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专题 10 复数及其应用
一、知识速览
二、考点速览知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
2、复数的分类：
3、复数的有关概念
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
⇔
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，
复数的模
记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除
原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量
知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设 ， (a，b，c，d∈R)，则：
（1）z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
（2）z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
（3）z·z＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
（4）
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z＋z|2＋|z－z|2＝2(|z|2＋|z|2)．
1 2 1 2 1 2
（2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.
（4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。
2、复数的三角形式
定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
3、复数的代数式与三角式互化
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=√a2+b2，
a b
（2）cosθ= ，sinθ= ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
r r
π
当a=0，b>0时，arg z=
2
【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数乘法运算的三角表示：已知z =r (cosθ +isinθ )，z =r (cosθ +isinθ )，
1 1 1 1 2 2 2 2
则z z =r r [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )]
1 1 1 2 1 2 1 2
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。
（2）复数乘法运算的几何意义：两个复数z ，z 相乘时，分别画出与z ，z 对应的向量⃗OZ ，⃗OZ ，
1 2 1 2 1 2
然后把向量⃗OZ 绕O点按逆时针方向旋转θ （如果θ <0，就要把⃗OZ 绕点O按顺时针方向旋转角|θ |），
1 2 2 1 2
再把它的模变成原来的r 倍，得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是积z z ，这就是复数乘法的几何意义。
2 1 2
（3）复数乘法运算三角表示推广：
z z …z =r (cosθ +isinθ )∙r (cosθ +isinθ )∙…∙r (cosθ +isinθ )
1 2 n 1 1 1 2 2 2 n n n
=r r …r [cos(θ +θ +…+θ )+isin(θ +θ +…+θ )]
1 2 n 1 2 n 1 2 n
特别的，当z =z =…=z =r(cosθ+isinθ)时，[r(cosθ+isinθ)] n=rn (cosnθ+isinnθ)
1 2 n
5、复数除法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数除法运算的三角表示：已知z =r (cosθ +isinθ )，z =r (cosθ +isinθ )
1 1 1 1 2 2 2 2
z r (cosθ +isinθ ) r
则 1= 1 1 1 = 1[cos(θ −θ )+isin(θ −θ )]
z r (cosθ +isinθ ) r 1 2 1 2
2 2 2 2 2
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.
（2）两个复数z ，z 相除时，先分别画出与z ，z 对应的向量⃗OZ ，⃗OZ ，然后把向量⃗OZ 绕O点按顺
1 2 1 2 1 2 1
1
时针方向旋转θ （如果θ <0，就要把⃗OZ 绕点O按逆时针方向旋转角|θ |），再把它的模变成原来的 倍，
2 2 1 2 r
2
z
得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是商 1 ，这就是复数除法的几何意义。
z
2一、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
【典例1】（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）若复数 （ 为虚数单位，
且 ）为实数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
又 为实数，则 ，即 .故选：D.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知 为虚数单位，若 为实数，则实数 （ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】 .
依题意得 ，得 .故选：B
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知复数 是虚数，则实数m的取值范围是（
）
A．R B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ，则 ，故实数m的取值范围是 .故选：C.
二、求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部
的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
【典例1】（2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
得 ， .故选：B.
【典例2】（2023·河南·统考模拟预测）已知复数 的共轭复数为 ，且 ，
则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意 ，则 ，即 ，
化简得 ，
所以 ，解得 ，所以 .故选：D.
三、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ=(a,b)是一一对应的．
【典例1】（2023·河南驻马店·统考模拟预测）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由题意， ，
所以复数z在复平面内对应的点为 ，位于第一象限.故选：A.【典例2】（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知复数z满足 （其中 为虚数单位），
则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
复数z在复平面上对应的点为 ，位于第四象限.故选：D.
四、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N ，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
＋
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N ，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
＋
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知i为虚数单位，则 = .
【答案】-1
【解析】 ， ，
且 ， ，
由于 ，故 .
故答案为：
【典例2】（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）若 ，其中 是虚数单位，则
．
【答案】
【解析】由 ，则 ，
所以 ，
则 .
故答案为：五、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
−b±√b2−4ac −b±√−(b2−4ac)i
①当∆≥0时，x= ②当∆<0时，x=
2a 2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
【典例1】（2023·重庆·统考三模）设 ， 是方程 在复数范围内的两个解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程 得 ，由求根公式得根为 ，
不妨设 ， ， ，A错误；
，B错误；
，C错误；
令 ，得 或 ，
所以 ， 也是方程 的两个根，所以D正确.故选：D.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知 是关于 的方程 的一个根，其中 ， 为
实数，则 .
【答案】
【解析】因为 是关于 的方程 的一个根，
所以 也是关于 的方程 的一个根，
所以 且 ，
所以 ， ， ，
所以 .
故答案为：六、复数的代数式与三角式互化
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=√a2+b2，
a b
（2）cosθ= ，sinθ= ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
r r
π
当a=0，b>0时，arg z=
2
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知 为虚数单位，
，则下列选项不是 的三角形式的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由 ，
所以 ，
所以A、B、C不对，D对.故选：ABC
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）把复数 与 对应的向量 分别按逆时针方向旋转
和 后，重合于向量 且模相等，已知 ，则复数 的代数形式和它的辐角分别是（
）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知 ，
又 ，
则，
可知 对应的坐标为 ，则它的辐角主值为 ，
故可以作为复数 的辐角的是 ， ，
当 时， .故选：BD.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）复数 的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，令 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的三角形式是 .故选：D.
易错点1 忽视复数 是纯虚数的充要条件
点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数 为纯虚数 ，往往容易忽略虚部不等于0.【典例1】（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）若 为纯虚数，则复数 的虚部为
.
【答案】
【解析】由复数 ，
因为复数 为纯虚数，可得 ，解得 ，
所以 ，所以复数 的虚部为 .
故答案为： .
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）i是虚数单位，若复数 为纯虚数，则 ．
【答案】
【解析】 ,
所以 ，所以 .
故答案为： .
易错点2 错误的理解复数比大小
点拨：两个复数不能直接比大小，但如果 成立，等价于 。
【典例1】（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数 （ 为虚数单位），
若 ，则实数 的值为 .
【答案】3
【解析】复数 （ 为虚数单位）， ，
则 ，解得 .
故答案为：3.【典例2】（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知 为虚数单位，若复数 ，则实数
的值为 ．
【答案】-2
【解析】 ，
由 ，所以复数 为实数，则 ， ，
此时 ，满足 .
故答案为：-2
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若 ，且
，求实数x的取值范围．
【答案】
【解析】由题意知 ，可得 ，解得 ，
当 时，可得 ，此时满足 ，
所以实数x的取值范围 .
易错点3 错误的惯性思维理解复数的模
点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用。
【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：由已知得 ，
．
法二：由已知得 ，故 ，即 ．.故选：B．
【典例2】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设复数 ， （ 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以
，
所以
.故选：A
