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拔高专题 抛物线中的压轴题
一、基本模型构建
常见模型
思考 在边长为1的正方形网格中有A, B, C三 在射线BD上可以找出
点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边 一点组成三角形，可得
形ABCD。 △ ABC 、 △ BEC 、
△ CBD 为等腰三角形。
二、拔高精讲精练
探究点一：因动点产生的平行四边形的问题
例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、
Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
1 ..解得 ，所以此函数解析式为：y= x2+x−4；
（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m， m2+m−4），
∴S=S +S -S = ×4×（- m2-m+4）+ ×4×（-m）- ×4×4=-m2-2m+8-2m-8
AOM OBM AOB
△ △ △
=-m2-4m=（- m+2）2+4，∵-4＜m＜0，当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S有最
大值S=4．
（3）设P（x， x2+x-4）．
当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐
标，
又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（ x2+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2 ．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，
OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2 ，2-2 ）或（-2-2 ，2+2 ）或（4，-4）．
【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于
A（-2，0），B两点．
（1）a ＞ 0，b2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是
否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出
满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2 ..解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），
∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a= ，b=- ，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y= x2- x-4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，
则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y= x2- x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的
平行四边形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，
∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4= x2- x-4，
解得：x=2+2 ，x=2-2 ，
1 2
3 ..∴点E′的坐标为（2+2 ，4），同理可得点E″的坐标为（2-2 ，4）。
【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是
解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：
（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平
行四边形。①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定
点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。
探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题
例2:（ 2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点
B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从
点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B
时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c， ，解得：b=-4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；
（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3
2
，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3 ，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC-OC=3 -3
∴P（0，3+3 ），P（0，3-3 ）；
1 2
②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，
3
∴此时P与O重合，∴P（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3-3 ）或
4
（0，-3）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S = ×（2-t）×2t=-t2+2t=-（t-1）
△MNB
2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。
4 ..【变式训练】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y=-x2+ x+c的图象与x轴的一个交点
1
为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y=kx+b．
2
（1）求二次函数y 的解析式及点B的坐标；
1
（2）由图象写出满足y＜y 的自变量x的取值范围；
1 2
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P
的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）将A点坐标代入y，得-16+13+c=0．解得c=3，
1
二次函数y 的解析式为y=-x2+ x+3，B点坐标为（0，3）；
1
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，y＜y；
1 2
（3）直线AB的解析式为y=- x+3，AB的中点为（2， ），
AB的垂直平分线为y= x- ，当x=0时，y=- ，P（0，- ），
1
当y=0时，x= ，P（ ，0），
2
综上所述：P（0，- ），P（ ，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形。
1 2
【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，
解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.
5 ..
