文档内容
第 03 讲 复数
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：复数的概念............................................................................................................................2
题型二：复数的运算............................................................................................................................2
题型三：复数的几何意义....................................................................................................................3
题型四：复数的相等与共轭复数........................................................................................................3
题型五：复数的模................................................................................................................................3
题型六：复数的三角形式....................................................................................................................4
题型七：与复数有关的最值问题........................................................................................................4
题型八：复数方程................................................................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................5
03 真题实战练......................................................................................................................................7题型一：复数的概念
1．（2024·河南信阳·模拟预测）复数 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若 的虚部为2，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
3．（2024·甘肃张掖·三模）已知复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．0
题型二：复数的运算
4．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数 满足： ， ，若
在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知复数z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为 ，则 （ ）
A．i B．-i C． D．8．（2024·高三·黑龙江绥化·期中）已知复数 和 （i是虚数单位），则 ．
题型三：复数的几何意义
9．（2024·陕西·模拟预测）已知复数 ， ， ，若 ，则在复平面内 对应的
点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2024·青海海西·模拟预测）已知 ，复数 ，则“ ”是“复数z在复平面
内所对应的点位于第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应
的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2024·高三·湖南岳阳·期中）已知复数 的共轭复数为 ，且满足 ，则 在复平面内的对
应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型四：复数的相等与共轭复数
13．（2024·北京海淀·二模）若 ，则 .
14．（2024·重庆·模拟预测）复数 满足 （ 为虚数单位），则 ．
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为 .
16．（2024·山东青岛·二模）已知复数 满足 ，则复数 .
题型五：复数的模
17．（2024·高三·上海·期中）已知复数z满足 （i为虚数单位），则复数z的模等于 ．
18．（2024·高三·上海嘉定·期中）若复数 （ 为虚数单位），则 ．
19．（2024·高三·辽宁大连·期中）设复数 ， 满足 ， ，则 .20．若复数z满足 ，则
题型六：复数的三角形式
21．（2024·高三·辽宁·期中）欧拉公式 （其中 为虚数单位， ），是由瑞士著名数
学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数
论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式， 的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024·全国·模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数 、虚数单位 、三角函数联系在
一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则 （ ）
A． B． C． D．
23．复数 的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
24．欧拉公式 （ 为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士数学家 （欧拉）首先发
现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则
下列运算一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：与复数有关的最值问题
25．（2024·安徽·模拟预测）若 为虚数单位， ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．26．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
27．（2024·辽宁·模拟预测）已知 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
28．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知复数 满足： ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．3
29．（2024·全国·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
30．已知复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
题型八：复数方程
31．（2024·上海浦东新·二模）已知 ， 为实数， 是关于 的方程 的一个根，其中 是
虚数单位，则 ．
32．（2024·上海嘉定·二模）设 ，则 ．
33．复数 （i为虚数单位）的平方根为
34．已知关于 的方程 的两根为 、 ，满足 ，则实数 的值为
35．已知方程 有两个虚根 ，则 的取值范围是
1．（2024·西藏·模拟预测）已知复数 ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2024·甘肃兰州·三模）已知复数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
3．（2024·山西阳泉·三模）已知 是实系数方程 的一个复数根，则 （ ）
A． B． C．1 D．9
4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 是虚数单位，则复数 （ ）
A． B．1 C． D．
5．（2024·浙江·三模）已知复数z满足 ，其中i是虚数单位，则 （ ）
A．2 B． C． D．5
6．（2024·安徽安庆·模拟预测） （ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）虚数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
8．（2024·福建泉州·模拟预测）若复数z满足 ，则z的一个可能值是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·湖北襄阳·二模）已知复数 满足 ， （ 为虚数单
位）， 是方程 在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为4
C．当 时，则 D．当 时，则
10．（多选题）（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数 ， ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则 或 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．（多选题）（2024·山东菏泽·二模）下列选项正确的有（ ）
A．若 是方程 的一个根，则B．复数 与 分别表示向量 与 ，则向量 表示的复数为
C．若复数 满足 ，则 的最大值为
D．若复数 ，满足 ，则
12．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则
B．若 是 的共轭复数，则
C．若 ，则
D．若 ，则 取最大值时，
13．（2024·天津南开·二模） 是虚数单位，复数 .
14．（2024·天津北辰·三模） 是虚数单位，复数 的虚部为 .
15．（2024·河南南阳·三模）若 ，则
16．（2024·上海·三模）已知关于 的一元二次方程 有两个虚根 ，且 ，
则实数 的值为 .
17．（2024·湖南衡阳·三模）已知 是关于 的方程 （其中p、q为实数）的一个根，则
的值为 .
1．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题） （ ）A．1 B．2 C． D．5
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题） （ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022年新高考全国II卷数学真题） （ ）
A． B． C． D．
10．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则
（ ）
A． B． C． D．
14．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
15．（2022年新高考全国I卷数学真题）若 ，则 （ ）A． B． C．1 D．2
16．（2024年天津高考数学真题）已知 是虚数单位，复数 ．
17．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知虚数 ，其实部为1，且 ，则
实数 为 ．
18．（2023年天津高考数学真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
19．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
