文档文本内容
6.2 平面向量的加法、减法
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：向量加法的定义及其运算法则............................................2
考点二：向量加法的运算律.......................................................... 2
考点三：相反向量......................................................................3
考点四：向量的减法................................................................... 3
考点五：向量三角不等式............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：向量的加法运算............................................................. 3
题型二：向量加法法则的几何应用..................................................4
题型三：向量的减法运算............................................................. 6
题型四：向量减法法则的几何应用..................................................7
题型五：相反向量......................................................................9
题型六：向量加法与减法混合运算..................................................9
题型七：向量加法与减法与几何图形综合应用................................. 10
模块三：综合巩固....................................................................... 13
6.2 平面向量的加法、减法
模块一：基础知识
考点一：向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
考点二：向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别
联系
三角形法则
(1)首尾相接
(2)适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形
是平行四边形法则作出
图形的一半
技巧2.多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
考点三：相反向量
1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b 互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
考点四：向量的减法
1.定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加
上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA
→＝a，OB
→＝b，则向量a－b＝BA
→，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量
的终点为终点的向量.
考点五：向量三角不等式
①已知非零向量a
，b
，则||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
（当a
与b
反向共线时左边等号成立；当a
与b
同
向共线时右边等号成立）；
②已知非零向量a
，b
，则||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
（当a
与b
同向共线时左边等号成立；当a
与b
反
向共线时右边等号成立）；
记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
中，
||
|
|
|| |
|
a
b
a
b
中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：
||
|
|
|| |
| |
|
|
|
a
b
a
b
a
b
中||
| |
|
|
|
a
b
a
b
中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；
模块二：题型分类
题型一：向量的加法运算
1．化简：AB
CA
BD
（
）
A．BC
B．DC
C．CD
D．DA
2．向量
AB
PB
BO
BM
OP
化简后等于（
）
A．BC
B．AB
C．AC
D．AM
3.化简下列各式：①AB
BC
CA
；②
AB
MB
BO
OM
uuur
uuur
uuur
uuur
；③OA
OC
BO
CO
；
④AB
CA
BD
DC
．其中结果为0
的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.向量
PA
MA
AO
AC
OM
化简后等于（
）
A．AC
B．PA
C．PC
D．PM
5．（多选）下列四个等式中，正确的是（
）
A．a
b
b
a
B．
a
a
r
r
C．
0
AB
BC
CA
D．
0
a
a
题型二：向量加法法则的几何应用
1.如图，在平行四边形ABCD中，O 是AC 和BD 的交点.
（1）AB
AD
；
（2）AC
CD
DO
；
（3）AB
AD
CD
；
（4）AC
BA
DA
.
2．正方形ABCD的边长为1，则AB
AD
为（
）
A．1
B．
2
C．3
D．2 2
3．如图，在正六边形ABCDEF 中，AC
（
）
A．
2
AB
AF
B．
2
AB
AF
C．2AB
AF
D．2
2
AB
AF
4．在矩形ABCD中，AC
等于（
）
A．BC
BA
B．AD
CD
C．AB
DA
D．AD
DC
5．在矩形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，则AB
AD
AC
等于（
）
A．2 5
B．2 3
C．3
D．4
6.如图，在
ABD
△
中，C 为BD 的中点，E 为AB 上一点，则
2
AB
AD
CE
（
）
A．2AE
B．2BD
C．A E
D．BD
7.菱形ABCD中，
2,
60
AB
A
，若
1
1
,
2
3
AM
AC DN
DB
，则NA
NB
NC
ND
（
）
A．2
3
B．4
3
C．5
3
D．7
3
8.已知ABC
是正三角形，则下列等式中不成立的是（
）
A．AB
BC
BC
CA
B．AC
CB
BA
BC
C．AB
AC
CA
CB
D．AB
BC
AC
CB
BA
CA
9．2020 年10 月27 日，在距离长江口南支航道0.7 海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利
完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS 基站宣告建成.
已知风机的每个转子叶片的长度为20 米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60 米，叶
片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则OA
OB
OM
的最小值为（
）
A．40
B．20 7
C．20 10
D．80
题型三：向量的减法运算
1．化简：AB
AD DC
；(
)
(
)
AB CD
AC
BD
；
AB CB
AC
DC
.
2.下列向量的运算结果不正确
．．．的是（
）
A．
0
AB
BC
CA
B．
0
AB
BD
DA
C．
0
OA
OD
AD
D．
0
AB
AC
BD
CD
3.下列各式中不能化简为AD
的是（
）
A．
CB
MC
DA
BM
B．BM
DA
MB
C．
AB
DC
CB
D．
AD
CD
DC
4.化简��Ԧ
ሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ得（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．0Ԧሬ
5.−��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．��Ԧ
ሬሬሬሬ
6．已知平面内M
N
P
、、三点满足
0
MN
PN
PM
，则下列说法正确的是（
）
A．M
N
P
、、是一个直角三角形的三个顶点
B．M
N
P
、、是一条直线上的三个点
C．M
N
P
、、是平面内的任意三个点
D．M
N
P
、、是一个锐角或钝角三角形的三个顶点
7．在四边形ABCD 中，AB
＋AD
＝AC
，则四边形ABCD 是（
）
A．梯形
B．矩形
C．正方形
D．平行四边形
8．在ABC
中，若
|
|
AB
AC
AB
AC
，则ABC
的形状为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
题型四：向量减法法则的几何应用
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD 交于点O，且E 为AO 的中点，则DE
（
）
A．3
1
4
4
AB
AD
B．1
3
4
4
AB
AD
C．1
3
4
4
AB
AD
D．3
1
4
4
AB
AD
2.如图，A 、B 、C 、D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（
）
A．AB
CD
BC
DA
B．AC
BD
BC
AD
C．AC
BD
DC
BA
D．AB
DA
AC
DB
3.如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O为正八边形的中心，则CE
FG
（
）
A．BE
B．EO
C．AD
D．OH
4.如图，向量AB
a
，AC
b
，CD
c
，则向量BD
可以表示为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．a
b
c
D．b
a
c
5．已知O是四边形ABCD所在平面上任一点
//
AB CD ，且OA
OB
OC
OD
．则四边形ABCD一定为
（
）
A．菱形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
6．(多选)若平行四边形MNPQ 的对角线MP 与NQ 相交于点O，则下列结论正确的是（
）．
A．MN
PQ
B．
2
MP
OM
C．MP
MN
MQ
D．QN
MN
MQ
7.已知O，A，B ，C ，D 在同一平面内，
1
OA
OB
OC
OD
，且
0
OA OB
，则AC
BD
的最大
值为（
）．
A．2 2
B．2
2
C．1
2
D．4
8．（多选）对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（
）
A．AB
BC
B．AB
BC
C．AB
CD
AD
BC
D．AD
CD
CD
CB
题型五：相反向量
1.设点
,
,
D E F 分别是ABC
的三边BC,CA,AB的中点，则BE
CF
（
）
A．DA
B．1
2 DA
C．AD
D．1
2 BC
2.已知O是ABC
所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且
3
0
OA
BO
OC
，那么
A．
2
= 3
CO
OP
B．
1
= 3
CO
OP
C．
3
= 2
CO
OP
D．
1
= 2
CO
OP
3.如图所示，已知在ABC
中，D 是边AB 上的中点，则CD
（
）
A．
1
2
BC
BA
B．
1
2
BC
BA
C．
1
2
BC
BA
D．
1
2
BC
BA
4.在ABC
中，若|
| |
| |
|
AB
AC
AB
AC
，则ABC
的形状为（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
5．在四边形ABCD 中，若AB
CD
，且AB
AD
AB
AD
，则四边形ABCD 的形状为
.
题型六：向量加法与减法混合运算
1.化简下列各向量的表达式：
(1) AB
BC
AD
；
(2) (
)
(
)
AB
CD
AC
BD
；
(3) (
)
(
)
AC
BO
OA
DC
DO
OB
；
2．设M，N，P，Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①
0
MN
NP
PQ
QM
；
②
0
MN
PQ
MQ
PN
；③
0
PQ
PN
MN
MQ
；④QM
MN
NP
PQ
.其中正确的序号是
.
3．化简（1）(
)
(
)
AB
CD
AC
BD
（2）OA
OD
AD
；
（3）AB
DA
＋BD
BC
CA
．
题型七：向量加法与减法与几何图形综合应用
1．如图所示，求：
(1)a
d
；
(2)c
b
；
(3) e
c
b
；
(4)c
f
b
.
2．已知向量,a b
满足a
b
a
b
，则a
与a
b
的夹角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
3．已知向量,a b
满足|
| 3,|
| 5
a
b
，则a
b
的取值范围是（
）
A．
2,3
B．
2 8,
C．
3,5
D．
2,5
4．在矩形ABCD中，
2
AB
，
1
BC ，则AB
AD
AC
等于（
）
A．2 5
B．2 3
C．3
D．4
5．已知OA
a
，OB
b
，
5
OA
，
12
OB
，
90
AOB
，则a
b
r
r
.
6．如图，无弹性的细绳OA，OB 的一端分别固定在A，B 处，同样的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得
OB
OC
，试分析OA，OB，OC 三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.
7．已知正方形ABCD的边长为1，AB
a
，BC
b
，AC
c
，则|
|
a
b
c
等于（
）
A．0
B．
3
C．
2
D．2 2
8．(多选)已知三角形ABC 为等腰直角三角形，且
90
A
，则有（
）
A．|
| |
|
AB
AC
AB
AC
B．|
| |
|
BC
BA
CB
CA
C．|
| |
|
AB
CB
AC
BC
D．
2
2
2
|
|
|
|
|
|
AB
AC
BC
AC
CB
AB
9 如图，E，F，G，H 分别是梯形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 的中点，
//
AB CD ，
2
CD
AB
，AD
a
，AB
b
，
用a
，b
表示下列各式．
(1) EG
；
(2) AC
HF
HC
．
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，E ，F 分别为边AB 和BC 的中点，G 为AC 与BD 的交点．
(1)若AB
AB
BC
CD
，则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简AD
GC
EB
，并在图中作出表示该化简结果的向量．
11.在ABC
中，AC
CB
AC
AB
AB
BC
，则ABC
是（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
12.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，,
E F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（
）.
A．
1
3
EF
AB
B．BE
CB
CE
C．AC
AB
AD
D．
2
1
3
3
AF
AD
AC
13.(多选)以下四个选项中，正确的有（
）
A．若向量// , //
a b b c
，则//
a c
r r
B．若非零向量, ,
a b c
满足
0
a
b
c
，则表示, ,
a b c
的有向线段可以构成三角形
C．若四边形ABCD满足AB
DC
，且AD
AB
BC
BA
，则四边形ABCD为矩形
D．P 为四边形ABCD所在平面内一点，若PA
PC
PB
PD
，则四边形ABCD为平行四边形
模块三：综合巩固
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB
AD
（
）
A．BC
B．AC
C．AB
D．DC
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB
a
，AD
b
，则AC
可以表示为（
）
A．a
b
B．a
b
C．
2 a
b
D．
1
2 a
b
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB a
= ，AD
b
，则BD
可以表示为（
）
A．a
b
B．b
a
C．
1
2 a
b
D．
1
2 b
a
4．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（
）
A．
BO
OM
MB
B．AB
BC
C．
C
BO
OB
O
CO
D．AB
AC
BD
CD
5．AB
BC
CA
=
，AB
BC
CA
．
6．OM
BA
BO
MB
uuur
uur
uuur
uuur
（
）
A．MB
B．BA
C．AB
D．BM
7．已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C，且2
0
AC
CB
，则OC
（
）
A．2OA
OB
B．
2
OA
OB
C．2
1
3
3
OA
OB
D．
1
2
3
3
OA
OB
8．已知, ,
a b c
是非零向量，则
a
c
b
，
b
a
c
，
b
c
a
，
c
a
b
，
c
b
a
中，与向量a
b
c
相等的向量的个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．下列各式中不能化简为AD
的是（
）
A．
CB
MC
DA
BM
B．BM
DA
MB
C．
AB
DC
CB
D．
AD
CD
DC
10.设�是平行四边形����的对角线的交点，则2��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 3��Ԧ
ሬሬሬሬ+ 2��Ԧ
ሬሬሬሬሬ=（
）
A．��Ԧ
ሬሬሬሬ
B．��Ԧ
ሬሬሬሬ
C．��Ԧ
ሬሬሬሬ
D．5��Ԧ
ሬሬሬሬ
11.已知ABC
为正三角形，则下列各式中成立的是
.（填序号）
①AB
AC
BC
uuur
uuur
uuur
；②AB
CA
BC
AB
；③AB
CA
CA
BC
；④CA
BC
AB
AC
.
12．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（
）
A．AB
DC
，BC
AD
B．AD
OD
AO
C．AO
OD
AC
CD
D．AB
BC
CD
DA
13.在平行四边形ABCD中，已知
,
,
AB
a BC
b BD
c
，且a
b
a
b
，
6,
2 3
a
b
．求a
b
c
．
14.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点E，O 是任意一点，求证：
4
OA
OB
OC
OD
OE
．
15.如图，在ABC
中，
3
AC
AE
，
3
BC
BD
.
(1) BE
xAB
yAC
，求x
y
的值；
(2)若AD
a
，BE
b
，试用a
，b
表示AB
.
