7.2 复数的几何意义
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复平面.........................................................................2
考点二：复数的几何意义（与点对应）............................................2
考点三：复数的几何意义（与向量对应）.........................................2
考点四：复数的模......................................................................2
考点五：共轭复数......................................................................2
考点六：复数的模的几何意义....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：复数的坐标表示............................................................. 3
题型二：复数的向量表示............................................................. 6
题型三：判断复数对应点所在的象限...............................................7
题型四：实轴、虚轴上对应的复数..................................................9
题型五：复数的模的计算........................................................... 11
题型六：复数的模的几何意义......................................................14
题型七：根据复数的模求参数......................................................18
题型八：共轭复数.................................................................... 21
题型九：复数与三角函数、集合的综合问题.................................... 22
模块三：综合巩固....................................................................... 24
7.2 复数的几何意义
模块一：基础知识
考点一：复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi
有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)
平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系
来
表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
考点二：复数的几何意义（与点对应）
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C 中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi
复平面内的
点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
考点三：复数的几何意义（与向量对应）
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量
由点Z 唯一确定；反过来，点
Z(相对于原点来说)也可以由向量
唯一确定.
因此，复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0 与零向量对应)，即复数
z=a+bi
平面向量
，这是复数的另一种几何意义.
考点四：复数的模
向量
的模r 叫做复数z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi 是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a 的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=
(r
0,r∈R).
考点五：共轭复数
1.定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z 的共轭复数用
表示，即若z=a+bi，则
=a-bi.特别地，实数a 的共轭复数仍是a
本身.
2.共轭复数几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
3.共轭复数的性质
①
=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=
z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
考点六：复数的模的几何意义
1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi 在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
2.复数z 在复平面内对应的点为Z，r 表示一个大于0 的常数，则满足条件|z|=r 的点Z 组成的集合是以原点
为圆心，r 为半径的圆，|z|<r 表示圆的内部，|z|>r 表示圆的外部.
模块二：题型分类
题型一：复数的坐标表示
1．在复平面内作出表示下列复数的点：
(1) 1
2i
；
(2)
2
2 i
2
2
；
(3)3i ；
(4)5．
【分析】根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点的坐标，即可求解.
【解析】（1）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数1
2i
在复平面对应的点为
1( 1,2)
Z
.
（2）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得
2
2 i
2
2
在复平面对应的点为
2
2
2
(
,
)
2
2
Z
.
（3）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数3i 在复平面对应的点为
3(0,3)
Z
（4）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数5在复平面对应的点为
4(5,0)
Z
2．求实数m 的值或取值范围，使得复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
【答案】(1) 1
(2) 2
(3) 1
1
m
【分析】（1）根据复数的概念列式求解即可；
（2）根据复数的概念列式求解即可；
（3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可.
【解析】（1）因为复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
是实数，所以
2
1
0
m
，所以
1
m ；
（2）因为复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
是纯虚数，所以
2
2
1
0
2
0
m
m
m
，
所以
2
m ；
（3）复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
在复平面中对应的点为
2
2
2,
1
m
m
m
，
因为该点位于第三象限，所以
2
2
2
0
1
0
m
m
m
，所以1
1
m
.
3．复数
1
2
,
z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若
1
3
2i
z
，i 为虚数单位，则
2z （
）
A．3
2i
B．3
2i
C．3
2i
D．2
3i
【答案】B
【解析】
1
3
2i
z
对应的点的坐标为
3, 2
，
因为
1
2
,
z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，
所以
2z 对应的点的坐标为
3, 2
，故
2
3
i2
z
.故选：B.
4．当1
2
m
时，复数
1
(
2)i
m
m
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意，得到
1
0
2
0
m
m
，结合复数的几何意义，即可求解.
【解析】由1
2
m
，可得
1
0
2
0
m
m
，
所以复数
1
(
2)i
m
m
在复平面内对应的点
(
1,
2)
Z m
m
位于第四象限.
故选：D.
5.若复数
3
i
2
i
z
m
，其中2
1
3
m
，则复数z 在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】因为
3
i
2
i
3
2
1 i
z
m
m
m
，实部为3
2
m ，虚部为
1
m ，
因为2
1
3
m
，所以0
3
2
1
m
，
1
0
m
，
所以复数z 在复平面内对应的点为
3
2,
1
m
m
位于第四象限.
故选：D
6.四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，
,
,
A B C 三点对应的复数分别是1
3i
，2
i
，3
i
，则点D 对
应的复数为
．
【答案】4
5i
/5
4
i
【详解】依题意，因为
,
,
A B C 三点对应的复数分别是1
3i
，2
i
，3
i
，
所以
1,3 ,
2, 1 ,
3,1
A
B
C
，
因为ABCD是平行四边形，所以AB
DC
，设
,
D x y ，
则
1, 4
3
,1
x
y
，故
3
1
1
4
x
y
，解得
4
5
x
y
，
所以
4,5
D
，则点D 对应的复数为4
5i
.
故答案为:
4
5i
.
7.复平面上给定四个点
,
,
,
O A B C 可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为
0
Oz
，
1 i
Az ，
3
2i
Cz
，则
Bz
．
【答案】4+3i 或2 i
或2
i
【详解】因为
0
Oz
，
1 i
Az ，
3
2i
Cz
,又因为
,
,
,
O A B C 可以构成一个平行四边形,分情况可得
当OABC 为平行四边形,则
1+i+3+2i=4+3i
A
C
Bz
z
z
;
当OBAC 为平行四边形,则
A
B
C
z
z
z
,即
1 i
3
2i
2
i
B
A
C
z
z
z
当OBCA为平行四边形,则
C
B
A
z
z
z
,即
3
2i
1 i
2
i
B
C
A
z
z
z
故答案为: 4+3i 或2 i
或2
i
题型二：复数的向量表示
1.向量��Ԧ
ሬሬሬሬ= 2, −3 对应的复数为（
）
A．2 −3i
B．2 + 3i
C．3 + 2i
D．−3 −2i
【解题思路】由复数的几何意义即可得解.
【解答过程】由复数的几何意义知：��Ԧ
ሬሬሬሬ= �, −�对应的复数为�−�i．
故选：A．
2．在复平面内，复数1
2i
，3
4i
对应的向量分别是OA
，OB
，其中O是坐标原点，则向量AB
对应的
复数为
．
【答案】4
2i
【解析】由题意可知：
1,2 ,
3,4
OA
OB
uur
uuur
，
可得
4,2
AB
OB
OA
uuur
uuur
uur
，
3．在复平面内，O是原点，向量OZ
对应的复数是1
i
，将OZ
绕点O按逆时针方向旋转π
4 ，则所得向量
对应的复数为（
）
A．
2
B．
2i
C．1
D．i
【答案】A
【解析】如图，由题意可知
1,1
OZ
，OZ
与x 轴夹角为3 π
4
，
绕点O逆时针方向旋转π
4 后Z 到达x 轴上
1
Z 点，
又
1
2
OZ
OZ
，
所以
1
Z 的坐标为
2,0
，所以
1
OZ
对应的复数为
2
.故选：A.
所以向量AB
对应的复数为4
2i
.
4.已知复数�1 = 1 −i, �2 =−1 + 2i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点分别为�, �，将向量��Ԧ
ሬሬሬሬ绕着点�
（�为复平面内的原点）逆时针旋转90∘得到向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，则��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为（
）
A．−1 + 2i
B．2i
C．3i
D．1 −2i
【解题思路】依题意可得��, −�，�−�, �，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ= �, −�关于�轴对称，即可求出��Ԧ
ሬሬሬሬ
的坐标，从而求出��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ，再写出其对应的复数即可.
【解答过程】依题意可得��, −�，�−�, �，��Ԧ
ሬሬሬሬ= −�, �，
由图知，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ与向量��Ԧ
ሬሬሬሬ= �, −�关于�轴对称，∴��Ԧ
ሬሬሬሬ= �, �，
∴��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �, �+ −�, �= �, �，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为�i.
故选：C.
5.在复平面内，�是原点，向量��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为5 + 3i，��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ关于�轴对称，则点�对应的复数是（
）
A．5 −3i
B．−5 −3i
C．5 + 3i
D．−5 + 3i
【解题思路】由对称性结合复数的几何意义得出点�对应的复数.
【解答过程】设向量��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为�+ �i, �, �∈�，对应复平面的坐标为�, �.
因为向量��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为�+ �i，所以��Ԧ
ሬሬሬሬ对应复平面的坐标为�, �.
因为��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ关于�轴对称，所以�=−�, �= �.
即向量��Ԧ
ሬሬሬሬ对应的复数为−�+ �i，因为点�为坐标原点，所以点�对应的复数是−�+ �i.
故选：D.
题型三：判断复数对应点所在的象限
1．复数
3 i
z
在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】
3 i
z
在复平面上对应的点为
3, 1
，位于第四象限.故选：D
2．复平面上表示复数1 i
的点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】复平面上复数1 i
对应的点的坐标是( 1, 1)
，在第三象限.故选：C
3．当1
2
m
时，复数
1
(
2)i
m
m
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】由1
2
m
，可得
1
0
2
0
m
m
，
所以复数
1
(
2)i
m
m
在复平面内对应的点
(
1,
2)
Z m
m
位于第四象限.故选：D.
4.复数
2sin
icos
z
R 对应的点在第四象限，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【详解】因为复数
2sin
icos
z
R 对应的点在第四象限，则
sin
0
cos
0
，
因此，角是第二象限角.
故选：B.
5.已知复数
2
6
2
3 i
z
m
m
m
，若在复平面内z 对应的点在第二象限，则m 的取值范围为
．
【答案】
, 3
1,6
【详解】由已知可得，
2
6
2
3 i
z
m
m
m
.
根据复数的几何意义可得，
2
6
0
2
3
0
m
m
m
，
解得
3
m 或1
6
m
，
所以实数m 的取值范围为
, 3
1,6
.
故答案为：
, 3
1,6
.
6.在复平面内，复数
cos1 sin1
sin2
cos2 i,(i
z
为虚数单位)的共轭复数对应的点在第
象
限.
【答案】三
【详解】由复数
cos1 sin1
sin2
cos2 i,(i
z
为虚数单位) 的共轭复数为：
cos1 sin1
sin2
cos2 i
z
，
所以对应的点为
cos1 sin1 ,
sin2
cos2
，
因为π
π
1
4
2
，
所以sin1
cos1
，所以cos1 sin1
0
，
因为π
2
π
2
，
所以sin2
cos2
，所以
sin2
cos2
0
，
故复数z 的共轭复数对应的点在第三象限，
故答案为：三.
7．欧拉公式
ie
cos
isin
x
x
x
（i 为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数
函数的关系．当
π
x
时，
iπ
e
1
0
.根据欧拉公式可知，
4i
e 对应的点在复平面内位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】因为
ie
cos
isin
x
x
x
，所以
4i
,
cos4
e
isin 4
3
π
4
π
2
，所以cos 4
0,sin 4
0
，
故
4i
e 对应的点在复平面中位于第三象限．故选：C.
题型四：实轴、虚轴上对应的复数
1．实轴上的点
2,0 表示实数
；虚轴上的点
0, 1
表示纯虚数
.
【答案】
2
i
【分析】根据复平面上点，直接写出对应的复数即可.
【解析】由复平面上的点
2,0 ，即表示实数2；点(
)
0, 1
-
，即表示纯虚数i
.
故答案为：2，i
2．已知P 是复平面内表示复数
i
,
a
b a b
R 的点，若复数
i
a
b
是虚数，则点P（
）
A．在虚轴上
B．不在虚轴上
C．在实轴上
D．不在实轴上
【答案】D
【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案.
【解析】由题意得
0
b
，则点P 不在实轴上，则C 错误，D 正确，
若
0,
0
a
b
，则A 错误，若
0,
0
a
b
，则其在虚轴上，则B 错误，
故选：D.
3.若复数
2
2
2
3
2 i
z
m
m
m
m
在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m 的取值集合
为
.
【答案】
1 2,
【详解】因为m 为实数，且复数
2
2
2
3
2 i
z
m
m
m
m
在复平面内对应的点
2
2
2,
3
2
m
m
m
m
位于虚轴上，
所以
2
2
0
m
m
，解得
2
m
或
1
m .
故答案为：
1,2
.
4.已知复数
2
2
2
3
4
3 i
R
z
m
m
m
m
m
在复平面上对应的点为Z，
(1)求点Z 在实轴上时，实数m 的取值；
(2)求点Z 在虚轴上时，实数m 的取值；
(3)求点Z 在第一象限时，实数m 的取值范围.
【答案】(1)
=1
m
或
=3
m
；
(2)
=3
m
或
1
m ；
(3)
3
m
或
1
m .
【详解】（1）因为点Z 在实轴上，所以虚部
2
4
3
0
m
m
，
解得
=1
m
或
=3
m
.
（2）点Z 在虚轴上时,复数的实部为0，
所以
2
2
3
0
m
m
，解得
=3
m
或
1
m .
（3）点Z 在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，
即
2
2
2
3>0
4 +3>0
m
m
m
m
，解得
3
m
或
1
m .
5.已知m
R
，复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
在复平面内对应的点Z .
(1)点Z 位于第二象限，求m 的取值范围；
(2)复数z 是纯虚数，求m 的值.
【答案】(1)( 2, 1)
(2)
2
m
【详解】（1）因为复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
在复平面内对应的点Z 位于第二象限，
所以
2
2
2
0
1
0
m
m
m
，即
2
1
1
1
m
m
m
或
，
解得2
1
m
，即m 的取值范围为( 2, 1)
（2）因为复数z 是纯虚数，
所以
2
2
2
0
1
0
m
m
m
，解得
2
m ，
所以当
2
m 时，复数z 是纯虚数
6.若复数
2
2
2
2 i
z
a
a
a
a
对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．
【答案】a＝0 或2
【详解】∵复数
2
2
2
2 i
z
a
a
a
a
对应的点在虚轴上，
∴
2
2
0
a
a
，解得
2
a
或
0
a
.
7.求实数m 的值或取值范围，使得复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
【答案】(1) 1
(2) 2
(3) 1
1
m
【详解】（1）因为复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
是实数，所以
2
1
0
m
，所以
1
m ；
（2）因为复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
是纯虚数，所以
2
2
1
0
2
0
m
m
m
，
所以
2
m ；
（3）复数
2
2
2
1 i
z
m
m
m
在复平面中对应的点为
2
2
2,
1
m
m
m
，
因为该点位于第三象限，所以
2
2
2
0
1
0
m
m
m
，所以1
1
m
.
8.已知复数
2
2
1
2 i
z
m
m
m
，mR .
(1)若z 是实数，求m 的值；
(2)若z 是纯虚数，求m 的值；
(3)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围.
【答案】(1)
1
m 或
2
m
；
(2)
1
m ；
(3)1
2
m
【详解】（1）解：
2
2
1
2 i
z
m
m
m
，且z 是实数，
2
2
0
m
m
，
解得
1
m 或
2
m
；
（2）解：z 是纯虚数，
2
2
1
0
2
0
m
m
m
，
解得
1
m ；
（3）解：z 在复平面内对应的点在第四象限，
2
2
1
0
2
0
m
m
m
，
解得1
2
m
.
题型五：复数的模的计算
1.已知复数�= 1 + 2i（i 为虚数单位），则|�| =（
）
A．1
B．4
C．3
D．5
【解题思路】根据复数的模长公式直接求解即可.
【解答过程】由题意可得：|�| =
��+ ��=
�.
故选：D.
2.设复数z 在复平面内对应的点为0, �，若�= 2，则a=（
）
A．2i
B．2i
C．±2
D．±
2
【解题思路】根据复数的几何意义可得�= �i，再根据复数的模即可求解.
【解答过程】因为复数z 在复平面内对应的点为�, �，所以�= �i.
因为�= �，所以��= �，解得�=± �.
故选:C.
3.已知在复平面内复数z 对应的点的坐标为−3,4 ，则�=（
）
A．3
B．4
C．5
D．4 2
【解题思路】根据复数的几何意义得出复数�，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【解答过程】因为在复平面内复数z 对应的点的坐标为−�, �，
所以�=−�+ �i，�=
�+ ��= �.
故选：C.
4.在复平面内，复数�= 2 −�i(�∈�)对应的点位于第四象限，且|�| = 4，则�=（
）
A．−2 3
B．4 3
C．2
D．2 3
【解题思路】根据模长公式求得�=± ��，又复数z 所对应的点位于第四象限，则�> �，即可求解
【解答过程】由复数的模的定义及|�| = �，得�+ ��= �，解得�=± ��．
又在复平面内，复数z 所对应的点位于第四象限，
∴�> �，∴�= ��，
故选：D．
5．i 为虚数单位，若
2
3i
4i
z
，则z （
）
A．5
B．7
C．9
D．25
【答案】A
【分析】化简复数z ，再进行求模计算即可.
【解析】因为
2
3i
4i=
3
4i
z
，
所以
2
2
3
4
5
z
，
故选：A.
6．已知a R ，若
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
1
z
（
）
A．
2
B．5
C．2 2
D．10
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义可得
1
a ，进而利用复数的模长公式即可求解.
【解析】由
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，得
1
0
a
，
1
0
a
，解得
1
a ，
所以
2
2
2i,
1
1
2i
1
2
5
z
z
，
故选:B．
7.已知
3
1 i
z
m
m
m
R
在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（
）
A．
2 2,4
B．
2,4
C．
2 2,4
D．
2,4
【答案】A
【详解】解：因为
3
1 i
z
m
m
m
R
在复平面内对应的点在第四象限，
所以
3
0
1
0
m
m
，解得3
1
m
，
2
2
2
2
3
1
2
4
10
2
1
8
z
m
m
m
m
m
，
因为3
1
m
，所以
2
1
0,2
m
，则
2
2
1
8
2 2,4
m
，
所以复数z 的模的取值范围是
2 2,4
.
故选：A.
8.若
2
i
1
2i
4
3i
a
b
，其中a，
R
b
，i 是虚数单位，则
i
a
b
（
）
A．2
B．5
C．3
D．5
【答案】B
【详解】若
2
i
1
2i
4
3i
a
b
，即
2
2
i
4
3i
a
b
a
b
，
得
2
4
2
3
a
b
a
b
，解得
1
2
a
b
，
所以
i
1 2i
5
a
b
．
故选：B
9．已知复数z 满足
i
1 i
z
，z 在复平面内对应的点为
,x y ，则（
）
A．
2
2
(
1)
2
x
y
B．
2
2
(
1)
2
x
y
C．
2
2
(
1)
2
x
y
D．
2
2
(
1)
2
x
y
【答案】D
【分析】由复数模的定义计算即可.
【解析】z 在复平面内对应的点为
,x y ，则
i
z
x
y
，
i
1 i
z
，即
1 i
1 i
x
y
，所以有
2
2
(
1)
2
x
y
.
故选：D
10.（多选）已知复数
2
1
i
z
a
a
，i 为虚数单位，a
R
，则下列正确的为（
）
A．若z 是实数，则
1
a
B．复平面内表示复数z 的点位于一条抛物线上
C．
3
2
z
D．若
2
1
z
z
，则
1
a
【答案】BC
【详解】选项A：由复数
2
1
i
z
a
a
是实数可知
2
1
0
a
，解之得
1
a .选项A 判断错误；
选项B：复数
2
1
i
z
a
a
在复平面内对应点
2
( ,1
)
Z a
a
，其坐标满足方程
2
1
y
x
，即点
2
( ,1
)
Z a
a
位
于抛物线
2
1
y
x
上. 判断正确；
选项C：由
2
1
i
z
a
a
，可得
2
2
2
2
4
2
2
1
3
3
1
1
2
4
2
z
a
a
a
a
a
.判断正确；
选项D：
2
1
z
z
即
2
2
1
i = 2
1 2 1
i
a
a
a
a
可得
2
2
2
1
1
2 1
a
a
a
a
，解之得
1
a .选项D 判断错误.
故选：BC
题型六：复数的模的几何意义
1．复数z 满足
1
z ，且在复平面内z 对应的点为Z，则复平面内点Z 的轨迹是（
）.
A．点
B．圆
C．线段
D．圆环
【答案】B
【解析】由于
0
1
z
，故z 对应点Z 到原点的距离为1，
所以复平面内点Z 的轨迹是单位圆.故选：B
2．已知
C
z
，在复平面内z 对应的点为Z ，则满足
1
z 的点Z 的集合对应的图形为
.
【答案】以(0,0) 为圆心，1 为半径的圆（含内部）
【解析】令
,
, ,
R
Z a b
a b
，
由
2
2
1
z
a
b
，即点Z 的集合对应的图形是以(0,0) 为圆心，1 为半径的圆（含内部）.
3．设z
C
，则满足1
3
z
的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（
）
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
【答案】C
【解析】设
i
z
x
y
，,
R
x y
，则
2
2
z
x
y
，
因为1
3
z
，所以
2
2
1
3
x
y
，则
2
2
1
9
x
y
，
所以复数z 在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，
半径为1到半径为3之间的圆环部分（包括圆上的点），
所以复数z 在复平面上的对应点构成图形的面积
2
2
3
π 1
π
8π
S
.故选：C
4．复数z 满足关系式：
2
2
7
3
0
z
z
，则复数在复平面内对应点的轨迹是（
）
A．两条直线
B．一条直线和一个圆
C．两个圆
D．一个圆
【答案】C
【解析】由
2
2
7
3
0
z
z
，解得
1
2
z
或
3
z .
当
1
2
z
时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为
1
2 的圆.
当
3
z 时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为3的圆.故选：C
5.已知复数�满足|�+ 2 −2i| = 2，且复数�在复平面内的对应点为�．
(1)确定点�的集合构成图形的形状；
(2)求|�−1 + 2i|的最大值和最小值．
【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点�的集合构成图形的形状.
（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.
【解答过程】（1）设复数−�+ ��在复平面内的对应点为�( −�, �)，
则|�+ �−��| = |�−( −�+ ��)| = |��| = �，
故点�的集合是以点�为圆心，2 为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数�−��在复平面内的对应点为�(�, −�)，则|�−�+ ��| = |��|,如下图所示，
|��| =
(�+ �)�+ ( −�−�)�= �，
则|�−�+ ��|的最大值即|��|的最大值是|��| + �= �；
|�−�+ ��|的最小值即|��|的最小值是|��| −�= �．
6.已知复数�1 = 2 + i, �2 = �+ �2 + 3�−3 i；
(1)若�1 = �2，求实数�, �的值；
(2)若复数�= �+ �i �, �∈R ，且满足�−�1 = 1，求复数�在复平面内所对应的点�, �到−2，4 的距离
的最大值.
【解题思路】（1）根据复数相等即可求解；
（2）先确定复数�在复平面内所对应的点的轨迹，再数形结合即可求解.
【解答过程】（1）因为��= ��，所以
�= �
��+ ��−�= �，
由�= �解得�=± �，
由��+ ��−�= �, �+ �
�−�= �解得�=−�或�= �，
故实数�的值为±�，实数�的值为�=−�或�= �.
（2）因为�−��= �，所以�−�+ �−�i = �，
所以�−��+ �−��= �，
即复数�在复平面内所对应的点��, �的轨迹是以��, �为圆心，半径�= �的圆，
如图所示：
所以复数�在复平面内所对应的点�, �到�−�，�的距离的最大值为
��+ �=
�+ ��+ �−��+ �= �.
7．求证：复平面内分别与复数
1
1
z ，
2
i
z ，
3
cos10
isin10
z
，
4
2
2 i
2
2
z
对应的四点
1
Z 、
2
Z 、
3
Z 、
4
Z 共圆．
【答案】证明见解析
【解析】由复数
1
1
z ，
2
i
z ，
3
cos10
isin10
z
，
4
2
2 i
2
2
z
得
2
2
1
|
|
1
0
1
OZ
，
2
2
2
|
|
0
( 1)
1
OZ
，
2
2
3
|
|
cos 10
sin 10
1
OZ
，
2
2
4
2
2
|
|
1
2
2
OZ
，
点
1
Z 、
2
Z 、
3
Z 、
4
Z 在以原点为圆心，以1 为半径的圆周上，
即复数
1
2
3
4
,
,
,
z z
z
z 所对应的四点
1
Z 、
2
Z 、
3
Z 、
4
Z 共圆．
8.若�= �+ �i �, �∈�，i 为虚数单位，在复平面内�所对应的点为�，且�+ 2 −2i = 1，
（1）求满足上述条件的点�的集合是什么图形并且求该图形的方程；
（2）�−2 −2i 的最小值．
【解题思路】（1）由复数的几何意义可得复数�对应的点�在以��=−�+ �i 对应的点��为圆心，1 为半径
的圆上，从而可写出其方程，
（2）由复数的几何意义可知�−�−�i 表示�点到�+ �i 对应的点�的距离，其最小值是���−�
【解答过程】（1）由�+ �−�i = �得�−−�+ �i
= �，
因此复数�对应的点�在以��=−�+ �i 对应的点��为圆心，1 为半径的圆上，
方程为：�+ ��+ �−��= �
如图所示．
（2）设�= �−�−�i ，则�是�点到�+ �i 对应的点�的距离．又���= �，
∴由图知����= ���−�= �．
9.设复数�= �+ �i，�0 = �0 + �0i，记复数�与�0分别对应复平面内的点��, �和�0 �0, �0 .
（1）根据复数及其运算的几何意义，求�和�0两点间的距离；
（2）已知�−�0 = �（�为正实数）表示动点�的集合是以点�0为圆心，�为半径的圆.那么满足条件1 ≤|�−
1 + i | ≤3 的点�的集合是什么图形？并求出该图形的面积.
【解题思路】（1）求出|���| =
��−�, ��−�，即得解；
（2）�−�+ �
= �表示的动点�的集合是以点（1，1）为圆心、1 为半径的圆，方程�−�+ �
= �
表示的动点�的集合是以点（1，1）为圆心、3 为半径的圆，即得解.
【解答过程】解：（1）复数�= �+ �i，��= ��+ ��i，分别对应向量��
→
= �, �，���
→
= ��, ��，
所以���= ���
→
= ���
→
−��
→
=
��, ��−�, �
=
��−�, ��−�
=
��−��+ ��−��
（2）由题知方程�−�+ �
= �表示的动点�的集合是以点（1，1）为圆心、1 为半径的圆，
方程�−�+ �
= �表示的动点�的集合是以点（1，1）为圆心、3 为半径的圆，
故不等式�≤|�−�+ �| ≤�表示的动点�的集合是以点（1，1）为圆心、半径分别为1 和3 的两个圆所
形成的圆环形图形（含边界），
所以该圆环形图形的面积为�= �⋅��−�⋅��= ��.
题型七：根据复数的模求参数
1．已知复数
i
z
a
b
a
b
为纯虚数（,a bR ，i 是虚数单位），且
2
z
，则（
）
A．
1
a 且
1
b
B．
1
a 且
1
b = -
C．
1
a 或
1
b = -
D．
1
b 或
1
b = -
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解析】复数
i
z
a
b
a
b
为纯虚数，则
0
0
a
b
a
b
，即
0
a
b
，故
2 i
z
b
，
由
2
2
2
2
z
b
b
，则
1
b 或
1
b = - ．
故选：D．
2.设复数
π
cos
2 sin
i
2
z
（i 为虚数单位）且
π ,0
2
，若
1
z ，则tan2
．
【答案】2 2
【详解】由题设
sin
2 sin
i
z
，则
2
2
|
|
( sin
)
2 sin
1
z
，
所以
2
1
sin
3
，又
π ,0
2
，则
3
sin
3
，
6
cos
3
，
所以
2
tan
2
，则
2
2tan
tan 2
2 2
1
tan
.
故答案为：2 2
3.已知复数
4 i
z
a
a
a
R （i 为虚数单位），若
2 2
z
，则实数a 的值为（
）
A．2
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【详解】由题意
4 i
z
a
a
a
R ，
2 2
z
，
可得
2
2
4
2 2
a
a
，整理得
2
2
0
a
，所以
2
0
a
，所以
2
a
，
故选：D．
4.已知复数z 满足
3
4i
1
z
，当z 的虚部取最大值时，z （
）
A．3
3i
B．3
3i
C．3
5i
D．3 5i
【答案】B
【分析】根据题意，令
i
z
x
y
，由条件可得
5, 3
y
，代入计算，即可得到结果.
【解析】令
i
z
x
y
，
3
4i
1
z
，则
2
2
3
4
1
x
y
，
4
1,1
y
，∴
5, 3
y
，∴
max
3
y
，
3
x
，∴
3
3i
z
，
故选：B.
5.已知是实系数一元二次方程
2
2
(2
1)
1
0
x
m
x
m
的一个虚数根，且|
|
5
，若向量
(2
1,3
)
a
m
m
，则向量| |a
的取值范围为
【答案】
5 13
5,
4
【详解】不妨设
i
a
b
，
i
a
b
，
因为是实系数一元二次方程
2
2
(2
1)
1
0
x
m
x
m
的一个虚数根，
所以
也是
2
2
(2
1)
1
0
x
m
x
m
的一个虚数根，
从而
2
2
2
2
|
|
1
5
a
b
m
①，
又因为
2
2
(2
1)
1
0
x
m
x
m
无实根，
所以
2
2
[ (2
1)]
4(
1)
0
m
m
②，
由①②可得，
3
2
4
m
，
因为
(2
1,3
)
a
m
m
，所以
2
2
2
2
| |
(2
1)
(3
)
5(
1)
5
a
m
m
m
，
由一元二次函数性质易知，
当
1
m 时，
2
|
|
a
有最小值5；当
3
4
m
时，
2
325
|
|
16
a
；当
2
m
时，
2
|
|
10
a
，
故当
3
2
4
m
时，
2
325
5 |
|
16
a
，即
5 13
5
|
|
4
a
，
故向量| |a
的取值范围为：
5 13
5,
4
.
故答案为：
5 13
5,
4
.
6.已知复数
3
i(
0)
z
a a
的模为5，则
a
.
【答案】4
【详解】由题意，可得
2
9
5
a
a
，且
0
a
，解得
4
a .
故答案为：4
.
7.设复数
cos
2
sin
i
z
a
a
(i 为虚数单位)，若对任意实数，
2
z
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
5
1, 5
B．
1,1
C．
0,2
D．
5
5
,
5
5
【答案】D
【详解】解：由
cos
2
sin
i
z
a
a
，得
cos
isin
2 i
2
z
a
a
，
由复数模的几何意义知，
cos
isin
2 i
a
a
表示复平面上的点
cos ,sin
P
与点
, 2
A
a
a
间的
距离，
而点P 在单位圆
2
2
1
x
y
上，要使
2
PA
恒成立，则点A 必在圆
2
2
1
x
y
上或其内部，故
2
2
2
1
a
a
，解得
5
5
5
5
a
.
故选：D.
8.已知复数
2
2
6
2 i(
)
z
m
m
m
m
m
R 在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
(2)求|
|
z 的最小值及此时实数m 的值.
【答案】(1) 3
2
m
或1
2
m
(2)|
|
z 的最小值为2 2 ，
1
17
2
m
【详解】（1）由
2
2
6
0
2
0
m
m
m
m
，解得3
2
m
或1
2
m
.
（2）
2
2
2
2
2
|
|
6
2
z
m
m
m
m
，
令
2
2
m
m
t
，∵
2
1
9
2
4
t
m
，∴
9 ,
4
t
，
则
2
2
2
|
|
2
8
16
2
2
8
z
t
t
t
，
所以当
2
t
，即
1
17
2
m
时，有最小值2 2 .
题型八：共轭复数
1．若复数
3
2i
z
，则z 的共轭复数z （
）
A．3
2i
B．3
2i
C．2
3i
D．3
2i
【答案】D
【解析】由题意复数
3
2i
z
，可得z 的共轭复数
3
2i
z
，故选：D
2．已知,
R
a b
，i 是虚数单位，若
2i
a
与1
ib
互为共轭复数，则a
b
（
）
A．1
B．1
C．3
D．3
【答案】C
【解析】因为
2i
a
与1
ib
互为共轭复数，
所以
1
a ，
2
b ，所以
3
a
b
，故选：C.
3.在复平面内，�对应的点的坐标是(1,
3)，则�的共轭复数�ത=（
）
A．1 +
3i
B．1 −
3i
C．−1 +
3i
D．−1 −
3i
【解题思路】先根据复数的几何意义写出复数�；再根据共轭复数的定义即可得出结果.
【解答过程】因为复数�对应的点的坐标是(�,
�)，
所以�= �+
�i，
则�= �−
�i，
故选：B.
4.在▱����中，点�, �, �分别对应复数4 + i, 3 + 4i, 3 −5i，则点�对应复数的共轭复数是（
）
A．2 −3i
B．4 + 8i
C．4 −8i
D．1 + 4i
【解题思路】利用复数的几何意义及平行四边形的性质计算即可.
【解答过程】由题意可得��, �, ��, �, ��, −�，
设▱����的对角线的交点为���, ��，点�的坐标为�, �，
由中点坐标公式得
��=
�+�
�=
�+�
�
��=
�−�
�=
�+�
�
⇒
�= �
�=−�，
所以点��, −�，即点�对应的复数为�= �−�i，
故其共轭复数�ത= �+ �i.
故选：B.
5.若i 为虚数单位，则复数
3
2
2
3
z
i
i
的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】解：
3
2
2
3
z
i
i
-3-2i
，z =
-3
2i
，z 在复平面内对应的点为
3,2
在第二象限
故选：B
6.设复数
3
4i
z
，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在第（
）
A．一象限
B．二象限
C．三象限
D．四象限
【答案】A
【详解】由题意可知，复数z 的共轭复数为
i
3
4
z
，
则复数z 在复平面内对应的点的坐标为
3,4 ，位于第一象限.
故选：A.
7.（多选）已知复数
4
3i
z
，则下列命题中正确的为（
）
A．|
| 5
z
B．
4
3i
z
C．z 的虚部为3i
D．z 在复平面上对应点在第二象限
【答案】AB
【详解】因为
4
3i
z
，
所以
2
2
4
3
5
z
，故A 正确；
4 3i
z
，故B 正确；z 的虚部是-3，故C 错误；z 在复平面上对应
的点是
4, 3
，在第四象限，故D 错误.
故选：AB
题型九：复数与三角函数、集合的综合问题
1.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：
cos
isin
cos
isin
n
n
r
r
n
n
．根据复数乘方公式，复数
2023
π
π
2 cos
isin
5
5
在复平面内对应
的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】由题意得
2023
π
π
2 cos
isin
5
5
2023
2023
2023π
2023π
3π
3π
2
cos
isin
2
cos
isin
5
5
5
5
，
因为
2023
2
0
，
3π
cos
0
5
，
3π
sin
0
5
，
所以复数
2023
π
π
2 cos
isin
5
5
在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D
2.在复平面内，O 是原点，向量OA
对应的复数
2
1z
4
i
m
m
，
mR .
(1)若点A 位于第四象限，求m 的取值范围；
(2)若点A 关于实轴的对称点为点B，求向量AB
对应的复数；
(3)若
2z
2cos
4sin
i
，且
1
2
z
z
，求的取值范围.
【答案】(1) m>2
(2)
2
2 4
i
m
(3)[
]
1,8
【详解】（1）由题意
2
1z
4
i
m
m
对应点A 位于第四象限，
故
2
0
4
0
m
m
，解得m>2 ，
即m 的取值范围m>2 .
（2）点A 对应的复数为
2
1z
4
i
m
m
，则关于实轴的对称点B 对应的复数为
2
z
4
i
m
m
，
则AB
对应的复数为
1
2
2
2
4
i
[
4
i]
2 4
i
m
m
m
z
m
z
m
，
（3）
1
2
z
z
，
2
2cos
4
4sin
m
m
，即
2
2
1
4sin
4sin
4(sin
)
1
2
，
由1
sin
1
，可知
2
1
4(sin
)
1
[ 1,8]
2
，
故的取值范围为[
]
1,8
.
3.在复平面上，设点A 、B 对应的复数分别为2i
、
π
π
cos
isin
3
3
t
t
，当t 由π
6 连续变到π
2 时，向量AB
所扫过的图形区域的面积是（
）
A．
3
4
B．π
6
C．π
4
D．
3
π
4
12
【答案】B
【详解】由题意可得，点B 在单位圆上，点A 的坐标为
0, 2
，
如图：当
π
6
t
时，点B 的坐标为
1
3
1
,
2
2
B
，当
π
2
t
时，点B 的坐标为
2
3 1
,
2
2
B
，
向量AB
所扫过的图形区域的面积是
1
2
AB B
的面积与弓形的面积之和.
由于
1
B ，
2
B 关于实轴对称，所以
1
2
AB B
的面积等于
1
2
OB B
△
的面积(因为这两个三角形同底且等高)，
故向量AB
所扫过的图形区域的面积是扇形
1
2
B OB 的面积，
因为
1
2
π
π
2
6
3
B OB
，所以扇形
1
2
B OB 的面积为等于
2
1
π
π
1
2
3
6
.
故选：B.
4.已知复数
2sin
cos
sin
2cos
i
z
，其中
0,
.
(1)当
时，z 表示实数；当
时，z 表示纯虚数.求
tan
的值.
(2)复数z 的长度记作|
|
z ，求|
|
z 的最大值.
【答案】(1)
3
4
(2)3
【详解】（1）因为当
时，z 表示实数，所以sin
2cos
0
，
所以tan
2
=- .
又因为当
时z 表示纯虚数，所以2sin
cos
0
，且sin
2cos
0
所以
1
tan
2
.
从而
1
2
tan
tan
3
2
tan
1
1
tan
tan
4
1
2
2
.
（2）因为
2
2
2
2sin
cos
sin
2cos
z
2
2
5 sin
cos
8sin
cos
5
4sin 2
.
当
π
4
时，sin 2 =1
，则
2
z 取得最大值9，
此时z 的最大值为3.
模块三：综合巩固
1．若a，bR ，i 是虚数单位，且
2 i
1 i
b
a
，则a
b
的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据复数相等的充要条件列出方程，求解即可得出答案.
【解析】根据复数相等的充要条件可得
1
2
1
b
a
，解得
1
3
b
a
，
所以，
4
a
b
.
故选：D.
2.设
3
2i
z
，则在复平面内z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】因为
3
2i
z
，
所以对应复平面内点的坐标
3,2
，
所以位于第二象限，
故选：B
3.已知复数
2
3 i
(1
i) (
)
z
a
a
R 在复平面内对应的点在实轴上，则z 的值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．15
4
【答案】D
【详解】由题意知，
2
2
3
i
(1
i)
(4
)
(2
1)i
z
a
a
a
，
所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为
2
(4
,2
1)
a
a
，
又该点在实轴上，所以2
1
0
a
，解得
1
2
a
，
所以
15
4
z
，则
15
4
z
.
故选：D.
4.若复数
1
i
z
a
a
在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
B．
,0
C．
0,1 D．
,0
1,
【答案】C
【详解】由
1
i
z
a
a
在复平面内对应的点在第一象限,所以
0
0
1
1
0
a
a
a
，
故选：C
5.已知
2
3i
z
（i 虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部为（
）
A．2
B．i
C．3
D．3i
【答案】C
【详解】由题设
2
3i
z
，故其虚部为3.
故选：C
6.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（
）
A．正数
B．负数
C．实部不为零的虚数D．纯虚数
【答案】D
【详解】由题意可设
0,
0
OZ
a
a
，
所以对应复数为
i
0
a a
，此复数为纯虚数，
故选：D.
7．已知复数z 的实部和虚部均为自然数，在复平面内z 对应的点为Z，那么满足2
3
z
的点Z 的个数为
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】设
i
z
a
b
，得到
2
2
4
9
a
b
≤
≤，再依次列举得到答案.
【解析】设
i
z
a
b
，,
N
a b
，2
3
z
，即
2
2
4
9
a
b
≤
≤，
当
0
a
时，
2
b
或
3
b
；
当
1
a 时，
2
b
；
当
2
a
时，
0
b
，
1
b 或
2
b
；
当
3
a 时，
0
b
.
综上所述：共有7 个点满足条件.
故选：C
8.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是
1,
3
，则z 的共轭复数z （
）
A．1
3i
B．1
3i
C．1
3i
D．1
3i
【答案】B
【详解】因为复数z 对应的点的坐标是
1,
3
，
所以
1
3i
z
，因此
1
3i
z
，
故选：B
9.已知
1 i
3 i
z
m
在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3,1
B．
1,3
C．
1,
D．
, 3
【答案】A
【详解】将
1 i
3 i
z
m
整理化简可得
3
1 i
z
m
m
，
所以复数z 在复平面内对应的点坐标为
3,
1
m
m
，
由点位于第四象限可得
3
0
1
0
m
m
，解得3
1
m
，
所以实数m 的取值范围是
3,1
.
故选：A
10.在复平面内，O是原点，向量OZ
对应的复数是1
i
，将OZ
绕点O按逆时针方向旋转π
4 ，则所得向量
对应的复数为（
）
A．
2
B．
2i
C．1
D．i
【答案】A
【详解】
如图，由题意可知
1,1
OZ
，OZ
与x 轴夹角为3 π
4
，
绕点O逆时针方向旋转π
4 后Z 到达x 轴上
1
Z 点，又
1
2
OZ
OZ
，
所以
1
Z 的坐标为
2,0
，所以
1
OZ
对应的复数为
2
.
故选：A.
11.（多选）复数
1
2
z
i
，i 是虚数单位，则以下结论正确的是（
）
A．
5
z
B．
1
i
z
C．z 的虚部为2
D．z 在复平面内对应点位于第一象限
【答案】ACD
【详解】对于A，
2
2
|
|
1
2
5
z
，A 正确；
对于B，虚数可以相等，但不能用大于小于联系，B 错误；
对于C，z 的虚部为2，C 正确；
对于D，z 在复平面内对应点为(1,2) ，位于第一象限，D 正确．
故选：ACD.
12.（多选）若复数
2
2
3
1 i
z
m
m
m
m
R ，则下列说法正确的是（
）
A．若z 为实数，则
1
m
B．若z 为纯虚数，则
3
m
或1
C．z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．z 在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案】AD
【详解】对于A，令
1
0
1
m
m
，A 正确；
对于B，
2
2
3
0
3
m
m
m
或1
，当
1
m 时，
0
z
不是纯虚数，B 错误；
对于C，当
2
2
3
0
1
3
m
m
m
时，
1
0
m
，所以z 在复平面内对应的点在第二象限，C 错误；
对于D，由于
1
0
m
，故z 在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D 正确.
故选：AD
13.若
1
2i
2
z
（i 为虚数单位），则z
．
【答案】3
2 /1.5
【详解】因为
1
2i
2
z
，所以
2
2
1
3
2
2
2
z
.
故答案为：3
2
14.写出一个模为5 的非纯虚数
．
【答案】2
i
（答案不唯一，只要满足实部和虚部的平方和为5的非纯虚数即可）
【详解】设
i
,
R, ,
0
z
a
b a b
a b
，
由题意可知，
2
2
2
2
5
5
z
a
b
a
b
，
取
2,
1
a
b
，
故答案为：2
i
15.设复数
2
2
2
7
6 i
z
a
a
a
a
，其中
R
a
.
(1)若z 是纯虚数，求a 的值；
(2) z 所对应的点在复平面的第四象限内，求a 的取值范围.
【答案】(1) 2
(2)
1,6
【详解】（1）z 是纯虚数，只需
2
2
2
0
7
6
0
a
a
a
a
，解得
2
a .
（2）由题意知
2
2
2
0
7
6
0
a
a
a
a
，
解得1
6
a
，
故当1
6
a
时，z 所对应的点在复平面的第四象限内.
16.设复数
2
1
4
5 i
z
m
m
m
和复平面内的点Z 对应，若点Z 的位置满足下列要求，分别求实数m
的取值范围，并写出你的求解思路：
(1)不在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在实轴下方（不包括实轴）；
(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；
(5)第三象限．
【答案】(1)
1
m 且
5
m
.
(2)
1
m
(3) 1
5
m
(4)
1
m
(5) 1
1
m
【详解】（1）由复数
2
1
4
5 i
z
m
m
m
和复平面内的点Z 对应，
因为复数z 不在实轴上，则满足
2
4
5
0
m
m
，解得
1
m 且
5
m
.
（2）因为复数
2
1
4
5 i
z
m
m
m
和复平面内的点Z 对应，
因为复数z 在虚轴上，则满足
1
0
m
，解得
1
m .
（3）因为复数
2
1
4
5 i
z
m
m
m
和复平面内的点Z 对应，
因为复数z 在实轴下方（不包括实轴），则满足
2
4
5
0
m
m
，解得1
5
m
.
（4）因为复数
2
1
4
5 i
z
m
m
m
和复平面内的点Z 对应，
因为复数z 在虚轴右侧（不包括虚轴），则满足
1
0
m
，解得
1
m
.
（5）因为复数
2
1
4
5 i
z
m
m
m
和复平面内的点Z 对应，
因为复数z 第三象限，则满足
2
1
0
4
5
0
m
m
m
，解得1
1
m
.
17.已知复平面内的
,
A B 对应的复数分别是
2
1
sin
i
z
，
2
2
cos
co 2
i
s
z
，其中
(0,π)
，设AB
对应
的复数是z .
(1)求复数z ；
(2)若复数z 对应的点P 在直线
1
2
y
x
上，求的值.
【答案】(1)
2
1
2sin
i
.
(2) π
6 或5π
6 .
【详解】（1）∵点
,
A B 对应的复数分别是
2
1
sin
i
z
，
2
2
cos
co 2
i
s
z
，
∴点
,
A B 的坐标分别是
2
2
sin
,1 ,
cos
,cos 2
A
B
，
∴
2
2
cos
,cos 2
sin
,1
AB
2
2
2
cos
sin
,cos 2
1
1, 2sin
，
∴AB
对应的复数
2
1
2sin
i
z
.
（2）由（1）知点P 的坐标是
2
1, 2sin
，代入
1
2
y
x
，
得
2
1
2sin
2
，即
2
1
sin
4
，∴
1
sin
2
.
又∵
(0,π)
，∴
1
sin
2
，
∴
π
6
或5π
6 .
18.已知mR ，复数
2
2
6
11
24 i
z
m
m
m
m
（i 是虚数单位）.
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.
【答案】(1)
2
m
(2)
2,3
【详解】（1）因为z 是纯虚数，所以
2
2
6
0,
11
24
0
m
m
m
m
解得
2,
m
故m 的值为2
；
（2）在复平面内z 对应的点为
2
2
6,
11
24
m
m
m
m
，
由题意可得
2
2
6
0,
11
24
0
m
m
m
m
.
解得2
3
m
，
即m 的取值范围是
2,3
.
19.已知复数
i
z
a
b
，,a bR ．
(1)若
2
2
a
m
m
，
2
2
3
b
m
m
，mR , z 对应的点在第四象限，求m 的范围．
(2)若
1
1
z
，求a
b
的最大值．
【答案】(1)
3
1, 2
(2)
2
1
【详解】（1）由题意知
2
2
2
0
2
3
0
m
m
m
m
，解得
3
1
2
m
，
故实数m 的范围为
3
1, 2
．
（2）
2
2
1
1
i
1
1
z
a
b
a
b
，所以
2
2
1
1
a
b
，
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
，故
2
1
a
b
．
当且仅当
1
a
b
，所求a
b
最大值为
2
1
．
20．已知复数
1
1 cos
isin
z
，
2
1 sin
icos
z
，且两复数的模的平方和不小于2，求的取值范
围.
【答案】2 π
π,2 π
,
Z
2
π
k
k
k
.
【解析】
2
2
2
1
2
|
1
cos
sin
2
cos
|
z
，
2
2
2
2
2
|
1 sin
cos
2
sin
|
z
，
2
2
1
2
2
|
|
|
|
z
z
，即2
2cos
2
2sin
2
，cos
sin
1
，
故
π
2
cos
4
2
，即
3π
π
3π
2 π
2 π
,
Z
4
4
4
k
k
k
，
解得
π
2 π
π
2 π
,
Z
2
k
k
k
，
的取值范围是2 π
π,2 π
,
Z
2
π
k
k
k
21．平行四边形OABC 的顶点O、A 、C 对应的复数分别为0 、3
2i
、2
4i
．
（1）求点B 对应的复数：
（2）在OAB
中，求OB 边上的高h．
【答案】（1）1 6i
;（2）16 37
37
【解析】（1）因为平行四边形OABC 的顶点O、A 、C 对应的复数分别为0 、3
2i
、2
4i
，
由复数的几何意义可得
0,0
O
、
3,2
A
、
2,4
C
，
由平面向量加法的平行四边形法则可得
3,2
2,4
1,6
OB
OA
OC
，
故点B 对应的复数为1 6i
.
（2）因为
3,2
OA
，
1,6
OB
，
所以，
3
2 6
15
cos
13
37
481
OA OB
AOB
OA OB
，
所以，
2
225
16
sin
1 cos
1 481
481
AOB
AOB
，
因此，AOB
的边OB 上的高为
16
16 37
sin
13
37
481
h
OA
AOB
.
