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8.3 实数（2）（七大类型提分练）
类型一、实数的运算
1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列计算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·广西河池·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）计算 的结果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
5．（2023·广东·模拟预测）计算： ．
类型二、实数的性质及运算
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 ，其中 是整数， ，则 的相反数为
．
7．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知有理数a，b满足 ，则 ．
8．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知 ， ，若x的整数部分为a，y的小数部分
为b，则 的平方根是 ．
9．（23-24七年级下·重庆·开学考试）已知实数a、b互为倒数，c是 的整数部分，d是 的小数部分，
则 的值为 ．
类型三、实数的运算的计算题
10．（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）计算∶
(1)(2)
11．（23-24七年级下·广东东莞·期中）（1）计算：
（2）求x的值：
12．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：
(1)
(2)
13．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）计算：
(1) ；
(2)
14．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算
15．（23-24七年级下·全国·期中）计算：
(1) ；
(2)
类型四、实数的运算与程序设计
16．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求
y的值，并写出详细过程．
17．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图：(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的 ，则x的最小整数值是_______.
18．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示：
(1)当输入的 为 时，输出的 值是______；
(2)若输入有效的 值后，始终输不出 值，请写出所有满足要求的 的值，并说明你的理由；
(3)若输出的 是 ，请求出两个满足要求的 值．
类型五、实数的找规律问题
19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律 = ；
(2)计算 ．
20．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式
4；
(1)计算：
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：
(3)应用上述结论，请计算 的值．类型六、实数的运算的应用
21．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，
长方形长宽之比为 ．
(1)求该长方形的长宽各为多少?
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为 ，
面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由．
22．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公
式为 ，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．
（ 取3， ）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
类型七、实数的运算与新定义问题
23．（14-15八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读理解】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理
数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果
，其中a，b为有理数，x为无理数，那么 且 ．请你运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果 ，其中a，b为有理数，那么 ______； ______；
(2)如果 ，其中a，b为有理数，求 的值．
24．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若整数 ， ， 满足 ，则称 为 ， 的平方和数．例
如： ，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题：
(1)数3，4的另一个平方和数为________；
(2)若数 与 的平方和数是0，则 ________， ________；
(3)已知13是数 与12的平方和数，求 的值．
25．（23-24七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】
定义：如果一个数的平方等于 ，记为 ，这个数 叫做虚数单位，我们把形如 （a，b为实
数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、
乘运算类似．例如： ．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例
如： ．
【应用新知】
(1)填空： ______； ______．
(2)计算： ．一．选择题（共8小题）
1．（2024秋•和平区期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．3❑√3+2❑√3=5❑√6 B．❑√(−5) 2=−5
C．❑√9=±3 D．√3−64=−4
2．（2024秋•迁西县期中）现在定义一种运算，其规则为 a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2x*5＝
﹣1，那么x的值为（ ）
A．❑√6 B．−❑√6 C．±❑√6 D．−1±❑√6
3．（2024春•临沂期末）下列计算正确的是（ ）
A．❑√36=±6 B．√364=±4
C．−❑√(−5) 2=−5 D．|1−❑√2|=1+❑√2
4 ． （ 2024 秋 • 丹 东 期 中 ） 已 知 ， 实 数 a ， b 在 数 轴 上 的 对 应 的 点 如 图 所 示 ， 化 简
(√3−a+1) 3+❑√a2−|2a+b|的结果正确的是（ ）
A．b﹣1 B．﹣2a+b+1 C．﹣2a﹣b+1 D．b+1
5．（2024秋•南靖县期中）下列代数式的值一定是负数的是（ ）
A．−(√3 a+1) B．−❑√a+1 C．−❑√a D．−(❑√a+1)
6．（2024秋•和平区校级月考）下列各式正确的是（ ）
A．❑√0.64=±0.8 B．√3−9=−3
C．❑√(−5) 2=−|−5| D．3−(−❑√7) 2=−4
7．（2024秋•西安月考）计算|−3|+√3−8的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
{a(a≥b)) {b(a≥b))
8．（2024春•乐陵市期末）对任意两个实数 a，b定义两种运算：a b = ，a b =
b(a＜b) a(a＜b)
⊕ ⊗
，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，[（﹣2） 3] 2＝
2，那么（❑√5 2） √327的值为（ ）
⊕ ⊗ ⊕ ⊗
A．2
⊕
⊗B．❑√5 C．3 D．3❑√5
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋•哈尔滨期末）计算：√3−125+❑√4= ．
10．（2024秋•长安区期末）化简❑√16+√3−27值为 ．
11．（2024 秋•东阳市期末）若 a 与 b 互为相反数，m 与 n 互为倒数，则❑√a+b+2026mn的值为．
12．（2024秋•北林区期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数 a、b，都有a*b＝a+❑√b．例如
4*9＝4+❑√9=7，那么7*144＝ ．
13．（2024秋•重庆期中）实数 a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则√3 a3+|a+b|−❑√(c−a) 2=
．
三．解答题（共6小题）
14．（2024秋•江都区期末）计算．
（1）❑√9+√3−8−❑√(−1) 2；
（2）|2−❑√6|+(−2) 2−❑√6．
15．（2024秋•广陵区期末）计算：
（1）|❑√3−1|+（ ﹣2024）0；
（2）❑√9+❑√(−2π) 2−√3−8．
16．（2024秋•句容市期末）已知a，b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求
√a a+b
m2−3 + −❑√cd的值．
b 2025
17．（2024秋•东营区校级期中）计算：
（1）|−❑√3|+❑√(−3) 2−(−1) 2023+√3−27；
（2）|2−❑√5|−|3−❑√5|−2❑√5+❑√4．
1
18．（2024秋•黄岩区期末）在实数范围内定义运算“△”：a△b＝ab﹣a+ b，例如：3△2＝3×2﹣3
2
1
+ ×2＝4．
2
（1）若a＝1，b＝﹣2，计算a△b的值．
（2）若﹣2△x＝1，求x的值．
（3）若a﹣b＝20，求a△b﹣b△a的值．
19．（2025•福田区一模）阅读下面的定义新法则，计算下列问题：
对于实数a，b我们定义 （a，b）的意义为：当a＜b时， （a，b）＝a，当a＞b时， （a，b）＝b，
当a＝b时， （a，b）＝（a+b）×（a﹣b）．
∫ ∫ ∫
例如： （2，4）＝2， （﹣2，﹣3）＝﹣3．
∫
（1）求 （2023，2024）的值；
∫ ∫
（2）求 （2024，2024）的值．
∫
∫
