5.1 导数的概念及其意义
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：物体的平均速度与瞬时速度...............................................2
考点二：导数的平均变化率.......................................................... 2
考点三：函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.................................. 2
考点四：导数的几何意义............................................................. 3
考点五：求曲线“在”与“过”某点的切线......................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求平均速度与平均变化率..................................................3
题型二：瞬时速度与瞬时变化率.................................................... 4
题型三：导数定义中极限的简单计算...............................................6
题型四：曲线在某点处的切线斜率或倾斜角......................................7
题型五：求曲线“在”某点的切线方程............................................7
题型六：求曲线“过”某点的切线方程............................................8
题型七：导数几何意义的理解及运用...............................................8
模块三：综合巩固....................................................................... 10
5.1 导数的概念及其意义
模块一：基础知识
考点一：物体的平均速度与瞬时速度
1、平均速度
设物体的运动规律是
s
s t
，则物体在0t 到0t
t
这段时间内的平均速度为
0
0
s t
t
s t
s
t
t
2、瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；
（2）一般地，当t
无限趋近于0 时，
s
t
无限趋近于某一个常数v ，我们就说当t
趋近于0 时，
s
t
的
极限就是v ，这时v 就是物体在
0
t
t
时的瞬时速度，
即瞬时速度
0
0
0
0
lim
lim
t
t
s t
t
s t
s
v
t
t
考点二：导数的平均变化率
函数
( )
y
f x
从
1x 到
2x 的平均变化率
1、定义式：
2
1
2
1
(
)
(
)
f x
f x
y
x
x
x
2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3、意义：刻画函数值在区间
1
2
,
x x
上变化的快慢．
4、平均变化率的几何意义：
设
1
1
( ,
( ))
A x
f x
，
2
2
(
,
(
))
B x
f x
是曲线
( )
y
f x
上任意不同的两点，
函数
( )
y
f x
的平均变化率
2
1
1
1
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
x
f x
y
x
x
x
x
为割线AB 的斜率，如图．
【注意】Δx 是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx 可以为正，
也可以为负．
5、求平均变化率的步骤：
第一步：先计算函数值的改变量
2
1
(
)
y
f x
f
x
；
第二步：再计算自变量的改变量
2
1
x
x
x
；
第三步：求平均变化率
2
1
2
1
(
)
(
)
f x
f x
y
x
x
x
；
考点三：函数y=f(x)在x＝x0 处的瞬时变化率
1、瞬时变化率的定义
定义式
0
0
0
0
(
)
(
)
lim
lim
x
x
f x
x
f x
y
x
x
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
【注意】
（1）“
x
无限趋近于0”的含义
x
趋于0 的距离要多近有多近，即
0
x
可以小于给定的任意小的正
数，且始终
0
x
.
（2）“函数
( )
y
f x
在
0
x
x
的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数
( )
y
f x
在
0
x
x
处的导数”是一个数值，是针对
0x 而言的，与给定的函数及
0x 的位置有关，
而与
x
无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函
数，依赖于函数本身，而与x ，x
无关．
2、瞬时变化率的变形形式
lim
∆�→0
��0+∆�−�(�0)
∆�
= lim
∆�→0
��0−∆�−��0
−∆�
= lim
∆�→0
��0+�∆�−�(�0)
�∆�
= lim
∆�→0
��0+∆�−�(�0−∆�)
2∆�
= �'(�0)
考点四：导数的几何意义
1、切线的定义：当
x
趋于零时，点B 将沿着曲线
( )
y
f x
趋于点A，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直
线l，直线l 和曲线
( )
y
f x
在点A 处“相切”，称直线l 为曲线
( )
y
f x
在点A 处的切线．
2、导数的几何意义
函数
( )
y
f x
在
0x 处的导数，是曲线
( )
y
f x
在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
考点五：求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f
x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
模块二：题型分类
题型一：求平均速度与平均变化率
1.若函数
2
( )
f x
x
x
，则函数
( )
f x 从=
1
x 到
3
x 的平均变化率为（
）
A．6
B．3
C．2
D．1
2.在曲线
2
1
f x
x
的图象上取一点
1,2 及邻近一点
1 Δ 2
Δ
x
y
，
，则Δ
Δ
y
x 为（
）
A．
1
Δ
2
Δ
x
x
B．2
C．Δ
2
x
D．
1
Δ
2
Δ
x
x
3.函数
3
f x
x
在区间
1,1
上的平均变化率为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
4.函数
3
( )
ln
f x
x
x
在区间[1,e]上的平均变化率是（
）
A．
3e
2
1
e
B．
3e
2
e
1
C．
3e
2
e
1
D．
3e
2
e
1
5.函数
2
2
1
f x
x
在区间
1,1 Δx
上的平均变化率
y
x
等于（
）
A．4
B．4
2Δx
C．
2
4
2(Δ )x
D．4x
6.某物体沿直线运动，其位移s（单位：m ）与时间t（单位：s ）之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，则在1
4
t
这段时间内，该物体的平均速度为（
）
A．2m/s
B．9 m/s
4
C．11 m/s
4
D．3m/s
7.某物体做自由落体运动，其运动方程为
2
1
2
s t
gt
，其中t 为下落的时间（单位：s），g 为重力加速度，
大小为9.8m/s2．求它在时间段
1,3 内的平均速度．
8.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y 与时间t 的函数图象如图.记该车在时间段
1
2
,t t
，
2
3
,
t t
，
3
4
,
t t
，
1
4
,
t t
上的平均速度的大小分别为
1v ，
2v ，
3v ，
4v ，则平均速度最小的是（
）
A．
1v
B．
2v
C．
3v
D．
4v
题型二：瞬时速度与瞬时变化率
1.质点M 按规律s＝2t
2＋3t 做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M 在t＝2 s
时的瞬时速度是（
）
A．2 m/s
B．6 m/s
C．4 m/s
D．11 m/s
2.在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度( 单位：m ）是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，则
运动员在
1s
t
时的瞬时速度为（
）
A．3.3m / s
B．8.2m / s
C．3.3m / s
D．1.6m / s
3.某物体沿直线运动，其位移s （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为
2
1
4
s t
t
t
，
则在1
4
t
这段时间内，该物体的平均速度为（
）
A．2m/s
B．9 m/s
4
C．11m/s
4
D．3m/s
4.2020 年12 月1 日22 时57 分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1800m 处开始实施动力下降，
7500 牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1800m/s降为零.12 分钟后，
探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速
度的平均变化率为a ，则（
）
A．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/ s
2
a
B．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
C．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
D．
5 m/s
2
v
，
2
5 m/s
2
a
5.有一机器人的运动方程为
2
s t
t
t
，(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻
3
t 时的瞬
时速度为（
）
A．7
B．14
C．21
D．28
6.在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度( 单位：m ）是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，则运动员在
1s
t
时的瞬时速度为（
）
A．3.3m / s
B．8.2m / s
C．3.3m / s
D．1.6m / s
7.设某质点的位移S（单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系是
2
S t
t
，则质点在第1s时的
瞬时速度等于（
）
A．2m/s
B．1m/s
C．1m/s
D．2m/s
8.某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系
2
10
5
s
t
t
.
（1）当
20
t
，
0.1
t
时，求s
与
s
t
的值；
（2）求当
20
t
时的瞬时速度.
9.函数
2
( )
f x
x
在区间
0,2 上的平均变化率等于x
m
时的瞬时变化率，则m （
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．3
2
题型三：导数定义中极限的简单计算
1.若函数
f x 在
1
x 处的导数为2，则
0
(1
)
(1)
lim
2
x
f
x
f
x
（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．4
2.已知
f x 在
1
x 处的导数为2，则
0
1
1
lim
h
f
h
f
h
（
）
A．2
B．6
C．
1
2
D．1
3
3.已知
2
1
f
，则
0
(2
2
)
(2)
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
4.函数
f x 在R 上可导，若
2
3
f
，则
0
2
3
2
lim
x
f
x
f
x
x
（
）
A．12
B．9
C．6
D．3
5.已知
2
f
x
，则
0
2Δ
lim
Δ
x
f x
f x
x
x
（
）
A．－4
B．－1
C．1
D．4
6.已知函数
f x 的导函数是
f
x
，若
0
2
f
x
，则
0
0
0
1
(
)
(
)
2
lim
x
f x
x
f x
x
（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．4
7.若函数
y
f x
在
0
x
x
处可导，则
0
0
0
lim
h
f x
h
f x
h
h
（
）
A．
0
f
x
B．
0
2 f
x
C．
0
2 f
x
D．0
8.若
f x 在
0x 处可导，则
0
f
x
可以等于（
）．
A．
0
0
0
lim
x
f x
f x
x
x
B．
0
0
0
lim
x
f x
x
f x
x
x
C．
0
0
0
2
lim
x
f x
x
f x
x
x
D．
0
0
0
2
lim
x
f x
x
f x
x
x
题型四：曲线在某点处的切线斜率或倾斜角
1.已知函数
1
f x
x
x
，则该函数在
1
x 处的切线斜率为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2.函数
2
1
y
x
在
1
x 处的导数为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289．
3.函数
2
1
5
f x
x
x
在
2
x 处的导数值为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 ．
4.曲线
3
3
y
x
x
在点
2,2 处的切线斜率是（
）
A．9
B．6
C．3
D．1
5.点P 在曲线
3
1
2
3
4
y
x
x
上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．2π ,π
3
B．
π
2π
0,
,π
2
3
C．[0,π)
D．
π
π
,0
,π
2
2
6.设
f
x 为可导函数，且满足
0
2
2
lim
1
2
h
f
f
h
h
，则曲线
y
f x
在点
2
2
f,
处的切线的斜率是
（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．.2
B．2
C．
1
2
D．1
7.已知函数
2
ln
f x
ax
x
满足
0
(1)
(1
2
)
lim
2
3
x
f
f
x
x
，则曲线
y
f x
在点1
1
,
2
2
f
处的切线斜率
为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289．
题型五：求曲线“在”某点的切线方程
1.曲线
1
y
x
在点
1,1
P
处的切线方程为
．
2.已知函数
4
( )
(2
3)
f x
x
m
的图象经过坐标原点，则曲线
( )
y
f x
在点( 1
，
( 1))
f
处的切线方程是
_________________________
．
3.曲线
( )
3
x
x
f x
e
，在点(0,3) 处的切线方程为
________________________
．
4.求函数
1
f x
x
在
2
x 处的切线方程．
5.曲线
2
2
y
x
x
在点(
)
1, 1
-
处的切线方程为
.
题型六：求曲线“过”某点的切线方程
1.函数
( )
x
x
x
f x
3
2
3
＝
的图象上过原点的切线方程．
2.曲线
2
1
y
f x
x
过点
1,0
P
的切线方程是____________．
3.试求过点
(1, 3)
P
且与曲线
2
y
x
=
相切的直线的斜率．
4.曲线
1
y
f
x
x
在点P 处的切线与直线
1
4
y
x
垂直，则点P 的坐标为______．
5.已知曲线
3
:
2
S y
x
x
．15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
（1）求曲线S 在点
(1,1)
A
处的切线方程；
（2）求过点
(2,0)
B
并与曲线S 相切的直线方程．
题型七：导数几何意义的理解及运用
1.函数
( )
f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是(
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662 )
A．0
f
（2）
f
（3）
f
（3）
f
（2）
B．0
f
（2）
f
（3）
f
（2）
f
（3）
C．0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2）
D．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
2.已知函数
( )
f x 的图象如图所示，则下列结论正确的是(
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662 )
A．0
f
（3）
f
（2）
f
（1）
B．f （1）
f
（2）
f
（3）
0
C．0
f
（1）
f
（2）
f
（3）
D．f （3）
f
（2）
f
（1）
0
3.
( )
y
f x
的图象如上2 图所示，下列数值的排序正确的是(
)
A．0
f
（2）
f
（3）
f
（3）
f
（2）B．0
f
（3）
f
（3）
f
（2）
f
（2）
C．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）D．0
f
（3）
f
（2）
f
（3）
f
（2）
4.函数
f x 的图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
0
1
1
f
a
f
a
f a
f a
B．
0
1
1
f
a
f a
f a
f
a
C．
0
1
1
f
a
f
a
f a
f a
D．
0
1
1
f a
f a
f
a
f
a
5.函数
y
f x
的图象如图所示，
f
x
是函数
f x 的导函数，则下列大小关系正确的是
（
）
A．
2
4
4
2
2
2
f
f
f
f
B．
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
C．
2
4
2
2
4
2
f
f
f
f
D．
4
2
2
4
2
2
f
f
f
f
模块三：综合巩固
1.曲线
3
1
y
x
在点
,2
a
处的切线方程为（
）
A．
3
3
y
x
B．
3
1
y
x
C．
3
1
y
x
D．
3
3
y
x
2.设函数
2
f x
x
，则
0
1
1
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．4
B．2
C．2
D．4
3.函数
( )
2
1
f x
x
在区间
1,5
上的平均变化率为（
）
A．11
5
B．
11
5
-
C．2
D．2
4.定义在R 上的函数
y
f x
在区间
2,2
0
x
x
内的平均变化率为
2
2
1
y
x
x
x
，其中
2
2
y
f
x
f
，则函数
f
x 在
2
x
处的导数
2
f
（
）
A．1
B．1
C．3
D．9
5.函数
y
f x
的图象如图所示，
f
x
是函数
f
x 的导函数，则下列大小关系正确的是（
）
A．
2
4
4
2
2
2
f
f
f
f
B．
2
2
4
2
2
4
f
f
f
f
C．
2
4
2
2
4
2
f
f
f
f
D．
4
2
2
4
2
2
f
f
f
f
6.若函数
( )
y
f x
在
2
x
处的瞬时变化率为
0
lim
x
y
x
，且
(2
)
(2)
4
y
f
x
f
x
x
x
，则
(2)
f
（
）
A．2
B．4
C．2
x
D．4
x
7.已知抛物线
2
3
y
x
x
在
0
2
x
处的增量为
0.1
x
，则
y
x
的值为（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
8.函数
2
( )
2
f x
x
x
在
2
x
附近的平均变化率是（
）
A．7
B．7
x
C．7
2 x
D．
2
7
2(
)x
9.(多选)设函数
( )
y
f x
，当自变量x 由
0x 变化到
0x
x
时，下列说法正确的是（
）
A．x
可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量
y
为
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
C．函数
( )
f x 在
0
0
[
,
]
x x
x
上的平均变化率为
0
(
)
f x
x
D．函数
( )
f x 在
0
0
[
,
]
x x
x
上的平均变化率
0
0
(
)
(
)
f x
x
f x
x
10.（多选）在高台跳水运动中，st 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是
2
4.9
6.5
10
h t
t
t
，判断
下列说法正确的是（
）
A．运动员在
1
t s 时的瞬时速度是3.3m / s
B．运动员在
1
t s 时的瞬时速度是3.3m /
s
C．运动员在
1
t s 附近以3.3m / s 的速度上升
D．运动员在
1
t s 附近以3.3m / s 的速度下降
11.已知函数
f x 满足
1
0
f
x
，
2
0
f
x
，则在
1
x 和
2
x 附近符合条件的
f x 的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
12.计算抛物线
2 4
3
y
x
x
上任一点
,
P u v 处的切线的斜率，并求过点(
)
3,0 的切线方程.
13.设
0
(
)
f
x
为函数
f x 在
0x 处的导数，则满足
1
2
3
f
f
f
的函数
f x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
14.若
f
x 为可导函数，且
0
1 2
1
lim
1
2
x
f
x
f
x
，则过曲线
y
f x
上点
1,
1
f
处的切线斜率为
B0-A4-60-28-3B-3D
．
15.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均
变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若
f
x 在
,a b 上满足以下条件：①在
,a b 上
图象连续，②在
,a b 内导数存在，则在
,a b 内至少存在一点c ，使得
f b
f a
f
c
b
a
（
f
x
为
f
x 的导函数）．则函数
1
ex
f
x
x
在
0,1 上这样的c 点的个数为
B0-A4-60-28-3B-3D
16.某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单
位：min）的函数，表示为
c
c t
．下表给出了
c t 的一些函数值：
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
/
g/mL
c t
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
0.41
(1)求服药后30min 内，30min 到40min，80min 到90min 这3 段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化
率；
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3 段时间中，药物质量浓度变化最快的时
间段．
17.对一名工人的研究表明，工作t h 后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为
3
2
15
12
Q
Q t
t
t
t
，
该工人每天工作8h．
(1)求当t 从2h 变到4h，该工人生产的产品量Q 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求
2
Q
，
4
Q
，并解释它们的实际意义．
18.充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐
渐缓慢下来，气
B0-A4-60-28-3B-3D球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体
积的平均变化率．
19.已知函数
3
( )
f x
x
．
(1)求函数
( )
f x 的导函数；
(2)过点
2 ,0
3
P
作函数
( )
f x 的图象的切线，求切线方程．
