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8.3 实数（2）（七大类型提分练）
类型一、实数的运算
1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列计算不正确的是（ ）
√49 7 √27 3
A．❑√16−❑√9=❑√7B．❑ =+ C．3 = D．3❑√2−2❑√2=❑√2
9 3 64 4
【答案】A
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的意义、实数的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算
法则．
【详解】解：A、❑√16−❑√9=4−3=1≠❑√7，原计算错误，因此选项A符合题意；
√49 7
B、❑ =+ ，计算正确，因此选项B不符合题意；
9 3
√27 3
C、3 = ，计算正确，因此选项C不符合题意；
64 4
D、3❑√2−2❑√2=❑√2，计算正确，因此选项D不符合题意；
故选：A．
2．（23-24七年级下·广西河池·期末）下列计算正确的是（ ）
A．❑√2+❑√3=❑√5 B．3❑√2−2❑√2=1
C．3❑√2+2❑√2=5❑√2 D．3+❑√3=3❑√3
【答案】C
【分析】本题考查了实数的运算，根据加法法则计算即可．
【详解】解：A．❑√2与❑√3不是同类项，不能计算，故不正确；
B．3❑√2−2❑√2=❑√2，故不正确；
C．3❑√2+2❑√2=5❑√2，正确；
D．3与❑√3不是同类项，不能计算，故不正确；
故选：C．
3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．√3−1=−1 B．|❑√3−1.7)=1.7−❑√3
√4 2
C．❑ =± D．2❑√2−3❑√2=❑√2
9 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，立方根和绝对值，熟知相关计算法则是解
题的关键．【详解】解：A、√3−1=−1，原式计算正确，符合题意；
B、|❑√3−1.7)=❑√3−1.7，原式计算错误，不符合题意；
√4 2
C、❑ = ，原式计算错误，不符合题意；
9 3
D、2❑√2−3❑√2=−❑√2，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
√1 √ 1
4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）计算❑ −3− 的结果是（ ）
4 8
1 3
A．1 B．0 C． D．
8 8
【答案】A
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的意义进行计算即可.
【详解】解：❑ √1 − √ 3− 1 = 1 − ( − 1) =1
4 8 2 2
故选：A
5．（2023·广东·模拟预测）计算：|−2)+❑√9+❑√(−2) 2+√3−27= ．
【答案】4
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义分别计算，再合并
即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=2+3+2+(−3)=4，
故答案为：4．
类型二、实数的性质及运算
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知10+❑√3=x+ y，其中x是整数，02，则x的最小整数值是_______.
【答案】(1)❑√6
(2)0和1
(3)5
【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）先得出输入的x>4，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．
【详解】（1）解：当x=36时，取算术平方根❑√36=6，不是无理数，
继续取6算术平方根❑√6，是无理数，
所以输出的y值为❑√6；
故答案为：❑√6；
（2）解：当x=0，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；故答案为：0，1；
（3）∵输出的y>2，
∴y2>4，
∴输入的x>4，
当x=5时，5的算术平方根是❑√5，是无理数，
所以输出的y值为❑√5，
∴x的最小整数值是5．
18．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示：
(1)当输入的x为16时，输出的y值是______；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y是❑√5，请求出两个满足要求的x值．
【答案】(1)❑√2
(2)0或1，理由见解析
(3)5或25
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【详解】（1）解：当x=16时，16的算术平方根为❑√16=4，
而4是有理数，4的算术平方根为❑√4=2，
而2是有理数，2的算术平方根为❑√2，
故答案为：❑√2；
（2）0或1，理由如下：
因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，
无论进行多少次运算都不可能是无理数；
（3）若1次运算就是无理数，则输入的数为5，
若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是25，
∴满足要求的x值可以是：5或25．
【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
类型五、实数的找规律问题
19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式：
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ …①
12 22 1×2√ 1 1 1
❑1+ + =1+ …②
22 32 2×3
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ …③
32 42 3×4
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
√ 1 1
(1)发现规律❑1+ + = ；
42 52
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
(2)计算❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +…+❑1+ + ．
12 22 22 32 32 42 20232 20242
1
【答案】(1)1+
4×5
2023
(2)2023
2024
【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键；
√ 1 1 1
（1）通过观察得出规律❑1+ + =1+ ，根据规律即可解答；
n2 (n+1) 2 n×(n+1)
1 1 1 1
（1）利用规律得出原式为1+ +1+ +1+ +⋯+1+ ，化简即可．
1×2 2×3 3×4 2023×2024
【详解】（1）根据规律可知，
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ （n为正整数），
42 52 4×5
1
故答案为：1+ ；
4×5
1 1 1 1
（2）由规律可得，原式=1+ +1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 3×4 2023×2024
( 1 1 1 1 1 1 1 )
=2023+ 1− + − + − ⋯+ −
2 2 3 3 4 2023 2024
( 1 )
=2023+ 1−
2024
2023
=2023 ．
2024
20．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式
❑√1=1，❑√1+3=❑√4=2；❑√1+3+5=❑√9=3；❑√1+3+5+7=❑√16=4；
(1)计算：❑√1+3+5+7+9+11=
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：❑√1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)=
(3)应用上述结论，请计算❑√4+12+20+28+36+44+⋯+204的值．
【答案】(1)6(2)n
(3)52
【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：n个连续奇
数和的算术平方根等于n．
（1）由n个连续奇数和的算术平方根等于n可得答案；
（2）利用以上所得规律可得；
（3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得
【详解】（1）解：❑√1+3+5+7+9+11=❑√36=6，
故答案为：6；
（2）❑√1+3+5+7+9+11+…+(2n−1)=❑√n2 =n，
故答案为：n；
（3）❑√4+12+20+28+36+44+…+204
=❑√4×(1+3+5+…+51)
=❑√4×262
=2×26
=52．
类型六、实数的运算的应用
21．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，
长方形长宽之比为3：2．
(1)求该长方形的长宽各为多少?
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，
面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由．
【答案】(1)长方形的长30米，宽20米
(2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析
【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为3：2设长为3x米，宽为2x米，以面积为600平方米作等量关
系列方程，解得x的值即可得出答案；
（2）设大正方形的边长为4 y米，则小正方形的边长为3 y米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，
得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
【详解】（1）解：∵长方形长宽之比为3：2，
设该长方形花坛长为3x米，宽为2x米，
依题意得：3x⋅2x=600，
x2=100，
∴x=10或x=−10（不合题意，舍去）
∴3x=30，2x=20，
答：该长方形的长30米，宽20米；（2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下：
∵两个小正方形的边长比为4：3，
设大正方形的边长为4 y米，则小正方形的边长为3 y米，依题意得：(4 y) 2+(3 y) 2=500，
∴25 y2=500，
∴y2=20，
∴y=2❑√5或y=−2❑√5（不合题意，舍去）
∴4 y=8❑√5，3 y＝6❑√5，
∵8❑√5+6❑√5=14❑√5>30，
所以不能改造出这样两块不相符的实验田．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系．
22．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公
√ l
式为T=2π❑ ，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．
g
（π取3，g=9.8m/s2）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
6
【答案】(1)
7
(2)该座钟大约发出了420次滴答声
【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可；
（2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可．
√ l
【详解】（1）解：∵T=2π❑ ，
g
√0.2 √ 1 6
∴当l=0.2m时，T=2×3❑ =6❑ = ；
9.8 49 7
6
（2）6×60÷ =420（次）．
7
答：该座钟大约发出了420次滴答声．
【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键．
类型七、实数的运算与新定义问题
23．（14-15八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读理解】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理
数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果
ax+b=0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．请你运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果(a−2)❑√2+b+3=0，其中a，b为有理数，那么a=______；b=______；
(2)如果❑√2a−(1−❑√2)b=5，其中a，b为有理数，求a+2b的值．【答案】(1)2，−3
(2)−5
【分析】本题考查了实数的运算，还涉及到二元一次方程组．
（1）a，b是有理数，则a−2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，
那么a=0且b=0．即可确定；
（2）首先把已知的式子化成(a+b)❑√2−b=5的形式，根据a+b=0，−b−5=0即可求解．
【详解】（1）解：由(a−2)❑√2+b+3=0可得：
a−2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=−3，
故答案为：2，−3；
（2）整理❑√2a−(1−❑√2)b=5，得(a+b)❑√2+(−b−5)=0，
∵a、b为有理数，
{ a+b=0 )
∴ ，
−b−5=0
{ a=5 )
解得： ，
b=−5
∴a+2b=5−10=−5．
24．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若整数x，y，z满足x2+ y2=z2，则称z为x，y的平方和数．例如：
32+42=52，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题：
(1)数3，4的另一个平方和数为________；
(2)若数x+3与y−5的平方和数是0，则x=________，y=________；
(3)已知13是数1−x与12的平方和数，求x的值．
【答案】(1)−5
(2)−1；2；
(3)x =6，x =−4
1 2
【分析】（1）根据定义列式计算即可求得答案；
（2）根据定义列得等式，然后利用偶次幂的非负性即可求得x，y的值；
（3）根据定义列得出相应的方程，运用平方根解方程并确定x的值即可．
本题考查新定义及偶次幂的非负性，运用平方根解方程，根据定义列得相应的等式是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意∵32+42=(−5) 2，
∴数3，4的另一个平方和数为：−5，
故答案为：−5；
（2）解：∵数x+1与y−2的平方和数是0，
∴(x+1) 2+(y−2) 2=0，
∴x+1=0，y−2=0，解得：x=−1，y=2，
故答案为：−1；2；
（3）解：∵13是数1−x与12的平方和数，
∴(1−x) 2+122=132，
整理得：(1−x) 2=25，
解得：x =6，x =−4．
1 2
25．（23-24七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】
定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实
数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、
乘运算类似．例如：i3=i⋅i⋅i=(−1)⋅i=−i．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相
加．例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i．
【应用新知】
(1)填空：i4=______；i5=______．
(2)计算：(4−2i)+(−5+6i)．
【答案】(1)1；i
(2)−1+4i
【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键．
（1）根据i2=−1，分别求出i4、i5的值即可；
（2）把4−2i与−5+6i的实部、虚部分别相加，求出(4−2i)+(−5+6i)的值即可．
【详解】（1）解：i4=i⋅i⋅i⋅i=−1⋅i⋅i=−i⋅i=−i2=1,i5=i4 ⋅i=1⋅i=i，
故答案为：1；i．
（2）解：原式=(4−5)+(−2+6)i=−1+4i．
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋•和平区期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．3❑√3+2❑√3=5❑√6 B．❑√(−5) 2=−5
C．❑√9=±3 D．√3−64=−4
【答案】D
【分析】利用实数的运算法则，合并同类项法则，求平方根、求立方根的方法来判断即可．
【详解】解：3❑√3+2❑√3=5❑√3，A选项计算结果错误；❑√(−5) 2=5，B选项计算结果错误；
❑√9=3，C选项计算结果错误；
√3−64=−4，D选项计算结果正确；
故选：D．
2．（2024秋•迁西县期中）现在定义一种运算，其规则为 a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2x*5＝
﹣1，那么x的值为（ ）
A．❑√6 B．−❑√6 C．±❑√6 D．−1±❑√6
【答案】C
【分析】由规定的新运算得：4x2﹣25＝﹣1，整理后用平方根的定义即可求解．
【详解】解：由条件可知2x*5＝（2x）2﹣52＝﹣1，
即4x2﹣25＝﹣1，
解得：x=±❑√6，
故选：C．
3．（2024春•临沂期末）下列计算正确的是（ ）
A．❑√36=±6 B．√364=±4
C．−❑√(−5) 2=−5 D．|1−❑√2|=1+❑√2
【答案】C
【分析】运用平方根、立方根和绝对值的知识进行逐一计算．
【详解】解：∵❑√36=6，
∴选项A不符合题意；
∵√364=4，
∴选项B不符合题意；
∵−❑√(−5) 2=−5，
∴选项C符合题意；
∵|1−❑√2|=❑√2−1，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
4 ． （ 2024 秋 • 丹 东 期 中 ） 已 知 ， 实 数 a ， b 在 数 轴 上 的 对 应 的 点 如 图 所 示 ， 化 简
(√3−a+1) 3+❑√a2−|2a+b|的结果正确的是（ ）
A．b﹣1 B．﹣2a+b+1 C．﹣2a﹣b+1 D．b+1
【答案】D
【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可．
【详解】解：由数轴得a＜0＜b且|a|＞|b|，∴2a＜0，|2a|＞|b|，
∴2a+b＜0，
∴(√3−a+1) 3+❑√a2−|2a+b|
＝﹣a+1+（﹣a）﹣（﹣2a﹣b）
＝﹣a+1﹣a+2a+b
＝b+1；
故选：D．
5．（2024秋•南靖县期中）下列代数式的值一定是负数的是（ ）
A．−(√3 a+1) B．−❑√a+1 C．−❑√a D．−(❑√a+1)
【答案】D
【分析】根据算术平方根和立方根的意义逐项分析即可．
【详解】解：A．当a＝﹣1时，−(√3 a+1)=−(−1+1)=0，选项错误，不符合题意；
B．当a＝﹣1时，−❑√a+1=−❑√−1+1=0，选项错误，不符合题意；
C．当a＝0时，−❑√a=0，选项错误，不符合题意；
D．❑√a≥0，−(❑√a+1)≤−1，选项正确，符合题意．
故选：D．
6．（2024秋•和平区校级月考）下列各式正确的是（ ）
A．❑√0.64=±0.8 B．√3−9=−3
C．❑√(−5) 2=−|−5| D．3−(−❑√7) 2=−4
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；
根据二次根式的加减法对B进行判断；
根据二次根式的性质对C、D进行判断．
【详解】解：A．原式＝0.8，所以A选项不符合题意；
B． √3−9≠−3，所以B选项不符合题意；
C．❑√(−5) 2=5，﹣|﹣5|＝﹣5，所以C选项不符合题意；
D．原式＝3﹣7＝﹣4，所以D选项符合题意．
故选：D．
7．（2024秋•西安月考）计算|−3|+√3−8的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【答案】A
【分析】根据绝对值，立方根的定义进行计算可得答案．
【详解】解：原式＝3﹣2＝1．
故选：A．{a(a≥b)) {b(a≥b))
8．（2024春•乐陵市期末）对任意两个实数 a，b定义两种运算：a b = ，a b =
b(a＜b) a(a＜b)
⊕ ⊗
，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，[（﹣2） 3] 2＝
2，那么（❑√5 2） √327的值为（ ）
⊕ ⊗ ⊕ ⊗
A．2
⊕
⊗B．❑√5 C．3 D．3❑√5
【答案】B
【分析】直接利用已知运算公式，结合运算规律计算得出答案．
【详解】解：由题意可得：（❑√5 2） √327
=❑√5 3 ⊕ ⊗
=❑√5．
⊗
故选：B．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋•哈尔滨期末）计算：√3−125+❑√4= ﹣ 3 ．
【答案】﹣3．
【分析】先根据立方根、算术平方根的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解：√3−125+❑√4=−5+2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
10．（2024秋•长安区期末）化简❑√16+√3−27值为 1 ．
【答案】1．
【分析】先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解：❑√16+√3−27=4+（﹣3）＝1，
故答案为：1．
11．（2024秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则❑√a+b+2026mn的值为 2026
．
【答案】2026．
【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b＝0，mn＝1的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：∵a和b互为相反数，m和n互为倒数，
∴a+b＝0，mn＝1，
∴❑√a+b+2026mn=❑√0+2026×1=2026．
故答案为：2026．
12．（2024秋•北林区期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数 a、b，都有a*b＝a+❑√b．例如
4*9＝4+❑√9=7，那么7*144＝ 1 9 ．
【答案】19．
【分析】根据题意列式计算即可．
【详解】解：原式＝7+❑√144＝7+12
＝19，
故答案为：19．
13．（2024秋•重庆期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则√3 a3+|a+b|−❑√(c−a) 2= a ﹣
b ﹣ c ．
【答案】a﹣b﹣c．
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0
∴原式＝a﹣（a+b）﹣（c﹣a）
＝a﹣a﹣b﹣c+a
＝a﹣b﹣c．
故答案为：a﹣b﹣c．
三．解答题（共6小题）
14．（2024秋•江都区期末）计算．
（1）❑√9+√3−8−❑√(−1) 2；
（2）|2−❑√6|+(−2) 2−❑√6．
【答案】（1）0；
（2）2．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、二次根式的性质化简，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先根据绝对值、有理数的乘方法则计算，再合并即可．
【详解】解：（1）❑√9+√3−8−❑√(−1) 2
＝3+（﹣2）﹣1
＝0；
（2）|2−❑√6|+(−2) 2−❑√6
=❑√6−2+4−❑√6
＝2．
15．（2024秋•广陵区期末）计算：
（1）|❑√3−1|+（ ﹣2024）0；
（2）❑√9+❑√(−2π) 2−√3−8．
【答案】（1）❑√3；
（2）7．
【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）先根据算术平方根、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可．【详解】解：（1）|❑√3−1|+（ ﹣2024）0
=❑√3−1+1
π
=❑√3；
（2）❑√9+❑√(−2) 2−√3−8
＝3+2﹣（﹣2）
＝3+2+2
＝7．
16．（2024秋•句容市期末）已知a，b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求
√a a+b
m2−3 + −❑√cd的值．
b 2025
【答案】2．
a
【分析】先根据相反数定义，倒数定义，算术平方根定义得出a+b＝0， =−1，❑√cd=1，m2＝2，然
b
后再代入求值即可．
a
【详解】解：由条件可知a+b＝0， =−1，
b
∵c，d互为倒数，
∴❑√cd=1，
∵m=❑√2，
∴m2＝2，
∴原式＝2﹣（﹣1）+0﹣1＝2．
17．（2024秋•东营区校级期中）计算：
（1）|−❑√3|+❑√(−3) 2−(−1) 2023+√3−27；
（2）|2−❑√5|−|3−❑√5|−2❑√5+❑√4．
【答案】（1）❑√3+1；
（2）﹣3．
【分析】（1）根据算术平方根定义，立方根定义进行计算即可；
（2）根据绝对值意义，算术平方根定义进行计算即可．
【详解】解：（1）原式=❑√3+3+1−3
=❑√3+1；
（2）|2−❑√5|−|3−❑√5|−2❑√5+❑√4
=❑√5−2−3+❑√5−2❑√5+2
＝﹣3．
1
18．（2024秋•黄岩区期末）在实数范围内定义运算“△”：a△b＝ab﹣a+ b，例如：3△2＝3×2﹣3
21
+ ×2＝4．
2
（1）若a＝1，b＝﹣2，计算a△b的值．
（2）若﹣2△x＝1，求x的值．
（3）若a﹣b＝20，求a△b﹣b△a的值．
【答案】（1）﹣4；
2
（2）x= ；
3
（3）﹣30．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入进行计算即可；
（2）根据已知条件中的新定义得到关于x的方程，解方程求出x即可；
（3）根据已知条件中的新定义把所求式子进行化简，并化成含有a﹣b的形式，最后把a﹣b＝20代入
进行计算即可．
1
【详解】解：（1）∵a△b＝ab﹣a+ b，a＝1，b＝﹣2，
2
∴a△b
1
=1×(−2)−1+ ×(−2)
2
＝﹣2﹣1﹣1
＝﹣4；
1
（2）∵a△b＝ab﹣a+ b，﹣2△x＝1，
2
1
∴−2x−(−2)+ x=1，
2
1
−2x+2+ x=1，
2
1
2x− x=2−1，
2
3
x=1，
2
2
x= ；
3
1
（3）∵a△b＝ab﹣a+ b，a﹣b＝20，
2
∴a△b﹣b△a
1 1
=ab−a+ b−(ab−b+ a)
2 2
1 1
=ab−a+ b−ab+b− a
2 21 1
=ab−ab−a+b− a+ b
2 2
1
=−(a−b)− (a−b)
2
3
=− (a−b)
2
3
=− ×20
2
＝﹣30．
19．（2025•福田区一模）阅读下面的定义新法则，计算下列问题：
对于实数a，b我们定义 （a，b）的意义为：当a＜b时， （a，b）＝a，当a＞b时， （a，b）＝b，
当a＝b时， （a，b）＝（a+b）×（a﹣b）．
∫ ∫ ∫
例如： （2，4）＝2， （﹣2，﹣3）＝﹣3．
∫
（1）求 （2023，2024）的值；
∫ ∫
（2）求 （2024，2024）的值．
∫
【答案】（1）2023；
∫
（2）0．
【分析】（1）根据当a＜b时， （a，b）＝a求解即可．
（2）根据当a＝b时， （a，b）＝（a+b）×（a﹣b）求解即可．
∫
【详解】解：（1）∵当a＜b时， （a，b）＝a，
∫
∴ （2023，2024）＝2023．
∫
（2）∵当a＝b时， （a，b）＝（a+b）×（a﹣b），
∫
∴ （2024，2024）＝（2024+2024）×（2024﹣2024）＝0．
∫
∫
