3.6 抛物线的简单几何性质
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：抛物线的简单几何性质.................................................... 2
考点二：焦半径公式................................................................... 3
考点三：直线与抛物线的位置关系..................................................3
考点四：抛物线的弦长公式.......................................................... 3
考点五：焦点弦及二级公式.......................................................... 4
考点六：圆锥曲线中的定点问题策略...............................................5
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：利用抛物线标准方程求几何性质.........................................5
题型二：由几何性质求抛物线方程..................................................8
题型三：直线与抛物线的位置关系..................................................9
题型四：抛物线的切线问题........................................................ 11
题型五：直线与抛物线交点及弦长................................................12
题型六：抛物线的中点弦问题......................................................13
题型七：焦半径及焦点弦应用......................................................14
题型八：与抛物线有关的范围和最值问题....................................... 16
题型九：抛物线的定点问题........................................................ 18
题型十：抛物线的定值问题........................................................ 20
模块三：综合巩固....................................................................... 23
3.6 抛物线的简单几何性质
模块一：基础知识
考点一：抛物线的简单几何性质
1.抛物线的简单几何性质：
标准方程
2
2
0
y
px p
2
2
0
y
px p
2
2
0
x
py p
2
2
0
x
py p
图象
性质
范围
0
x
y
R
，
0
x
y
R
，
0
x
y
R，
0
x
y
R，
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
O（0,0）
焦点
,0
2
p
F
,0
2
p
F
0, 2
p
F
0,
2
p
F
准线
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
离心率
哦
通径
垂直焦点所在轴并经过焦点的弦长：2p
2.范围：由方程
2
2
(
0)
y
px p
可知，对于抛物线上的点
( , )
M x y ，
0
x ，y
R
，抛物线在y 轴的右侧，开口
方向与x 轴的正方向相同；当x的值增大时，y 的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
3.离心率：抛物线上的点M 与焦点的距离和点M 到准线的距离d 的比MF
d
，叫做抛物线的离心率，用e表
示．由抛物线的定义可知，
1
e ．
4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4 个顶点，双曲线有2 个顶点，抛物线只有1 个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2 个焦点，抛物线只有1 个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
考点二：焦半径公式
1.焦半径的定义
设抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点M
0
0
(
,
)
x
y
，焦点为F ，准线为l ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径，过点
M 作准线l 的垂线段MH ，由抛物线的定义可知，
0
2
p
MF
MH
x
．
2.用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（2）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（3）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
（4）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径
公式．
3.焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解
题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单．
考点三：直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线的三种位置关系：
2.设直线l:y=kx+m，抛物线:
=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x 的方程
.
①若k≠0，当
>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当
=0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当
<0 时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
考点四：抛物线的弦长公式
1.弦长公式
设直线与抛物线交于A
,B
两点，则
|AB|=
=
或
|AB|=
=
(k 为直线的斜率，k≠0).
2.中点弦问题
中点弦斜率：
0
AB
p
k
y
,
推导：由题意，知
2
2
2
2
y
px
，①
2
1
1
2
y
px
②
由①-②，得
1
2
1
2
1
2
(
)(
=2 (
)
y
y
y
y
p x
x
）
，故
1
2
1
2
1
2
2
y
y
p
y
y
x
x
，即
0
AB
p
k
y
.
所以，中点弦直线方程：直线AB 的方程为
0
0
0
(
)
p
y
y
x
x
y
．
3．抛物线的切线
过抛物线
=2px(p>0)上的点P
的切线方程是
.
抛物线
=2px(p>0)的斜率为k 的切线方程是
(k≠0).
考点五：焦点弦及二级公式
1.焦点弦长
抛物线
=2px(p>0)上一点A
与焦点F(
,0)的距离为|AF|=
，若MN 为抛物线
=2px(p>0)
的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=
+
+p(
,
分别为M,N 的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A
,B
，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程
弦长公式
y
2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y
2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x
2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x
2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)
2.焦点弦常用二级公式
根据抛物线的定义有
1
AF
AA
，
1
BF
BB
，
1
1
AB
AF
BF
AA
BB
故
1
1
AB
AF
BF
AA
BB
.
又因为
1
MM 是梯形
1
1
AA B B 的中位线，所以
1
1
1
2
AB
AA
BB
MM
，
从而有下列结论；
(1)
0
2
2
p
AB
x
(焦点弦长与中点关系)
(2)
1
2
AB
x
x
p
.
(3)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF|＝
p
1－cos θ
，|BF|＝
p
1＋cos θ
；
(4)|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p
sin
2θ
(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)S△AOB＝
p
2
2sin θ
(其中θ为直线AB 的倾斜角)；
(5) A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即
2
1
2
4
p
x x
，
2
1
2
y y
p
.
(6)
1
1
AF
BF
为定值2
P .
(7)以AB 为直径的圆必与准线l 相切.
(8)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切；
(9)以A1B1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(10)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
(11)经过原点与抛物线通径端点直线的斜率绝对值为2，即|k|=2
考点六：圆锥曲线中的定点问题策略
1.直线过定点策略
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
0
0
,
x
y
，常利用直线的点斜式方程
0
0
y
y
k x
x
或截距式y
kx
b
来证明.
2.圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有
关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
模块二：题型分类
题型一：利用抛物线标准方程求几何性质
1．求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程.
(1)
2
2
y
x
；
(2)
2
32
x
y
；
(3)
2
8
y
x
；
(4)
2
1
16
x
y
.
2.对抛物线�=
1
8 �2，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为0，2
B．开口向上，焦点为0，
1
32
C．开口向右，焦点为2，0
D．开口向右，焦点为
1
32 ，0
3．（多选）关于抛物线
2
2
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．开口向左
B．焦点坐标为
1,0
C．准线为
1
x
D．对称轴为x 轴
4.在同一坐标系中，方程
�2
�2 +
�2
�2 = 1 与��+ ��2 = 0 �> �> 0 的曲线大致是（
）
A．
B．
C．
D．
5.抛物线
2
1
8
y
x
上一点
0,2
A x
到其对称轴的距离为（
）
A．4
B．2
C．
2
D．1
6.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，
0,8
P x
是C 上一点，且P 到F 的距离与P 到C 的对称轴的
距离之差为2，则p （
）
A．1
2
B．1
C．2 或4
D．4 或36
7.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
2
4
y
x
上，则这个等边三角形的边长为（
）
A．8 3
B．4 2
C．4 3
D．3 2
8.已知点F 是抛物线
2
4
y
x
的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为4，则点A 的坐标
为（
）
A．(3,2 3)
B．(3, 3)
C．(1,2)
D．(2,2 2)
9.设抛物线C ：
2
2
x
py
的焦点为F ，
,4
M x
在C 上，
5
MF
，则C 的方程为（
）
A．
2
4
x
y
B．
2
4
x
y
C．
2
2
x
y
D．
2
2
x
y
10.若抛物线
2
y
mx
上一点( ,2)
t
到其焦点的距离等于3，则（
）
A．
1
4
m
B．
1
2
m
C．
2
m
D．
4
m
11．抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10 和6，则该点的横坐标
是
．
12.已知��≠0，则方程��2 + ��2 = 1 与��2 = ��在同一坐标系内对应的图形编号可能是（
）
A．①④
B．②③
C．①②
D．③④
13.已知�≠0，则方程��−
�
�−��+ �2 = 0 表示的曲线可能是（
）
A．
B．
C．
D．
14.边长为1 的等边AOB
，O 为坐标原点，AB x 轴，以O 为顶点且过
,
A B 的抛物线方程是（
）
A．
2
3
6
y
x
B．
2
3
3
y
x
C．
2
3
6
y
x
D．
2
3
3
y
x
15．已知抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3 和2 2 ，则p （
）
A．2
B．2 或4
C．1 或2
D．1
16.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且
PEF
!
是周长为
12 的正三角形.则抛物线C 的方程为
.
17.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线�2 = 2�上，则这个等边三角形的边长为（
）
A．2
B．2 3
C．4
D．4 3
18.�为抛物线�: �2 = 12�的焦点，直线�= 1 与抛物线交于�, �两点，则∠���为（
）
A．30∘
B．60∘
C．120∘
D．150∘
19.�, �是抛物线�2 = 2��(�> 0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△���的重心恰为F，若|��| = 5，
则�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
20.在平面直角坐标系���中，抛物线�: �2 = 8�, �为�轴正半轴上一点，线段��的垂直平分线�交�于�, �两
点，若∠���= 120°，则四边形����的周长为（
）
A．64 3
B．64
C．80 3
D．80
题型二：由几何性质求抛物线方程
1．焦点是(3,0) 的抛物线的标准方程是
；准线方程是
2
x 的抛物线的标准方程是
.
2．分别根据下列条件写出相应的抛物线标准方程：
(1)焦点是
2,0
F
；
(2)准线方程是
1
y ．
3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点
2, 2 2
M
，求它的标准方程.
4.直线
2
0
x
y
与抛物线C ：
2y
ax
的图象相切，则C 的准线方程为（
）
A．
2
x
B．= 1
x
C．=
2
y
D．
1
y
5．（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点
(
3)
,
M m
到焦点的距离为5，求m 的值、
抛物线方程和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A，B 两点，O 为坐标原
点，若OAB
的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
6．若抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上的点
0, 2
A x
到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3 倍，则抛物线的标准方程
为（
）
A．
2y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
4
y
x
7．已知点
,4 2
P m
在抛物线：
2
2
0
y
px p
上，点F 为抛物线的焦点，且
6
PF
，则抛物线的
标准方程为
.
8．若抛物线
2
(
0)
y
mx m
的准线与圆
2
2
4
5
0
x
y
x
相切，求抛物线的准线和标准方程．
9．（多选）直线�= ��−�过抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点且与该抛物线交于M，N 两点，设O 为坐标
原点，则下列说法中正确的是（
）
A．�= 1
B．抛物线E 的准线方程是�= −1
C．以MN 为直径的圆与定直线相切
D．∠���的大小为定值
10．（多选）在平面直角坐标系���中，点�是抛物线�: �2 = ���> 0 的焦点，两点�
�
16 , 1 、��, �
�< 0
在抛物线�上，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线�的方程为�2 = 4�
B．�=−4
C．以��为直径的圆的方程是�−
17
8
2
+ �+
3
2
2
=
25
8
D．�、�、�三点共线
题型三：直线与抛物线的位置关系
1.直线
2
y
与抛物线
2
8
y
x
的公共点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．无数
2．过点
0,4
M
作直线l 与抛物线
2
8
y
x
只有一个公共点，这样的直线有几条？
3.直线�= ��−1 + 2 与抛物线�2 = 4�的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
4.过点�(0,1)与抛物线�2 = 2�只有一个公共点的直线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．0 条
5.已知抛物线方程
2
4
y
x
，过点
0,2
P
的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（
）条
A．0
B．1
C．2
D．3
6.“
1
k ”是“直线
0
kx
y
k
与抛物线
2
4
y
x
有唯一公共点”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
7．已知抛物线
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点为F，点P 是抛物线准线上一动点，作线段PF 的垂直平分线l ，
则直线l 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（
）
A．{0}
B．{1}
C．{0,1}
D．{1,2}
8．已知直线
(
1)
1
y
a
x
与曲线
2y
ax
恰有一个公共点，则实数a 的值为
.
9.设抛物线�2 = 8�的准线与�轴交于点�，若过点�的直线�与抛物线有公共点，则直线�的斜率的取值范围
是（
）
A．−
1
2 ,
1
2
B．[ −2，2]
C．[ −1，1]
D．[ −4，4]
10.已知抛物线�: �2 = �，点�(�, 1)，则“�> 1”是“过�且与�仅有一个公共点的直线有3 条”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11.已知点�( −2,0), �是抛物线�: �2 = 18�上的动点，则直线��的斜率的取值范围是（
）
A．−
1
2 ,
1
2
B．−
3
2 ,
3
2
C．[ −1,1]
D．−
3
2 ,
3
2
12.已知抛物线C 的方程为�2 =
1
2 �，过点�0, −1 和点��, 3 的直线l 与抛物线C 没有公共点，则实数t
的取值范围是（
）
A．−∞, −
2 ∪
2, + ∞
B．2 2, + ∞
C．−∞, −2 2
D．−
2,
2
题型四：抛物线的切线问题
1．过抛物线
2
4
x
y
上一点
4,4 的抛物线的切线方程为
.
2.抛物线�2 = 9�在点1,3 处的切线的斜率为（
）
A．－1
B．−
3
2
C．
3
2
D．1
3.已知点�(4, −2)在抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的准线上，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A，B，则
直线AB 的方程为（
）
A．�−�+ 2 = 0 B．2�−�+ 2 = 0
C．3�−�+ 2 = 0
D．�−2�+ 4 = 0
4．已知点
(0,2)
A
和抛物线
2
:
6
C y
x
，求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程．
5．点
,4
0
M m
m
为抛物线
2
2
0
x
py p
上一点，F 为其焦点，已知
5
FM
．
(1)求m与p 的值；
(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N，求FMN
的面积．
6.已知抛物线�：�2 = 4�，直线�= �与抛物线�交于�, �两点，过�, �两点分别作抛物线的两条切线交于点
�，若△���为正三角形，则�的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7.已知抛物线�：�2 = 4�，过直线�：�+ 2�= 4 上的动点�可作�的两条切线，记切点为�, �，则直线��
（
）
A．斜率为2
B．斜率为±2
C．恒过点0, −2
D．恒过点−1, −2
题型五：直线与抛物线交点及弦长
1.已知直线2�+ �−2 = 0 与抛物线�：�2 = 4�交于�, �两点，则��=（
）
A．5
B．5
C．3 5
D．4 5
2.设抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，过点( 2,0)
且斜率为2
3 的直线与C 交于M，N 两点，则cos
MFN
（
）
A．2
3
B．3
4
C．4
5
D．5
6
3.已知抛物线�：�2 = 2���> 0 的焦点为�，过�且倾斜角为45∘的直线与�交于�, �两点，若��= 4，
则�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.如图，已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F，点M 在其准线上，
2 2
MF
，直线MF 的倾斜角为
135，且与C 交于A，B 两点，O 为坐标原点
(1)求C 的方程；
(2)求AOB
的面积.
5．已知点
2, 2 2
M
在抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上，倾斜角为45的直线l 经过抛物线C 的焦点F.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求线段AB 的长及ABO
的面积.
题型六：抛物线的中点弦问题
1．已知
,
A B 为抛物线
2
2
y
x
上的两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为
.
2.直线
2
y
kx
与抛物线
2
8
y
x
交于
,
A B 两点，AB 中点的横坐标为2，则k 为（
）
A．1
B．2
C．1
或2
D．以上都不是
3．已知抛物线
2
:
6
C y
x
，过
3,2
P
的直线l 交抛物线C 于
,
A B 两点，且PA
PB
，则直线l 的方程
为
.
4.过抛物线
2
:
2
E y
x
焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 中点M 到x 轴距离为1，则AB （
）
A．2
B．9
4
C．3
D．4
5.双曲线
�2
3 −�2 = 1 和抛物线�2 = 2��（�> 0）的公共焦点为�，过点�的直线交抛物线于�，�两点，若��
中点的横坐标为6，则��=（
）
A．16
B．12
C．10
D．8
6.直线l 过抛物线
2
4
y
x
的焦点F ，且与抛物线交于
,
A B 两点，线段AB 中点的纵坐标为1，O 为坐标原点，
则O 到直线AB 的距离为（）
A．2 5
5
B．3 5
5
C．5
D．2
5
7.已知直线l 过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点F ，与C 相交于
,
A B 两点，且
10
AB
．若线段AB 的中点
的横坐标为3，直线l 的斜率为
．
8.已知抛物线
2
5
x
y
，过点
5
( ,1)
4
P
作一条直线l 与抛物线交于
,
A B 两点，恰使得点P 平分AB ，则直线l 的
方程为
.
9.已知点P 到
0,4
F
的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4
，求l 的斜率.
10．直线
2
y
kx
交抛物线
2
2
0
y
px p
于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为2 ，抛物线的焦点到y
轴的距离为2 .
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与x 轴交于点D ，求
ABD
△
的面积.
11．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，与椭圆
2
2
1
4
3
x
y
其中一个焦点重合．过抛物线的焦点F
且斜率为1 的直线l 与抛物线交于
,
A B 两点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求线段AB 的中点P 的坐标．
题型七：焦半径及焦点弦应用
1.已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，直线:
2
l y
x
与抛物线C 在第一象限交于点M ，则|
|
MF （
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．4
2.过抛物线�2 = 4�的焦点，斜率为2 的直线�与抛物线相交于�、�两点，求线段��的长．
3．（多选）如图，过抛物线�2＝8�的焦点F，斜率为k 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，与抛物线准线交
于C 点，若B 是AC 的中点，则（
）
A．�=±
2
B．�=± 2 2
C．��= 9
D．��= 10
4.已知抛物线�: �2 = 4�的焦点为�，准线与�轴交于点�，直线�过其焦点�且与�交于� ， �两点，若直线��
的斜率为
2 5
5 ，则|��| =（
）
A．
4 5
5
B．
8 5
5
C．4
D．5
5.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点�到其准线的距离为2，过�的直线�与�交于�，�两点，则��的最
小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6.直线�经过抛物线�2 = 6�的焦点�，且与抛物线交于�，�两点．若��= 3 ��，则��=（
）
A．4
B．
9
2
C．8
D．
9
4
7．（多选）已知抛物线�: �2 = 4�的焦点为F，直线�: �= ��−1
�≠0 与抛物线C 交于A、B 两点，下
面说法正确的是（
）
A．抛物线C 的准线方程为�=−2
B．∠���>
π
2
C．�= 1 时，��= 4 2
D．
1
��+
1
��= 1
8.已知抛物线C 的方程为�2 = 2���> 0 ，若倾斜角为锐角的直线l 过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，
B 两点，且��= 3 ��，则直线l 的倾斜角为
．
9.已知抛物线�2 = 2�的焦点为F，过点F 的直线与抛物线交于A，B 两点，则4 ��+ ��的最小值是
.
10.已知抛物线�: �2 = 4�的焦点为�，过点�的直线交�于�, �两个不同点，则下列结论正确的是
.
①若点�(2,2)，则|��| + |��|的最小值是3
②|��|的最小值是2
③若|��| ⋅|��| = 12，则直线��的斜率为±
2
2
④过点�, �分别作抛物线�的切线，设两切线的交点为�，则点�的横坐标为−1
11.已知�为坐标原点，过抛物线�: �2 = 2��(�> 0)焦点�的直线与�交于�, �两点，点�在第一象限，且
��= 2�.
(1)求直线��的斜率；
(2)若��=
16
3 ，求抛物线�的方程.
12.已知F 为抛物线�: �2 = 4�的焦点，过F 作两条互相垂直的直线�1，�2，直线�1与C 交于A，B 两点，直
线�2与C 交于D，E 两点，求��+ ��的最小值.
13.已知抛物线�2 = 4�.其焦点为F.
(1)求以�(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n 都经过抛物线�2 = 4�的焦点F，且与抛物线相交于A，B 两点和C，D 两点，
求四边形����面积的最小值．
题型八：与抛物线有关的范围和最值问题
1．已知
2,4
P
是抛物线C ：
2
2
0
y
px p
上一点，过C 的焦点F 的直线l 与C 交于
,
A B 两点，则
9
AF
BF
的最小值为（
）
A．24
B．28
C．30
D．32
2．已知F 为抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A，B 两点，
直线2l 与C 交于D，E 两点，求AB
DE
的最小值.
3.已知抛物线�：�2 = 2���> 0 的焦点为�0,
1
2 ，�为抛物线�上一动点．若�0, −1 ，则
4 ��
2 ��+1的最大
值为（
）
A．6
B．
4 6
3
C．2 6
D．
8 6
3
4.设抛物线�: �2 = 2��(�> 0)，直线�−�+ 1 = 0 与�交于�，�两点，且��= 8．
(1)求抛物线�的方程；
(2)已知点�为�2 + �+ 1 2 = 1 上一点，过点�作抛物线�的两条切线��，��，设切点分别为�，�，试求
直线��，��斜率之积的最小值．
5.已知抛物线�: �2 = 2���> 0 ，过�4,0 的直线交抛物线C 于A，B 两点，O 是坐标原点，��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若F 点是抛物线C 的焦点，求��+ ��的最小值．
6.设F 为抛物线�: �2 = 2���> 0 的焦点，点P 在H 上，点�
7�
2 , 0 ，若��= ��= 5．
(1)求�的方程；
(2)过点F 作直线l 交H 于A、B 两点，过点B 作x 轴的平行线与H 的准线交于点C，过点A 作直线CF 的
垂线与H 的另一交点为D，直线CB 与AD 交于点G，求
|��|
|��|的取值范围．
7.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�0,1 ，过点�的直线�与�交于�, �两点，过�, �作�的切线�1, �2，
交于点�，且�1, �2与�轴分别交于点�, �.
(1)求证：��= ��；
(2)设点�是�上异于�, �的一点，�到直线�1, �2, �的距离分别为�1, �2, �，求
�1�2
�2 的最小值.
题型九：抛物线的定点问题
1．设抛物线C 的方程为
2x
y
，点M 为直线:
(
0)
l y
m m
上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线
MA，MB，切点分别为A ，B ．
(1)当M 的坐标为
1
0,
4
时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；
(2)求证：直线AB 恒过定点．
2．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
经过点
2, 2 2
M
，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)如果
4
OA OB
，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
3．过点
, 2
P m
向抛物线²
4
x
y
引两条切线
,
PA PB ，切点分别为A，B，直线AB 恒过的定点为
.
4．已知抛物线
2y
ax
，直线l 交该抛物线于M，N 两点（直线l 不过原点），若
0
OM ON
，则直线l 经
过定点
．
5．已知双曲线：
2
2
1 1
5
5
1
x
y
m
m
m
的一个焦点与抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点重合.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l ：
8
x
ty
交抛物线C 于A、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O.
6．已知抛物线C ：
2
2
y
px
过点
2,4
A
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2) P ，Q 是抛物线C 上的两个动点，直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为4，证明：直线PQ 恒过定点．
7．已知点O 为平面直角坐标系的坐标原点，点F 是抛物线C：
2
4
y
x
的焦点．
(1)过点F 且倾斜角为4
的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，求AOB
的面积；
(2)若点T 为直线
2
x 上的动点，过点T 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN 过
定点．
8.已知抛物线�: �2 = 2��的焦点与椭圆�':
�2
4 + �2 = 1 的上顶点重合，点�是直线�: �−2�−8 = 0 上任意一
点，过点�作抛物线的两条切线，切点分别为�、�．
(1)求抛物线�的方程．
(2)证明直线��过定点，并且求出定点坐标．
题型十：抛物线的定值问题
1．已知抛物线
2
2
C
y
px
：
的焦点为F.
(1)过点F 且斜率为
3 的直线交抛物线C 于P，Q 两点，若
16
3
PQ
，求抛物线C 的方程；
(2)过点F 的直线交抛物线C 于A，B 两点，直线AO，BO 分别与直线x
p
相交于M，N 两点，试判断ABO
与MNO
的面积之比是否为定值，并说明理由．
2．已知抛物线
2(
0)
y ax a
，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M
N
、
，都有
2
2
1
1
|
|
|
|
MP
NP
为定值，则点P 的坐标为
．
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心为C 的动圆过点
2,0 ，且在y 轴上截得的弦长为4，记C 的轨迹
为曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知
1,2
A
及曲线E 上的两点B 和D ，直线BD 经过定点
3,2
，直线AB
AD
、
的斜率分别为
1
2
k
k
、
，
求证：
1
2
k
k
为定值．
4．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点
1,0
F
的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直
径；②点P 到
1,0
F
的距离比P 到y 轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件：求曲线C 的方程；
(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q
R
，
两点时，
1
1
MQ
MR
为定
值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.
5．已知圆O ：
2
2
16
x
y
与y 轴相交于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），过点B 作圆O 的切线1l ，P 是平
面内一动点，过点P 作1l 的垂线，垂足为Q ，且
0
PQ
PA QA
，记点P 的运动轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点A 且斜率不为0 的直线2l 与曲线C 相交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点D ，证
明：
AD
MN 为定值.
6．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为π
6 的直线交抛物线于点M （M
在第一象限），MN
l
，垂足为N ，直线NF 交x 轴于点D ，
4 3.
MD
(1)求p 的值.
(2)若斜率不为0 的直线1l 与抛物线C 相切，切点为G ，平行于1l 的直线交抛物线C 于,
P Q 两点，且
π
2
PGQ
，点F 到直线PQ与到直线1l 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
7．设点F 为抛物线C：
2
2
0
x
py p
的焦点，过点F 且斜率为5 的直线与C 交于A，B 两点
2 6
AOB
S
△
（O 为坐标原点）
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点
0,2
E
作两条斜率分别为
1k ，
2k 的直线1l ，2l ，它们分别与抛物线C 交于点P，Q 和R，S.已知
EP EQ
ER ES
，问：是否存在实数，使得
1
2
k
k
为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明
理由.
模块三：综合巩固
1.已知抛物线
2
1
4
y
x
上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（）
A．17
16
B．5
C．6
D．4 2
2．过抛物线
2
4
y
x
的焦点F 的直线交该抛物线于
,
A B 两点，若
,
A B 两点的横坐标之和为3，则AB （
）
A．5
B．14
3
C．13
3
D．4
3.抛物线C 的方程为
2
4
x
y
，过点
(0,2)
P
的直线交C 于
,
A B 两点，记直线
,
OA OB 的斜率分别为
1
2
,
k k ，则
1 2
k k
的值为（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．
1
4
4.直线
1
y
x
与抛物线
2
4
y
x
交于A B
、两点，则AB （
）
A．6
B．8
C．10
D．12
5．已知圆
2
2
:(
1)
1
C
x
y
与抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的准线相切，则p （
）
A．1
8
B．1
4
C．8
D．2
6.已知抛物线
2
4
x
y
的焦点为F，直线l 过点F 且与抛物线交于P，Q 两点，若
2
FP
QF
，则直线l 倾斜
角的正弦值为（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．3
7.已知直线:
(
1)
l y
k x
，抛物线
2
:
4
C y
x
，l 与C 有一个公共点的直线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条、2 条或3 条
8.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
，过C 的焦点F 且倾斜角为π
3 的直线交C 于A，B 两点，线段AB 的中点为
W，
4
|
|
3
FW
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，经过点
,0
2
p
P
且斜率为2 2
3
的直线l 与抛物线C 交于
,
A B
两点，若|
| 2 |
|
AF
BF
，且
2
2
BOF
S
△
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
2
4
y
x
上，则这个等边三角形的边长为
（
）
A．8 3
B．4 2
C．4 3
D．3 2
11．已知直线l：
0
2
p
y
x
p
与抛物线C：
2
2
y
px
交于A，B 两点，且
16
AB
，则C 的方程为（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
12
y
x
12．已知抛物线C：
2
2
y
px
的焦点为
2,0
F
，过点
2,1
M
的直线与抛物线C 交于A，B 两点，且M 是
AB 的中点，则直线AB 的方程为（
）
A．
1
y
x
B．
4
7
y
x
C．
3
y
x
D．
2
5
y
x
13．已知点F 是抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点，
( 2,0)
P
，过F 斜率为1 的直线交抛物线于M，N 两点，
且
16
PM PN
，若Q 是抛物线上任意一点，且
( ,
)
PQ
PM
PN
R
，则
的最小值是（
）
A．0
B．1
3
C．1
2
D．1
14.（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（
）
A．抛物线没有离心率
B．抛物线的离心率为1
C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切
D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点
15．（多选）设抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，点
0,3
N
，若
10
MF
，且
NM
NF
，则抛物线C 的方程可以为（
）
A．
2
3
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
36
y
x
D．
2
18
y
x
16.（多选）设抛物线C:
²
2
y
px
的焦点为F，准线为= 1
x . 点A，B 是抛物线C 上不同的两点，且
8
AF
BF
，则（
）
A．
2
p
B．以线段AB 为直径的圆必与准线相切
C．线段AB 的长为定值
D．线段AB 的中点E 到准线的距离为定值
17．（多选）已知O 为坐标原点，抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点F 到其准线的距离为4，过点F 作直线l
交C 于M ，N 两点，则（
）
A．C 的准线为
2
x
B．
MON
的大小可能为π
2
C．MN 的最小值为8
D．
2
MF NF
MF
NF
18．（多选）已知O 为坐标原点，M 为抛物线
2
:
4
C y
x
上一点，直线:
3
l x
my
与C 交于A ，B 两点，
过A ，B 作C 的切线交于点P ，则下列结论正确的是（
）
A．
3
OA OB
B．若点M 为
9, 6
，且直线AM 与BM 倾斜角互补，则
3
m
C．点P 在定直线
3
x 上
D．设Q 点为
3,0 ，则MQ 的最小值为3
19．已知抛物线
2
:
8
C y
x
，过抛物线焦点F 的直线与拋物线交于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
x x
．
20．已知抛物线C 的方程为
2
2
0
y
px p
，若倾斜角为锐角的直线l 过抛物线的焦点F，与抛物线交于
A，B 两点，且
3
AF
BF
，则直线l 的倾斜角为
．
21.已知抛物线C：
2
2
y
x
的焦点为F，准线为l，过F 的直线交抛物线C 于A，B 两点，AF 的中垂线分别
交l 与x 轴于D，E 两点（D，E 在AB 的两侧）.若四边形ADFE 为菱形，则AB
22.已知抛物线
2
4
y
x
的弦AB 斜率为1，则弦AB 中点M 的轨迹方程
.
23．已知抛物线顶点在原点，焦点为
1,0
F
，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐
标为2，则线段AB 的长为
24．抛物线C ：
2
6
y
x
与直线l 交于A ，B 两点，且AB 的中点为
, 2
m
，则l 的斜率为
.
25．已知抛物线
2
:
8
C y
x
与直线:
3
2 3
0
l
x
y
交于
,
M N 两点（点M 在第一象限），C 的焦点为F ，
则MF
.
26．已知抛物线
2
2
y
x
的焦点为F，过点F 的直线与抛物线交于A，B 两点，则4 AF
BF
的最小值
是
.
27.已知点
0,1
A
和抛物线
2
:
4
C y
x
，则过点A 且与抛物线C 相切的直线的方程为
.
28.已知抛物线
2
:
4
C y
x
，定点
0,1
A
．
(1)过点A 且过抛物线C 的焦点F 的直线，交抛物线C 于A 、B 两点，求AB ；
(2)求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线方程．
29.已知抛物线C ：
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点F 关于其准线的对称点为
3,0
M
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若O为坐标原点，过焦点F 且斜率为1 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，求AOB
的面积.
30．设抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，M
C
，Q 在准线上，Q 的纵坐标为
3p ，F 到点Q 距离
为4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过F 且斜率为2 的直线l 与C 交于A 、B 两点，求ABQ
的面积.
31．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，点
0
6
A
y
,
在抛物线C 上，且
10
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且点
4,2 为线段MN 的中点，求直线l 的方程．
32．抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为2 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点F 的直线（斜率存在且不为0）交抛物线C 于
,
A B 两点，线段AB 的中垂线交抛物线的对称轴于
点P ，求
FP
AB .
33．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点P 的横坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为
5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线:l x
my
t
交抛物线于A，B 两点（位于对称轴异侧），且
9
4
OA OB
，求证：直线l 必过定点．
34．已知抛物线
2
:
4
y
x
，在上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(
0)
a a
.
(1)若A 到抛物线准线的距离为3，求a 的值；
(2)当
4
a
时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线上，求O 到直线AB 的距离；
(3)直线:
3
l x ，P 是第一象限内上异于A 的动点，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交
点为Q .若在P 的位置变化过程中，
4
HQ
恒成立，求a 的取值范围.
35．已知抛物线
2
:
4
C x
y
，直线l 垂直于y 轴，与C 交于
,
M N 两点，O 为坐标原点，过点N 且平行于y
轴的直线与直线OM 交于点P ，记动点P 的轨迹为曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)点A 在直线
1
y 上运动，过点A 作曲线E 的两条切线，切点分别为
1
2
,
P P ，在平面内是否存在定点B ，
使得
1
2
AB
PP
？若存在，请求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
36.已知抛物线E 的准线方程为：�=−1，过焦点F 的直线与抛物线E 交于A、B 两点，分别过A、B 两点
作抛物线E 的切线，两条切线分别与y 轴交于C、D 两点，直线CF 与抛物线E 交于M、N 两点，直线DF
与抛物线E 交于P、Q 两点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：
1
��+
1
��为定值.
