直线与C 的右支交于点A ，若
OAF
△
为等腰三角
形，则点A 到x 轴的距离为（
）
A．9
5
B．12
5
C．3
D．5
4.已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4 ，其两条渐近线方程为2
0
x
y


，该双曲线的焦点为（）
A．

2 3,0

B．

4 3,0

C．

2 5,0

D．

4 5,0

5．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的右焦点为
,
F B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O为坐标原点，OM
交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
2
B．2
C．
3
D．2 3
3
6.已知双曲线C：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
16
x
y


B．
2
2
1
4
x
y 

C．
2
2
1
16
x
y 

D．
2
2
1
4
x
y


7．已知双曲线C：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
b
a




的一条渐近线方程为
5
2
y
x

，且与椭圆
2
2
1
3
12
x
y

有公共焦
点，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
8
10
x
y


B．
2
2
1
4
5
x
y


C．
2
2
1
4
3
y
x


D．
2
2
1
5
4
y
x


8.已知双曲线
2
2
1
2
3
x
y

的左右焦点分别是
1F 、
2
F ，过
1F 的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，则满足
3 2
AB 
的直线l 有
A．1条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
9．已知
1F ，
2
F 分别是双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b





的左、右焦点，过
1F 的直线分别交双曲线左、右两
支于A，B 两点，点C 在x 轴上，
2
4
CB
F A



，
2
BF 平分
1F BC

，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
6
3
y
x

B．
2 2
3
y
x

C．
6
2
y
x

D．
2 6
3
y
x

10.已知双曲线C：
2
2
1
9
y
x 
，若双曲线C 的一条弦的中点为

1, 4

，则这条弦所在直线的斜率为（
）
A．
9
4

B．1

C．1
D．9
4
11.已知双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b



的左右焦点分别为




1
2
,0 ,
,0
F
c
F c

，若双曲线左支上存在点P 使得
2
3
2
2
PF
c
a


，则离心率的取值范围为（
）
A．(1,4]
B．[6,
)

C．[4,
)

D．[2,
)

12．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




右支上非顶点的一点A 关于原点的对称点为
,
B F 为双曲线的右焦点，
若AF
BF

，设
ABF



，且
π
π
,
12 4







，则该双曲线的离心率的取值范围为（
）
A．

1,
2
B．

2,2
C．

2,
D．

2,
13．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点
2
F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向
延长线经过左焦点
1F ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双
曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b

，
1
2
,
F F 分别为其左、右焦点，若从右焦
点
2
F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（
2
F ，A，B 在同一直线上），满足
3
,
4
AB
AD
ABC




，
则该双曲线的离心率的平方为（
）
A．
2
1

B．
2
3

C．5
2 2

D．5
2 2

14.（多选）已知直线


:
2
l y
k x


，双曲线
2
2
:
1
C x
y

，则（
）
A．当
1
k 时，l 与C 只有一个交点
B．当
1
k 时，l 与C 只有一个交点
C．当
1
2
k 
时，l 与C 的左支有两个交点
D．当
2
k 
时，l 与C 的左支有两个交点
15．（多选）已知双曲线
2
2
2
2
 
:
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b




的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则下列说法正确
的是（
）
A．M 的离心率为2 3
3
B．M 的标准方程为
2
2
1
2
x
y


C．M 的渐近线方程为
3
y
x

D．直线
2
0
x
y



经过M 的一个焦点
16．（多选）在平面直角坐标系中，已知
(2,0)
F
，过点F 可作直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，使|
| 2
MN 
，
则曲线C 可以是（
）
A．
2
8
y
x

B．
2
2
1
6
2
x
y


C．
2
2
1
3
x
y


D．
2
2
1
3
y
x 

17.（多选）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b




的左、右焦点分别为




1
2
,0 ,
,0 ,
F
c
F c
P

是C 右支上一点，
下列结论正确的有（
）
A．若C 的离心率为
7
2
，则过点


2,3
M
且与C 的渐近线相同的双曲线的方程是
2
2
1
3
2
y
x


B．若点
2
, 2
b
A c
a






，则
2
AP
PF

的最小值为
4
2
2
4
2
4
b
c
a
a


C．过
1F 作
1
2
FPF

的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 到直线
2
0
x
y
a



的距离的最大值为3a
D．若直线
2
PF 与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点M ，且
2
2
PF
PM


，则C 的离心率为
3
18．直线
1
y
kx

与双曲线
2
2
1
x
y

的左支交于不同两点，则实数k 的取值范围为
．
19．双曲线


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




，离心率为
5
2 ，焦点F 到渐近线距离为1，则双曲线方程为
．
20．已知双曲线


2
2
2
1
0
4
x
y
b
b



，其一条渐近线被圆

2
2
3
8
x
y



截得的弦长为2 2 ，则该双曲线的
虚轴长为
.
21.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




的焦点分别为
1
2,
F
F M
、
为双曲线上一点，若
1
2
2π
21
,
3
3
F MF
OM
b



，
则双曲线的渐近线方程为
.
22.已知双曲线C 的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，
1
2
8
F F 
，过
2
F 的直线与C 的右支交于A，B 两点，且
1
1
4
AF
BF
AB



.则C 的离心率为
.
23.已知双曲线


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




的焦点到渐近线的距离为2 ，且直线
3
y
x

与双曲线没有公共点，则a
的取值范围是
.
24．已知双曲线E 的两个焦点分别为




1
2
0
,
,
2 0
, 2
F
F

，并且E 经过点
(2,3)
P
.过点
(0,1)
M
的直线l 与双曲
线E 有且仅有一个公共点，则直线l 的方程为
.
25．已知P 为双曲线
2
2
1
4
5
x
y

上一点，以P 为切点的切线为l ，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于
点
,
M N ，则OMN

（O为坐标原点）的面积为
．
26．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x 轴上，两顶点间的距离是10，且经过点

10,3 ；
(2)一个焦点坐标为

5,0 ，一条渐近线方程为3
4
0
x
y


．
27.已知双曲线
2
2
16
9
144
x
y


(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据k 的不同取值，讨论直线:
1
l y
kx

与该双曲线的交点个数
28.已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
C
y
a
a 


的一条渐近线方程为
1
2
y
x

，点
( ,0)
P t
.
(1)若
3
t 
，O为坐标原点，过点P 且斜率为1的直线l 与双曲线C 交于A B
、两点，求OAB

的面积；
(2)若点
( , )
Q x y 是双曲线C 上任意一点，当且仅当Q 为双曲线的顶点时，|
|
PQ 取得最小值，求实数t 的取值
范围．
29．已知双曲线E ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b




的右焦点为
( 5
)
,0
F
，过F 且斜率为1 的直线与E 的渐近线分别
交于A ，B 两点（A 在第一象限），O为坐标原点，|
|
3
|
|
OA
OB 
．
(1)求E 的方程；
(2)过点(4,0) 且倾斜角不为0 的直线与E 交于C ，D 两点，与E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，证明：
|
| |
|
CP
DQ

．
30．已知双曲线Γ：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b




，
1A ，
2
A 为Γ的左、右顶点，
3
7, 2
P







为Γ上一点，
1
PA 的斜
率与
2
PA 的斜率之积为1
4 ．过点


3,0
A
且不垂直于x 轴的直线l 与Γ交于M，N 两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F 为直线
3
x 
上关于x 轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF 的交点在定直线上．