文档内容
专题 10 复数及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
2、复数的分类：
3、复数的有关概念
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
⇔
向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，
复数的模
即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴
上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量 ．知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设 ， (a，b，c，d∈R)，则
（1）z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
（2）z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
（3）z·z＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
（4） ．
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z＋z|2＋|z－z|2＝2(|z|2＋|z|2) ．
1 2 1 2 1 2
（2）·z＝|z|2＝||2．
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2．
（4）(1±i)2＝±2i．
（4）＝i；＝－i．
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角．
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz．
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．
2、复数的三角形式及运算
（1）定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
（2）复数乘法运算的三角表示：已知z =r (cosθ +isinθ )，z =r (cosθ +isinθ )，
1 1 1 1 2 2 2 2
则z z =r r [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )]．
1 1 1 2 1 2 1 2
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和．
（3）复数除法运算的三角表示：已知z =r (cosθ +isinθ )，z =r (cosθ +isinθ )
1 1 1 1 2 2 2 2
z r (cosθ +isinθ ) r
则 1= 1 1 1 = 1[cos(θ −θ )+isin(θ −θ )]．
z r (cosθ +isinθ ) r 1 2 1 2
2 2 2 2 2
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差．重难点01 与复数有关的最值问题
求复数模的范围与最值问题的解题策略
（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，
求模的范围与最值问题来解决；
（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；
（3）利用三角函数解决．
【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】若复数z满足 ，
则由复数的几何意义可知复数 对应的点集是线段 的垂直平分线，其中 ，
所以 的最小值为 .故选：B.
【典例2】（2024·云南·二模）已知 为虚数单位，复数z满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】设 ，而 ，所以 ，即 ，
所以 ，
等号成立当且仅当 ，
综上所述， 的最小值为 .故选：A.
重难点02 共轭复数与复数运算的综合问题
共轭复数问题的求解技巧：
1、若复数 的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出 ，再进行复数的四则运算．2、已知关于 和 的方程，而复数 的代数形式位置，求解 .解决此类问题的常规思路是：设
，则 ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．
【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】设复数 ，可得
因为复数z满足 ，可得 ，则 ，
可得 且 ，
由 时，可得 或 ，
当 时，可得 ，此时 ；当 时，方程 ，无解；
对于A中，当 ，可得 ，可得 ；
当 ，可得 ，可得 ，所以A正确；
对于B中，当 ，可得 ，且 ，则 ，所以B不正确；
对于C中，当 ，可得 ，可得 ，所以C不正确；
对于D中，当 ，可得 ，可得 ，则 ；
当 ，可得 ，可得 ，则 ，所以D正确.故选：AD.
【典例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数 的共轭复数分别为 ，下列结论
正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在复平而内对应的点的轨迹为直线【答案】ACD
【解析】对于A，设 ， ，故 成立，故A正确，
对于B，设 ， ，则满足 ，但 ，故B错误，
对于C，设 ， ，则 ， ，
故 ， ，
解得 ， ，则 ，故C正确，
对于D，设 ，因为 ， ，
，所以 ，
化简得 ，故 在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD.
一、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足 ，则复数z的虚部是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】设 ，根据题意，可得 ，
化简为 ，
根据复数相等，得 ，解得 ，
所以 ，即复数z的虚部是3.故选：C
【典例2】（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【解析】A项中， ，故A正确；
B项中， ，故B错误；
C项中， ，故C正确；
D项中， ，故D错误.故选：AC.
二、求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部
的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部．
【典例1】（2024·新疆·三模）复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 且 ，则 ，
因为 ，所以 ,解得： ，则 的虚部为 .故选：C
【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数 满足 ， ，则 （ ）
A． B．2 C．-2 D．
【答案】B
【解析】设复数 ， ，
由 ，得 ，解得 ， ，
∴ ，∴ .故选：B．
三、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ=(a,b)是一一对应的．【典例1】（2024·四川自贡·三模）在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，
则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为复数 ， 对应的向量分别是 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以复数 对应的点为 ，位于第四象限.故选：D
【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数 满足 ，若 在复平面内对应的点不在第一
象限，则 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
因为 ，
则 ，解得 或 ，
又因为 在复平面内对应的点不在第一象限，可知 ，
可知 ，所以 .
故答案为： .
四、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N ，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
＋
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N ，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
＋
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．【典例1】（2024·湖北·二模）已知复数 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .故选：A
【典例2】（2024·河北·三模）已知复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的共轭复数的虚部是 .故选：D.
五、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
−b±√b2−4ac −b±√−(b2−4ac)i
①当∆≥0时，x= ②当∆<0时，x=
2a 2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【典例1】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知 是方程 的根，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意，得 ，即 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以 .故选：A.【典例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）（多选）已知 ， 为方程 的两根，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】方程 的两根分别为 和 ，且 ， ，
所以不妨设 ， ，
，所以 ，故 错误；
，故 正确；
，故 正确；
， ，
所以 ，故 错误.故选： .
六、复数的三角表示
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=√a2+b2，
a b
（2）cosθ= ，sinθ= ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
r r
π
当a=0，b>0时，arg z=
2
【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等．
【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）（多选）任何一个复数 （ ， ， 为虚数单
位）都可以表示成 （ ， ）的形式，通常称之为复数 的三角形式.法国数学家
棣莫弗发现： （ ），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列
说法正确的有（ ）
A．复数 的三角形式为B．当 ， 时，
C．当 ， 时，
D．当 ， 时，“ 为偶数”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件
【答案】BC
【解析】复数 的三角形式为 ，故 错误；
当 ， 时， ，
因为 ， ，
所以 ，故 正确；
当 ， 时， ，
，故 正确；
当 ， 时， ，
，
若 为纯虚数，则 ，则 ，所以 ， ，
虽然 ， 是偶数，但是偶数还有 ， 的形式的数，
所以“ 为偶数”是“ 为纯虚数”的必要不充分条件，故 错误.故选： .
【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 是虚数单位 在复平面内对应点为 ，设
是以 轴的非负半轴为始边，以 所在的射线为终边的角，则 ，把
叫做复数 的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
，例如：
， ，复数 满足： ，则 可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
所以 ， ，即 ，
所以
故 时， ，故 可取 ，故选：D
易错点1 忽视复数 是纯虚数的充要条件
点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数 为纯虚数 ，往往容易忽略虚部不等于
0．
【典例1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知复数 ，若复数 为纯虚数，则
实数 的值为（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【解析】由已知，复数 为纯虚数，
所以 得 .故选：A.
【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）已知i是虚数单位，若 是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】 ，
因为 是纯虚数，所以 ，解得 .故选：C.
易错点2 错误的理解复数比大小
点拨：两个复数不能直接比大小，但如果 成立，等价于 ．
【典例1】（2024·辽宁·三模）已知复数 在复平面上对应的点为 ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A．0 B． C．1 D．1或
【答案】A
【解析】因为复数 在复平面上对应的点为 ，所以 ，
因为 ，
因为 为实数，得 .故选：A.
【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知复数 ， ，若 （ 为
的共轭复数），则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】 , ,
, , 都是实数，且 ,
,解得 ,
即实数 的取值范围为
故答案为：易错点3 错误的惯性思维理解复数的模
点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用．
【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知 是虚数单位，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】 .故选：C.
【典例2】（24-25高三上·山西大同·期末）（多选）已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，设 ，显然 ，但 ，故A错；
对于B，设 ，则 ，
，
，所以 ，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数 在复平面内对应向量 ，
复数 对应向量 ，复数加减法对应向量加减法，
故 和 分别为 和 为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以 ， ，故C对，D对.故选：BCD.
