文档内容
第3讲 导数的几何意义及函数的单调性（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】导数的几何意义与计算..................................................................................................2
【考点二】利用导数研究函数的单调性...........................................................................................4
【考点三】单调性的简单应用.........................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................6
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.
2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式
考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则曲线y=f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
4．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
6．（2023·全国·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围
是 .
7．（2022·全国·高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
考点突破
【考点一】导数的几何意义与计算
核心梳理：
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′·u′.
u x
一、单选题
1．（22-23高二上·湖北襄阳·期末）若函数 在 处的导数为1，则
（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024·福建厦门·一模）已知直线 与曲线 在原点处相切，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 的图像在 处的切线斜率为
C． D． 有两个零点 ，且
4．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数 有极小值点 ，则下列说法中正
确的有（ ）
A．
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学科网（北京）股份有限公司B．函数 有三个零点
C．函数 的对称中心为
D．过 可以作两条直线与 的图象相切
5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
6．（21-22高三上·山东菏泽·期末）已知函数 的图象如图所示，
令 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 图象的对称轴方程为
C．若函数 的两个不同零点分别为 ，则 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司D．函数 的图象上存在点 ，使得在 点处的切线斜率为
规律方法：
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定
是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
【考点二】利用导数研究函数的单调性
核心梳理：
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知 ，则 的大小为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广东深圳·一模）设 ，且 ，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为 上的单调函数，则
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学科网（北京）股份有限公司B．若 时， 在 上有最小值，无最大值
C．若 为奇函数，则
D．当 时， 在 处的切线方程为
三、填空题
5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知 ，若 有四个不同的零点，
则t的取值范围是 ．
6．（23-24高二下·上海·期中）函数 的严格递减区间是 .
规律方法：
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；
(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
【考点三】单调性的简单应用
核心梳理：
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．
一、单选题
1．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数 在R上单调，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·吉林·模拟预测）已知函数 ， ，当 时，不等式 恒
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题
3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数 及其导函数 的定义域均为 ，
与 均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)是奇函数 B．若f(x)为增函数，则
C．当 时，函数f(x)恰有两个零点 D．当 时，函数f(x)恰有1个极值点
三、填空题
5．（2024·江西上饶·一模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 ．
6．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数 ，若不等式 对
恒成立，则实数a的取值范围为 .
规律方法：
利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究
函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以
的速度向该容器内注入溶液，随着时间 （单位： ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，
如图2所示，忽略容器的厚度，则当 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A．-2 B．1 C． D．
3．（2024·河南开封·二模）已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （ ）
A．-2 B． C．1 D．2
5．（2024·广东·一模）设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 的方程不可能是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司7．（2024·湖南永州·三模）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 为假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）设 ，曲线 在点 处切线的斜率为 ，与x轴的交点为 ，
与y轴的交点为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·湖南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 为偶函数， 为奇函
数，当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 为周期函数
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学科网（北京）股份有限公司C．函数 为 上的偶函数 D．
11．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数 是 的导函数，则
（ ）
A．“ ”是“ 为奇函数”的充要条件
B．“ ”是“ 为增函数”的充要条件
C．若不等式 的解集为 且 ，则 的极小值为
D．若 是方程 的两个不同的根，且 ，则 或
三、填空题
12．（2023·福建厦门·模拟预测）已知函数 ，若曲线 与曲线
存在公切线，则实数 的最大值为 ．
13．（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
．
14．（2024·北京石景山·一模）设函数 ，
①若 有两个零点，则实数 的一个取值可以是 ；
②若 是 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
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学科网（北京）股份有限公司(2)对 ， 恒成立，求a的取值范围.
16．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)试讨论函数 的单调性．
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