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微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题
【秒杀总结】
1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为
了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路
可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，
因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边 ，
这样一来，相当于已知一个数列的前 项之和，求 ，利用数列的知识可知
.所以，接下来只需要证明 即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9）
；
（10）；
（11）
；
（12） ；
（13） .
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再
用数列求和法而得解.
【典型例题】
例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)证明：对任意 ；
(3)讨论函数 零点的个数.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)证明：对 恒成立；
(2)是否存在 ，使得 成立？请说明理由．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求证： ；(2)求证： ．
例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时， ，求 的取值范围；
(2)是否存在 ，使得 ？说明理由．
例5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时， ，求 的最大值；
(2)设 ，证明： .
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 在区间 上单调递增，求a的取值范围；
(2)证明： ，
例8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 .
（1）证明： 时， ；
（2）证明： .【过关测试】
1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知 为正实数，函数
.
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)求证： （ ）.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 .
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 均为正数， .证明：
.
3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： .
4．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数 .(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)曲线 与直线 交于 ， 两点，求证： ；
(3)证明： .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数），
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 都有不等式 成立，求实数a的值．
(3)设 ，证明： ．
6．（2023·广东·高三统考期末）已知函数 ，其中 为自然
对数的底数， .
(1)当 时，函数 有极小值 ，求 ；
(2)证明： 恒成立；
(3)证明： .
7．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；(2)证明： .
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数
(1)证明:当 时 ；
(2)设 ，证明
9．（2023春·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，证明： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.
(1) ，求证： ；
(2)证明： .( )
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)试比较 与1的大小；(2)求证： .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)试判断函数 在 上单调性并证明你的结论；
(2)若 对于 恒成立，求正整数 的最大值；
(3)求证： ．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若关于 的方程 有解，求实数 的最小值；
(3)证明不等式： .15．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 图象经过坐标原点，其导函数为
，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上；
又 ， ，且 ，对任意 都成立.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)求证：
① ；
② .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）若 恰为 的极小值点.
①证明： ；
②求 在区间 上的零点个数；
（2）若 ， ，又由
泰勒级数知： ，证明：
17．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知函数 .
（1）讨论 的零点个数.
（2）正项数列 满足 ， （ ），求证： .18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知函数 在
处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： .
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）对定义域内的任意 ,都有 ，求 的取值范围；
（2）若 在 处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数 ，
其中 为自然对数的底数．
20．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明： ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若不等式 在 上恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明： .
