4.7数列求和（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_数列（包含一个合集）

4.7 数列求和
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：倒序相加法................................................................... 2
考点二：分组求和法................................................................... 2
考点三：裂项相消法................................................................... 2
考点四：错位相减法................................................................... 3
考点五：奇偶项讨论求和............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：倒序相加法................................................................... 3
题型二：分组求和法................................................................... 4
题型三：等差型裂项相消法.......................................................... 5
题型四：无理型裂项相消法.......................................................... 6
题型五：指数型裂项相消法.......................................................... 7
题型六：“+”型裂项相消法..........................................................8
题型七：错位相减法................................................................... 9
题型八：奇偶项讨论求和........................................................... 11
题型九：通项含绝对值数列求和...................................................13
模块三：综合巩固....................................................................... 15
4.7 数列求和
模块一：基础知识
考点一：倒序相加法
即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前
n 项和.
考点二：分组求和法
1 如果一个数列可写成
n
n
n
c
a
b


的形式，而数列
na
，
nb
是等差数列或等比数列或可转化为能够求
和的数列，那么可用分组求和法.
2 如果一个数列可写成
n
n
n
a
n
c
b
n


为奇数
为偶数
的形式，在求和时可以使用分组求和法.
考点三：裂项相消法
1、等差型
①
)
1
1
(
1
)
(
1
k
n
n
k
k
n
n




特别注意
n
n
n
n
k
n
n
n
n
k
1
1
1
)1
(
1
,1
;
1
1
1
)1
(
1
,1











②
1
1
1
1
(
)
(
1)(
1)
2
1
1
kn
kn
kn
kn






如：
)
1
2
1
1
2
1
(
2
1
1
4
1
2





n
n
n
（尤其要注意不能丢前边的2
1 ）
2、无理型
①
)
(
1
1
n
k
n
k
n
k
n





如：
1
1
1
n
n
n
n



3、指数型
①
1
1
(
1)
1
1
(
)(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
k a
k
a
k
a
k









如：
1
1
2
1
1
(2
)(2
)
2
2
n
n
n
n
n
k
k
k
k








4、通项裂项为“ ”型
如：①





2
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n














②




1
3
1
2
2
2
( 1)
( 1
1
)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n n













本类模型典型标志在通项中含有( 1)n

乘以一个分式.
考点四：错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列
nc
的通项公式
n
n
n
c
a
b


，其中
n
a
、
nb
中
一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的
公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法．
考点五：奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
n
n
n
a
n
c
b
n


为奇数
为偶数
角度1：求
n
n
n
a
n
c
b
n


为奇数
为偶数
的前2n 项和
2n
T
角度2：求
n
n
n
a
n
c
b
n


为奇数
为偶数
的前n 项和
nT
2、通项含有( 1)n

的类型；例如：
( 1)n
n
n
c
a

模块二：题型分类
题型一：倒序相加法
1.设函数

1
1 ln
x
f x
x


，设
1
1
a ，


1
2
3
1
,
2
n
n
a
f
f
f
f
n
n
n
n
n
n

































N
L
．
(1)计算



1
f x
f
x


的值．
(2)求数列
na
的通项公式．
2.已知函数
3
( )
(
1)
2
f x
x



，数列{
}
na
为等比数列，
0
na 
，且
1009
e
a
，利用课本中推导等差数列前n 项和
的公式的方法，则
1
2
2017
(ln )
(ln
)
(ln
)
f
a
f
a
f
a


（
）
A．2017
2
B．2017
C．4034
D．8068
3.已知函数

y
f x

满足



1
1
f
x
f
x


，若数列
na
满足
1
2
1
(0)
(1)
n
n
a
f
f
f
f
f
n
n
n


























，
则数列
na
的前20 项的和为（
）
A．230
B．115
C．110
D．100
4.设
4
( )
4
2
x
x
f x 

，若0
1
a

，试求：
（1）
( )
(1
)
f a
f
a



；
（2）
1
2
3
1000
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f






























．
5.已知函数
4
( )
4
2
x
x
f x 

，则
( )
(1
)
f x
f
x



；数列
na
满足
2016
n
n
a
f 






，则这个数列的前
2015 项的和等于
.
题型二：分组求和法
1.已知数列
na
的前n项和
n
S ，且
2
n
S
n
n


；
(1)求它的通项
na
(2)若
1
2n
nb


，求数

n
n
a
b

的前n 项和
nT .
2.已知等差数列
na
的前三项分别为2 ,3,
3
a
a 
(1)求
na
的通项公式
(2)若
3 n
a
n
n
b
a


，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
3.已知数列
na
满足:
*
1
1
3,
3
4
2,
N
n
n
a
a
a
n
n






.
(1)证明:

2

n
a
n 是等比数列;
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S .
4.已知等比数列{
}
na
的各项满足
1
n
n
a
a

，若
2
3
a 
，且
2
3a ，
3
2a ，
4a 成等差数列．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)求数列{
}
na
n

的前n 项和．
题型三：等差型裂项相消法
1.已知等差数列
na
满足
6
3
6
a
a


，且
1a 与
3
a 的等差中项为5.
(1)求数列{
}
na
的通项公式；
(2)设
1
1
(
N )
n
n
n
b
n
a a




，求数列
nb
的前n 项和
nT .
2.已知
na
是等差数列且
5
1
1,
25,
n
a
S
S


为数列
na
的前n 项和，
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
n
n
n
c
a a 

，求数列
nc
的前n 项和
nT .
3.已知各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
a
a
S


.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足，


*
1
1
1
1
0,
2,
N
n
n
n
b
b
n
n
a
a







，求数列
nb
的前n 项和
nT .
4.设
na
是公差不为0 的等差数列，
3
8
a 
，
1
3
11
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式：
(2)设
1
3
n
n
n
b
a a 

，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
题型四：无理型裂项相消法
1.已知数列
na
满足
1
1
na
n
n



，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
2.数列
1
1
n
n







的前2022 项和为（
）
A．
2022
1

B．
2022
1

C．
2023
1

D．
2023
1

3.已知数列
na
的前n 项和


1
*
3
3
N
2
n
n
S
n



．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
3
1
3
1
log
log
n
n
a
a












的前n 项和为
nT ，若
9
n
T 
，求n 的值．
4.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，公差为d ，若
2
d 
，
9
99
S 
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
n
n
n
b
a
a



（
*
N
n
），求数列
nb
的前n 项和
nT .
题型五：指数型裂项相消法
1.已知递增等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，
6
3
9
S
S 
，



1
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a 



，且
1
2
3
b 
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
nb
的前n 项和
nT ．
2.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且2
3
1
n
n
S
a

．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若



1
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a 



，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
3.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
8
4
n
n
S



．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记



1
1
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a






，数列
nb
的前n 项和为
nT ，若不等式

1
2
2 2
1
n
n
n
T
a




对任意
*
N
n
恒成立，
求实数的取值范围．
4.将正奇数数列1，3，5，7，9，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表.
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
                 
(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列
na
，求数列
na
的通项公式；
(2)设


2
1
1
n
n
n
n
b
a



，求数列
nb
的前n 项和
nT .
5.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1
a ，且数列
2
3
n
n
S
a







是公比为1
3 的等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设



1
2
3
1
1
n
n
n
n
b
a
a





，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
1
4
nT 
．
题型六：“+”型裂项相消法
1.已知数列
na
满足：
1
1
1 ,
4
2
n
n
n
a
a
a
n




.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
( 1) (2
1)
n
n
n
b
n
a


，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
2.设
n
S 为数列
na
的前n 项和，满足
1
1
S ，
1
2
n
n
S
na 

其中
*
N
n
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，满足


2
1
4
4
1
n
n
n
n
a
b
a




，则
2023
T

．
3.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，满足
1
1
a ，




1
1
1
n
n
nS
n
S
n n




.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若


1
1
1
n
n
n
n
a
b
S
n




，求数列
nb
的前20 项和
20
T .
4.设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
3
5
a ，且
2
1
4
4
1
n
n
a
S
n


.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
( 1)
2
n
n
n
n
n
b
a a 



，求数列
nb
的前n 项和
nT .
题型七：错位相减法
1.已知数列
na
的首项
1
3
a 
，其前n项和为
n
S ，且
1
3
2
3
n
n
S
S
n



，

*
N
n
.
(1)求数列
na
的通项公式
na ；
(2)设


1
n
n
b
n a


，求数列
nb
的前n 项和
nT .
2.已知等差数列
na
满足
2
4
a 
，
4
5
2
7
a
a


，公比不为1
的等比数列
nb
满足
3
4
b 
，


4
5
1
2
8
b
b
b
b



.
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
n
c
a b

，求
nc
的前n 项和
n
S .
3.已知数列
na
的前n项和为




*
1
1
,
1,
1
1
N ,
2
n
n
n
S
a
a
S
n









且
1
2
3
3 ,4
,
13
a
a a 
成等差数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
4
1
log
n n
n
a b
a 

，求数列
nb
的前n 项和
nT .
4.在等差数列
na
中，
4
7
a 
，
3
8
2
35
a
a


，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且3
2
1
n
n
b
S

.
(1)求数列
na
和
nb
的通项公式；
(2)若
n
n
n
a
c
b

，求数列
nc
的前n 项和
nT .
题型八：奇偶项讨论求和
1.设等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
1
3
14,
14
a
a
S



.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
,
log
,
n
n
n
a n
b
a n



为偶数
为奇数，数列
nb
的前2n 项和为
2n
T ，求
2n
T .
2.已知数列
na
为正项等差数列，数列
nb
为递增的正项等比数列，
1
1
a ，
1
1
2
2
4
3
0
a
b
a
b
a
b






.
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)数列
nc
满足
,
,
n
n
n
a n
c
b n



为奇数
为偶数，求数列
nc
的前2n 项的和.
3.已知等差数列
na
的前n项和为
n
S ，且满足
5
2
2
15
a
a


，
9
81
S 
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
,
3 ,
n
n
n
a n
b
n



为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T ．
4.数列
na
满足
1
16n
n
n
a a 
，


1
2
N
a
n



．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
,
,
n
n
n
a n
b
b
n n





为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
S
．
5.已知数列
,
n
n
a
b
满足
1
1
1
1
1,
2,
2
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a







.
(1)求
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设数列
nc
满足
,
,
,
.
n
n
n
n
n
n
n
a
a
b
c
b
a
b





求
nc
的前n 项和
n
S .
6.已知数列
na
满足
1
1
a ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n






为奇数
为偶数.
(1)记
2
n
n
b
a

，写出
1b 、
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
(2)求
na
的前n 项和
nT .
7.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
3
n
n
S
a 


，且
1
3
a 
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)已知
1
3
log
,
,
n
n
n
a n
b
a n



为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
8.已知正项数列
na
的前n 项和
n
S ，且



*
2
N
4
n
n
n
a
a
S
n



，数列
nb
为单调递增的等比数列，
1
2
3
1 2 3
13,
27
b
b
b
bb b




.
(1)求数列
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设
,
,
n
n
n
a n
c
b n



为奇数
为偶数，求
1
2
3
n
c
c
c
c





.
题型九：通项含绝对值数列求和
1.设单调递减的等差数列
na
的前n项和为
2
8
3
7
,
4,
12
n
S
a
a
a
a




.
(1)求数列
na
的通项公式
na 及前n 项和
n
S ；
(2)设数列

na
的前n 项和为
nT ，求
nT .
2.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，其中
2
10
a 
，
6
42
S 
．
(1)求数列
na
的通项；
(2)求数列

na
的前n 项和为
nT ．
3.已知数列
na
的前n项和为
n
S ，且
2
1
15
2
2
n
S
n
n


.
(1)求
na
的通项公式
(2)若
n
n
c
a

，求
nc
的前n 项和
nT .
4.在等比数列
na
中，


0
n
a
n


N
，公比


0,1
q
，且
3
5
4
6
3
9
2
100
a a
a a
a a



，4 是
4a 与
6a 的等比中项．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
log
n
n
b
a

，
1
2
n
n
S
b
b
b





，求
n
S ．
模块三：综合巩固
1．已知等比数列{an}的首项
1
3
a 
，公比
2
q =
，则
5S 等于（
）
A．93
B．－93
C．45
D．－45
2．已知等差数列
na
中，
3
4
a 
，
7
10
a 
，求数列
na
的前9 项和
9S （
）
A．64
B．63
2
C．63
D．28
3．已知
na
为等差数列，
n
S 为其前n 项和，
2
5
3
1,
8
a
S
S



，则
9S （
）
A．36
B．45
C．54
D．63
4．已知
na
，
nb
都是等差数列，且
1
1
a ，1
2
b 
，10
10
10
a
b


，则数列

n
n
a
b

的前10 项和
10
S 为（
）
A．60
B．65
C．70
D．75
5．已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长
减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95 寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480
寸，则冬至的日影长为（
）
A．135 寸
B．130 寸
C．125 寸
D．120 寸
6．已知数列

3
1
n 
与数列

4
1
n 
，其中
*
N
n
.它们的公共项由小到大组成新的数列
na
，则
na
的前20
项的和为（
）
A．2380
B．2400
C．2420
D．2440
7．在等比数列
na
中，若
4
2022
506
a a

，
3
4
5
2021
2022
2023
2024
a
a
a
a
a
a








，则
3
4
5
2021
2022
2023
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a







等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知等比数列
na
的前n 项和为
3
6
,
9,
243
n
S
a
a


，若关于n 的不等式
2
3
2
730
0
n
n
a
S



恒成立，则
实数的取值范围为（
）
A．

,27

B．

,54

C．

,27

D．

,54

9．(多选)已知数列
na
满足


1
2
3
2
1
2
n
a
a
n
a
n






，其中


2
1
n
n
a
b
n


，
n
S 为数列
nb
的前n 项和，
则下列四个结论中，正确的是（
）
A．
1
2
a 
B．数列
na
的通项公式为：
2
2
1
na
n


C．数列
nb
的前n 项和为：
2
2
1
n
n
S
n


D．数列
na
为递减数列
10．(多选)数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
1
n
n
a
a
n


，下列说法正确的是（
）
A．若
na
为等差数列，则
na
的公差为1
B．若
na
为等差数列，则
na
的首项为1
C．
30
435
S

D．
2
4
3
n
S
n


11．(多选)已知正项等比数列
na
的公比为q，前n 项和为
4
6
,
2,
8
n
S
a
a


，则（
）
A．
2
q =
B．
10
256
a

C．数列
1
na






是递减数列
D．
1
1
2
4
n
n
S



12．(多选)已知数列
na
的首项
1
1
1
1,
n
n
n
n
a
a
a
a a





，则（
）
A．
1
na






为等差数列
B．
10
10
a

C．
na
为递增数列
D．

1
n
n
a











的前20 项和为10
13．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三
十日，问共织布
尺．
14．如图，第一个正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 的面积是1，取正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 各边的中点
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
,
A B C D E F ，
作第二个正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F ，然后取正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F 各边的中点
3
3
3
3
3
3
,
,
,
,
,
A B C D E F ，作第三个
正六边形，依此方法一直继续下去，则前n个正六边形的面积之和为
．
15．已知等差数列
na
满足
1
2
8
a
a


，
3
4
24
a
a


.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和为
n
S .
16．记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
5
85
S 
，且
6
1
7
a
a

．
(1)求
na 和
n
S ；
(2)设
1
5
n
n
n
b
a a 

，求数列
nb
前n 项和
nT ．
17．已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
3
3
5
5,
a
S
a


.
(1)求数列
na
的通项公式;
(2)若数列
nb
满足
2 n
a
n
n
b
a


，求数列
na
的前n 项和
nT .
18．已知数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，且满足
3n
n
n
b
a

，
1
1
a ，
1
2
n
n
S
a
n


．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
102
nT 
，求n 的取值范围．
19．已知数列
na
的首项为2 ，且
2
2
1
1
1
2
4
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a a
a







，
0
na 
，
*
nN .
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
n
n
b
S

，求数列
nb
的前2023项和.
20．已知两个等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT
. 若
5
5
2
a
b ，则
9
9
S
T 
.
21．设
n
S 是等差数列
na
的前n 项和

1,
n
n

N ，若
2
4
6
9
a
a
a



，则
7
S 
.
22．已知数列
na
的前n 顶和为
n
S .且


*
1
1
1
1,
3
n
n
a
S
a
n



N
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)在数列
nb
中，
4
log
n
n
n
b
a
S


，求数列
nb
的前n 项和
nT .
23．数列
na 的前n 项和
n
S ，已知
2
1
4
a
a


，


2
n
n
S
na
n
k n




N
，k 为常数.
(1)求常数k 和数列
na
的通项公式；
(2)数列
1
n
S






的前n 项和为
nT ，证明：4
1
3
3
2
1
2
nT
n




.
24．已知数列
na
满足
1
1
a ，且点
1
1
1
,
n
n
a
a 






在直线
2
y
x


上
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)数列
1
{
}
n
n
a a 
前n 项和为
nT ，求能使
3
12
nT
m


对
*
nN 恒成立的m （mZ ）的最小值．