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8.3 实数（1）（八大类型提分练）
类型一、无理数
1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）在实数−❑√3，3.14，0，π，−❑√4，0.161661661...（两个1之间
依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数就是无限不循环
小数即可得到答案．
【详解】解：在实数−❑√3，3.14，0，π，−❑√4=−2，0.161661661...（两个1之间依次多一个6）中，
−❑√3，π，0.161661661...是无限不循环小数，
故选C．
2．（22-23七年级下·广东东莞·期中）下列四个数中，无理数是（ ）
22 π
A．❑√4 B．1.414 C． D．
7 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．据此判断即可．
【详解】解：A、❑√4=2，是整数，属于有理数；
B、1.414，是小数，属于有理数；
22
C、 ，是分数，属于有理数；
7
π
D、 是无理数；
2
故选：D．
3．（2024七年级下·北京·专题练习）下列各数中，属于无理数的是（ ）
3
A．− B．√38 C．0.57 D．−❑√3
2
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫无理数，根据无理数的定义逐项分析即可．
3
【详解】解：A、− 是分数，是有理数，故本选项不符合题意；
2
B、√38=2是整数，是有理数，故本选项不符合题意；
C、0.57是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意；D、−❑√3属于无理数，故本选项符合题意；
故选：D
类型二、实数的分类
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（）
A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数
C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数
【答案】B
【分析】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数
的意义，实数与数轴的关系，逐一判断即可解答．
【详解】带根号的数不一定都是无理数，如❑√4=2，是有理数，A选项错误；
无限不循环小数是无理数，B选项正确；
实数可以分为正实数、负实数和0，C选项错误；
能在数轴上表示出来的数不一定都是有理数，如❑√2可以在数轴上表示出来，
但不是有理数，D选项错误．
故选：B
5．（24-25七年级下·全国·单元测试）将下列各数填入相应的括号内：
π 11
0，−❑√3，|−2)，0.123456， ， ，❑√25，−5.7˙，−1，9，√35，−0.3030030003…（相邻两个3之
5 2
间依次多一个0），−8．
有理数：{ }；
无理数：{ }；
正整数：{ }；
负整数：{ }．
11 π
【答案】0，|−2)，0.123456， ，❑√25，−5.7˙，−1，9，−8；−❑√3， ，√35，−0.3030030003…
2 5
（相邻两个3之间依次多一个0）；|−2)，❑√25，9；−1，−8
【分析】本题考查了实数的分类，掌握有理数、无理数的定义与特点是解题的关键．根据有理数、无理数、
正整数及负整数的定义挑选即可．
11
【详解】解：有理数：{ 0，|−2)，0.123456， ，❑√25，−5.7˙，−1，9，−8，⋯ }；
2
π
无理数：{−❑√3， ，√35，−0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0），⋯ }；
5
正整数：{ |−2)，❑√25，9，⋯}；
负整数：{ −1，−8，⋯ }．
❑√5
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于实数0.5和 ，下列判断中，正确的是（ ）
3A．都不是分数 B．都是分数
❑√5 ❑√5
C．0.5是分数， 不是分数 D．0.5不是分数， 是分数
3 3
【答案】C
【分析】本题考查的是有理数的定义有关知识，分数是有理数．利用有理数的定义进行判断即可．
❑√5
【详解】0.5是分数，是有理数， 是无理数，不是分数，
3
故选：C．
类型三、实数概念的理解
7．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：
1
①15；②π；③0；④− ；⑤−π；⑥−|−3)；⑦√33；⑧❑√5；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次
3
多一个0）
（1）正无理数集合：{ …}
（2）负无理数集合：{ …}
（3）整数集合：{ …}
（4）正实数集合：{ …}
（5）负实数集合：{ …}
【答案】答案见详解
【分析】本题主要考查实数的分类，掌握其分类方法是解题的关键．
（1）正无理数是大于零的无理数，无理数即为无限不循序小数，常见的无理数有：含π的最简式子，开不
尽方的数，特殊结构的数（如：1.1010010001⋯小数点后每两个1之间依次多一个0）；
（2）负无理数是小于零的无理数；
（3）整数，不含小数点；
（4）正实数，大于零的数；
（5）负实数，小于零的数；
【详解】解：−|−3)=−3，是负整数，√33，❑√5是正无理数，
（1）正无理数集合：②⑦⑧⑨；
（2）负无理数集合：⑤；
（3）整数集合：①③⑥；
（4）正实数集合：①②⑦⑧⑨；
（5）负实数集合：④⑤⑥；
8．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应
C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的分类，实数与数轴的关系，根据实数的分类，实数与数轴的关系，逐项判
断即可求解．熟练掌握有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点一一对应是解题的关键．
【详解】解：A．无限循环小数是有理数，说法正确，故该选项不符合题意；
B．实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故该选项不符合题意；
C．有理数和无理数统称为实数，说法正确，故该选项不符合题意；
D．实数是由正实数、零和负实数组成，原说法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
9．（22-23七年级下·上海·期中）下列说法中错误的是（ ）
A．无理数都是无限小数 B．实数可分为有理数和无理数
C．立方根等于它本身的数有3个 D．1的任何次方根都是1
【答案】D
【分析】此题考查了实数和立方根，根据实数的性质和立方根的意义进行判断即可．
【详解】解：A、无理数都是无限小数，故此选项正确，不符合题意；
B、实数可分为有理数和无理数，故此选项正确，不符合题意；
C、立方根等于它本身的数有0和±1，共3个，故此选项正确，不符合题意；
D、1的平方根是±1，故此选项不正确，符合题意；
故选：D．
❑√6
10．（23-24七年级下·重庆丰都·期末） 是一个（ ）
2
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的分类．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
❑√6
【详解】解： 是一个无理数．
2
故选：D
类型四、实数的性质
11．（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若|x)=❑√3，则x=（ ）
A．❑√3 B．−❑√3 C．±❑√3 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进
行求解即可．
【详解】解：∵|x)=❑√3，
∴x=±❑√3，
故选：C．
12．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）1 √1
A．131和|−131) B．❑√7和−❑√7 C． 和❑ D．52和(−5) 2
3 9
【答案】B
【分析】本题主要考查了相反数的定义，求一个数的算术平方根，有理数的乘法计算，先计算出每个选项
中的两个数，再根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：A、131和|−131)=131不互为相反数，不符合题意；
B、❑√7和−❑√7互为相反数，符合题意；
1 √1 1
C、 和❑ = 不互为相反数，不符合题意；
3 9 3
D、52=25和(−5) 2=25不互为相反数，不符合题意；
故选：B．
13．（23-24七年级下·全国·单元测试）❑√5−2的相反数是 ，−√38的绝对值是
【答案】 2−❑√5/−❑√5+2 2
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和相反数，求一个数的立方根，只有符号不同的两个数互为相
反数，据此可得第一空的答案；先计算立方根，再根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的
相反数即可得到第二空的答案．
【详解】解：❑√5−2的相反数是−(❑√5−2)=2−❑√5，−√38的绝对值是|−√38)=|−2)=2
故答案为：2−❑√5；2．
14．（23-24七年级下·全国·阶段练习）已知❑√a+8和|b+1))互为相反数，则√38ab的平方根是多少？
【答案】±2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根和实数的性质，根据相反数的定义得到
❑√a+8=−|b+1))，则❑√a+8+|b+1))=0，再由非负数的性质求出a=−8，b=−1，据此求解即可．
【详解】解：∵❑√a+8和|b+1))互为相反数，
∴❑√a+8=−|b+1))，
∴❑√a+8+|b+1))=0，
∵❑√a+8≥0，|b+1))≥0，
∴❑√a+8=|b+1))=0，
∴a+8=0，b+1=0，
∴a=−8，b=−1，
∴√3 8ab=√38×(−8)×(−1)=√364=4，
∵4的平方根是±2，
∴√3 8ab的平方根是±2．
类型五、实数与数轴
15．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，数轴上点N表示的数可能是（ ）A．❑√10 B．❑√5 C．❑√3 D．❑√2
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据数轴得到3<N<4，再由无理数的估算方法得
到1<❑√2<❑√3<2<❑√5<3<❑√10<4，据此可得答案．
【详解】解：由数轴可知3<N<4，
∵1<2<3<4<5<9<10<16，
∴1<❑√2<❑√3<2<❑√5<3<❑√10<4，
∴点N表示的数可能是❑√10，
故选：A．
16．（16-17八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，数轴上表示1，❑√2的对应点分别为A，B，AB=AC，则
点C所表示的数是（ ）
A．❑√2−1 B．1−❑√2 C．2−❑√2 D．❑√2−2
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，先求出AB的长，得到AC的长，即可得到点C所表示的数．
【详解】解：∵表示1，❑√2的对应点分别为A，B，
∴AB=❑√2−1，
∵AB=AC，
∴AC=❑√2−1，
∴点C所表示的数为1−(❑√2−1)=2−❑√2．
故选：C．
17．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示❑√2，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的
数为x，
(1)求x的值；
(2)求(x−❑√2) 2+❑√2的值．
【答案】(1)x=−❑√2
(2)8+❑√2
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，
（1）根据点A和点B关于原点对称得到点A和点B表示的数互为相反数，据此可得答案；（2）根据（1）所求，代值计算即可．
【详解】（1）解：∵数轴上点A表示❑√2，点A关于原点的对称点为B，
∴点B表示的数为−❑√2，即x=−❑√2；
（2）解：∵x=−❑√2，
∴(x−❑√2) 2+❑√2=(−❑√2−❑√2) 2+❑√2=8+❑√2．
类型六、实数的大小比较
1
18．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，− ，❑√17，❑√8，3.14五个数中，最大的数是（ ）
2
A．0 B．❑√8 C．3.14 D．❑√17
【答案】D
【分析】本题考查了实数大小比较，掌握无理数的估算是解题的关键．根据实数的大小比较求解即可，四
个数中正数比0和负数大，即只比较❑√17，❑√8，3.14即可．
【详解】解：∵ 2<❑√8<3,4<❑√17<5，
1
∴在0，− ，❑√17，❑√8，3.14五个数中，最大的数是❑√17，
2
故选：D．
19．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上>、<或=）．
❑√5−1 1
①−❑√3 −❑√2；② −
2 2
【答案】 < >
【分析】①根据实数的大小比较解答即可.
②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可.
本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键.
【详解】解：①∵|−❑√3)=❑√3，|−❑√2)=❑√2，且❑√3>❑√2，
∴−❑√3<−❑√2；
故答案为：<.
②∵❑√5>❑√4=2，
∴❑√5−1>0
❑√5−1
∴ >0，
2
1
∵− 是负数，
2
❑√5−1 1
∴ >− ，
2 2
故答案为：>.
20．（24-25七年级上·浙江·期中）已知下列各数：−4，−π，|−3)，❑√4，0．(1)将上述各数表示在数轴上．
(2)将上述各数按从小到大的顺序用“<”连接．
【答案】(1)见解析
(2)−4<−π<0<❑√4<|−3)
【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确熟练在数轴上找到各数对应的点是解题
的关键．
（1）在数轴上找到各数对应的点，即可解答；
（2）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，即可解答．
【详解】（1）解：|−3)=3，❑√4=2，
如图，
（2）解：−4<−π<0<❑√4<|−3)．
21．（24-25七年级下·全国·单元测试）实数a和b在数轴上对应的点如图所示．
(1)将a，−a，b，−b按从小到大的顺序排列起来；
(2)若实数c为8的立方根，求代数式❑√a2+|a−b)+❑√(b−c) 2+2a的值．
【答案】(1)a<−b<b<−a
(2)2
【分析】本题考查实数的比较大小，立方根和算术平方根；
（1）根据数轴得到−2<a<−1，0<b<1，然后比较大小即可；
（2）先求出c的值，然后得到a<0，b>0，a−b<0，b−c<0，再化简绝对值和算术平方根，最后合并解
题．
【详解】（1）解：由数轴可得−2<a<−1，0<b<1，
∴1<−a<2，−1<−b<0，
∴将a，−a，b，−b按从小到大的顺序排列起来为a<−b<b<−a．
（2）解：∵实数c为8的立方根，
∴c=√38=2，
∴b−c<0．
由（1）可得a<0，b>0，a−b<0，
∴原式=|a)+|a−b)+|b−c)+2a=−a+b−a+c−b+2a=c=2．
类型七、无理数的估算
22．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，幸福小区有一个75平方米的正方形花坛，则该花坛边长的值在下面哪两个整数之间（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，正确估算无理数是解题的关键，直接利用平方数可知64<75<81，从
而估算无理数❑√75的大小．
【详解】解：正方形花坛的边长为❑√75米，
∵64<75<81，
∴8<❑√75<9，
∴该花坛边长的值在8和9之间，
故选：B．
23．（23-24七年级下·全国·单元测试）若x=❑√27−3，则x的取值范围是（ ）
A．1<x<2 B．2<x<3 C．3<x<4 D．4<x<5
【答案】B
【分析】本题考查无理数估算，根据平方根定义，得到5<❑√27<6即可得到答案，熟练掌握无理数估算方
法是解决问题的关键．
【详解】解：∵25<27<36，
∴5<❑√27<6，则5−3<❑√27−3<6−3，即2<x<3，
故选：B．
24．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列整数中，最接近❑√39的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似
值．
首先确定39在哪两个整数的平方之间，从而确定❑√39的范围，从而求解．
【详解】解： ∵6<❑√39<7，且6.52=42.25，
∴最接近❑√39的是6．
故选：C．
类型八、无理数的整数部分和小数部分
25．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若❑√3的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（ ）
A．1 B．❑√3 C．❑√3−1 D．2−❑√3
【答案】C
【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据1<❑√3<2，可得x和y的值．【详解】解：∵1<❑√3<2，
∴x=1，y=❑√3−1，
故选：C．
26．（23-24七年级下·山西大同·期中）无理数❑√26的小数部分是（ ）
A．❑√26−5 B．5 C．❑√26−6 D．5−❑√11
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出整数部分．
先算出整数部分，然后求出小数部分；
【详解】解：❑√25<❑√26<❑√36，
∴5<❑√26<6，
∴❑√26的整数部分是5，
则无理数❑√26的小数部分是❑√26−5，
故选：A．
27．（21-22八年级·江苏·假期作业）我们用[a)表示不大于a的最大整数，a−[a)的值称为数a的小数部分，
如[2.13)=2，2.13的小数部分为2.13−[2.13)=0.13．
(1)[❑√3)=______________，[❑√7)=______________，π的小数部分＝______________；
(2)设❑√5的小数部分为a，求a+[❑√13)−❑√5的值；
(3)已知10+❑√3=x+ y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y的相反数．
【答案】(1)1，2，π−3
(2)1
(3)❑√3−12
【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得[❑√3)和[❑√7)；已
知[π)，则可求得π的小数部分；
（2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得❑√5的整数部分和小数部分，
进而可求得a，遵循同样步骤可求得[❑√13)，将a和[❑√13)代入原式即可得解；
（3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得10+❑√3的
取值范围，进而根据已知条件可求得x和y，于是可求得x−y，并最终求得x−y的相反数．
【详解】（1）解：∵1<3<4，
∴1<❑√3<2，
∴[❑√3)=1，
∵4<7<9，
∴2<❑√7<3，
∴[❑√7)=2，
∵[π)=3，∴π的小数部分为π−[π)=π−3，
故答案为：1，2，π−3；
（2）解：∵4<5<9，
∴2<❑√5<3，
∴[❑√5)=2，
∴❑√5的小数部分为❑√5−[❑√5)=❑√5−2，
∴a=❑√5−2，
∵9<13<16，
∴3<❑√13<4，
∴[❑√13)=3，
∴a+[❑√13)−❑√5=❑√5−2+3−❑√5=1；
（3）解：∵1<3<4，
∴1<❑√3<2，
∴11<10+❑√3<12，
∵10+❑√3=x+ y，x是整数，且0<y<1，
∴x=11，y=10+❑√3−x=10+❑√3−11=❑√3−1，
∴x−y=11−(❑√3−1)=11−❑√3+1=12−❑√3，
∴x−y的相反数为❑√3−12．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，
求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键．
28．（23-24七年级下·全国·单元测试）【阅读资料】
大家知道❑√3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√3的小数部分不可能全部地写出来，于是用
❑√3−1来表示❑√3的小数部分，又例如：∵❑√4<❑√7<❑√9，即2<❑√7<3，∴❑√7的整数部分为2，小数部分
为❑√7−2．
【解决问题】
(1)❑√33的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果❑√143的小数部分为a，❑√43的整数部分为b，求a+|2b−❑√143)的值；
(3)已知8+❑√5=2x+ y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y的相反数．
【答案】(1)5，❑√33−5
(2)1
(3)❑√5−7
【分析】此题考查了无理数的估算；
（1）确定5<❑√33<6即可解答；
（2）利用估算分别得到a=❑√143−11，b=6，再代入计算即可；（3）利用估算方法得到10<2x+ y<11，确定8+❑√5的整数部分是10，小数部分是❑√5−2，由此得到
x=5,y=8+❑√5−10=❑√5−2，计算出x−y的值即可．
【详解】（1）解：∵ ❑√25<❑√33<❑√36，即5<❑√33<6，
∴ ❑√33的整数部分是5，小数部分是❑√33−5，
故答案为：5，❑√33−5；
（2）解：∵ ❑√121<❑√143<❑√144，
即11<❑√143<12，
∴ ❑√143的小数部分a=❑√143−11，
∵ ❑√36<❑√43<❑√49，
即6<❑√43<7，
∴ ❑√43的整数部分b=6，
∴ a+|2b−❑√143|
=❑√143−11+|2×6−❑√143)
=❑√143−11+12−❑√143
=1；
（3）解：∵ 2<❑√5<3，
∴ 10<8+❑√5<11，
即10<2x+ y<11，
∴ 8+❑√5的整数部分是10，小数部分是❑√5−2，
∵x是整数，且0<y<1，
∴ x=5,y=8+❑√5−10=❑√5−2，
∴x−y=5−(❑√5−2)=7−❑√5，
∴x−y的相反数是❑√5−7．
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋•仁寿县期中）下列叙述正确的是（ ）
A．25的平方根是5
B．5是25的平方根
C．一个数的算术平方根一定是正数D．±25的平方根是±5
【答案】B
【分析】根据算术平方根、平方根的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A．25的平方根是±5，原说法错误，不符合题意；
B．5是25的平方根，说法正确，符合题意；
C．一个数的算术平方根一定是非负数，原说法错误，不符合题意；
D．25的平方根是±5，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
2．（2024秋•仁寿县期中）下列说法正确的是（ ）
A．无理数是开方开不尽的数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．16的平方根是±4，用式子表示是❑√16=±4
D．负数没有立方根．
【答案】B
【分析】根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．无理数是无限不循环小数，包括开方开不尽的数，选项错误，不符合题意；
B．实数和数轴上的点是一一对应的，选项正确，符合题意；
C．16的平方根是±4，用式子表示是±❑√16=±4，选项错误，不符合题意；
D．负数有立方根，选项错误，不符合题意；
故选：B．
2
3．（2024秋•薛城区期中）3.1415， ，0，−❑√2，2 ，﹣0.89，﹣2024，0.3030030003…（相邻两个3之
7
间0的个数逐次加1），3−❑√2中，有理数有（ π ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】利用有理数的概念解答．
2
【详解】解：3.1415， ，0，−❑√2，2 ，﹣0.89，﹣2024，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数
7
π 2
逐次加1），3−❑√2中，有理数有3.1415， ，0，﹣0.89，﹣2024，共计5个．
7
故选：D．
4．（2024秋•仁寿县期中）在下列说法中①0.09是0.81的平方根；②﹣9的立方根是﹣3；③带根号的
❑√2
数都是无理数；④ 是分数；⑤❑√4=±2；⑥已知a是有理数，则❑√a2=|a|；正确的有（ ）个．
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】对于两个实数a、b，若满足a2＝b，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足a3＝b，那么a就叫做b的立方根，再逐一分析判断即可．
【详解】解：①±0.9是0.81的平方根，原说法错误，不符合题意；
②﹣9的立方根是√3−9，原说法错误，不符合题意；
③带根号的数不一定都是无理数，例如❑√4=2是有理数，原说法错误，不符合题意；
❑√2
④ 是无理数，原说法错误，不符合题意；
2
⑤❑√4=2，原说法错误，不符合题意；
⑥已知a是有理数，则❑√a2=|a|，原说法正确，符合题意；
∴说法正确的有⑥，共1个，
故选：A．
5．（2024秋•滦州市期中）−√327的相反数为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【答案】B
【分析】首先根据立方根的性质可得−√327=−3，根据相反数的定义即可获得答案．
【详解】解：由条件可知：−√327的相反数为3．
故选：B．
6．（2024秋•临高县期中）当式子|x−❑√6|+|x+❑√5|取最小值时，则实数x的取值范围是（ ）
A．−❑√5≤x≤❑√6 B．−❑√6≤x≤❑√5 C．−❑√6≤x≤−❑√5 D．❑√5≤x≤❑√6
【答案】A
【分析】|x−❑√6|+|x+❑√5|的最小值，意思是x到−❑√5的距离与❑√6到的距离之和最小，那么x应在
−❑√5和❑√6之间的线段上，进而求解即可．
【详解】解：∵|x−❑√6|+|x+❑√5|表示x到−❑√5的距离加上x到❑√6的距离，
∴当表示x的点在−❑√5和❑√6之间的线段上时，|x−❑√6|+|x+❑√5|取最小值，
∴x的取值范围为−❑√5≤x≤❑√6．
故选：A．
7．（2024春•高要区期末）手机通用的信号强度单位是dBm（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小
表示信号越强．下列信号最强的是（ ）
A．﹣ B．−❑√5 C．−❑√3 D．−❑√2
【答案】D
π
【分析】根据绝对值的实际意义即可求得答案．
【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为 ，❑√5，❑√3，❑√2，
∵❑√2＜❑√3＜❑√5＜ ，
π
∴信号最强的是❑√2．
π
故选：D．8．（2024 春•霸州市期末）已知 x，y 为实数，且❑√x−2+3(y−1) 2=0，则下列式子的值最大的是
（ ）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．xy
【答案】A
【分析】根据非负数的性质求得x＝2，y＝1，分别代入求解，再进行判断即可．
【详解】解：∵❑√x−2+3(y−1) 2=0，
∴x﹣2＝0，y﹣1＝0，
∴x＝2，y＝1，
∴x+y＝2+1＝3，x﹣y＝2﹣1＝1，xy＝2×1＝2，xy＝21＝2，
∴x+y的值最大，
故选：A．
9．（2024秋•锡山区校级期中）若a＜❑√12＜a+1，其中a为整数，则a2﹣2的值为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据题意得出3＜❑√12＜4，进而求出a＝3，然后代入a2﹣2即可得出答案．
【详解】解：∵9＜12＜16，
∴3＜❑√12＜4，
∵a＜❑√12＜a+1，
∴a＝3，
∴a2﹣2＝32﹣2＝7．
故选：B．
10．（2024秋•管城区校级期中）已知7+❑√15的整数部分是a，15−❑√7的小数部分是b，则a+b的值为（
）
A．12−❑√7 B．13−❑√7 C．14−❑√7 D．15−❑√7
【答案】B
【分析】先估算出❑√15及−❑√7的值，从而估算出7+❑√15与15−❑√7的值，进而求出a，b的值，进行计
算即可解答．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴3＜❑√15＜4，
∴10＜7+❑√15＜11，
∴7+❑√15的整数部分是：10，
∴a＝10，
∵−3＜−❑√7＜−2，
∴12＜15−❑√7＜13，
∴15−❑√7的小数部分是15−❑√7−12=3−❑√7，∴b=3−❑√7，
∴a+b=10+3−❑√7=13−❑√7，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
4 4
11．（2024秋•鄞州区期末）− 的相反数是 ，25的平方根是 ± 5 ，﹣8的立方根是 ﹣ 2 ．
3 3
4
【答案】 ；±5；﹣2．
3
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得第一空答案；对于两个实数 a、b，若满足a2＝
b，那么a就叫做b的平方根，若满足a3＝b，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
4 4 4
【详解】解：− 的相反数是−(− )= ；
3 3 3
25 的平方根是±5；﹣8 的立方根是﹣2；
4
故答案为： ；±5；﹣2．
3
12．（2024秋•兴宁市校级期中）√364的平方根是 ± 2 ；−❑√5的相反数是 ❑√5 ．
【答案】±2；❑√5．
【分析】利用平方根的定义，相反数的定义计算．
【详解】解：√364的平方根是±2；−❑√5的相反数是 ❑√5．
故答案为：±2；❑√5．
13．（2024秋•兴庆区校级期末）（1）❑√81的算术平方根是 3 ；
❑√13−2 1
（2）比较大小： ＜ ；
6 3
❑√2
（3）− 的倒数为 −❑√2 ．
2
【答案】（1）3；（2）＜；（3）−❑√2．
【分析】（1）利用算术平方根的定义解答；
（2）先通分，再比较分子的大小；
（3）利用倒数的定义解答．
【详解】解：（1）❑√81=9，9的算术平方根是3，
故答案为：3；
❑√13−2 1 2 ❑√16−2
（2）∵ ， = = ，❑√16−2＞❑√13−2
6 3 6 6
❑√13−2 1
∴ ＜ ，
6 3
故答案为：＜；❑√2
（3））− 的倒数为−❑√2，
2
故答案为：−❑√2．
14．（2024秋•淮安期中）若a＜❑√23＜b，且a、b为连续正整数，则a+b＝ 9 ．
【答案】9．
【分析】先估算出❑√23的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论．根据题意求出a，b的值是解题
的关键．
【详解】解：∵16＜23＜25，
∴4＜❑√23＜5，
∵a，b为两个连续整数，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9．
故答案为：9．
a+2b 2❑√6−1
15．（2024秋•沈河区期末）已知❑√6+1的整数部分为a，小数部分为b， = ．
2a 6
2❑√6−1
【答案】 ．
6
【分析】首先得出a，b的值，进而代入原式求出即可．
【详解】解：∵2＜❑√6＜3，
∴3＜❑√6+1＜4，
∴❑√6+1的整数部分为a＝3，小数部分为b=❑√6+1−3=❑√6−2，
a+2b 3+2(❑√6−2) 2❑√6−1
∴ = = ，
2a 6 6
2❑√6−1
故答案为： ．
6
三．解答题（共5小题）
16．（2024春•舒城县校级月考）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现
的结果，内容如下：
我们知道，当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．因为a是a3的立方根，b是b3的立方根，所以我们得到这
样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断猜测的结论是否成立；
（2）根据以上结论，若√31−2x与√31+x的值互为相反数，求1−❑√2x的值．
【答案】（1）成立，见解析；（2）﹣1．
【分析】（1）根据实数运算法则验证即可；
（2）根据非负数性质解答即可．
【详解】解：（1）如√38+√3−8=0，则8+（﹣8）＝0，结论成立．（2）由题意，得√31−2x+√31+x=0，
∴（1﹣2x）+（1+x）＝0，
∴x＝2，
∴1−❑√2x=1−❑√2×2=1−2=−1．
17．（2023秋•尧都区校级期中）从下列各数中，选择合适的数填空．
1
−4.1，√3 0.008，0，|−❑√6|，π，√36， ，−❑√81．
7
（1）无理数有 |−❑√6 | ， ， √36 ．
（2）如图，被阴影覆盖的数π有 |−❑√6 | ， √36 ．
（3）平方根等于本身的数有 0 ．
（4）将一个长，宽，高分别为3米，2米，2米的长方体铁块熔化，制成两个一样的正方体铁块，则该
正方体铁块的棱长为 √36 米．
【答案】（1）|−❑√6|， ，√36；（2）|−❑√6|，√36；（3）0；（4）√36．
【分析】（1）根据无理
π
数的定义即可得出答案；
（2）根据大于1且小于3的实数判断即可；
（3）根据平方根的定义即可得出答案；
（4）根据题意求得长方体的体积，再根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：（1）无理数有：|−❑√6|， ，√36；
故答案为：|−❑√6|， ，√36；
π
（2）被阴影覆盖的数有π：|−❑√6|，√36；
故答案为：¿，√36；
（3）平方根等于本身的数有0；
故答案为：0；
（4）由题意可得长方体铁块的体积为3×2×2＝12（立方米），
则一个正方体铁块的体积为12÷2＝6（立方米），
则该正方体铁块的棱长为√36（米）．
故答案为：√36．
18．（2024秋•长兴县期末）如图，已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A的右侧，点A表示的
数为−❑√2，设点B表示的数为m．
（1）实数m的值是 −❑√2+2 ；
（2）求|m﹣2|﹣|1﹣m|的值；
（3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与❑√d−4互为相反数，求2c+5d的平方根．【答案】（1）−❑√2+2；
（2）1；
（2）±4．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；
（2）先确定m的取值范围，再根据绝对值的性质化简即可；
（3）根据非负数的性质求出c、d的值，再计算2c+5d，最后根据平方根的定义计算即可．
【详解】解：（1）∵点B在点A的右侧，AB＝2，点A表示的数为−❑√2，点B表示的数为m，
∴m=−❑√2+2；
（2）由数轴可知：0＜m＜1，
∴m﹣2＜0，1﹣m＞0，
∴|m﹣2|﹣|1﹣m|＝2﹣m﹣（1﹣m）＝2﹣m﹣1+m＝1；
（3）由|2c+4|与❑√d−4互为相反数，可得|2c+4|+❑√d−4=0，
又|2c+4|，❑√d−4均为非负数，
故2c+4＝0且d﹣4＝0，
即c＝﹣2，d＝4，
∴2c+5d＝2×（﹣2）+5×4＝﹣4+20＝16，
∵16的平方根为±4，
∴2c+5d的平方根为±4．
19．（2024秋•鼓楼区校级期末）我们知道，❑√2是无理数，无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部
分我们不可能全部写出来，但可以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：因为❑√2的整数
部分是1，于是用❑√2−1来表示❑√2的小数部分．
1
（1）❑√3+1的小数部分是 ❑√3−1 ；若a为❑√5的小数部分，则a+ = 2❑√5 ．
a
（2）已知代数式x2+xy的值为有理数，其中x为8−❑√13的小数部分，y为有理数，求：该代数式的值．
【答案】（1）❑√3−1，2❑√5；
（2）﹣3．
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算❑√3和❑√5的大小，得出小数部分，进而代入代数式求得代数
式的值；
（2）估算8−❑√13的大小，确定x的值，进而根据代数式x2+xy的值为有理数，得出y的值，再代入计
算即可．
【详解】解：（1）∵1＜❑√3＜2，
∴2＜❑√3+1＜3，
∴❑√3+1的小数部分是❑√3+1−2=❑√3−1，
∵a为❑√5的小数部分，2＜❑√5＜3，∴a=❑√5−2，
1 1
∴a+ =❑√5−2+ =❑√5−2+❑√5+2=2❑√5，
a ❑√5−2
故答案为：❑√3−1，2❑√5．
（2）∵❑√9＜❑√13＜❑√16，即3＜❑√13＜4，
∴−4＜−❑√13＜−3，
∴4＜8−❑√13＜5，
∴8−❑√13的整数部分是4，小数部分是8−❑√13−4=4−❑√13，
∴x=4−❑√13，
∵x2+xy的值为有理数，y为有理数，
x2+xy=(4−❑√13) 2+(4−❑√13)y=16−8❑√13+13+4 y−❑√13 y=29+4 y−8❑√13−❑√13 y，
∴−8❑√13−❑√13 y=0，
∴y＝﹣8，
∴x2+xy＝29+4y＝29+4×（﹣8）＝29﹣32＝﹣3．
20．（2024秋•市南区期末）小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两
个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪
个整数更接近呢？
要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证．
（1）2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2
中的 2 更接近；
（2）请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程．
（3）通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证．
【答案】（1）2；
（2）56.5的算术平方根在整数7和8之间，与8更接近；
（3）若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近
则这个正数的算术平方根与较大数更接近；验证见解析．
【分析】（1）比较1.5的平方和2.5的大小即可得解；
（2）观察56.5在哪两个连续整数之间，再计算这两个连续整数的中间值的平方和56.5的大小即可得解；
（3）由前述两问可猜想若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整
数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近，再根据前面思路证明即可．
【详解】解：（1）∵1.52＝2.25，1.62＝2.56，
∴1.5＜❑√2.5＜1.6，
∴2.5的算术平方根与整数2更接近，
故答案为：2；
（2）∵72＝49，82＝64，且49＜56.5＜64，
∴56.5的算术平方根在整数7和8之间，∵7.52＝56.25，7.62＝57.76，且56.25＜56.5＜56.75，
∴7.5＜❑√56.5＜7.6，
∴56.5的算术平方根与整数8更接近；
（3）猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同
样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近；
(a+1) 2+a2 1
证明：设a＜❑√x＜a+1（a、x均大于0），且x= =a2+a+ ，
2 2
a+a+1 1 1 1
∵（ ）2＝（a + ）2＝a2+a + ＜a2+a + ，
2 2 4 2
∴x的算术平方根与a+1更接近．
