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第十三章 数系的扩充与复数的引入
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０２１新高考 ２ ５ 单项选择题 易 复数的运算 复数的乘法运算 公式法 数学运算
Ⅰ，
２０２１全国甲 理３ 文３ ５ 单项选择题 易 复数的四则运算 复数的乘除运算 公式法 数学运算
， ，
２０２１全国乙理 １ ５ 单项选择题 易 复数的运算 复数的四则运算 公式法 数学运算
，
２０２１全国乙文 ２ ５ 单项选择题 易 复数的四则运算 复数的四则运算 公式法 数学运算
，
２０２０新高考 ２ ５ 单项选择题 易 复数的运算 复数的乘法运算 公式法 数学运算
Ⅱ，
２０２０新高考 ２ ５ 单项选择题 易 复数的运算 复数的除法运算 公式法 数学运算
Ⅰ，
命题规律与备考策略
考查内容 本章考查内容集中在以下几点 复数的相关概念 如虚 主要为课程学习情境 考查数学运算的核心素养．
：① ， ，
数 纯虚数 共轭复数等 复数的几何意义及复数的模的最值问题 复习建议 掌握相关的基础知识 结合平面向量知识理解复数的几何
、 、 ；② ； ，
复数的四则运算 常考查乘 除法运算 虚数单位 的性质． 意义与复数的模的最值问题 同时 需理解复数除法中有关分母实数
③ ， 、 ，④ ｉ ， ，
题型赋分 多以选择题形式呈现 常在选择题的前两题的位置上 分 化的处理方法．
， ，
值为 分 难度较小 以容易题为主． 备考策略 在处理复数概念问题时 常采用定义法解决 而在求解复
５ ， ， ， ，
命题特点 从高考情况来看 考查方式及题目难度变化不大 以考查 数四则运算问题时 依照运算法则进行即可 同时应加强数据处理能
， ， ， ，
复数的相关概念 复数的四则运算及复数的几何意义为主 试题情境 力的训练．
、 ，７ ０８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
对应的点为 ｘ ｙ 则
复数的概念 学生用书Ｐ２４５ （ ， ）， （ ）
ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２
Ａ．（ ＋１） ＋ ＝１ Ｂ．（ －１） ＋ ＝１
１．（２０２０课标 理，２，５分）复数 １ 的虚部是 Ｃ． ｘ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝１ Ｄ． ｘ２ ＋（ ｙ ＋１） ２ ＝１
Ⅲ （ ） 答案 Ｃ 本题主要考查复数的概念及几何意义 考查学生
１－３ｉ ；
的运算求解能力 以及数形结合思想 考查的核心素养是数学
３ １ １ ３ ， ；
Ａ．－
１０
Ｂ．－
１０
Ｃ．
１０
Ｄ．
１０
运算．
１． 答案 Ｄ 设复数ｚ 与 分别表示复平面内的点Ｚ与点Ｐ 则Ｐ 且
ｉ ， （０，１），
２．（２０２０浙江，２，４分）已知ａ ∈ Ｒ ， 若ａ －１＋（ ａ －２）ｉ（ｉ 为虚数单 ｜ ｚ －ｉ｜ 表示复平面内点Ｚ与点Ｐ之间的距离 ， 所以点Ｚ （ ｘ ， ｙ ） 到
位
）
是实数
，
则ａ
＝ （ ） 点Ｐ 的距离为定值 所以Ｚ的轨迹是以 为圆心
（０，１） １， （０，１） ，１
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２ 为半径的圆 故选 ．
， Ｃ
２． 答案 Ｃ ３．（２０１７课标
Ⅲ
文，２，５分）复平面内表示复数ｚ
＝ｉ（－２＋ｉ）
的点
３．（２０２０课标 Ⅰ 文，２，５分）若ｚ ＝１＋２ｉ＋ｉ ３ ， 则 ｜ ｚ ｜＝ （ ） 位于
（ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３． 答案 Ｃ 答案 Ｃ ｚ ２ 所以复数ｚ
＝ｉ（－２＋ｉ）＝－２ｉ＋ｉ ＝－２ｉ－１＝－１－２ｉ，
４．（２０２０北京，２，４ 分）在复平面内 复数 ｚ 对应的点的坐标是 在复平面内对应的点为 位于第三象限．故选 ．
， （－１，－２）， Ｃ
则 ｚ ４．（２０１７课标 理，２，５分）设复数ｚ满足 ｚ 则 ｚ
（１，２）， ｉ· ＝ （ ） Ⅲ （１＋ｉ） ＝２ｉ， ｜ ｜＝
Ａ．１＋２ｉ Ｂ．－２＋ｉ Ｃ．１－２ｉ Ｄ．－２－ｉ （ ）
４． 答案 Ｂ
１ ２
５．（２０１９课标 理，２，５分）设复数ｚ满足 ｚ ｚ在复平面内 Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．２
Ⅰ ｜ －ｉ｜＝１， ２ ２
对应的点为 ｘ ｙ 则 答案 Ｃ 本题考查复数的运算及复数的模．
（ ， ）， （ ）
ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２
Ａ．（ ＋１） ＋ ＝１ Ｂ．（ －１） ＋ ＝１ ｚ ｚ ２ｉ ２ｉ（１－ｉ） ２（１＋ｉ） ．
ｘ２ ｙ ２ ｘ２ ｙ ２ ∵ （１＋ｉ） ＝２ｉ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝１＋ｉ
Ｃ． ＋（ －１） ＝１ Ｄ． ＋（ ＋１） ＝１ １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ） ２
５． 答案 Ｃ
ｚ ２ ２ ．
６．（２０１９课标 理，２，５分）设ｚ 则在复平面内ｚ对应的 ∴ ｜ ｜＝ １ ＋１ ＝ ２
Ⅱ ＝－３＋２ｉ， 一题多解 （ ）ｚ ， · ｚ ，即 ２ ２
点位于 ∵ １＋ｉ ＝２ｉ ∴ ｜１＋ｉ｜ ｜ ｜＝｜２ｉ｜ １ ＋１
（ ）
· ｚ ， ｚ ．
第一象限 第二象限 ｜ ｜＝２ ∴ ｜ ｜＝ ２
Ａ． Ｂ． ５．（２０１７课标 文，３，５分）下列各式的运算结果为纯虚数的是
第三象限 第四象限
Ⅰ
Ｃ． Ｄ．
６． 答案 Ｃ （ ）
７．（２０１７课标 理，３，５分）设有下面四个命题
Ａ．ｉ（１＋ｉ）
２
Ｂ．ｉ
２
（１－ｉ） Ｃ．（１＋ｉ）
２
Ｄ．ｉ（１＋ｉ）
Ⅰ ： 答案 Ｃ 本题考查复数的运算和纯虚数的定义．
ｐ 若复数ｚ满足 １ Ｒ 则ｚ Ｒ
１： ｚ ∈ ， ∈ ；
Ａ
．
ｉ（１＋ｉ）
２
＝ｉ×２ｉ＝－２；
ｐ
２：
若复数ｚ满足ｚ２
∈
Ｒ
，
则ｚ
∈
Ｒ
； Ｂ
．
ｉ
２
（１－ｉ）＝－（１－ｉ）＝－１＋ｉ；
ｐ ｐ ３： 若 若 复 复 数 数 ｚ ｚ １， ｚ Ｒ ２ 满 则 足 ｚ ｚ １ Ｒ ｚ ２ ． ∈ Ｒ ， 则ｚ １＝ ｚ ２； Ｃ Ｄ ． ． （ ｉ（ １ １ ＋ ＋ ｉ） ｉ） ２ ＝ ＝ － ２ｉ １ ； ＋ｉ， 故选 Ｃ ．
其
４：
中的真命
∈
题为
， ∈
６．（２０１６课标 Ⅰ 理，２，５分）设 （１＋ｉ） ｘ ＝１＋ ｙ ｉ， 其中ｘ ， ｙ是实数 ， 则
（ ）
ｘ ｙ
ｐ ｐ ｐ ｐ ｜ ＋ ｉ｜＝ （ ）
Ａ． １， ３ Ｂ． １， ４
ｐ ｐ ｐ ｐ
Ｃ． ２， ３ Ｄ． ２， ４ Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２
７． 答案 Ｂ 答案 Ｂ ｘ ｙ Ｒ ｘ ｙ ｘ ｘ ｙ
∵ ， ∈ ，（１＋ｉ） ＝１＋ ｉ，∴ ＋ ｉ＝１＋ ｉ，
８．（２０２０课标 理，１５，５分）设复数ｚ ｚ 满足 ｚ ｚ ｚ {ｘ
Ⅱ １， ２ ｜ １｜＝｜ ２｜＝２， １＋ ＝１， ｘ ｙ ２ ２ ．故选 ．
ｚ ２＝ ３＋ｉ， 则 ｜ ｚ １－ ｚ ２｜＝ ． ∴
评析
ｙ ＝１
本
， ∴
题
｜
考
＋
查
ｉ
复
｜＝
数
｜１
相
＋
等
ｉ｜＝
的条
１
件
＋
，
１
属
＝
容易
２
题．
Ｂ
８． 答案
２ ３ ７．（２０１６课标 文，２，５分）设 ａ 的实部与虚部相等
Ⅰ （１＋２ｉ）（ ＋ｉ） ，
以下为教师用书专用（１—２８） 其中ａ为实数 则ａ
， ＝ （ ）
１．（２０１９课标 文，２，５分）设ｚ 则ｚ
Ⅱ ＝ｉ（２＋ｉ）， ＝ （ ） Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３
答案 Ａ ａ ａ ａ
Ａ．１＋２ｉ Ｂ．－１＋２ｉ ∵ （１＋２ｉ）（ ＋ｉ）＝（ －２）＋（２ ＋１）ｉ，
ａ ａ 解得ａ 故选 ．
Ｃ．１－２ｉ Ｄ．－１－２ｉ ∴ －２＝２ ＋１， ＝－３， Ａ
答案 Ｄ 本题主要考查复数的有关概念及复数的运算 考 解后反思 将复数化为ｘ ｙ （ｘ，ｙ Ｒ）的形式，然后建立方
； ＋ ｉ ∈
查学生的运算求解能力 考查数学运算的核心素养． 程是解决问题的关键．
；
ｚ ２ ｚ 故选 ． 评析 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念，将复数
∵ ＝ｉ（２＋ｉ）＝２ｉ＋ｉ ＝－１＋２ｉ，∴ ＝－１－２ｉ， Ｄ
解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键． 化为ｘ ｙ（ｘ，ｙ Ｒ）的形式是解题关键．
＋ ｉ ∈
２．（２０１９课标 理，２，５分）设复数ｚ满足 ｚ ｚ在复平面内 ８．（２０１６课标 文，２，５分）设复数ｚ满足ｚ 则ｚ
Ⅰ ｜ －ｉ｜＝１， Ⅱ ＋ｉ＝３－ｉ， ＝（ ）
第十三章 数系的扩充与复数的引入 ７ ０９
Ａ．－１＋２ｉ Ｂ．１－２ｉ Ｃ．３＋２ｉ Ｄ．３－２ｉ １７．（２０１３课标 文，２，５分） ２
答案 Ｃ ｚ 所以ｚ 故选 ． Ⅱ ＝ （ ）
＝３－２ｉ， ＝３＋２ｉ， Ｃ １＋ｉ
ｚ
９．（２０１６课标 文，２，５分）若ｚ 则 Ａ．２ ２ Ｂ．２ Ｃ． ２ Ｄ．１
Ⅲ ＝４＋３ｉ， ｚ ＝ （ ）
｜ ｜ 答案 Ｃ ２ ２（１－ｉ） ．选 ．
＝ ＝｜１－ｉ｜＝ ２ Ｃ
４ ３ ４ ３ １＋ｉ ２
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ． ＋ ｉ Ｄ． － ｉ
５ ５ ５ ５ １８．（２０１２课标理，３，５分）下面是关于复数ｚ ２ 的四个命题
ｚ ＝ ：
答案 Ｄ 由ｚ 得 ｚ ２ ２ ｚ 则 －１＋ｉ
＝４＋３ｉ ｜ ｜＝ ３ ＋４ ＝５， ＝４－３ｉ， ｚ ＝ ｐ ｚ ｐ ｚ２
｜ ｜ １：｜ ｜＝２， ２： ＝２ｉ，
ｐ ｚ的共轭复数为 ｐ ｚ的虚部为 ．
４ ３ 故选 ． ３： １＋ｉ， ４： －１
－ ｉ， Ｄ 其中的真命题为
５ ５ （ ）
ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ
１０．（２０１５安徽理，１，５分）设 ｉ 是虚数单位 ， 则复数 ２ｉ 在复平面 Ａ． ２， ３ Ｂ． １， ２ Ｃ． ２， ４ Ｄ． ３， ４
１－ｉ 答案 Ｃ ｚ ２ ２（－１－ｉ） 所以 ｚ
内所对应的点位于 ＝ ＝ ＝－１－ｉ， ｜ ｜＝ ２，
（ ） －１＋ｉ （－１＋ｉ）（－１－ｉ）
Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限 Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限 ｐ １ 为假命题 ； ｚ２ ＝（－１－ｉ） ２ ＝（１＋ｉ） ２ ＝２ｉ， ｐ ２ 为真命题 ； ｚ ＝－１＋ｉ，
ｐ 为假命题 ｐ 为真命题．故选 ．
答案 Ｂ ∵ ２ｉ ＝ ２ｉ（１＋ｉ） ＝－１＋ｉ，∴ 复数 ２ｉ 在复平面内 评 ３ 析 本题考 ； 查 ４ 了复数的运算及 Ｃ 复数的性质，考查了运算求
１－ｉ ２ １－ｉ
所对应的点是 它位于第二象限． 解能力．
（－１，１），
ｚ
１１．（２０１５课标 理，１，５分）设复数ｚ满足１＋ 则 ｚ １９．（２０１２课标文，２，５分）复数ｚ －３＋ｉ的共轭复数是
Ⅰ ｚ＝ｉ， ｜ ｜＝（ ） ＝ （ ）
１－ ２＋ｉ
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２ Ａ．２＋ｉ Ｂ．２－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ
答案 Ａ 由已知１＋ ｚ 可得ｚ ｉ－１ （ｉ－１） ２ －２ｉ 答案 Ｄ ｚ －３＋ｉ （－３＋ｉ）（２－ｉ） －５＋５ｉ ｚ
ｚ＝ｉ， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－１＋ｉ， ＝－１－
１－ ｉ＋１ （ｉ＋１）（ｉ－１） －２ ２＋ｉ （２＋ｉ）（２－ｉ） ５
ｚ 故选 ． 故选 ．
ｉ，∴ ｜ ｜＝｜ｉ｜＝１， Ａ ｉ， Ｄ
１２．（２０１５湖北理，１，５分）
ｉ
为虚数单位
，ｉ
６０７的共轭复数为 评析 本题考查了复数的运算，易忽略共轭复数而错选．
···· ２０．（２０１１课标理，１，５分）复数２＋ｉ的共轭复数是
（ ）
（ ） １－２ｉ
Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．１ Ｄ．－１ ３ ３
答案 Ａ ６０７ ４×１５１＋３ ４ １５１ ３ Ａ．－ ｉ Ｂ． ｉ Ｃ．－ｉ Ｄ．ｉ
∵ ｉ ＝ｉ ＝（ｉ ） ·ｉ ＝－ｉ， ５ ５
６０７的共轭复数为 ．
∴ ｉ ｉ 答案 Ｃ ２＋ｉ （２＋ｉ）（１＋２ｉ） 其共轭复数为 故
１３．（２０１４课标 理，２，５分）设复数ｚ ｚ 在复平面内的对应点 ＝ ＝ ｉ， －ｉ，
Ⅱ １， ２ １－２ｉ （１－２ｉ）（１＋２ｉ）
关于虚轴对称 ｚ 则ｚ ｚ 选 ．
， １＝２＋ｉ， １ ２＝ （ ） Ｃ
评析 本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属容
Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．－４＋ｉ Ｄ．－４－ｉ
答案 Ａ 由题意得ｚ ｚ ｚ 易题．
２＝－２＋ｉ，∴ １ ２＝（２＋ｉ）（－２＋ｉ）＝－５，
故选 ． ２１．（２０１６课标 ，１，５分）已知ｚ ｍ ｍ 在复平面内
Ａ Ⅱ ＝（ ＋３）＋（ －１）ｉ
１４．（２０１４重庆理，１，５分）复平面内表示复数 的点位于 对应的点在第四象限 则实数ｍ的取值范围是
ｉ（１－２ｉ） ， （ ）
（ ） Ａ．（－３，１） Ｂ．（－１，３）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（－∞，－３）
答案 Ａ ｉ（１－２ｉ）＝ｉ－２ｉ ２ ＝２＋ｉ， 对应复平面上的点为 （２， 答案 Ａ 由已知可得
{ｍ
＋３＞０，
{ｍ
＞－３， ｍ ．故
在第一象限．选 ． ｍ ⇒ ｍ ⇒－３＜ ＜１
１）， Ａ －１＜０ ＜１
选 ．
１５．（２０１４课标 文，３，５分）设ｚ １ 则 ｚ Ａ
Ⅰ ＝ ＋ｉ， ｜ ｜＝ （ ） 方法总结 复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点
１＋ｉ
的横坐标、纵坐标，所以研究复数在复平面内的对应点的位
． １ ． ２ ． ３ ．
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ２ 置时，关键是确定复数的实部和虚部．
２ ２ ２
２２．（２０１６山东，１，５分）若复数ｚ满足 ｚ ｚ 其中 为虚数
答案 Ｂ ｚ １ １－ｉ １ １ 因此 ｚ ２ ＋ ＝３－２ｉ， ｉ
＝ ＋ｉ ＝ ＋ｉ ＝ ＋ ｉ， ｜ ｜ ＝ 单位 则ｚ
１＋ｉ ２ ２ ２ ， ＝ （ ）
( ) ( )
１
２
１
２
１ ２ 故选 ．
Ａ．１＋２ｉ Ｂ．１－２ｉ
＋ ＝ ＝ ， Ｂ
２ ２ ２ ２ Ｃ．－１＋２ｉ Ｄ．－１－２ｉ
１６．（２０１３课标 理，２，５分）若复数ｚ满足 ｚ 则ｚ 答案 Ｂ 设ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则 ｚ ｚ ａ ｂ ａ ｂ
Ⅰ （３－４ｉ） ＝｜４＋３ｉ｜， ＝ ＋ ｉ（ 、 ∈ ）， ２ ＋ ＝２（ ＋ ｉ）＋ － ｉ＝
的虚部为 ａ ｂ ａ ｂ ｚ 故选 ．
（ ） ３ ＋ ｉ＝３－２ｉ，∴ ＝１， ＝－２，∴ ＝１－２ｉ， Ｂ
２３．（２０１９江苏，２，５分）已知复数 ａ 的实部为 其中
４ ４ （ ＋２ｉ）（１＋ｉ） ０，
Ａ．－４ Ｂ．－ Ｃ．４ Ｄ． 为虚数单位 则实数ａ的值是 ．
５ ５ ｉ ，
答案
答案 Ｄ ∵ ｜４＋３ｉ｜＝ ４ ２ ＋３ ２ ＝５，∴ ｚ ＝ ５ ＝ ５（３＋４ｉ） ＝ 解析 本 ２ 题考查了复数的概念及运算 考查了学生的运算
３－４ｉ ２５ ，
求解能力 考查的核心素养是数学运算．
３ ４ 虚部为 ４ 故选 ． ，
＋ ｉ， ， Ｄ ａ ａ ａ 的实部为
５ ５ ５ ∵ （ ＋２ｉ）（１＋ｉ）＝（ －２）＋（ ＋２）ｉ ０，
７ １０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ａ 解得ａ ．
∴ －２＝０， ＝２ Ａ．－５ｉ Ｂ．５ｉ Ｃ．－５ Ｄ．５
解题关键 掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算 ６． 答案 Ｂ
是解题的关键． ７．（２０２０课标 理，１，５分）若ｚ 则 ｚ２ ｚ
Ⅰ ＝１＋ｉ， ｜ －２ ｜＝ （ ）
２４．（２０１７江苏，２，５分）已知复数ｚ 其中 是虚数
＝（１＋ｉ）（１＋２ｉ）， ｉ Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２
单位 则ｚ的模是 ． ７． 答案 Ｄ
，
答案
１０ ８．（２０２０新高考 ，２，５分） ２－ｉ
解析 本题考查复数的运算． Ⅰ
１＋２ｉ
＝ （ ）
∵ ｚ ＝（１＋ｉ）（１＋２ｉ）＝１＋２ｉ＋ｉ＋２ｉ ２ ＝３ｉ－１， Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．ｉ Ｄ．－ｉ
８． 答案 Ｄ
ｚ ２ ２ ．
２５．（ ∴ ２０ ｜ １ ｜ ６ ＝ 江苏 ３ ， ＋ ２ （ ，５ －１ 分 ） ）复 ＝ 数 １０ ｚ 其中 为虚数单 ９．（２０２０课标 Ⅱ 文，２，５分） （１－ｉ） ４ ＝ （ ）
＝（１＋２ｉ）（３－ｉ）， ｉ
位 则ｚ的实部是 ． Ａ．－４ Ｂ．４ Ｃ．－４ｉ Ｄ．４ｉ
， ９． 答案 Ａ
答案
５ １０．（２０２０课标 文，２，５分）若ｚ 则ｚ
解析 ２ 所以ｚ的实部为 ． Ⅲ （１＋ｉ）＝１－ｉ， ＝ （ ）
（１＋２ｉ）（３－ｉ）＝３＋５ｉ－２ｉ ＝５＋５ｉ， ５
２６．（２０１６北京理，９，５分）设ａ Ｒ．若复数 ａ 在复平面 Ａ．１－ｉ Ｂ．１＋ｉ Ｃ．－ｉ Ｄ．ｉ
∈ （１＋ｉ）（ ＋ｉ） １０． 答案 Ｄ
内对应的点位于实轴上 则ａ ．
， ＝
答案 １１．（２０１９课标 文，１，５分）设ｚ ３－ｉ 则 ｚ
－１ Ⅰ ＝ ， ｜ ｜＝ （ ）
解析 ａ ａ ａ ａ Ｒ 该复数在复 １＋２ｉ
（１＋ｉ）（ ＋ｉ）＝（ －１）＋（ ＋１）ｉ，∵ ∈ ，
平面内对应的点位于实轴上 ａ ａ ． Ａ．２ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ．１
，∴ ＋１＝０，∴ ＝－１ １１． 答案 Ｃ
２７．（２０１５天津，９，５分） 是虚数单位 若复数 ａ 是纯
ｉ ， （１－２ｉ）（ ＋ｉ） １２．（２０１９课标 ，文２，理２，５分）若ｚ 则ｚ
虚数 则实数ａ的值为 ． Ⅲ （１＋ｉ）＝２ｉ， ＝ （ ）
，
答案 Ａ．－１－ｉ Ｂ．－１＋ｉ Ｃ．１－ｉ Ｄ．１＋ｉ
－２ １２． 答案 Ｄ
解析 ａ ａ ａ 为纯虚数
{ ａ ∵ （１－２ｉ）（ ＋ｉ）＝２＋ ＋（１－２ ）ｉ ， １３．（２０１９北京，文２，理１，５分）已知复数ｚ ＝２＋ｉ， 则ｚ · ｚ ＝
１－２ ≠０，解得ａ ．
∴ ａ ＝－２ （ ）
２＋ ＝０，
２８．（２０１５重庆理，１１，５分）设复数ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 的模为 则 Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ．３ Ｄ．５
＋ ｉ（ ， ∈ ） ３， １３． 答案 Ｄ
ａ ｂ ａ ｂ ．
（ ＋ ｉ）（ － ｉ）＝ １４．（２０２１上海，１，４ 分）已知 ｚ ｚ 则 ｚ ｚ
答案 ３ ． １ ＝１＋ｉ， ２ ＝２＋３ｉ， １＋ ２ ＝
解析 复数ａ
＋
ｂ
ｉ（
ａ
，
ｂ
∈
Ｒ
）
的模为 ａ２
＋
ｂ２
＝ ３，
则ａ２
＋
ｂ２
＝ １４． 答 案
则 ａ ｂ ａ ｂ ａ２ ｂ ２ ａ２ ｂ２ ２ ａ２ ｂ２ ． ３＋４ｉ
３， （ ＋ ｉ）（ － ｉ）＝ －（ ｉ） ＝ － ·ｉ ＝ ＋ ＝３
１５．（２０１９浙江，１１，４ 分）复数 ｚ １ 为虚数单位 则 ｚ
＝ （ｉ ）， ｜ ｜ ＝
复数的运算 学生用书Ｐ２４５ １＋ｉ
．
１．（２０２１新高考 ，２，５分）已知ｚ 则ｚ ｚ
Ⅰ ＝２－ｉ， （ ＋ｉ）＝ （ ） １５． 答案 ２
Ａ．６－２ｉ Ｂ．４－２ｉ Ｃ．６＋２ｉ Ｄ．４＋２ｉ ２
１． 答案 Ｃ １６．（２０１９江苏，２，５分）已知复数 ａ 的实部为 其中
（ ＋２ｉ）（１＋ｉ） ０，
２．（２０２１全国乙理，１，５分）设 ｚ ｚ ｚ ｚ 则ｚ 为虚数单位 则实数ａ的值是 ．
２（ ＋ ）＋３（ － ）＝４＋６ｉ， ＝ ｉ ，
１６． 答案
（ ） ２
１７．（２０１９上海春，５，４分）设 为虚数单位 ｚ 则 ｚ 的
Ａ．１－２ｉ Ｂ．１＋２ｉ Ｃ．１＋ｉ Ｄ．１－ｉ ｉ ，３ －ｉ＝６＋５ｉ， ｜ ｜
２． 答案 Ｃ 值为 ．
３．（２０２１全国甲，理３，文３，５分）已知 ２ｚ 则ｚ １７． 答案
（１－ｉ） ＝３＋２ｉ， ＝ （ ） ２ ２
３ ３ 以下为教师用书专用（１—２２）
Ａ．－１－ ｉ Ｂ．－１＋ ｉ
２ ２
１．（２０１９课标 文，１，５分）设ｚ ３－ｉ 则 ｚ
３ ３ Ⅰ ＝ ， ｜ ｜＝ （ ）
Ｃ．－ ＋ｉ Ｄ．－ －ｉ １＋２ｉ
２ ２
３． 答案 Ｂ
Ａ．２ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ．１
４．（２０２１全国乙文，２，５分）设 ｚ 则ｚ 答案 Ｃ 本题考查复数的四则运算 考查了运算求解能
ｉ ＝４＋３ｉ， ＝ （ ） ；
力 考查的核心素养为数学运算．
Ａ．－３－４ｉ Ｂ．－３＋４ｉ ；
Ｃ．３－４ｉ Ｄ．３＋４ｉ ｚ ３－ｉ （３－ｉ）（１－２ｉ）
４． 答案 Ｃ ∵ ＝ １＋２ｉ ＝ （１＋２ｉ）（１－２ｉ）
５．（ 则 ２０ ａ ２ ＝ １浙江，２，４分）已知ａ ∈ Ｒ ，（１＋ ａ ｉ）ｉ＝３＋ｉ（ｉ 为虚数 （ 单 位 ） ） ， ＝ ３ １ － － ７ （ ｉ ２ ＋ ｉ ２ ） ｉ ２ ２ ＝ １－ ５ ７ｉ ＝ ５ １ － ５ ７ ｉ，
( ) ( )
２ ２
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－３ Ｄ．３ ｚ １ ７ 故选 ．
５． 答案 Ｃ ∴ ｜ ｜＝ ＋ － ＝ ２， Ｃ
５ ５
６．（２０２０新高考 ，２，５分） 易错警示 易将 ２ 误算为 ，导致计算出错．
Ⅱ （１＋２ｉ）（２＋ｉ）＝ （ ） ｉ １
第十三章 数系的扩充与复数的引入 ７ １１
２．（２０１９北京，理１，文２，５分）已知复数ｚ 则ｚ ｚ ａ
＝２＋ｉ， · ＝（ ） １２．（２０１５课标 文，２，５分）若ａ为实数 且２＋ ｉ 则ａ
Ⅱ ， ＝３＋ｉ， ＝
１＋ｉ
Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ．３ Ｄ．５
答案 Ｄ 本题主要考查复数的运算 共轭复数的概念 考
（ ）
， ，
查学生运算求解的能力 考查的核心素养是数学运算． Ａ．－４ Ｂ．－３ Ｃ．３ Ｄ．４
，
∵ ｚ ＝２＋ｉ，∴ ｚ ＝２－ｉ，∴ ｚ · ｚ ＝（２＋ｉ）·（２－ｉ）＝４＋１＝５， 故选 Ｄ ． 答案 Ｄ 由已知得 ２＋ ａ ｉ＝（１＋ｉ）（３＋ｉ）＝２＋４ｉ， 所以ａ ＝４，
３．（２０１８课标 文，１，５分） 故选 ．
Ⅱ ｉ（２＋３ｉ）＝ （ ） Ｄ
１３．（２０１５安徽文，１，５分）设 是虚数单位 则复数
Ａ．３－２ｉ Ｂ．３＋２ｉ Ｃ．－３－２ｉ Ｄ．－３＋２ｉ ｉ ， （１－ｉ）（１＋２ｉ）＝
答案 Ｄ 本题主要考查复数的四则运算．
（ ）
故选 ．
ｉ（２＋３ｉ）＝２ｉ－３＝－３＋２ｉ， Ｄ Ａ．３＋３ｉ Ｂ．－１＋３ｉ Ｃ．３＋ｉ Ｄ．－１＋ｉ
４．（２０１８课标 ，理２，文２，５分） 答案 Ｃ ２ ．
Ⅲ （１＋ｉ）（２－ｉ）＝ （ ） （１－ｉ）（１＋２ｉ）＝１＋２ｉ－ｉ－２ｉ ＝３＋ｉ
２
Ａ．－３－ｉ Ｂ．－３＋ｉ Ｃ．３－ｉ Ｄ．３＋ｉ １４．（２０１５湖南文，１，５分）已知（１－ｉ） 为虚数单位 则
答案 Ｄ 本题考查复数的运算． ｚ ＝１＋ｉ（ｉ ），
（１＋ｉ）（２－ｉ）＝２－ｉ＋２ｉ－ｉ ２ ＝３＋ｉ， 故选 Ｄ ． 复数ｚ ＝ （ ）
５．（２０１８北京理，２，５ 分）在复平面内 复数 １ 的共轭复数对应 Ａ．１＋ｉ Ｂ．１－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ
， ２
１－ｉ 答案 Ｄ ｚ （１－ｉ） －２ｉ －２ｉ（１－ｉ） ．
的点位于 ＝ ＝ ＝ ＝－ｉ（１－ｉ）＝－１－ｉ
（ ）
１＋ｉ １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ）
第一象限 第二象限 故选 ．
Ａ． Ｂ． Ｄ
第三象限 第四象限 ３
Ｃ． Ｄ．
１５．（２０１４课标 理，２，５分）（１＋ｉ）
答案 Ｄ 本题主要考查复数的概念 运算和几何意义． Ⅰ ２ ＝ （ ）
、
（１－ｉ）
１ １＋ｉ １ １ 其共轭复数为 １ １ 又 １ Ａ．１＋ｉ Ｂ．１－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ
∵ ＝ ＝ ＋ ｉ，∴ － ｉ， － ３ ２ ２
１－ｉ （１－ｉ）（１＋ｉ） ２ ２ ２ ２ ２ 答案 Ｄ （１＋ｉ） （１＋ｉ） １＋ｉ ＋２ｉ
( ) ２ ＝ ２·（１＋ｉ）＝ ２ ·（１＋ｉ）＝－１
１ 在复平面内对应的点 １ １ 在第四象限 故选 ． （１－ｉ） （１－ｉ） １＋ｉ －２ｉ
ｉ ，－ ， Ｄ 故选 ．
２ ２ ２ －ｉ， Ｄ
６．（２０１７课标 文，２，５分）
Ⅱ （１＋ｉ）（２＋ｉ）＝ （ ） １６．（２０１４课标 文，２，５分）１＋３ｉ
Ⅱ ＝ （ ）
Ａ．１－ｉ Ｂ．１＋３ｉ Ｃ．３＋ｉ Ｄ．３＋３ｉ １－ｉ
答案 Ｂ 本题考查复数的基本运算． ． ． ． ．
Ａ１＋２ｉ Ｂ －１＋２ｉ Ｃ１－２ｉ Ｄ －１－２ｉ
（１＋ｉ）（２＋ｉ）＝２＋ｉ＋２ｉ＋ｉ ２ ＝１＋３ｉ ．故选 Ｂ ． 答案 Ｂ １＋３ｉ （１＋３ｉ）（１＋ｉ） －２＋４ｉ 故选 ．
７．（２０１７山东文，２，５分）已知 是虚数单位 若复数ｚ满足ｚ ＝ ＝ ＝－１＋２ｉ， Ｂ
ｉ ， ｉ＝１＋ １－ｉ （１－ｉ）（１＋ｉ） ２
ｉ，
则ｚ２
＝ （ ）
１７．（２０１３课标
Ⅱ
理，２，５分）设复数ｚ满足
（１－ｉ）
ｚ
＝２ｉ，
则ｚ
＝
Ａ．－２ｉ Ｂ．２ｉ Ｃ．－２ Ｄ．２ （ ）
答案 Ａ 本题考查复数的运算．
Ａ．－１＋ｉ Ｂ．－１－ｉ Ｃ．１＋ｉ Ｄ．１－ｉ
由ｚ 得ｚ １＋ｉ 答案 Ａ 由题意得ｚ ２ｉ ２ｉ·（１＋ｉ） 故选 ．
ｉ＝１＋ｉ ＝ ＝１－ｉ， ＝ ＝ ＝－１＋ｉ， Ａ
ｉ １－ｉ ２
所以ｚ２ ＝（１－ｉ） ２ ＝－２ｉ， 故选 Ａ ． １８．（２０１３课标 文，２，５分） １＋２ｉ
Ⅰ ２ ＝ （ ）
８．（２０１６课标 理，２，５分）若ｚ 则 ４ｉ （１－ｉ）
Ⅲ ＝１＋２ｉ， ｚｚ ＝ （ ）
－１ １ １ １ １
Ａ．－１－ ｉ Ｂ．－１＋ ｉ Ｃ．１＋ ｉ Ｄ．１－ ｉ
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．ｉ Ｄ．－ｉ ２ ２ ２ ２
答案 Ｃ ｚｚ ４ｉ ４ｉ 故选 ． 答案 Ｂ １＋２ｉ １＋２ｉ （１＋２ｉ）ｉ －２＋ｉ １ 故
∵ ＝（１＋２ｉ）（１－２ｉ）＝５，∴ ｚｚ －１ ＝ ４ ＝ｉ， Ｃ （１－ｉ） ２ ＝ －２ｉ ＝ （－２ｉ）ｉ ＝ ２ ＝－１＋ ２ ｉ，
选 ．
９．（２０１６北京文，２，５分）复数１＋２ｉ Ｂ
＝ （ ）
２－ｉ １９．（２０１１课标文，２，５分）复数 ５ｉ
＝ （ ）
Ａ．ｉ Ｂ．１＋ｉ Ｃ．－ｉ Ｄ．１－ｉ １－２ｉ
２
答案 Ａ １＋２ｉ （１＋２ｉ）（２＋ｉ） ２＋ｉ＋４ｉ＋２ｉ ５ｉ 故选 ． Ａ．２－ｉ Ｂ．１－２ｉ Ｃ．－２＋ｉ Ｄ．－１＋２ｉ
２－ｉ ＝ （２－ｉ）（２＋ｉ） ＝ ４－ｉ ２ ＝ ５ ＝ｉ， Ａ 答案 Ｃ ５ｉ ５ｉ（１＋２ｉ） ５（ｉ－２） 故选 ．
１０．（２０１５课标 理，２，５ 分）若 ａ 为实数 且 ａ ａ ＝ ＝ ＝－２＋ｉ， Ｃ
Ⅱ ， （２＋ ｉ）（ －２ｉ）＝ １－２ｉ （１－２ｉ）（１＋２ｉ） ５
则ａ 评析 本题主要考查复数的基本运算，分母实数化是解答本
－４ｉ， ＝ （ ）
题的关键，属容易题．
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
答案 Ｂ ａ ａ ａ ａ２
∵ （２＋ ｉ）（ －２ｉ）＝－４ｉ⇒４ ＋（ －４）ｉ＝－４ｉ， ２０．（２０１８天津，理９，文９，５ 分） 是虚数单位 复数６＋７ｉ
{ ａ ｉ ， ＝
４ ＝０， 解得ａ ． １＋２ｉ
∴ ａ２ ＝０ ．
－４＝－４，
１１．（２０１５课标 文，３，５分）已知复数ｚ满足 ｚ 则ｚ 答案
Ⅰ （ －１）ｉ＝１＋ｉ， ＝ ４－ｉ
解析 本题主要考查复数的四则运算．
（ ）
． ． ． ．
Ａ －２－ｉ Ｂ －２＋ｉ Ｃ２－ｉ Ｄ２＋ｉ ６＋７ｉ （６＋７ｉ）（１－２ｉ） ２０－５ｉ ．
＝ ＝ ＝４－ｉ
答案 Ｃ 由已知得ｚ １＋ｉ 故选 ． １＋２ｉ （１＋２ｉ）（１－２ｉ） ５
＝ ＋１＝２－ｉ， Ｃ ２１．（２０１８上海，５，４分）已知复数ｚ满足 ｚ 是虚数
ｉ （１＋ｉ） ＝１－７ｉ（ｉ
７ １２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
单位 则 ｚ ． ａ
）， ｜ ｜＝ ｂ ａ 则 的值为 ．
答案 （１＋ｉ）（１－ ｉ）＝ ， ｂ
５
解析 本题主要考查复数的运算．由 ｚ 得 ｚ 答案
（１＋ｉ） ＝１－７ｉ ＝ ２
{ｂ ａ
１－７ｉ （１－７ｉ）（１－ｉ） －６－８ｉ 解析 由 ｂ ａ得 ｂ ｂ ａ 则 ＋１＝ ，
＝ ＝ ＝－３－４ｉ， （１＋ｉ）（１－ ｉ）＝ １＋ ＋（１－ ）ｉ＝ ， ｂ
１＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ） ２ １－ ＝０，
∴ ｜ ｚ ｜＝ （－３） ２ ＋（－４） ２ ＝５ ． 解得 {ａ ＝２，所以 ａ ．
２２．（２０１６ 天津理，９，５ 分）已知 ａ ｂ Ｒ 是虚数单位．若 ｂ ＝１， ｂ ＝２
， ∈ ，ｉ
学生用书Ｐ２４６
1
考点 复数的概念
2
考点 复数的运算
１．复数的有关概念（ａ ｂ ｃ ｄ∈Ｒ）
， ， ，
内容 概念 性质
１．运算法则
形如 ａ ｂ 的数叫做复 ａ ＋ ｂ ｉ 为实数 ⇔② ｂ ＝０ ； 设ｚ １＝ ａ ＋ ｂ ｉ， ｚ ２＝ ｃ ＋ ｄ ｉ， ａ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ∈ Ｒ．
复数 ① ＋ ｉ ａ ｂ 为纯虚数 ａ 且ｂ
数 其中ａ为实部 ｂ为虚部 ＋ ｉ ⇔③ ＝０
， ，
≠０
建立了直角坐标系来表示 实轴上的点都表示 实数
⑥ ；
复数的平面叫复平面 ｘ 除原点外 虚轴上的点都表
复平面 ， ，
轴叫 实轴 ｙ 轴 示 纯虚数
④ ， ⑦ ；
叫 虚轴 各象限内的点都表示虚数
⑤
ｚ ａ ｂ ａ２ ｂ２
向量→ＯＺ ａ ｂ 对应复数ｚ ｜ ｜＝｜ ＋ ｉ｜＝ ＋ ≥０；
＝（ ， ） 实数的模 就是其 绝对值
， ⑩ ； ２．复数加法、减法的几何意义
复数的模 的 ＝ ａ 模 ＋ ｂ 叫 ｉ， 做 则 复 向 数 量 ｚ →Ｏ 的 Ｚ 模 ＝（ ａ 记 ， ｂ 作 ） ｜ ｚ １· ｚ ２ ｜ ＝ ｜ ｚ １ ｜ · ｜ ｚ ２ ｜， 复数加减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行
， ｚ ｚ
⑧ ｜
ａ
＋
ｂ
ｉ ｜
或
⑨ ｜
ｚ
｜ ｚ
１
２ ＝
｜
｜ ｚ
１
２
｜
｜
计算．如图所示
，
Ｏ→Ｚ
＝
Ｏ→Ｚ
１＋
Ｏ→Ｚ
２，
Ｚ
１
→Ｚ
２＝
Ｏ→Ｚ
２－
Ｏ→Ｚ
１
．
ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ且ｂ
复数相等 ＋ ｉ＝ ＋ ｉ⇔ ＝ ｚ ｚ ｚ ｚ 反之不成立
ｄ １＝ ２⇒｜ １｜＝｜ ２｜，
＝
ａ ｂ 与ｃ ｄ 互为共轭复数
＋ ｉ ＋ ｉ
复数ｚ ａ ｂ 的共轭复数 ａ ｃ，ｂ ｄ
共轭复数 ＝ ＋ ｉ ⇔ ＝ ＝－ ；
为ａ
－
ｂ
ｉ，
记为ｚ
，
即ｚ
＝
ａ
－
ｂ
ｉ ｜
ｚ
｜＝｜
ｚ
｜＝
ａ２
＋
ｂ２
；
ｚ ｚ ｚ２ ｚ ２
· ＝｜ ｜＝｜ ｜
２．复数的几何意义
复数集Ｃ与复平面内的所有点Ｚ及所有以原点Ｏ为起点
的平面向量组成的集合是 一一对应 关系．
学生用书Ｐ２４６
复数四则运算问题的解题方法
２ １＋ｉ １－ｉ
１．复数的加法 减法 乘法运算可以类比多项式运算 把含 （１）（１±ｉ） ＝±２ｉ； ＝ｉ； ＝－ｉ；
、 、 ， １－ｉ １＋ｉ
有虚数单位 的项看作一类同类项 不含 的项看作另一类同类 ｂ ａ ａ ｂ
ｉ ， ｉ （２）－ ＋ ｉ＝ｉ（ ＋ ｉ）；
项 分别合并即可 复数除法运算的关键是分母实数化 注意要 ４ ｎ ＋１ ４ ｎ ＋２ ４ ｎ ＋３ ４ ｎ ＋４ 其中ｎ Ｎ
， ； ， （３）ｉ ＝ｉ，ｉ ＝－１，ｉ ＝－ｉ，ｉ ＝１， ∈ ；
把 的幂化成最简形式．
ｉ 若ω －１± ３ｉ 则ω３ ω２ ω ω２ ω ．
２．在进行复数的代数运算时 记住以下结论 可提高计算速 （４） ＝ ， ＝１， ＝ ， ＋ ＋１＝０
， ， ２
度 其中 为虚数单位 ．
（ ｉ ）
第十三章 数系的扩充与复数的引入 ７ １３
ｚ ２
例 （２０２０广东六校联盟第三次联考，１）满足 ＋ｉ ｚ １－ｉ （１－ｉ） ｆ ２ ．
（１） ｚ ＝ｉ（ｉ （３）∵ ＝ ＝ ＝－ｉ，∴ （－ｉ）＝（－ｉ） －（－ｉ）＋１＝ｉ
１＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ）
为虚数单位 的复数ｚ 故选 ．
） ＝ （ ） Ａ
答案 Ｂ Ｄ Ａ
１ １ １ １ １ １ １ １ （１） （２） （３）
Ａ． ＋ ｉ Ｂ． － ｉ Ｃ．－ ＋ ｉ Ｄ．－ － ｉ １－１ （２０２１ 全国二模，２） 为虚数单位 已知复数 ｚ
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ｉ ， ＝
（２） 已知 ｉ 为虚数单位 ， 则 ｉ＋ｉ ２ ＋ｉ ３ ＋…＋ｉ ２０１９等于 （ ） １＋ｉ＋ｉ ２ ＋ｉ ３ ＋ｉ ４ ＋…＋ｉ ２０２０ ＋ｉ ２０２１ 则复数ｚ在复平面中对应的点的坐
，
Ａ．ｉ Ｂ．１ Ｃ．－ｉ Ｄ．－１ ｉ
标为
设复数ｚ １－ｉ ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则ｆ ｚ （ ）
（３） ＝ ， （ ）＝ － ＋１， （ ）＝ （ ）
１＋ｉ Ａ．（１，０） Ｂ．（０，１） Ｃ．（－１，１） Ｄ．（１，－１）
１－１． 答案 Ｄ
Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．１＋ｉ
解题思路
１－２ 设复数ｚ １ ３ 则满足等式ｚｎ ｚ 且大于 的正
根据复数的运算法则 利用方程思想 求出复数ｚ． ＝－ ＋ ｉ， ＝ ， １
（１） ， ， ２ ２
利用 ｎ ｎ Ｎ∗ 的周期性求解． 整数ｎ中最小的是
（２） ｉ （ ∈ ） （ ）
利用复数代数形式的乘除运算法则化简复数ｚ 再代入
（３） ， Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
函数解析式求解． １－２． 答案 Ｂ
ｚ ｍ
解析 由于 ＋ｉ 所以ｚ ｚ 则ｚ ｉ －ｉ（１＋ｉ） １－３ 在复平面内 复数 ＋ｉ 为虚数单位 对应的点位于第
（１） ｚ ＝ｉ， ＋ｉ＝ ｉ， ＝ ＝ ， ｍ （ｉ ）
ｉ－１ （１－ｉ）（１＋ｉ） －ｉ
一象限 则实数ｍ的取值范围是
１－ｉ １ １ 故选 ． ， （ ）
＝ ＝ － ｉ， Ｂ
２ ２ ２ Ａ．（－∞，－１） Ｂ．（－∞，０）
由 ４ ｎ ４ ｎ ＋１ ４ ｎ ＋２ ４ ｎ ＋３ 知 ｎ ｎ Ｎ∗ 的周
（２） ｉ ＝１，ｉ ＝ｉ，ｉ ＝－１，ｉ ＝－ｉ ｉ （ ∈ ） Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（１，＋∞）
期为 且 ２ ３ ４ １－３． 答案 Ｄ
４， ｉ＋ｉ ＋ｉ ＋ｉ ＝ｉ－１－ｉ＋１＝０，
又 所以原式 ２ ３ 故选 ． １－４ （２０２１安徽淮北一模，７）若 为虚数单位 复数ｚ满足
２０１９＝４×５０４＋３， ＝ｉ＋ｉ ＋ｉ ＝ｉ－１－ｉ＝－１， Ｄ ｉ ，
一题多解
ｚ 则 ｚ 的最大值为
｜ ＋ ３＋ｉ｜≤ ３， ｜ －２ｉ｜ （ ）
２０１９
由等比数列求和公式知 ２ ３ ２０１９ ｉ（１－ｉ ） Ａ．２ Ｂ．３
，ｉ＋ｉ ＋ｉ ＋…＋ｉ ＝ ＝
１－ｉ
Ｃ．２ ３ Ｄ．３ ３
ｉ（１＋ｉ） ． １－４． 答案 Ｄ
＝－１
１－ｉ
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ２４７
复数的概念 复数ｚ的虚部为 ３
① － ｉ；
５
１．（２０２０河北衡水中学第九次调研，２）复数ｚ ｉ 的虚部为 ｚ ２ ５
＝ ②｜ ｜＝ ；
５＋ｉ ５
复数ｚ对应的点在第三象限
（ ） ③ ；
ｚ
５ ５ ５ ５ ④ ＜１＋２ｉ
Ａ． Ｂ． ｉ Ｃ．－ Ｄ．－ ｉ 其中正确命题的个数为
２６ ２６ ２６ ２６
（ ）
１． 答案 Ａ
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
２．（２０２１湖北九师联盟２月质量检测，２）设复数ｚ ＝１＋ｉ（ｉ 是虚数 ４． 答案 Ａ
单位 ）， 则复数 ２ ｚ －（ｉ ｚ ） ２ 在复平面内对应的点在 （ ）
５．（２０２１上海崇明二模，２）复数ｚ
＝ｉ（１＋ｉ）（ｉ
是虚数单位
）
在复平
面内所对应的点在第 象限．
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５． 答案 二
２． 答案 Ａ
ｂ
３．（２０２１北京朝阳一模，２）如果复数２＋ ｉ ｂ Ｒ 的实部与虚部 复数的运算
（ ∈ ）
ｉ
相等 那么ｂ １．（２０２１山东日照一模，１）复平面内表示复数ｚ ａ ａ 的
， ＝ （ ） ＝ｉ（ －ｉ）（ ＜０）
点位于
Ａ．－２ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．４ （ ）
３． 答案 Ａ 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．（２０２０辽宁大连一中模拟，２）已知 为虚数 且复数ｚ满足ｚ １． 答案 Ｄ
ｉ ， （１
３ 则关于复数ｚ的四个命题
＋２ｉ）＝１＋ｉ ， ：
７ １４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２．（２０２１湖南永州二模，２）若复数ｚ对应的点是 则 １ １ ５ １ ５
（－１，１）， ｚ ＝ Ａ． ＋ ｉ Ｂ． － ｉ
＋１ １３ １３ １３ １３
（ ） １ ５ １ ５
Ｃ．－ ＋ ｉ Ｄ．－ － ｉ
Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．－１ Ｄ．１ １３ １３ １３ １３
２． 答案 Ｂ ４． 答案 Ｄ
２
３．（２０２１江苏南京三模，２）已知 为虚数单位 若复数 ｚ １ ５．（２０２０福建泉州３月适应性线上测试，２）设复数ｚ （１＋ｉ） 则
ｉ ， ＝ ＋ ＝ ，
２ １－２ｉ
ｚ
３ 则复数 １ 的虚部为 ｜ ｜＝ （ ）
ｉ， ｚ （ ）
２ １０ ２ ２ ５ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５ ３
Ａ．－ ３ Ｂ． ３ Ｃ．－ ３ ｉ Ｄ． ３ ｉ ５． 答案 Ｃ
２ ２ ２ ２
３． 答案 Ａ ６．（２０２０福建３月质量检测，１３）复数ｚ的共轭复数ｚ满足 ｚ
（２＋ｉ）
则ｚ ．
４．（２０２１辽宁百校联盟质检，１） １－ｉ ＝｜３＋４ｉ｜， ＝
＝ （ ） ６． 答案
２＋３ｉ ２＋ｉ
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ２４８ ３０分钟 ７０分
一、单项选择题（每小题５分，共４０分） ８．（２０２１河北唐山二模，５）设复数ｚ满足 ｚ 在复平面内ｚ
｜ －２ｉ｜＝１，
对应的点到原点距离的最大值是
１．（２０２１湖南岳阳一模，２）已知１－ｉ 其中 为虚数单位 则 （ ）
ｚ ＝１＋ｉ（ ｉ ），
Ａ．１ Ｂ． ３ Ｃ． ５ Ｄ．３
复数 ｚ ８． 答案 Ｄ
｜ ｜＝ （ ）
Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．１ Ｄ．２ 二、多项选择题（每小题５分，共２０分）
１． 答案 Ｃ
９．（２０２１广东湛江一模，９）若复数ｚ 则
＝ ３－ｉ， （ ）
２．（２０２１广东韶关一模，１）已知复数ｚ ＝ １ ２ ＋ － ｉ ｉ ， 则复数ｚ在复平面 Ａ．｜ ｚ ｜＝２ Ｂ．｜ ｚ ｜＝４
内对应的点位于 ｚ的共轭复数ｚ ｚ２
（ ） Ｃ． ＝ ３＋ｉ Ｄ． ＝４－２ ３ｉ
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ９． 答案 ＡＣ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２． 答案 Ｄ
１０．（２０２１山东德州二模，９）已知复数ｚ ２ 为虚数单位
３．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，２）已知复数２＋ ａ ｉ ｂ ａ ｂ
１＝
－１＋ｉ
（ｉ ），
＝４－ ｉ， ， ∈ 下列说法正确的是
ｉ （ ）
Ｒ 则ａ ｂ ｚ 对应的点在第三象限
， ＋ ＝ （ ） Ａ． １
ｚ 的虚部为
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．４ Ｄ．６ Ｂ． １ －１
３． 答案 Ｄ ｚ４
Ｃ． １＝４
４．（２０２１广东珠海一模，２）设 ｉ 是虚数单位 ， 复数ｚ １＝ｉ ２０２１ ， 复数 Ｄ． 满
的
足
圆上
｜ ｚ ｜＝｜ ｚ １｜ 的复数ｚ对应的点在以原点为圆心 ，２ 为半径
ｚ ｜４－３ｉ｜ 则ｚ ｚ 在复平面上对应的点在
２＝
４＋３ｉ
， １＋ ２ （ ） １０． 答案 ＡＢ
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 １１．（２０２１河北石家庄一模，１０）设ｚ为复数 则下列命题中正确
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ，
４． 答案 Ａ 的是
（ ）
５．（２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考，３）已知复数ｚ ａ ｚ ２ ｚ ｚ
＝ ＋ Ａ．｜ ｜ ＝ ·
（ ａ －１）ｉ（ ａ ∈ Ｒ ）， 则 ｜ ｚ ｜ 的最小值为 （ ） Ｂ． ｚ２ ＝｜ ｚ ｜ ２
若 ｚ 则 ｚ 的最大值为
Ｃ． ｜ ｜＝１， ｜ ＋ｉ｜ ２
１ ２ ３ 若 ｚ 则 ｚ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１ Ｄ． ｜ －１｜＝１， ０≤｜ ｜≤２
２ ２ ２ １１． 答案 ＡＣＤ
５． 答案 Ｂ
１２．（２０２１山东济南十一学校联考，９）欧拉公式 ｘ ｉ ｘ ｘ
ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ
６．（２０２１广东肇庆二模，２）在复平面内 复数ｚ ５ｉ 为虚数单 其中 为虚数单位 ｘ Ｒ 是由瑞士著名数学家欧拉创立
， ＝ （ｉ （ ｉ ， ∈ ）
３－４ｉ
的 该公式将指数函数的定义域扩大到复数 建立了三角函
位 则ｚ对应的点的坐标为 ， ，
）， （ ） 数与指数函数的关联 在复变函数论里面占有非常重要的地
，
Ａ．（ ( ３，４） ) Ｂ．（ ( －４，３） ) 位 被誉为数学中的 天桥 ．依据欧拉公式 下列选项正确
， “ ” ，
Ｃ． ４ ，－ ３ Ｄ． － ４ ，－ ３ 的是
５ ５ ５ ５ （ ）
６． 答案 Ｄ
Ａ．
复数
ｅ
２ｉ对应的点位于第三象限
７．（２０２０新课标 卷第三次在线大联考，２）设复数ｚ满足 ｚ π ２ｉ为纯虚数
Ⅰ ｜ －ｉ｜＝ Ｂ．ｅ
ｚ 为虚数单位 且ｚ在复平面内对应的点为Ｚ ｘ ｙ 则 ｘ ｉ
｜ ＋ｉ｜，ｉ ， （ ， ）， 复数 ｅ 的模长等于 １
下列结论一定正确的是 Ｃ．
（ ） ３＋ｉ ２
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ． ＝１ Ｂ． ＝１ Ｃ． ＝０ Ｄ． ＝０ π ６ｉ的共轭复数为 １ ３
７． 答案 Ｄ Ｄ．ｅ － ｉ
２ ２
第十三章 数系的扩充与复数的引入 ７ １５
１２． 答案 ＢＣ 象限内 甲 乙 丙 丁四人对复数 ｚ 的陈述如下 为虚数单
， 、 、 、 （ｉ
三、填空题（每小题５分，共１０分） 位 甲 ｚ ｚ 乙 ｚ ｚ 丙 ｚ ｚ 丁
ｚ ｚ２
．在甲
）： ： ＋ ＝２； ： － ＝２ ３ｉ； ： · ＝４； ： ｚ ＝ 、
( ) ９ ２
１３．（２０２１上海黄浦一模，８）已知 １ ｘ 的展开式中的常数 乙 丙 丁四人的陈述中 有且只有两个人的陈述正确 则复
ｘ － 、 、 ， ，
数ｚ ．
项的值是ａ 若 ｚ ａ 其中 是虚数单位 则 ＝
， ３ｉ· ＋ －６ｉ＝７２＋３ｉ（ ｉ ）， １４． 答案
ｚ ． 结果用数值表示 １＋ｉ
｜ ｜＝ （ ）
１３． 答案
５
１４．（２０２１江苏常州一模，１４）已知复数ｚ对应的点在复平面第一
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ７．（２０２１河南信阳质检，２）已知复数ｚ ２０２０ 则 ｚ 等于
＝ｉ＋ｉ ， ｜ ｜ （ ）
１．（２０２１江西九校联考，２）复数ｚ满足 ｚ 则复数ｚ
： （１＋ｉ）＝ ｜１－ｉ｜， Ａ． ２ Ｂ．１ Ｃ．０ Ｄ．２
的实部是 答案 Ａ ｚ ２０２０ ４×５０５
（ ） ∵ ＝ｉ＋ｉ ＝ｉ＋ｉ ＝ｉ＋１，
ｚ 故选 ．
２ ２ ∴ ｜ ｜＝ ２， Ａ
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－ Ｄ． ８．（２０２１山西怀仁一模，１）已知 是虚数单位 复数ｚ满足 ｚ
２ ２ ｉ ， （１＋ｉ）
则ｚ的虚部为
答案 Ｄ ｚ ｚ ｚ ２ ＝｜ ３－ｉ｜， （ ）
（１＋ｉ）＝ ｜１－ｉ｜⇒ （１＋ｉ）＝ ２⇒ ＝ ＝
１＋ｉ Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．－ｉ Ｄ．－２ｉ
答案 Ａ 复数ｚ满足 ｚ
２（１－ｉ） ２ ２ 故ｚ的实部是 ２． ∵ （１＋ｉ） ＝｜ ３－ｉ｜，
＝ － ｉ，
（１＋ｉ）（１－ｉ） ２ ２ ２
２．（２０２１东北三省三校模拟，２）复数ｚ 为虚数单位 的 ｚ ｜ ３－ｉ｜ ２ ２（１－ｉ）
＝ｉ（１－ｉ）（ｉ ） ∴ ＝ ＝ ＝ ＝１－ｉ，
共轭复数ｚ １＋ｉ １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ）
＝ （ ） ｚ的虚部为 故选 ．
∴ －１， Ａ
Ａ．１＋ｉ Ｂ．１－ｉ
９．（２０２１安徽池州模拟，２）复数ｚ ｉ 在复平面内对应的点在
Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ ＝
２－５ｉ
答案 Ｂ ｚ
∵ ＝ｉ（１－ｉ）＝１＋ｉ，
（ ）
ｚ 故选 ． 第一象限 第二象限
∴ ＝１－ｉ， Ｂ
Ａ． Ｂ．
知识链接 复数ｚ ａ ｂ（ａ，ｂ Ｒ）的共轭复数为ｚ ａ ｂ． 第三象限 第四象限
＝ ＋ ｉ ∈ ＝ － ｉ Ｃ． Ｄ．
ｚ
３．（２０２１安徽安庆一模，２）已知复数ｚ满足２ －３ 则 ｚ 答案 Ｂ ｚ ｉ ｉ（２＋５ｉ） －５＋２ｉ ５ ２ 所以
ｚ ＝ｉ， ｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ ｉ，
４－ ２－５ｉ （２－５ｉ）（２＋５ｉ） ２９ ２９ ２９
( )
（ ） 复数ｚ ｉ 在复平面内对应的点 ５ ２ 在第二象限．
＝ － ，
Ａ． ５ Ｂ．５ Ｃ．２ Ｄ．４ ２－５ｉ ２９ ２９
１０．（２０２１四川顶级名校二诊，２）已知 是虚数单位 若复数ｚ ａ
答案 Ａ 由题意得ｚ ３＋４ｉ 所以 ｚ 故选 ｉ ， ＝
＝ ＝２＋ｉ， ｜ ｜＝ ５， Ａ． ｂ ａ ｂ Ｒ 在复平面内对应的点位于第四象限 则复数ｚ
２＋ｉ ＋ ｉ（ ， ∈ ） ， ｉ
４．（２０２１陕西榆林模拟，１） （ｉ ４ －４ｉ）（４＋ｉ）＝ （ ） 在复平面内对应的点位于 （ ）
第一象限 第二象限
Ａ．８－１５ｉ Ｂ．１５ｉ Ａ． Ｂ．
第三象限 第四象限
Ｃ．８＋１５ｉ Ｄ．－１５ｉ Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ （ｉ ４ －４ｉ）（４＋ｉ）＝（１－４ｉ）（４＋ｉ）＝８－１５ｉ， 故选 Ａ． 答案 Ａ ∵ 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ） 在复平面内对应的点
位于第四象限 ａ ｂ
５．（２０２１黑龙江齐齐哈尔模拟，２）若 为虚数单位 则３－２ｉ ，∴ ＞０， ＜０，
ｉ ， ＝ 则ｚ ａ ｂ ｂ ａ ｂ 又ａ
２＋２ｉ ·ｉ＝（ ＋ ｉ）ｉ＝－ ＋ ｉ，∴ － ＞０， ＞０，
复数ｚ 在复平面内对应的点位于第一象限．
（ ） ∴ ·ｉ
故选 ．
１ ５ １ ５ Ａ
Ａ． ＋ ｉ Ｂ．－ － ｉ １１．（２０２１甘肃顶级名校联考，２）复数ｚ 若复数ｚ ｚ 在复
４ ４ ４ ４ １＝２＋ｉ， １， ２
平面内对应的点关于虚轴对称 则ｚ ｚ
１ ５ １ ５ ， １ ２＝ （ ）
Ｃ．－ ＋ ｉ Ｄ． － ｉ
４ ４ ４ ４ Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．－３＋４ｉ Ｄ．３－４ｉ
答案 Ａ 由题意可知 ｚ
答案 Ｄ ３－２ｉ （３－２ｉ）（２－２ｉ） ２－１０ｉ １ ５ 故选 ． ， ２＝－２＋ｉ，
＝ ＝ ＝ － ｉ， Ｄ 所以ｚ ｚ ．
２＋２ｉ （２＋２ｉ）（２－２ｉ） ８ ４ ４ １ ２＝（２＋ｉ）（－２＋ｉ）＝－４－１＝－５
６．（２０２１黑龙江顶级名校模拟，２）复数ｚ满足 ｚ 为 故选 ．
（ ＋ｉ）ｉ＝－３＋ｉ，ｉ Ａ
虚数单位 则ｚ等于 ｂ
， （ ） １２．（２０２１四川遂宁月考，２）已知ｚ －２＋ ｉ ｂ Ｒ 其中 为虚数
＝ （ ∈ ）， ｉ
Ａ．１＋２ｉ Ｂ．１－２ｉ １－ｉ
单位 若ｚ ｂ 则 ｚ
Ｃ．－１＋２ｉ Ｄ．－１－２ｉ ， ＝－ ｉ， ｜ －１｜＝ （ ）
答案 Ａ ｚ
∵ （ ＋ｉ）ｉ＝－３＋ｉ， Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ． ５ Ｄ． ３
ｚ ｂ
∴ －ｉ·ｉ（ ＋ｉ）＝－ｉ（－３＋ｉ）， 答案 Ｃ 解法一 ｚ ｂ ｚ －２＋ ｉ ｂ
ｚ ｚ 故选 ． ：∵ ＝－ ｉ，∴ ＝ ＝ ｉ，
∴ ＋ｉ＝３ｉ＋１，∴ ＝２ｉ＋１， Ａ １－ｉ
７ １６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｂ ｂ ｂ ｂ ４
∴ －２＋ ｉ＝ ｉ·（１－ｉ）＝ ＋ ｉ， ｉ ＝１，
ｂ ｚ ｂ ｚ ． 所以ｚ３０ ３０ ４×７＋２ ２ 故 正确
∴ ＝－２，∴ ＝ ｉ＝－２ｉ，∴ ｜ －１｜＝｜－１－２ｉ｜＝ ５ ＝ｉ ＝ｉ ＝ｉ ＝－１， Ａ ；
故选 ． 对于 设ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 所以ｚ２ ａ ｂ ２ ａ２ ｂ２ ａｂ 若
Ｃ Ｂ： ＝ ＋ ｉ， ， ∈ ， ＝（ ＋ ｉ） ＝ － ＋２ ｉ，
ｂ ｂ ｂ ｚ２ Ｒ 则 ａｂ 即ａ ｂ 或ｂ ａ 或ａ ｂ 只有
解法二 由已知得ｚ －２＋ ｉ －２－ ＋（ －２）ｉ ∈ ， ２ ＝０， ＝０， ≠０ ＝０， ≠０ ＝ ＝０，
： ＝ ＝ ， 当ｂ 时 ｚ Ｒ 故 错误
１－ｉ ２ ＝０ ， ∈ ， Ｂ ；
ｂ ｂ 对于复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ｚ 为纯虚数的充要条件是 ａ
ｚ －２－ －２ ｂ ＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）， ＝０
∵ ＝ － ｉ＝－ ｉ， 且ｂ 故 错误
２ ２ ≠０， Ｃ ；
ｂ ｂ 若复数ｚ满足 ｚ 则复数ｚ在复平面内 对应点的集合是
由复数相等的充要条件可得－２－ 且 －２ ｂ ｜ ｜＝１， ，
＝０， － ＝－ ， 以原点Ｏ为圆心 以 为半径的圆 故 正确．故选 ．
２ ２
， １ ， Ｄ ＡＤ
ｂ ｚ ｂ ｚ ．
∴ ＝－２，∴ ＝ ｉ＝－２ｉ，∴ ｜ －１｜＝｜－１－２ｉ｜＝ ５ １６．（２０２１届山东师范大学附属中学一模）若复数ｚ ２ 其中
故选 ． ＝ ， ｉ
Ｃ １＋ｉ
为虚数单位 则下列结论正确的是
１３．（２０２１河南十所名校第四次联考，２）若复数ｚ １－２ｉ ａ ａ ， （ ）
＝ ＋ （ ∈
２＋ｉ ｚ的虚部为 ｚ
Ａ． －１ Ｂ．｜ ｜＝ ２
Ｒ
）
在复平面内对应的点在第三象限
，
且
｜
ｚ
｜＝ ５，
则ａ
＝ Ｃ．
ｚ２ 为纯虚数
Ｄ．
ｚ的共轭复数为
－１－ｉ
（ ） 答案 ＡＢＣ ｚ ２ ２（１－ｉ） ．
＝ ＝ ＝１－ｉ
１ １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ）
Ａ．２ Ｂ．－ Ｃ．－１ Ｄ．－２ 对于 由ｚ 得复数ｚ的虚部为 故 正确
２ Ａ， ＝１－ｉ －１， Ａ ；
答案 Ｄ ｚ （１－２ｉ）（２－ｉ） ａ ａ 由 ｚ 得 对于 ｚ 故 正确
＝ ＋ ＝－ｉ＋ ， ｜ ｜ ＝ ５， Ｂ，｜ ｜＝｜１－ｉ｜＝ ２， Ｂ ；
（２＋ｉ）（２－ｉ） 对于 由于ｚ２ ２ 所以ｚ２ 为纯虚数 故 正确
ａ２ ＋（－１） ２ ＝ ５， 解得ａ ＝±２ ．又因为复数ｚ在复平面内对应 对于 Ｃ， ｚ 的 ＝（ 共 １ 轭 －ｉ） 复 ＝ 数 － ｚ ２ｉ， 故 不正确．故 ， 选 Ｃ ． ；
的点在第三象限 所以ａ ． Ｄ， ＝１－ｉ ＝１＋ｉ， Ｄ ＡＢＣ
， ＝－２ １７．（２０２０山东济南 ６ 月模拟）已知复数 ｚ θ θ
＝１＋ｃｏｓ ２ ＋ｉｓｉｎ ２
二、多项选择题 ( )
π θ π 其中 为虚数单位 下列说法正确的是
１４．（２０２０山东青岛期初调研检测，１１）欧拉公式 ｅ ｉ ｘ ＝ｃｏｓ ｘ ＋ｉｓｉｎ ｘ － ２ ＜ ＜ ２ ， ｉ ， （ ）
其中 为虚数单位 ｘ Ｒ 是由瑞士著名数学家欧拉创立 复数ｚ在复平面上对应的点可能落在第二象限
（ ｉ ， ∈ ） Ａ．
的 该公式将指数函数的定义域扩大到复数 建立了三角函 ｚ可能为实数
， ， Ｂ．
数与指数函数的关联 在复变函数论里占有非常重要的地 ｚ θ
， Ｃ．｜ ｜＝２ｃｏｓ
位 被誉为 数学中的天桥 ．依据欧拉公式 下列选项正确的是
， “ ” ， １ 的实部为 １
Ｄ． ｚ
（ ） ２
π ４ｉ ２ ２ π ２ｉ为纯虚数 答案 ＢＣＤ 因为 － π ＜ θ ＜ π ，
Ａ．ｅ ＝ － ｉ Ｂ．ｅ ２ ２
２ ２
所以 θ 所以 θ
－π＜２ ＜π， －１＜ｃｏｓ２ ≤１，
复数 πｉ的模等于 复数 π ３ｉ的共轭复数为１ ３ 所以 θ 故复数ｚ在复平面上对应的点不可能落
Ｃ． ｅ １ Ｄ． ｅ － ｉ ０＜１＋ｃｏｓ２ ≤２，
２ ２ 在第二象限 所以 选项错误
答案 ＢＣＤ 本题主要考查学生获取信息的能力 同时考 ， Ａ ；
， ( )
查了复数及三角函数的运算 考查的核心素养是数学运算与 当 θ 即θ π π 时 复数ｚ是实数 故 选
， ｓｉｎ２ ＝０， ＝０∈ － ， ， ， Ｂ
逻辑推理． ２ ２
项正确
因为 ｉ ｘ ｘ ｘ ；
ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ， ( )
所以 π ４ｉ π π ２ ２ 不正确 因为θ ∈ － π ， π ， 所以 ｜ ｚ ｜ ＝ （１＋ｃｏｓ２ θ ） ２ ＋（ｓｉｎ２ θ ） ２ ＝
ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝ ＋ ｉ，Ａ ； ２ ２
４ ４ ２ ２ θ θ 故 选项正确
π ２ｉ π π 是纯虚数 项正确 πｉ ２＋２ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ ， Ｃ ；
ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝ｉ ，Ｂ ；ｅ ＝ｃｏｓ π＋ｉｓｉｎ π
２ ２ 因为 １ １
ｚ ＝ θ θ
１＋ｃｏｓ２ ＋ｉｓｉｎ２
其模为 项正确 π ３ｉ π π １ ３ 其共 θ θ
＝－１， １，Ｃ ；ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝ ＋ ｉ， １＋ｃｏｓ２ －ｉｓｉｎ２
３ ３ ２ ２ ＝ θ θ θ θ
（１＋ｃｏｓ２ ＋ｉｓｉｎ２ ）（１＋ｃｏｓ２ －ｉｓｉｎ２ ）
轭复数为 １ ３ 项正确 故选 ． θ θ
－ ｉ，Ｄ ， ＢＣＤ １＋ｃｏｓ２ －ｉｓｉｎ２
２ ２ ＝ θ ，
１５．（２０２１届山东泰安东平高级中学第二次质量检测，１０）在复平 ２＋２ｃｏｓ２
θ
面内 下列说法正确的是 所以 １ 的实部是１＋ｃｏｓ２ １ 故 选项正确．故选 ．
， （ ） ｚ θ＝ ， Ｄ ＢＣＤ
２＋２ｃｏｓ２ ２
Ａ．
若复数ｚ
＝
１＋ｉ
（ｉ
为虚数单位
），
则ｚ３０
＝－１ 三、填空题
１－ｉ
若复数ｚ满足ｚ２ Ｒ 则ｚ Ｒ
Ｂ． ∈ ， ∈ １８．（２０２１吉林调研测试，１３）已知 是虚数单位 复数ｚ １－ｉ 则
若复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则ｚ为纯虚数的充要条件是ａ ｉ ， ＝ ，
Ｃ． ＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）， ＝０ ｜ｉ｜
若复数ｚ满足 ｚ 则复数ｚ在复平面内对应点的集合是 ｚ的虚部为 ．
Ｄ． ｜ ｜＝１，
以原点Ｏ为圆心 以 为半径的圆 答案
， １ －１
２
答案 ＡＤ 对于 ｚ １＋ｉ （１＋ｉ） 因为 ２ 解析 因为 所以ｚ １－ｉ
Ａ： ＝ ＝ ＝ｉ， ｉ ＝－１， ｜ｉ｜＝１， ＝ ＝１－ｉ，
１－ｉ （１－ｉ）（１＋ｉ） ｜ｉ｜
第十三章 数系的扩充与复数的引入 ７ １７
故ｚ的虚部为 ．
－１ 解析 由题得ｚ ２ 所以ｚ的虚部为 ｚ ｚ ．
易错警示 复数ｚ ａ ｂ（ａ，ｂ Ｒ）的虚部为ｂ，而不是ｂ． ＝ ＝１＋ｉ， １， · ＝２
＝ ＋ ｉ ∈ ｉ １－ｉ
１９．（２０２１浙江宁波二模，１１）若复数 ｚ
＝
ｍ２
－１＋（
ｍ
－１）ｉ
为纯虚 ２１．（２０２１浙江名校协作体高三下联考，１２）
１７４８
年
，
瑞士数学家
数 其中 为虚数单位 则实数ｍ ｚ 欧拉发现了复指函数和三角函数的关系 并写出以下公式
（ ｉ ）， ＝ ；｜２＋ｉ＋ ｜＝ ， ：
． ｅ ｉ ｘ ＝ｃｏｓ ｘ ＋ｉｓｉｎ ｘ ， 这个公式在复变论中占有非常重要的地位 ，
答案 被誉为 “ 数学中的天桥 ” ．根据此公式 ， 则 ｅ ｉπ ＋１＝ ；
解析 由
－１
纯
；
虚
５
数的充要条件可知
{ｍ
ｍ ２ －１＝０，解得ｍ ＝－１，
æ
è ç １ ２ ＋ ２ ３ ｉ
ö
ø ÷
３
＝ ．
－１≠０， 答案
所以ｚ ０；－１
＝－２ｉ， 解析 由题可得 ｉπ
所以 ｚ 所以 ． ：ｅ ＋１＝ｃｏｓ π＋ｉｓｉｎ π＋１＝０；
２０．（２０２１ ２＋ 浙 ｉ＋ 江 ＝ 温 ２ 州 －ｉ， 二模，１ ｜２ １ － ） ｉ 已 ｜＝ 知 ５ 是虚数单位 若复数 ｚ 满足 æ ç １ ３ ö ÷ ３ ( π π ) ３ ｉ π ３ ３ ｉπ
ｉ ， è ＋ ｉø ＝ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝（ｅ ） ＝ｅ ＝ｃｏｓ π＋ｉｓｉｎ π
ｚ 则ｚ的虚部为 ｚ ｚ ． ２ ２ ３ ３
（１－ｉ） ＝２， ； · ＝ ．
答案 ＝－１
１；２
