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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题16 圆锥曲线综合问题 多选题（新高考通用）
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）， 的
左、右焦点分别为 ， ， 为 上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若 ，且 轴，则 的方程为
B．若 的一条渐近线方程是 ，则 的离心率为
C．若点 在 的右支上， 的离心率为 ，则等腰 的面积为
D．若 ，则 的离心率 的取值范围是
【答案】AD
【分析】由双曲线上一点 ，及 轴，可得 的值，即可求得双曲线
方程，从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线
的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰 的面积，从而判断C；由已知
结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从
而判断D.
【详解】对于A，若 ，且 轴，则 ， ，
所以 ，则 ，所以 ，
则 的方程为 ，故A正确；
对于B，若 的一条渐近线方程是 ，则 ，离心率
，故B不正确；对于C，若 的离心率为 ，则 ，所以 ，若点 在 的右支
上， 为等腰三角形，则 ，连接 ，如图，
则 是直角三角形，所以 ，故C不正确；
对于D，若 ，由正弦定理得 ，可知点 在双曲线
的左支上，故 ，
则 ，又 ，所以 ，整理得 ，解得 ，
所以 的离心率 的取值范围是 ，故D正确.
故选：AD.
2．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线与x轴的
交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，
B点作准线的垂线，垂足分别为 ．设直线l的倾斜角为 ，当 时， ．
则下列说法正确的是（ ）
A． 有可能为直角
B．
C．Q为抛物线C上一个动点， 为定点， 的最小值为
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在 ，使
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，点 ，准线方程为 ，设 ，直线
，
由 消去x得： ， ，
当 时， ， ，
，
解得 ，抛物线 ， ，
对于A，当 时， ，有 ， 为直角，A
正确；
对于B， ， ， ， ，
因此 ，即 ，而 ，则 ，
B正确；对于C，显然点E在抛物线C内， ，当且仅当点Q是直线EF
与抛物线C的交点时取等号，C错误；
对于D，由 ， ，得 ，
，同理
，
，
令 ，而 ，解得 ，则 ，D正确.
故选：ABD
3．（2023秋·浙江·高三期末）如图，已知抛物线 ，M为x轴正半轴
上一点， ，过M的直线交 于B，C两点，直线 交抛物线
另一点于D，直线 交抛物线另一点于A，且点 在第一象限，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设 ，得 ，由直线 的方程以及根与系数关系求得，由直线 的方程以及根与系数关系求得 ，根据弦长公式求得
，进而求得 ，根据三角形的面积公式求得
【详解】设 ，则 ，设直线 ，
由 消去 并化简得 ，
A选项：所以 ，同理可得 ，所以 ，故A正确；
B选项： ，故B错误；
C选项：同理可得 ，所以 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
则 ，
所以 ，故C错误；
D选项： ，故D正确．
故选：AD
4．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知椭圆 ， ， 分别为椭圆 的
左右顶点， 为椭圆的上顶点.设 是椭圆 上一点，且不与顶点重合，若直线 与
直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，则（ ）A．若直线 与 的斜率分别为 ， ，则
B．直线 与 轴垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】设 ，由斜率公式及点在椭圆上可得 判断A，联立直线的方程求
出 、 坐标，由条件可得 即可判断B，求出 中点在 上，即可判断
CD.
【详解】如图，
设 ，则 ，故A正确；
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立
得 ，即 ，
同理可得 ，因为 ，所以，所以 ，则直线 与 轴垂直，故B正确；
同理 ，所以
，故 的中点在直线 上，
故C正确；D错误，
故选：ABC.
5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知双曲线 （
）的左、右焦点分别为 ，直线 交双曲线 于 两点，点 为
上一动点记直线 的斜率分别为 ， 若 ，且 到 的渐近线
的距离为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．过右焦点的直线与双曲线 相交 两点，线段 长度的最小值为4
C．若 的角平分线与 轴交点为 ，则
D．若双曲线 在 处的切线与两渐近线交于 两点，则
【答案】ACD
【分析】首先由已知条件求得双曲线方程为 ，求出离心率判断A，由双曲线
的性质求得 最小值判断B，利用角平分线定理求得 ，计算三角形面积判断C，设 ，由导数求得切线方程后，求出 点坐标，计算三角形面积判断
D．
【详解】由题意知 ，
设 ， ，则 ，
， ，相减整理得 ，
，
，故 ，双曲线的方程为 ，
对于A： ，故 ，选项A正确；
对于B：因实轴长 ，故选项B错误；
对于C：记 ， ， ， ， ，由角平分线
定理得： ，又 ，所以 ，于是
，所以 ， ，故选
项C正确；
对于D：设 ， ， ， ，
时， ， ， ，
切线方程为 ，整理得 ,
同理 时，， ， ， ，切线方程为 ，整理得 ,
时， 或 ，切线方程为 或 ，切线方程也可表示为
,
所以过 的切线方程为 ，与渐近线 联立解得 ，
故 ；与渐近线 联立，解得
，
于是 ，故选项D
正确，
故选：ACD
6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是
18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂
直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”
（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆 相切，则下列说法正确的是
（ ）A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
【答案】CD
【分析】由 结合离心率公式判断A；当长方体R的对称轴恰好就是的
对称轴椭圆C时，求出蒙日圆的半径，进而判断BC；设长方体R的长为 ，宽为 ，
由基本不等式判断D.
【详解】由题意可知 ，则椭圆C的离心率为 ，故A错误；
当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为 宽为 ，
所以椭圆C的蒙日圆的半径为 ，即椭圆C的蒙日圆方程为
，故C正确，B错误；
设长方体R的长为 ，宽为 ，则 ，长方形R的面积为 ，
当且仅当 时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确；
故选：CD
7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，点
在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线W交于B，C
和D，E，过点A分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，N，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出抛物线 的方程，确定四边形 形状，利用勾股定
理及均值不等式计算判断A，B；设出直线 的方程，与抛物线方程联立，求出弦
长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 ，故 ， ，
抛物线 的焦点 的坐标为 ，
因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 面积的最大值为2，故A正确.
由 ，
得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 周长的最大值为 ，故B不正确.
设直线 的方程为 ，联立 消x得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ，则 ，
则 ，
同理得 ，
，C正确.，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 ，故D正确.
故选：ACD.
8．（2023·辽宁·校联考一模）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过
上的点 作 的切线m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，
垂足为 ，则（ ）
A． B． 为 中点
C．四边形 是菱形 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】设 与 轴交点为 ，则 未必是 的中点，即可判断A，利用韦达定理表
示出 的坐标可判断B，根据菱形的判定定理可判断C，利用三角形的全等关系可
判断D.【详解】
设 ，可知 斜率 存在，可设 ，
将 代入可得 ，由 ，即 可得
，
因此 ，令 解得 ，所以 ，
又因为 ， ，
要使 ，则 必需为 中点，则必有 ，即 ，
所以当且仅当 时， 才成立，无法满足任意性，A错误；
中令 ，于是 ，
因为 ， ，所以 为 中点，选项B正确.
因为 ，所以 是 的垂直平分线，
而 轴，所以四边形 是菱形，选项C正确；
，由 ，可得 ，所以 .因为 ，所以 ，选项D正确.
故选：BCD.
9．（2023·河北邯郸·统考一模）已知双曲线C： 的左、右焦点
分别是 ， ，过 作圆 的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的左、
右两支分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则双曲线C的渐近线方程为
C．若 ，则双曲线C的离心率是
D．若M是 的中点，则双曲线C的离心率是
【答案】ABD
【分析】 ， ， ，根据选项中的条件，求出 和 ，利用
双曲线的定义，求出渐近线方程和离心率等结果.
【详解】如图所示，
对于A：由 ， ，得 ，所以 ， ， ．
设 ，则 ．
在 中，由余弦定理可得 ，解得 ，
则 ， ，从而 ，故A正确；
对于B：由 ，得 ，因为O为 的中点，所以M为 的中点．由题意可知 ， ，则 ， ．
由双曲线的定义可得 ，即 ，
则双曲线C的渐近线方程为 ，故B正确；
对于C：由 ，得 ，则 ．
在 中，由余弦定理可得 ，
整理得 ，则 ，故C错误；
对于D：因为M，O分别是 ， 的中点，所以 ，所以 ，
．
由双曲线的定义可得 ，即 ，则 ，故
D正确．
故选：ABD
10．（2023·山东潍坊·统考一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，
经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲
线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知 分别为双曲线
的左，右焦点，过 右支上一点 作直线 交 轴于点
，交 轴于点 .则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．点 的坐标为
C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得
，进而结合双曲线方程，即可得出点 的坐标，即可判断B项；根
据双曲线的光学性质可推得，点 为 的中点.进而得出 ，结合双曲线
的定义，即可判断C项；由 ，代入利用基本不等式即可求出面
积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得 ， ，所以 的渐近线方程为
，故A项正确；
对于B项，设 ，则 ，整理可得 .
又 ，所以 ，所以有 ，解得 ，所
以点 的坐标为 ，故B项错误；
对于C项，如上图，显然 为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知， 平分 ，延长 与 的延长线交于点 .
则 垂直平分 ，即点 为 的中点.又 是 的中点，所以， ，
故C项正确；
对于D项， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以，四边形 面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出
.
11．（2023·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物
线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光
线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ， 为坐标原点，一束
平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经过 上另
一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（）
A．
B．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
C．
D．若 平分 ，则
【答案】AB
【分析】根据题设和抛物线和性质得到点 ， ，将点 代入抛物
线 的方程得到 ，从而求出直线 的方程，联立直线 和抛物线 得到点 的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线 和直线 得到点 ，即可判断B选项，
若 平分 ，得到 ，转化为直线 斜率 和直线 的斜率的
关系式即可求出 .
【详解】由题意知，点 ， ，如图：
将 代入 ，得 ，所以 ，则直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，解得 ， ，
又 时， ，则
所以 ，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线 轴，且 ，则直线 的方程为 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，即 ， 在直线 上，
所以 ， ， 三点共线，所以B选项正确；设直线 的倾斜角为 （ ），斜率为 ，直线 的倾斜角为 ，
若 平分 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，且 ，解得 ，
又 ，解得： ，所以D选项错误；
故选：AB.
12．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知点 是曲线 ： 上的动点，
点 是直线 上的动点.点 是坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．原点在曲线 上
B．曲线 围成的图形的面积为
C．过 至多可以作出4条直线与曲线相切
D．满足 到直线 的距离为 的点有3个
【答案】ACD
【分析】分类讨论后，根据对称性画出函数图像，从而可以进一步求解.
【详解】对于A：将原点坐标 代入， 正确，故A选项正确；
对于B：当 时，
曲线 ： ，
即 ，
即 ，
第一象限内曲线 与坐标轴围成的图形的面积为 ，
所以总面积为： .故选项B错误；
由函数图像知过 至多可以作出4条直线与曲线相切，故选项C正确；
原点到直线 的距离为： 满足 到直线 的距
离为 的点有 共3个，故选项D正确.
故选：ACD.
13．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）过椭圆 外一点 作椭
圆 的两条切线，切点分别为 ，若直线 的斜率之积为 （ 为常数），则
点 的轨迹可能是（ ）
A．两条直线 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分【答案】BCD
【分析】设出切线方程且斜率为 ，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于 等式，根
据判别式及二次方程和韦达定理可得 的范围及 ，根据 的不同取值分别判断
关于 方程所对应的轨迹即可.
【详解】解：依题意可知直线 和直线 的斜率存在，
设过 的椭圆的切线方程为 ，
联立 化简可得：
，
取 ，
即 ，
且有 ，且上式两根分别为 ，
则上式的判别式 ，
整理得 ，符合题意，所以 ，
①若 ，则 ，
即 点的轨迹是直线（两条）的一部分；
②若 ，则 ，即 点的轨迹是直线（两条）的一部分；
若 且 ，整理可得 ，
③当 时， 12，轨迹方程可化为 ，即 点的轨迹是圆的一部分；
④当 或 时， ，且 ，
由于 ，且 ，所以 点的轨迹是椭圆的一部分；
⑤当 时， ， 表示焦点在 轴上的双曲
线，
由于 ，所以 点的轨迹是双曲线的一部分.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于求轨迹方
程的思路有：
(1)已知轨迹，建立合适的轨迹方程，用待定系数求解；
(2)未知轨迹，求哪点轨迹设哪点坐标为 ，根据题意建立关于 的等式即可；
(3)轨迹不好判断，等式关系不好找时，找要求的轨迹点与题中的定点或定直线之间的
定量关系，根据转化找出轨迹特点，建立轨迹方程，用待定系数求解.
14．（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点， ， 分别是双曲线E：
的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若 ，
双曲线E的离心率为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线 与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【答案】ACD
【分析】根据双曲线定义及离心率求出 得到双曲线的标准方程，即可求出渐近线方程判断AB，再由点到渐近线的距离判断C，点差法可判断D.
【详解】根据双曲线的定义得， ，故 ，由 ，得 ，
所以 ，所以双曲线E的标准方程为 ，渐近线方程为 ，
即 ，所以A正确，B不正确；
设 ，则点P到两条渐近线的距离之积为 ，所以C
正确；
设 ， ，因为P，M在双曲线E上，所 ①， ②，
①－②并整理得， ，即 ，所以 ，所以D正
确．
故选：ACD．
15．（2023·湖南张家界·统考二模）过抛物线 的焦点F的直线 交抛
物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线E的准线方程为
B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上
C．若 为坐标原点，则
D．若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于C，D两点，则
【答案】BC
【分析】对于A项，方法一：运用韦达定理 及抛物线定义表示 、 代入解
方程即可；方法二：运用 求解即可；对于B项，运用导数几何意义分别求得 、 ，将 的值代入 计算即可；对于C项，运用韦达定理及抛物
线弦长公式求得 、 及 的值，进而求出点M坐标，运用两点间距离公式
求得 即可；对于D项，方法一：将 中的斜率k换成 可求
得 ，进而求得 的值；方法二：运用抛物线焦点弦长公式可得
，进而求得 的值.
【详解】对于A项，方法一：由题意可设过点 的直线l的方程为 ，
，设 ， ，
联立方程组 消去x整理得 ，可得 .
因为 ，所以 则 ，解得 ，所
以抛物线 ，故抛物线E的准线方程为 ，故A项错误；
方法二：∵ ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，解得： ，
所以抛物线E： ，故抛物线E的准线方程为 ，故A项错误；
对于B项，设 ， ，抛物线 ， ， ，
易得 ， ，所以 ，
所以直线NA，NB垂直，所以点N在以AB为直径的圆上，故B项正确；
对于C项，由A项知，抛物线E： ，则直线l的方程为 ， ，设， ，
，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，解得： ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，即： ，
所以 ，故C项正确；
对于D项，方法一：由C项知， ， ，
又因为直线l垂直于直线m ，
所以 ，
所以 .故D项错误.
方法二：由题意知 .设直线 的倾斜角为 ，由 ， ，
易得直线 的方程为 ， ， ，
根据焦点弦长公式可得 ，
所以 .故D项错误.
故选：BC.16．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）设双曲线 的右焦
点为 ，若直线 与 的右支交于 两点，且 为 的重心，则
（ ）
A． 的离心率的取值范围为
B． 的离心率的取值范围为
C．直线 斜率的取值范围为
D．直线 斜率的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据重心性质得出 中点 的坐标，根据直线 与 的右支交于 两点可
知点 在右支内部，将 的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根
据点差法可得直线 的斜率与 之间等式关系，由 不共线建立不等式，解
出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线 的斜率与 之间等式关系，即可得
斜率的取值范围，解出即可.
【详解】解：设 为 的中点，根据重心性质可得 ，
因为 ，则 ，
因为直线 与 的右支交于 两点，所以点 在双曲线右支内部，
故有 ，解得 ，
当直线 斜率不存在时， 的中点 在 轴上，
故 三点不共线，不符合题意舍，
设直线 斜率为 ，设 ，所以 ， ，
因为 在双曲线上，所以 ，
两式相减可得： ，
即 ，
即有 成立，
即有 ，因为 不共线，
即 ，即 ，即 ，
所以 的离心率的取值范围为 ，
因为
，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故选：AC
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线
中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标 ；
（2）根据中点坐标建立等式： ， ；（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将 ， 及 代入等式中即可得出关系.
17．（2023·广东茂名·统考一模）已知抛物线 ，F为抛物线C的焦点，下列
说法正确的是（ ）
A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为 、
B．抛物线C在点 处的切线方程为
C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点， 的周长为
D．点H为抛物线C的上任意一点，点 ， ，当t取最大值时，
的面积为2
【答案】ABD
【分析】根据抛物线定义判断A，利用导函数与切线的关系求解B，设点 ，根据
点在抛物线上即可求解C，利用抛物线定义结合图形分析得到直线GH与抛物线C相
切时t取最大值，即可求解.
【详解】A选项：由抛物线C的定义知 ，
解得 代入 可得 ，
所以P的坐标为 、 ，故A正确；
B选项：由 得 ， ，
切线方抛物线C在点 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，故B正确；
C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，
设正三角形的边长为 ，则根据对称性可得
且点 在抛物线上，所以 ，解得 ，所以这个正三角形的边长为 ，故C错误；
D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线 于点D，
如图，
由抛物线的定义知，
当t取最大值时， 取最小值，
即直线GH与抛物线C相切.
设直线HG的方程为 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ，
此时 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 ，故D正确.
故选:ABD.
18．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知F是抛物线 的焦点，过点
F作两条互相垂直的直线 ， ， 与C相交于A，B两点， 与C相交于E，D两点，
M为A，B中点，N为D，E中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以 为直径的圆与y轴相切
C． 的最小值为32 D．当 取得最小值时， 轴
【答案】CD
【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A；利用抛物线定义推得 ,由此判
断B；计算出弦长 ，可得 的表达式，利用基本不等式求得其最小值，
判断C;求出 的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断
D.
【详解】设 ， ， ， ， ，
直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ,
将直线 的方程 代入 ，化简整理得 ，
则 ， ，
故 ,
所以 ， ,
因为点A到直线l的距离 ，点B到直线l的距离 ，
点M到直线l的距离 ，
又 ，所以 ，故A错误；
因为 ，
所以以 为直径的圆的圆心M到l的距离为 ，
即以 为直径的圆与l相切，故B错误；
同理， ，所以 ， ，
，
则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；.
设 ，则 ， ， .
当 时，即 时， 最小，这时 ，即 轴，故D正确,
故选:CD.
19．（2023·广东湛江·统考一模）已知 分别为双曲线 的
左、右焦点，点 为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线
C的切线交x轴于点 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若 ，且 ，则双曲线C的离心率
【答案】AB
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程即可求得 可判断选项C，再根据
可判断选项A，利用 可判断选项B，根据向量共
线的坐标表示与余弦定理可判断D.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
则在点 处的切线斜率为 ，所以在点 处的切线方程为 ，
又有 ，化简即可得切线方程为 ，
所以 ，所以 ，故C错误；
由 ，得 ，又 ，所以 ，故A正确；
由 ，得 ，
故 ，
由 ，得
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设点A到x轴的距离为h，
则 ，
，
，
又 ，所以 ，故B正确；
由上可得 ，因为 ，则 ，得 ，
，
所以 ，
解得 ，故D错误，
故选:AB．
【点睛】关键点点睛:解决本题的关键在于利用导数的几何意义求切点 处切线方
程为
.
20．（2023·浙江·校联考三模）设椭圆 ， ， 为
椭圆 上一点， ，点 关于 轴对称，直线 分别与 轴交于 两点，
则（ ）
A． 的最大值为
B．直线 的斜率乘积为定值
C．若 轴上存在点 ，使得 ，则 的坐标为 或
D．直线 过定点
【答案】BCD
【分析】利用两点间距离公式表示出 ，结合 可得关于 的二次函
数的形式，通过讨论 与二次函数对称轴的位置关系，可求得 的最大值，知A错
误；利用斜率公式表示出 ，化简可得定值，知B正确；假设存在，可得，求得 横坐标后，代入化简知C正确；表示出直线 后，根
据直线过定点的求法可知D正确.
【详解】
对于A， 在椭圆 上， ， ，
，
由题意知： ， 的对称轴为 ，
若 ，即 时， ，
；
当 ，即 时， ，
；
综上所述：A错误；
对于B， 关于 轴对称， ， ， ，
，B正确；
对于C，假设存在点 ，使得， ，则 ∽ ，
；直线 ，直线 ， ， ，
，即 或 ，C正确；
对于D， ， ， ，
直线 ，即 ，
直线 过定点 ，D正确.
故选：BCD．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用的问题，解题基本思路是能够利用
表示出所需的点的坐标，结合两点间距离公式、斜率公式、三角形相似关系等知
识化简所求量，从而确定选项的正误.
21．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，
直线l与C交于 ， 两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，
作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且 ，则
B．若 ，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则 的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线
方程，得到两根之和，两根之积，由 列出方程，求出 ，A错误；B
选项，先得到直线 经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，
得到两根之和，两根之积，结合 求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到 的最小值；D选项，与C
一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.
【详解】A选项，由题意得： ，准线方程为 ，
当直线 的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线 ，与 联立得： ，
故 ，
则 ，所以 ，
解得： ，A错误；
B选项，因为 ，所以 三点共线，即直线 经过抛物线焦点，
当直线 的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线 ，与 联立得： ，
故 ，
因为 ，所以 ，
代入 中，得到 ，
即 ，
因为点A在第一象限，所以 ，故 ，即 ， ，
解得：
故直线l的斜率为 ，设直线l的倾斜角为 ，则 ，
解得： ，B正确；
C选项，设 ，过点 作 ⊥准线于点 ，过点 作 ⊥准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以 ⊥ ，
则 ，
由抛物线定义可知： ，
由基本不等式得： ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，即 ，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点 时，设 ，
由三角形三边关系可知： ，
由抛物线定义可知结合C选项可知： ，即 ，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.
故选：BC
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来
解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函
数，再求这个函数的最值或范围．
22．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ， 为的上顶点， ， 是 上两点．若 ， ， 构成以 为公差的等差数列，
则（ ）
A． 的最大值是
B．当 时，
C．当 ， 在 轴的同侧时， 的最大值为
D．当 ， 在 轴的异侧时（ ， 与 不重合），
【答案】ABC
【分析】由题可得 ，根据椭圆的焦半径的取值范围可判断A，根据
结合椭圆方程可求 坐标，然后根据余弦定理可判断B，根据椭圆的
性质结合基本不等式及斜率公式可判断CD.
【详解】因为椭圆 ，
所以 ， ， ，
又 ， ， 构成以 为公差的等差数列，则 ，
不妨设 ，由题可知 ，则 的最大值是 ，
故A正确；
当 时， ，设 ，
则 ，解得 ，不妨取 ，设 ，则 ，解得 ，
所以 或 ，
当 时，又 ， ，此时 ；
当 时， ， ，
所以 ， ，
综上，当 时， ，故B正确；
设椭圆的右焦点为 ，则 ， ， ，
， ，
当 ， 在 轴的同侧时，则 ， 关于 轴对称，设 ，则 ，
所以 ，由 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，故C正确；
当 ， 在 轴的异侧时（ ， 与 不重合），则 ， 关于原点对称，
设 ，则 ，由 ，可得 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC.
23．（2023·福建漳州·统考二模）已知 是双曲线
的左、右焦点，且 到 的一条渐近线的距离为 ， 为坐标
原点，点 ， 为 右支上的一点，则（ ）
A． B．过点M且斜率为1的直线与C有两个
不同的交点
C． D．当 四点共圆时，
【答案】ACD
【分析】选项A利用双曲线的定义及性质判断即可，选项B利用直线与双曲线方程联
立判断即可，选项C利用双曲线的定义及中线长的公式即可解决，选项D利用圆与双
曲线的关系及性质即可.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，一条渐近线为：因为 到 的一条渐近线的距离为 ，
即 ，
所以 ，又 ，所以 ，故A正确，
对于B，双曲线的渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为 ，
联立 ，消去 得： ，只有一个交点，故B错误，
对于C，由双曲线的定义知， ，
所以 ，
因为 为 的中点， 为 右支上的一点，
所以 ，
所以
，
在 中，由余弦定理得：
，
则有
即
，故C正确；对于D，当 四点共圆时，所在的圆方程为 ，
联立 得 ，
因为 ，
所以 ，
当点 的坐标为 时， ，
又 ，所以 ，
当点 的坐标为 时， ，
又 ，所以 ，故D正确，
故选：ACD.
24．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F
的直线l与C交于M，N两点，P为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最大值为4
C．当 时， D．当 时，
【答案】AD
【分析】考虑直线的斜率不存在时，可得 ，当直线的斜率存在时，假设直线
的方程为 ，代入抛物线可得 ，利用抛物线
的定义可得 ，然后结合每个选项进行求解判断即可
【详解】由抛物线 可得焦点 ，准线为 ，
对于A，当直线l的斜率不存在时，方程为 ，代入抛物线可得所以此时 ；
当直线l的斜率存在时，假设直线的方程为 ，设
将直线方程代入抛物线可得
，则 ，
所以 ，
综上所述， 的最小值为4，故A正确；
对于B，当直线l的斜率存在时，
，故B错误；
对于C，因为P为 的中点， ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
将 代入可得 ，解得 或 ，
当 时， 易得不满足题意；
当 时， ，所以 ，故C错误；
对于D，由 易得斜率存在，
由P为 的中点可得 即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，故D正确；
故选：AD
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
25．（2023·山东菏泽·统考一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 、 ，
过点 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于 、 两点，下列命题正确的有
（ ）
A．当点 为线段 的中点时，直线 的斜率为
B．若 ，则
C．
D．若直线 的斜率为 ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】对于A选项，设 ，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B
选项，设 ，表示出 和 ，得出
，再结合 即可得出结论；对于C选项，
设 ，其中 ，由双曲线方程，得出 ，利用两点之间距离公
式，分别表示出 和 ，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲
线的定义，得出 ，再证出点 与点 关于直线 对称，则，即可得出结论．
【详解】选项A：
设 ，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点 为线段 的中点，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ，
，故A错误；
选项B：
设 ，
， ，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设 ，其中 ，则 ，即 ，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
， ，
， ，
，
∵直线 的斜率为 即 ，且过点 ，
∴直线 的方程为： ，
又∵ ， ，
，
即 ，
又∵点 到直线 的距离： ，
点 到直线 的距离： ，即 ，
∴点 与点 关于直线 对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点 是双曲线 上一条弦 的中点，则直线 的斜率
；
（2）若双曲线上有两点 、 ，且位于不同两支，则 ．
26．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线 ，抛
物线 ， 为曲线 上一动点， 为抛物线 上一动点，与两
条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（ ）．
A．直线 是曲线 和 的公切线；
B．曲线 和 的公切线有且仅有一条；
C． 最小值为 ；
D．当 轴时， 最小值为 ．【答案】ACD
【分析】利用导数求出 斜率为1的切线并判断与 是否相切判断A；设出公切线与
和 的切点，利用导数几何意义结合零点存在性定理判断B；利用抛物线定义转化
求 的焦点与P的距离最小值判断C；构造函数并求出最小值判断D作答.
【详解】对于A，对函数 求导得 ，由 得 ，则与曲线 相切且斜
率为1的直线切曲线 于点 ，
切线方程为 ，由 消去x得： ，即直线 与曲线 相切，
所以直线 是曲线 和 的公切线，A正确；
对于B，设曲线 和 的公切线与曲线 相切于点 ，由选项A知，该切线斜率
为 ，
切线方程为 ，由 消去x得：
，
因此 ，令 ，求导得
，
当 时， ，当 时， ，则函数 在 上递减，在 上递
增， ，
而 ， ，即存在 ，使得 ，因此函数 有0和 两
个零点，
显然当 时， ，因此 的解有0和 两个，即曲线 和 的公切线有两条，B错误；
对于C，抛物线 的焦点 ，准线方程 ，则 ，
因此 ，当且仅当 三点共线时取等号，
而 ，令 ，求导得
，
显然 在R上都递增，因此函数 在R上递增，而 ，
即当 时， ，当 时， ，函数 在 上递减，在
上递增，
，因此 ，所以当 ，点Q为线段 与抛物线 的交
点时， 最小值为 ，C正确;
对于D，当 轴时， ，则 ， ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
因此函数 在 上单调递减，在 上递增，
，
所以 最小值为 ，D正确．
故选：ACD【点睛】知识点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个
方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 已知斜
率 求切点 即解方程 ；(3) 已知切线过某点 (不是
切点) 求切点, 设出切点 利用 求解.
27．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）如图所示，抛物线E： 的
焦点为F，过点 的直线 ， 与E分别相交于 ， 和C，D两
点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时， ．下列结论正确的是（ ）
A．E的方程为
B．
C．若AD，BC的斜率分别为 ， ，则D．若AD，BC的倾斜角分别为 ， ，则 的最大值为
【答案】AD
【分析】根据抛物线定义表示 ，由条件列方程求 可得抛物线方程，判断A，设
的方程为 ，利用设而不求法求 ，判断B，设 ，
利用设而不求法求 ，根据直线AD经过点F，确定 的关系，利用 表示 ，
判断C，讨论 ，结合 关系利用基本不等式求 的最值即可判断D.
【详解】当直线 垂直于x轴时，直线 的方程为 ，
所以点 的横坐标为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以抛物线的方程为 ，A正确；
所以 ，
若直线 的斜率为0，则直线 与抛物线只有一个交点，以已知矛盾，
故可设直线 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
方程 的判别式 ，
由已知 为方程 的两根，
所以 ， ，B错误；
同理可设 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，方程 的判别式 ，
设
所以 ， ，
若直线 的斜率存在，则 ， ， ，
因为直线AD经过点F，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，C错误；
因为AD，BC的倾斜角分别为 ， ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，此时 ，
当 ，因为 ，所以 ，
所以所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ，D正确；
故选：AD.
【点睛】(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或 )建
立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量
关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊
情形．
28．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知过抛物线 的焦点 作直线 与
抛物线 交于 两点，弦 的中点为 ，过 两点分别作抛物线的两条切线交
于点 交抛物线 于 ，过 作抛物线 的切线分别交 于 ，则
（ ）
A． 轴 B．
C． D． 成等比数列
【答案】ABD
【分析】通过切线 求得 点横坐标与 点的横坐标相同，由此判断A选项的正
确性.利用 判断B选项的正确性.利用点到直线的距离公式以及三角形的面积公
式判断CD选项的正确性.
【详解】设 ，则 ，由 得 ，
故在 处的切线方程分别为： ，
即有： （ ），设 ，切线 均过点 ，
则切点弦 所在直线方程为： ，
又 过点 ，则 恒成立，即 在直线 上，
由（ ）可得 ，故 轴，选项A正确，
，故 ，故 ，选项B正确；
根据题意，直线 的斜率显然存在，设为 ，
则 .
故 ，
到直线 的距离分别为 ，
，故 是 的中位线， ，
且 ，根据题意可得 是 中点， ，
故 ，选项C错误，D正确；
答案选：ABD
【点睛】在圆锥曲线中求三角形的面积，关键点有两点，一个是选取底和高，不同的
问题，求解三角形面积所用的底和高会有所不同.另一个是点到直线的距离公式，点到
直线的距离公式的用途很广，需要准确的记忆，如要将直线方程转化为一般式，分子
有绝对值等.
29．（2023·广东广州·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西
尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面
直角坐标系 中， ， ，动点P满足 ，则下列结论正
确的是（ ）
A．点 的横坐标的取值范围是B． 的取值范围是
C． 面积的最大值为
D． 的取值范围是
【答案】BC
【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意
义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答.
【详解】设点 ，依题意， ，
对于A， ，当且仅当 时
取等号，
解不等式 得： ，即点 的横坐标的取值范围是 ，A错误；
对于B， ，则 ，
显然 ，因此 ，B正确；
对于C， 的面积 ，当且仅当
时取等号，
当 时，点P在以线段MN为直径的圆 上，由
解得 ，
所以 面积的最大值为 ，C正确；
对于D，因为点 在动点P的轨迹上，当点P为此点时， ，D
错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化
简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
30．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知 为坐标原点，椭圆
.过点 作斜率分别为 和 的两条直线 ， ，其
中 与 交于 两点， 与 交于 两点，且 ，则（ ）
A． 的离心率为 B．
C． D． 四点共圆
【答案】ABD
【分析】求得 点坐标并代入椭圆方程，由此求得 ，进而求得椭圆的离心率.设出直
线 和 的参数方程并与椭圆方程联立，根据根与系数关系、圆的知识求得正确答案.
【详解】依题意 ，即 ，
所以 ，解得 （负根舍去）.
所以椭圆 ，则 .
依题意可知直线 的倾斜角 为锐角，且 ，
由 解得 .
直线 的倾斜角 为钝角，且 ，
由 解得 .设直线 的参数方程为 （ 为参数），
由 整理得 ，
解得 （不妨设）.
设直线 的参数方程为 （ 为参数），
由 整理得 ，
解得 （不妨设）.
所以 ，B选项正确.
，C选项错误.
，
所以 ，而 ，所以 ，
所以 ，所以 四点共圆.
（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由 判断出 四点
共圆）
所以D选项正确.
故选：ABD【点睛】待定系数法求椭圆的方程，可利用题目所给已知条件，列出等量关系式，由
此来求得椭圆方程中的未知参数.四点共圆的证明方法，可利用相交弦定理的逆定理，
也可利用“同弧所对的圆周角相等”来证明.
