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第二十四章 圆
专题18 直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）
【题型目录】
题型一 判断直线与圆的位置关系
题型二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值
题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心角到直线的距离
题型四 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型五 切线的判定定理
题型六 切线的性质定理
题型七 切线的性质与判定定理
题型八 切线长定理的应用
题型九 三角形内心的有关应用
题型十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十一 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十二 圆的综合问题
【知识梳理】
知识点一、直线和圆的位置关系
1. 设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离
d l
r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做
相切 O 直线 与 相切
d l 圆的切线，公共点叫做切点
r 直线与圆有两个公共点，直线叫做
相交 O 直线 与 相交
d
l 圆的割线
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
圆心到直线的距离 与半径 的关系
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —
2.切线的判定与性质
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。
（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。
拓展
推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。
圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；
（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理
解为“二推一”。
3.三角形的内切圆
（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的
交点，叫作三角形的内心。
（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。
点拨：
（1）设直角三角形的两条直角边长为 斜边长为c，则它的内切圆半径 ；
（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；
（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即 其中 为
的内切圆半径， 分别为 的三边长。
（3）切线长
（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角。
点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。
（4）多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．总结：
4．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定
设 的半径分别为 （其中 ），两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
r R 两个圆没有公共点，并且每个圆上
外离 两圆外离
O1 O2 的点都在另一个圆的外部．
两个圆有唯一公共点，并且除了这
r R
外切 个公共点之外，每个圆上的点都在 两圆外切
O1 O2
另一个圆的外部．
相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交
O1
R
O2
两个圆有唯一公共点，并且除了这
r
内切
O 1O
2 个公共点之外，一个圆上的点都在 两圆内切
R
另一个圆的内部．两个圆没有公共点，并且一个圆上
R
内含 的点都在另一个圆的内部，两圆同 两圆内含
r O1 O2
心是两圆内含的一种特例．
说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离
与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试） 中， ， ， ，以 为圆心，
以 长为半径作 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2023春·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中， ， ，以顶点C为圆
心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能
3．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以 为半径的圆的圆心P
的坐标为 ，将 沿y轴负方向平移 个单位长度，则x轴与 的位置关系是 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作 ，
延长 到点 ，使 ，点 是 上的动点，线段 的中点为 ，点 为 上一动点．（1）直线 与 的位置关系为 ；
（2） 的最小值为 ．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，正方形 的边长为2， 和 相交于点 ，过 作
，交 于 ，交 于 ，则以点 为圆心， 为半径的圆与直线 ， 的位置关系分别是
什么？
6．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， 为边 上一点
（不与点 重合）．若 的半径为 ，当 在什么范围内取值时，直线 与 相离、
相切、相交？
【经典例题二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值】
1．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心
r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（ △ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．52．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，点E是AB的中点，点
F是AD边上的一个动点，将 沿EF所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值是
A． B．3 C． D．
3．（2023·广东东莞·校考一模）在 中， ， ， ．那么以 为圆心，
为半径的 与 相切．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ，以 为圆心， 为半径
作圆．若该圆与线段 只有一个交点，则 的取值范围为 ．
5．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）圆心O到直线l的距离为d， 半径为r，若d、r是方程
的两个根，且直线l与 相切，求m的值．
6．（2023秋·九年级课时练习）如图， 为正比例函数 图象上的一个动点， 的半径为 ，设点
的坐标为 ．(1)求 与直线 相切时点 的坐标．
(2)请直接写出 与直线 相交、相离时 的取值范围．
【经典例题三 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知 是以数轴原点 为圆心，半径为1的圆，
，点 在数轴上运动，若过点 且与 平行的直线与 有公共点，设 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半径 的⊙M在 轴上平移，且圆心M在x轴上，当
⊙M与直线 相切时，圆心M的坐标为（ ）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
3．（2023秋·九年级课时练习）以点 为圆心， 为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则 的
值为 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析
式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，且直线 与 相切，
若 ， 分别是方程 的两个根，求 的值．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知直线y＝ x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是
以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．
（1）求圆心C到直线AB的距离；
（2）求△PAB面积的最大值．【经典例题四 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 ， 与 和 分别相切于点 和点 ．点 和点
分别是 和 上的动点， 沿 和 平移． 的半径为 ， ．下列结论错误的是（ ）．
A． B．若 与 相切，则
C．若 ，则 与 相切 D． 和 的距离为
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于
点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出
发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若 ，则
PC长的最小值为 ．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 、 相交于点 ， ，半径为 的圆的
圆心P在直线 上，且与点 的距离为 ，若点 以 的速度由A向B的方向运动，当运动时间
为 时， 与直线 相切．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐
标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线y= x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上
取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P
为圆心，作半径为 的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q
作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．
【经典例题五 切线的判定定理】
1．（2023·河南濮阳·统考一模）如图1和图2，已知点P是 上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与 相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接 ，以点P为圆心， 长为半径画弧交 于点A，连接并延长 ，再在 上截取
，直线 即为所求；
乙：如图2，作直径 ，在 上取一点B（异于点P，A），连接 和 ，过点P作 ，则
直线 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，O为 的外心，四边形 为正方形．以下结论：①O是
的外心；②O是 的外心；③直线 与 的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是
（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2023秋·九年级课时练习）如图，以 的边 为直径的 恰好过 的中点 ，过点 作
于点 ，连接 ， ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ 是
的切线；⑤ ．其中正确结论的序号是 ．4．（2023春·九年级单元测试）已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝
2．
（1）点C坐标为 ．
（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有 个．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是⊙ 的直径， 、 都是⊙ 上的点， 平分 ，
过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求 的值．
6．（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 的弦， 交 于 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若 是 的中点，求证： 是 的切线．【经典例题六 切线的性质定理】
1．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图， 是 的直径， ， 是
的弦， 是 的切线， 为切点， 与 交于点 ．若点 为 的中点， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图， 是 的直径，点 是 延长线上的一点，且
.点 是 上的一点，点 和点 关于直线 对称，设 ，则下列是真命题的是
（ ）
A．当 是 的切线时，四边形 是正方形
B．当 时， 可能为等边三角形
C．当线段 与 只有一个公共点 点时， 的范围是
D．当线段 与 有两个交点 、 时，若 于点 ，则
3．（2023秋·九年级课时练习）如图 是 的弦， 交 于点 ，过点 的切线交 的延长
线于点 ．若 的半径为 ，则 的长为 ．4．（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 的直径，点 在 上， 是 的中点，过点 作
的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
5．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图， 为 的直径， 切 于点E， 于
点C．
(1)求证： 平分
(2)若 ， ，求 的半径．
6．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图， 为 的直径，点 为 上一点，连接 、 ，过点 作
的切线 ，连接 交 于点 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的直径 的长．
【经典例题七 切线的性质与判定定理结合】
1．（2023·广东深圳·校考三模）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的
长度为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形 中， ， 是边 上一点，且 ．已
知 经过点 ，与边 所在直线相切于点 （ 为锐角），与边 所在直线交于另一点 ，且
，当边 或 所在的直线与 相切时， 的长是（ ）A．9 B．4 C．12或4 D．12或9
3．（2023秋·江西新余·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交
于点 、 ，半径为 的 的圆心 从点 （点 在直线 上）出发以每秒 个单位长度
的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 时， 与坐标轴相切．
4．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）【观察思考】
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块 在平直滑道 上可
以左右滑动，在 滑动的过程中，连杆 也随之运动，并且 带动连杆 绕固定点 摆动．在摆动过
程中，两连杆的接点 在以 为半径的 上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，
过点 作 于点 ，并测得 分米， 分米， 分米．
【解决问题】(1)点 在 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米．
(2)如图3，小明同学说：“当点 滑动到点 的位置时， 与 是相切的．”你认为他的判断对吗？为
什么？
(3)①小丽同学发现：“当点 运动到 上时，点 到 的距离最小．”事实上，还存在着点 到 距离最
大的位置，此时，点 到 的距离是_________分米；
②当 绕点 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
【经典例题八 切线长定理的应用】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径， ， 分别与⊙O相切于点B，C，过点C
作 的垂线，垂足为E，交 于点D．若 ，则 长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·九年级单元测试）如图， 是 的内切圆， 、 、 为切点， ，
， ， 切 交 于 ，交 于 ，则 的周长为（ ）A． B． C． D．
3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，点 为 外一点，过点 作 的切线 ， ，点 ，
为切点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 已知 ，
，则 的长为 ．
4．（2023·江苏·统考二模）【感知】（1）如图1， 是 的两条切线，切点分别为点B、C，连
接 交 于点D，点E在优弧 上，且 ，则线段 的长为_____， 的度
数为_____， 的度数为_____．
【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，点A是 外一点，请作出一条经过点A的 的切线 ，切点为点B；
（3）图3，点P、Q分别在直线 的两侧，请在直线 上确定一个点T，使得 与 的角平分线
在同一条直线上．请作出符合条件的 的角平分线 ．【经典例题九 三角形内心的有关应用】
1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示， 内接于 ，点M为 的内心，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建宁德·校考二模）如图，点 是 的内心， 的延长线交 于 ，点 、 关于
所在的直线对称，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在 中， 的内切圆 与 分别相
切于点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则 ．
4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知 内接于 ，且 是 的直径，(1)实践与操作：
请用尺规作图法作出 的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)推理与计算：
连接 并延长，与 交于另一点D．若 ， ，求 的长．
【经典例题十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图， 与 的 的三边 分别相切于点D、
E、F，若 ，则 的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图， 为 的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知
， ， ，则 的半径为（ ）A． B． C．1 D．2
3．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形 的边长是 ， 是 边的中点．将该正方形沿
折叠，点 落在点 处． 分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，则 的半径为
．
4．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图， 的周长为 ，面积为 ，内切圆☉ 的半
径为 ，探究 与 ， 之间的关系．
解：连接 、 、 ．
∵ ，
，
，
∴ ，
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为 ，各边长分别为 ， ， ， ，试推导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个 边形( 为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为 ，各边长分别为 ， ， ， ，…， ，
合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
【经典例题十一 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1．（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图， 是 的内切圆，若 的周长
为18，面积为9，则 的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张 纸片中， ， ， ，
是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图， 的内切圆 与两直角边 、 分别相切于
点D、E，过劣弧 （不包括端点D、E）上任一点P作 的切线 ，与 、 分别交于点M、
N， ， ，则 的周长为 ．
4．（2021秋·九年级单元测试）如图，在 中， ， ，圆 内切于 ，切点分
别为 、 、 ．
（1）求 的周长；
（2）求内切圆的面积．【经典例题十二 圆的综合问题】
1．（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC
上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过
其顶点A、B、C，则圆O的半径为（ ）
A．5 B． C． D．
3．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）如图，已知 是 的直径，弦 于点 ，
．点 是劣弧 上任意一点（不与点 ， 重合）， 交 于点 ， 与 的延长线相
交于点 ，设 ．
①则 （用含 的代数式表示）；②当 时，则 ．
4．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在 上， ，则锐角
的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不与点
A、C重合），连结 、 、 ．求证： ．小明发现，延长 至点E，使 ，连
结 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③， 是 的外接圆， ，点P在 上，且点P与点B在 的
两侧，连结 、 、 ．若 ，则 的值为__________．
