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类比归纳专题：证明线段相等的基本思路
——理条件、定思路，几何证明也容易
类型一 已知“边的关系”或“边角 的位置关系用“等角对等边”
关系”用全等 3．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分
1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝ ∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交
∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证： AC于点D，求证：DE＝DF.
(1)AC＝AD；
(2)CF＝DF.
4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在
△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线
AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于
H，交AB于N.
(1)求证：AN＝AC；
2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E分别 (2)试判断BN与CD的数量关系，并说
在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中 明理由．
点．求证：△MDE是等腰三角形．
类型三 已知角平分线、垂直或垂直平
类型二 已知角度关系或线与线之间 分用相应的性质
1 ..5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作 BD＝DF.求证：
DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF. (1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是
参考答案与解析
1．证明：(1)在△ABC和△AED中，AB ＝ AE ， ∠ B ＝ ∠ E ， BC ＝ ED ，
2 ..∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD； DF，∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝
(2)在 Rt△ACF 和 Rt△ADF 中，AC＝ EB；
AD，AF＝AF，∴△ACF≌△ADF，∴CF＝ (2)在Rt△ADC 和Rt△ADE中，AD＝
DF. AD，DC＝DE，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
2．证明：连接CM，则BM＝CM，且 ∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF
CM⊥MB，∴∠B＝∠MCE＝45°，∴BM＝ ＋CF＋EB＝AF＋2EB.
AM＝CM.在△MBD 和△MCE 中，BM＝
CM ， ∠ B ＝ ∠ MCE ， BD ＝ CE ，
∴△MBD≌△MCE，∴DM＝EM，∴△MDE
是等腰三角形．
3．证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE.∵CF 为△ABC 外角
∠ ACG 的 平 分 线 ， ∴ ∠ ACF ＝
∠GCF.∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE
＝∠CEF.∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF，
∴CD＝ED，CD＝DF，∴DE＝DF.
4．(1)证明：∵CN⊥AD，∴∠AHN＝
∠AHC＝90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠NAH
＝∠CAH.又∵在△ANH 和△ACH 中，
∠AHN＋∠NAH＋∠ANH＝180°，∠AHC＋
∠CAH＋∠ACH＝180°∴∠ANH＝∠ACH，
∴AN＝AC；
(2)解：BN＝CD.理由如下：连接ND.在
△ AND 和 △ ACD 中 ，
∴△AND≌△ACD(SAS)，∴DN＝DC，
∠AND＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B.又∵△BND中，∠AND＝
∠B＋∠NDB，∴∠B＝∠NDB，∴NB＝ND，
∴BN＝CD.
5．证明：连接BD、CD.∵AD是∠FAE
的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝
DF.∵DG 是 BC 的垂直平分线，∴BD＝
CD.∴Rt△CDF≌Rt△BDE.∴BE＝CF.
6．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.又∵BD＝
3 ..
