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2023届高考数学三轮冲刺卷：双曲线的简单几何性质
一、选择题（共20小题；）
x2 y2
1. 已知双曲线 − =1 的一个焦点在直线 x+2y=5 上，则双曲线的渐近线方程为 ()
a2 9
3 4 2√2 3√2
A. y=± x B. y=± x C. y=± x D. y=± x
4 3 3 4
x2
2. 已知双曲线 C: −y2=1(a>0) 的焦距为 2√5，则双曲线 C 的渐近线方程为 ()
a2
√6 1
A. y=± x B. y=±√2x C. y=±x D. y=± x
6 2
x2 y2
3. 已知双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线过点 (2,√3)，且双曲线的一个焦点在抛物线
a2 b2
y2=4√7x 的准线上，则双曲线的方程为 ()
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. − =1 B. − =1 C. − =1 D. − =1
21 28 28 21 3 4 4 3
y2
4. 已知双曲线方程 x2− =1，则下列叙述正确的是 ()
3
A. 焦点 (0,±2) B. 渐近线方程：y=±√3x
2√3
C. 实轴长为 2√3 D. 离心率为
3
x2 y2
5. 已知双曲线 − =1(m>0) 的渐近线方程为 √3x± y=0，则双曲线的离心率为 ()
4 m
2√3 √3
A. 2 B. √3 C. D.
3 2
x2 y2
6. 已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C: − =1(b>a>0) 上有一点 P(√5,m)(m>0)，
a2 b2
点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线，
与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是
()
x2 y2
y2 x2 y2 y2 − =1
A. x2− =1 B. − =1 C. x2− =1 D. 3 7
4 2 3 6
2 2
x2 y2
7. 已知 F ，F 分别是双曲线 − =1(a,b>0) 的左、右焦点，l ，l 为双曲线的两条渐近线．
1 2 a2 b2 1 2
设过点 M(b,0) 且平行于 l 的直线交 l 于点 P．若 PF ⊥PF ，则该双曲线的离心率为
1 2 1 2
()√14−2√41 √14+2√41
A. √3 B. √5 C. D.
2 2
x2
8. 已知 M(x ,y ) 是双曲线 C: −y2=1 上的一点，F ，F 是 C 的两个焦点．若
0 0 2 1 2
⃗M F ⋅⃗M F <0，则 y 的取值范围是 ()
1 2 0
( √3 √3) ( √3 √3)
A. − , B. − ,
3 3 6 6
( 2√2 2√2) ( 2√3 2√3)
C. − , D. − ,
3 3 3 3
x2 y2 x y
9. 已知双曲线 C： − =1（a>0,b>0），F 为其左焦点，直线 l： + =1，若过 F 和
a2 b2 1 5 4 1
(0,−b) 的直线与 l 平行，则双曲线的离心率为 ()
5 5 4
A. B. C. D. 5
4 3 3
4
10. 已知双曲线的一个焦点为 F (5,0)，它的渐近线方程为 y=± x，则该双曲线的方程为 ()
1 3
x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2
A. − =1 B. − =1 C. − =1 D. − =1
16 9 16 9 9 16 9 16
x2 y2
11. 若双曲线 − =1(a>b>0) 的左右焦点分别为 F ，F ，线段 F F 被抛物线 y2=2bx
b2 b2 1 2 1 2
的焦点分成 7:5 的两段，则此双曲线的离心率为 ()
9 6√37 3√2 3√10
A. B. C. D.
8 37 4 10
x2 y2
12. 已知双曲线 − =1(a>0,b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M，N 两
a2 b2
点，O 为坐标原点，若 OM⊥ON，则双曲线的离心率为 ()
−1+√3 1+√3 1+√5 −1+√5
A. B. C. D.
2 2 2 2x2 y2
13. 已知 F ，F 是双曲线 E： − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，点 M 在 E 上，M F
1 2 a2 b2 1
1
与 x 轴垂直，sin∠M F F = ，则 E 的离心率为 ()
2 1 3
3
A. 2 B. C. √3 D. √2
2
x2 y2
14. 已知双曲线 − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线平行于直线 l :x+2y+5=0，且双曲线的一
a2 b2 2
个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ()
x2 y2 x2 y2 3x2 3 y2 3x2 3 y2
A. − =1 B. − =1 C. − =1 D. − =1
20 5 5 20 25 100 100 25
x2 y2
15. 设 F ，F 分别为双曲线 − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点
1 2 a2 b2
P 满足 ∣PF ∣=∣F F ∣，且 ∠PF F =90∘，则双曲线的离心率为 ()
2 1 2 2 1
A. √2−1 B. √2 C. √2+1 D. 2√2+1
x2 y2 b
16. 双曲线 − =1(a>0,b>0) 的左焦点 F(−c,0) 关于直线 y=− x 的对称点 Q 在该双
a2 b2 a
曲线上，则双曲线的离心率为 ()
√5 √3
A. B. √5 C. √3 D.
2 2
17. 已知抛物线 C:y2=4x，直线 y=x−1 与 C 相交于 A， B 两点，与双曲线
x2 y2
E: − =1(a>0,b>0) 的渐近线相交于 M，N 两点，若线段 AB 与 MN 的中点相同，
a2 b2
则双曲线 E 离心率为 ()
√6 √15
A. B. 2 C. D. √3
3 3
18. 已 知 抛 物 线 y2=2px(p>0) 上 一 点 M(1,m) 到 其 焦 点 的 距 离 为 5， 双 曲 线
x2 y2 √5
− =1(a>0,b>0) 的左顶点为 A 且离心率为 ，若双曲线的一条渐近线与直线 AM
a2 b2 2
垂直，则双曲线的方程为 ()
y2 x2
A. x2− =1 B. −y2=1 C. x2−2y2=1 D. x2−4 y2=1
4 4
x2 y2
19. 点 A 是抛物线 C :y2=2px(p>0) 与双曲线 C : − =1(a>0,b>0) 的一条渐近线的一
1 2 a2 b2
个交点，若点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 p，则双曲线 C 的离心率等于 ()
1 2
A. √6 B. √5 C. √3 D. √2x2 y2
20. 已知双曲线 − =1(a>0,b>0) 与函数 y=√x(x≥0) 的图象交于点 P，若函数 y=√x
a2 b2
的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(−4,0)，则双曲线的离心率是 ()
√17+1 √17+2 √17+3 √17+4
A. B. C. D.
4 4 4 4
二、填空题（共5小题；）
x2 y2
21. 双曲线 − =1(a>0,b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B
a2 b2
为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．
x2 y2
22. 双曲线 − =1(a>0,b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B
a2 b2
为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．
1
23. 已知双曲线过点 (4,√3)，且渐近线方程为 y=± x，则该双曲线的标准方程为
2
．
x2 y2
24. 已知过双曲线 − =1(a>0,b>0) 右焦点且倾斜角为 45∘ 的直线与双曲线右支有两个交点，
a2 b2
则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ．
25. 如果等差数列 {a }，{b } 的公差都为 d(d≠0)，若满足对于任意 n∈N∗，都有 b −a =kd，
n n n n
其中 k 为常数，k∈N∗，则称它们为“同宗”数列．已知等差数列 {a } 中，首项 a =1，
n 1
( 1 1 1 ) 1
公差 d=2，数列 {b } 为数列 {a } 的“同宗”数列，若 lim + +⋯+ = ，
n n a b a b a b 3
n→∞ 1 1 2 2 n n
则 k= ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，焦距为 10，且此双曲线经过点 (3,4√2)，求
它的标准方程．
x2 y2
27. 【复习题 A组】已知 F ，F 为双曲线 − =1(a>0,b>0) 的焦点，过 F 作垂直于 x
1 2 a2 b2 2
轴的直线交双曲线于点 P，且 ∠PF F =30∘，求双曲线的渐近线方程．
1 2
28. 已知双曲线的方程为 4x2−9 y2=36．
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（ 2 ） 设 F 和 F 是 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 ， 点 P 在 双 曲 线 上 ， 且
1 2
∣PF ∣⋅∣PF ∣=16，求 ∠F PF 的大小．
1 2 1 2x2 y2 y2 x2
29. 已知双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 与双曲线 − =1 有相同的渐近线，且经过点
a2 b2 4 2
M(√2,−√2)．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）求双曲线 C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
x2 y2 1
30. 已知椭圆 C： + =1(a>b>0) 的离心率为 ，且抛物线 y2=4x 的准线恰好过椭圆 C
a2 b2 2
的一个焦点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求 △OMN 面积的最大值．答案
x2 y2
1. A 【解析】根据题意，双曲线 − =1 的焦点在 x 轴上，
a2 9
而直线 x+2y=5 与 x 轴交点为 (5,0)，则 c=5，
进而有 9+a2=25，
解可得 a2=16，
x2 y2
则双曲线的方程为： − =1，
16 9
3
其渐近线方程为：y=± x．
4
x2
2. D 【解析】双曲线 C: −y2=1(a>0) 的焦距为 2√5，可得 c=√5，即 a2+1=5，解得
a2
x2
a=2，可得双曲线的方程为 −y2=1，
4
1
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x．
2
b
3. D 【解析】因为点 (2,√3) 在渐近线 y= x 上，
a
b √3
所以 = ，
a 2
又因为抛物线的准线为 x=−√7，
所以 c=√7，
故 a2+b2=7，解得 a=2，b=√3，
x2 y2
故双曲线的方程为 − =1．
4 3
y2
4. B 【解析】双曲线 x2− =1，a=1，b=√3，c=√1+3=2，
3
对于A选项：焦点为 (±2,0)，故A选项不正确；
b
对于B选项：渐近线方程为 y=± x=±√3x，故B选项正确；
a
对于C选项：实轴长为 2a=2，故C选项不正确；
c
对于D选项：离心率为 e= =2，故D选项不正确．
a
故选B．
5. A
b
【解析】± =±√3，
a
b=√m=2√3，4
e= =2．
2
b b am+√5b
6. A 【解析】设其中一条直线为 y−m=− (x−√5) 与 y= x 联立，得 x = ，故
a a A 2b
√ b2 am+√5b b ∣√5b−am∣
∣OA∣= 1+ ⋅ ，点 P 到直线 y= x 的距离 d= ，
a2 2b a √a2+b2
√ b2 am+√5b ∣√5b−am∣ ∣5b2−a2m2 ∣
所以 S = 1+ ⋅ ⋅ = =1，又因为
平行四边形PAOB a2 2b √a2+b2 2ab
5 m2
− =1，
a2 b2
y2
所以联立解得 ab=2，又因为 c=√5，所以 a=1，b=2，所以双曲线方程为 x2− =1．
4
b b2 (b b2 )
7. B 【解析】直线 PM 的方程为 y=− x+ ，联立直线 l 与直线 PM 得 P , ，
a a 2 2 2a
又因为 PF ⊥PF ，所以 ⃗PF ⋅⃗PF =0 得 c2−5a2=0 ，所以双曲线的离心率为 √5．
1 2 1 2
8. A 【解析】若 ⃗M F ⋅⃗M F =0，则点 M 在以原点为圆心，半焦距 c=√3 为半径的圆上，则
1 2
{x2+ y2=3,
0 0 1
x2 解得 y2= ．可知：⃗M F ⋅⃗M F <0⇒ 点 M 在圆 x2+ y2=3 的内部
0−y2=1, 0 3 1 2
2 0
⇒y2< 1 ⇒y ∈ ( − √3 , √3) ．
0 3 0 3 3
x2 y2
9. B 【解析】由双曲线 C： − =1（a>0,b>0）得其左焦点 F (−c,0)，
a2 b2 1
x y 4
直线 l： + =1 的斜率为 − ，
5 4 5
b
过 F 和 (0,−b) 的直线斜率为 − ，
1 c
又过 F 和 (0,−b) 的直线与 l 平行，
1
b 4 c 5
所以 − =− ，可得 = ，
c 5 b 4
在双曲线中，b2=c2−a2，
c2 25
可得 = ，
c2−a2 16
c2 25
可得 = ，
a2 9
c 5
所以双曲线的离心率 e= = ．
a 3
10. C4 x y
【解析】因为双曲线的渐近线方程为 y=± x，即 − =0，
3 3 4
x2 y2
所以对应的双曲线方程为 − =λ，λ≠0，
9 16
因为双曲线的一个焦点为 F (5,0)，
1
所以 c=5，且 λ>0，
x2 y2
则 − =1，
9λ 16λ
则 a2=9λ，b2=16λ，
则 c2=9λ+16λ=25λ=25，
x2 y2
则 λ=1，即双曲线的方程为 − =1．
9 16
(b )
11. C 【解析】因为抛物线 y2=2bx 的焦点 F ,0 ，线段 F ，F 被抛物线 y2=2bx 的焦点
2 1 2
分成 7:5 的两段，
b
+c
2 7
所以 = ，
b 5
c−
2
所以 c=3b，
1
所以
c2=a2+b2=a2+ c2
，
9
c2 9
所以 = ．
a2 8
3√2
所以此双曲线的离心率 e= ．
4
12. C
1
13. D 【解析】因为 M F 与 x 轴垂直，sin∠M F F = ，
1 2 1 3
所以设 M F =m，则 M F =3m，如图所示：
1 2
由双曲线的定义得 3m−m=2a，即 m=a，在直角三角形 M F F 中，9m2−m2=4c2，即 2m2=c2，
2 1
即 2a2=c2，则 e=√2．
x2 y2 b
14. A 【解析】双曲线 − =1 的渐近线为 y=± x，
a2 b2 a
而渐近线与 x+2y+5=0 平行．
b 1
故 = ，
a 2
所以 a=2b,⋯⋯①
又因为双曲线的一个焦点为 (−c,0)，则 −c+5=0，
所以 c=5，
又 c2=a2+b2，即 a2+b2=25,⋯⋯②
由①②可求得 a2=20，b2=5，
x2 y2
所以双曲线方程为 − =1．
20 5
15. C
【解析】因为 ∣PF ∣=∣F F ∣=2c，且 ∠PF F =90∘，
2 1 2 2 1
所以 ∣PF ∣=2√2c，
1
由双曲线的定义，得 2√2c−2c=2a，
c
所以 =√2+1．
a
b
16. B 【解析】设双曲线右焦点为 (c,0)，y=− x 与 QF 交于 P 点，
a
所以在 △OPF 中，∠OPF=90∘，OF=c．
∣b⋅(−c)+a⋅0∣
PF= =b，
√a2+b2
OP=√OF2−PF2=√c2−b2=a，
又因为 P 为 FQ 中点，O 为 FFʹ 中点，
所以 △PFO∽△QFFʹ，
所以 QFʹ=2PO=2a 且 ∠FQFʹ=90∘，由双曲线定义可得：QF−QFʹ=2a，
所以 QFʹ=4a，
所以 Rt△QFFʹ 中，QFʹ2+QF2=FFʹ2，
所以 (2a) 2+(4a) 2=(2c) 2，
c
所以 c=√5a，即 e= =√5．
a
17. C
18. D 【解析】设抛物线的焦点为 F，
p
由抛物线的定义知，∣MF∣=1+ =5，解得 p=8，
2
所以抛物线的方程为 y2=16x，
不妨取 M 在第一象限，则其坐标为（ 1,4，
b
由题意知 A(−a,0)，双曲线的渐近线方程为 y=± x，
a
√5
因为双曲线的离心率为 ，
2
c √5 1
所以 = ，b=√c2−a2= a⋯⋯①，
a 2 2
因为双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，
b 4
所以 − ⋅ =−1,⋯⋯②
a 1+a
1
由 ①②，解得 a=1，b= ，
2
y2
x2− =1
所以双曲线的方程为 1 ，
4
即 x2−4 y2=1．
19. B
20. A
【解析】设 P 的坐标为 (m,√m)，
1
由左焦点 F(−4,0)，函数的导数 fʹ(x)= ，
2√x
1 √m
则在 P 处的切线斜率 k=fʹ(m)= = ，
2√m m+4
即 m+4=2m，得 m=4，则 P(4,2)，
设右焦点为 A(4,0)，则 2a=∣PF∣−∣PA∣=√64+4−√0+4=2(√17−1)，即 a=√17−1，
因为 c=4，
c √17+1
所以双曲线的离心率 e= = ．
a 421. 2
【解析】因为两条渐近线是正方形 OABC 的相邻两边，
所以夹角为 90∘，可知渐近线的斜率为 ±1．
b
所以 ± =±1，a=b．
a
因为 B 为该双曲线的焦点，
所以 c=2√2，由 a2+b2=c2=8，a=b 可得 a=2．
22. 2
【解析】不妨令 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 OABC 为正方形，∣OA∣=2，
π
所以 c=∣OB∣=2√2，∠AOB= ．
4
b
因为直线 OA 是渐近线，方程为 y= x，
a
b
所以 =tan∠AOB=1，即 a=b．
a
又因为 a2+b2=c2=8，
所以 a=2．
x2
23. −y2=1
4
1
【解析】法一：双曲线的渐近线方程为 y=± x，
2
所以可设双曲线的方程为 x2−4 y2=λ(λ≠0)，
因为双曲线过点 (4,√3)，
所以 λ=16−4×(√3) 2=4，
x2
所以双曲线的标准方程为 −y2=1．
4
法二：
1
因为渐近线 y= x 过点 (4,2)，而 √3<2，
2
1 1
所以点 (4,√3) 在渐近线 y= x 的下方，在 y=− x 的上方（如图）．
2 2所以双曲线的焦点在 x 轴上，
x2 y2
故可设双曲线方程为 − =1(a>0,b>0)，
a2 b2
b 1
{ = ,
a 2 {a2=4,
由已知条件可得 解得
16 3 b2=1,
− =1,
a2 b2
x2
所以双曲线的标准方程为 −y2=1．
4
24. (1,√2)
25. 2
x2 y2 y2 x2
26. − =1 或 − =1．
33−12√6 12√6−8 16 9
27. y=±√2x．
x2 y2
28. （1） 由双曲线方程 4x2−9 y2=36 得 − =1，
9 4
所以 a=3，b=2，c=√13，
√13 2
所以焦点坐标分别为 (−√13,0)，(√13,0)，离心率 e= ，渐近线方程为 y=± x．
3 3
（2） 由双曲线的定义可知 ∣∣PF ∣−∣PF ∣∣=6，
1 2
所以
∣PF ∣ 2+∣PF ∣ 2−∣F F ∣ 2
cos∠F PF = 1 2 1 2
1 2 2∣PF ∣⋅∣PF ∣
1 2
36+32−52
¿ =
32
¿ ¿
则 ∠F PF =60∘．
1 2
y2 x2
29. （1） 在双曲线 − =1 中，aʹ=2，bʹ=√2，
4 2aʹ
则渐近线方程为 y=± x=±√2x，
bʹ
x2 y2 y2 x2
因为双曲线 C: − =1 与双曲线 − =1 有相同的渐近线，
a2 b2 4 2
b
所以 =√2，
a
x2 y2
所以方程可化为 − =1，
a2 2a2
又双曲线 C 经过点 M(√2,−√2)，代入方程，
2 2
所以 − =1，解得 a=1，b=√2，
a2 2a2
y2
所以双曲线 C 的方程为 x2− =1．
2
y2
（2） 由（1）知双曲线 C:x2− =1 中，
2
因为 a=1，b=√2，c=√3，
c
所以实轴长 2a=2，离心率为 e= =√3，
a
设双曲线 C 的一个焦点为 (−√3,0)，一条渐近线方程为 y=√2x，
∣−√3×√2∣
所以 d= =√2，
√2+1
即焦点到渐近线的距离为 √2．
30. （1） 设椭圆的焦半距为 c，抛物线 y2=4x 的准线为 x=−1，所以 c=1．
c 1
e= = ，所以 a=2，b2=a2−c2=3．
a 2
x2 y2
所以椭圆 C 的方程是 + =1．
4 3
（2） 由题意直线不能与 x 轴垂直，否则将无法构成三角形．
设其斜率为 k，那么直线 l 的方程为 y=kx+1．
联立 l 与椭圆 C 的方程，消去 y，得 (4k2+3)x2+8kx−8=0．
Δ=64k2+32(4k2+3)>0．
8k 8
设点 M(x ,y )，N(x ,y )，得 x +x =− ，x x =− ．
1 1 2 2 1 2 4k2+3 1 2 4k2+3
4√6√(2k2+1)(k2+1)
所以 ∣MN∣=√1+k2 ∣x −x ∣= ．
1 2 4k2+3
1
又 O 到 l 的距离
d=
，
√k2+1
1 2√6√2k2+1
所以 △OMN 的面积 S= d∣MN∣= ．
2 4k2+3设 t=√2k2+1(t≥1)，那么 2k2=t2−1，4k2+3=2t2+1．
2√6t 2√6
S= =
所以 2t2+1 1．
2t+
t
2√6
f (x)= (x≥1)
因为 1 是减函数，
2x+
x
2√6 2√6
所以当 x=1 时，S = = ．
min 2+1 3
2√6
所以 △OMN 面积的最大值是 ．
3
